1、2020-2021 学年湘教新版九年级下册数学第学年湘教新版九年级下册数学第 1 章章 二次函数单元测试卷二次函数单元测试卷 一选择题一选择题 1设 a，b，c 分别是二次函数 yx2+3 的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ） Aa1，b3，c0 Ba1，b0，c3 Ca1，b3，c3 Da1，b0，c3 2若将抛物线 yx23 向上平移 5 个单位长度，则得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A（0，2） B（0，8） C（5，3） D（5，3） 3二次函数 yx2+3x+化为 y（xh）2+k 的形式，结果正确的是（ ） A B C D 4小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度 y（米）
2、与水平距离 x（米）之间的关系大致满足二次函数 y x2+x+，则小强此次成绩为（ ） A8 米 B10 米 C12 米 D14 米 5二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 yax+b 的图象大致是（ ） A B C D 6抛物线 y3（x+1）23 的顶点是（ ） A（1，3） B（1，3） C（1，3） D（1，3） 7二次函数 yax2+bx 的图象如图所示，则（ ） Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0 8若点 A（2，y1），B（0，y2），C（，y3）是二次函数 yax22a+1（a 是常数，且 a0）的图 象上三点，则 y1，y2，y3的大
3、小关系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy3y1y2 9如图，在等腰 RtABC 中，C90，AC4，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运 动，且保持 ADCE连接 DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：DEF 是等腰直角三 角形；四边形 CDFE 不可能为正方形，DEF 的面积最小值为 2；在此运动变化的过程中，四 边形 CDFE 的始终为面积 4；CDE 面积的最大值为 3其中正确的结论是（ ） A B C D 10如图，已知二次函数 y1ax2+bx+c 与一次函数 y2kx+m 的图象相交于点 A（3，5），B（7，2），
4、 则能使 y1y2成立的 x 的取值范围是（ ） A2x5 Bx3 或 x7 C3x7 Dx5 或 x2 二填空题二填空题 11如图，某名运动员推铅球，铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系是 yx2+x+， 此运动员将铅球推出的距离是 m 12某公司 10 月份的产值是 100 万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为 x（x0）， 12 月份的产值为 y 万元，那么 y 关于 x 的函数解析式是 13设 y1与 y2都是 x 的二次函数（y1有最小值），且 y1+y2x28x+4，已知当 xm 时，y1y28， 当 xm 时，y1y28，则 m 的值为 14下表是
5、二次函数 yax2+bx+c（a0）的自变量 x 与函数值 y 的对应关系，一元二次方程 ax2+bx+c0 （a0）的一个近似解 x 的值大约是 （精确到 0.1） x 6.1 6.2 6.3 6.4 yax2+bx+c 0.3 0.1 0.2 0.4 15已知二次函数图象的顶点坐标为（1，3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析式 16若点 P（a，b）在抛物线 y2x2+2x+1 上，则 ab 的最小值为 17在等式 yax2+bx+c 中，当 x1 时，y5；当 x1 时，y2下列结论一定正确的有 （填 序号即可） a+b+c5； b； 3a2b+3c1； 若 a0，则 ab+3c
6、1 18 若抛物线 yx2xk （k 为常数） 与 x 轴的两个交点都在 x 轴的正半轴上， 则 k 的取值范围是 19已知二次函数 yax2+bx+c（a0）与一次函数 ykx+1 图象交于 A（3，m），B（1，n）两点，则 关于 x 的不等式 ax2+（bk）x+c1 的解集为 20如图，抛物线 y的图象与坐标轴交于点 A，B，D，顶点为 E，以 AB 为直径画半圆交 y 正 半轴交于点 C，圆心为 M，P 是半圆上的一动点，连接 EP 点 E 在M 的内部； CD 的长为； 若 P 与 C 重合，则DPE15； 在 P 的运动过程中，若 AP，则 PE N 是 PE 的中点，当 P 沿
7、半圆从点 A 运动至点 B 时，点 N 运动的路径长是 2 以上 5 个结论正确的是 ；（填写序号） 三解答题三解答题 21已知：二次函数 yx21 （1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）画出它的图象 22已知抛物线 yx2mx+2m1 过定点 H （1）求出 H 的坐标 （2）若抛物线经过点 A（0，1），求证：该抛物线恒在直线 y2x1 上方 23如图，函数 yx2+x+c（2020 x1）的图象记为 L1，最大值为 M1；函数 yx2+2cx+1（1x 2020） 的图象记为 L2， 最大值为 M2 L1的右端点为 A， L2的左端点为 B， L1， L2合起来的图形
8、记为 L （1）当 c1 时，求 M1，M2的值； （2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点 A，B 重合时，求 L 上“美点”的个数； （3）若 M1，M2的差为，直接写出 c 的值 24已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示：求二次函数的函数表达式 25已知：抛物线 yx24x+3 （1）它与 x 轴交点的坐标为 ，与 y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 （2）在坐标系中画出此抛物线 26已知函数 y（m2m）x2+mx+（m+1），m 是常数 （1）若这个函数是一次函数，求 m 的值； （2）若这个函数是二次函数，求 m 的值 27已知抛物线 yax2+bx+c 过点
9、A（6，0） （1）若点（0，1）也在该抛物线上，求 a，b 满足的关系式 （2）若该抛物线与直线 y3 只有一个交点 P，抛物线上任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）都满足： 当 x1x23 时，（x1x2）（y1y2）0；当 3x1x2 时，（x1x2）（y1y2）0点 B 在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动，OB 交 l 于点 M，点 M、N 关于点 P 对称，连接 BN、ON 连接 OP，当 OPMN 时，请判断NOB 的形状，并求出此时点 B 的坐标 求证：NM 平分ONB 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题一选择题 1解：二次函数 yx2+3 的二次项系数是
10、a1，一次项系数是 b0，常数项是 c3； 故选：B 2解：将抛物线 yx23 向上平移 5 个单位长度，则所得到抛物线为：yx2+2 则平移后的抛物线的顶点坐标为：（0，2） 故选：A 3解：yx2+3x+（x2+6x+99+5） （x+3）2+2 故选：A 4解：在 yx2+x+中，当 y0 时， x2+x+0， 解得 x12（舍去），x210， 即小强此次成绩为 10 米， 故选：B 5解：yax2+bx+c 的图象的开口向下， a0， 对称轴在 y 轴的左侧， b0， 一次函数 yax+b 的图象经过二，三，四象限 故选：C 6解：由 y3（x+1）23，根据顶点式的坐标特点可知，顶点
11、坐标为（1，3）， 故选：D 7解：如图，抛物线的开口向下，则 a0， 抛物线的对称轴位于 y 轴的左侧，则 a、b 同号，即 b0 综上所述，a0，b0 故选：D 8解：yax22ax+1（a 是常数，且 a0）， 对称轴是直线 x1， 即二次函数的开口向下，对称轴是直线 x1， 即在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而增大， 201， y2y3y1， 故选：C 9解：连结 CF，如图， ABC 为直角三角形， A45， F 是等腰直角ABC 斜边上的中点， CFAFBF，CFAB，145， 在ADF 和CEF 中， ， ADFCEF（SAS）， DFEF，32， 3+CFD90， 2+CFD
12、90，即DFE90， DEF 为等腰直角三角形，所以正确； 当 FDAC 时，FEBC，则 ADCEAC，此时四边形 CDFE 为正方形，所以错误； DEF 为等腰直角三角形， DEFD， 当 FDAC 时，FD 的长度最小，此时 FDAC2， DEF 的面积最小值为2，所以正确； ADFCEF， SADFSCEF， 四边形 CDFE 的面积SACFSABC444，所以正确； SCDES 四边形CDFESDEF4SDEF， 而当 FDAC 时，FD 的长度最小，此时 FDAC2， SDEF的最小值为 222， CDE 面积的最大值为 422，所以错误 故选：C 10解：由图可知，能使 y1y2
13、成立的 x 的取值范围是3x7； 故选：C 二填空题二填空题 11解：由题意得：当 y0 时，0 x2+x+， x28x90， （x+1）（x9）0， x11（不合题意，舍去），x29 此运动员把铅球推出 9m 故答案为：9 12解：由题意可得， y100（1+x）2， 故答案为：y100（1+x）2 13解：当 xm 时，y1y28， y1+y2m28m+48+（8）16， 当 xm 时，y1y28， y1+y2m2+8m +48+816， 解得 m2， 故答案为：2 14解：由表可知，当 x6.2 时，y 的值最接近 0， 所以，方程 ax2+bx+c0 一个解的近似值为 6.2， 故答案
14、为：6.2 15解：设此二次函数的解析式为 ya（x1）23 其图象经过点（2，0）， a（21）230， a3， y3（x1）23，即 y3x26x， 故答案为 y3x26x 16解：点 P（a，b）在抛物线 y2x2+2x+1 上， b2a2+2a+1， aba（2a2+2a+1）2a2a1， ab2a2a12（a）2 ， ab 的最小值为， 故答案为 17解：在等式 yax2+bx+c 中，当 x1 时，y5；当 x1 时，y2 a+b+c5，ab+c2，故正确； 由题意得， 两式相减得，2b7， 解得，b，故正确； 两式相加得，2a+2c3， a+c， 3a+3c， 3a2b+3c2，
15、故错误； 3a+3c， 3c3a，b， ab+3ca+3a12a， a0， 12a1， ab+3c1，故正确； 故答案为 18解：若抛物线 yx2xk 与 x 轴的两个交点都在 x 轴正半轴上， 则方程 x2xk0 的两根大于 0，即最小的根 x 0， 当 1+4k0，即 k时，x 最小，即k0 故答案是：k0 19解：函数大概图象如下： 根据题意得出当 ax2+bx+ckx+1 时，则 ax2+（bk）x+c1， 则从图象看，关于 x 的不等式 ax2+（bk）x+c1 的解集为3x1， 故答案为3x1 20解：抛物线 y的图象与坐标轴交于点 A，B，D， 则点 A、B、D 的坐标分别为：（
16、1，0）、（3，0）、（0，），则点 M（1，0）， 顶点 E 的坐标为：（1，2），AB4，CO，OD，故点 D 不在M 上； ME2AM，E 应该在M 上，故不符合题； C 是圆 M 与 y 轴交点，圆 M 半径为 2，M（1，0）由勾股定理得 OC， CD23，故 CD 的长为 ，符合题意； 如图 1，连接 PM、PE，点 E（1，2），故点 E 在圆上， CO，OM1，PM2，故OPM30， EMy 轴，则MEPEPC，而MEPMPE， DPEDOM15，符合题意； 如图 2，连接 PB、PA、AE， 点 B、E 均在圆上，则ABPAEP， sinAEPsinABPsin，则 cos，
17、 过点 A 作 AK 垂直于 PE 于 K， 则 AKAEsin2，EKAEcos，则 PKAK ， 故则 PE，符合题意； 如图 3，图中实点 G、N、M、F 是点 N 运动中所处的位置， 则 GF 是等腰直角三角形的中位线，GFAB2，ME 交 AB 于点 R，则四边形 GEFM 为正方形， 当点 P 在半圆任意位置时，中点为 N，连接 MN，则 MNPE，连接 NR， 则 NRMEMRRERGRFGF1，则点 N 的运动轨迹为以 R 为圆心的半圆， 则 N 运动的路径长2r，故不符合题意； 故答案为： 三解答题三解答题 21解：（1）二次函数 yx21， 抛物线的开口方向向上，顶点坐标为
18、（0，1），对称轴为 y 轴； （2）在 yx21 中，令 y0 可得 0 x21 解得 x1 或 1， 令 x0 可得 y1，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示： 22解：（1）yx2mx+2m1 x24m（x2）+3 （x+2）（x2）m（x2）+3 （x2）（x+2m）+3， 抛物线 yx2mx+2m1 必过定点（2，3）， 故 H 的坐标为（2，3）； （2）证明：抛物线经过点 A（0，1）， 2m11，解得 m1， 抛物线 yx2x+1， 设 y1x2x+1，y22x1， 则 y1y2（x2x+1）（2x1）x2+x+2（x+ ）2+0， y1y2， 该抛物线恒在直
19、线 y2x1 上方 23解：（1）当 c1 时， 函数 yx2+x+cx2+x+1（x ）2+ 又2020 x1， M1， yx2+2cx+1x2+2x+1（x1）2+2 又1x2020， M22； （2）当 x1 时，yx2+x+cc；yx2+2cx+12c 若点 A，B 重合，则 c2c，c， L1：yx2+ x（2020 x1）； L2：yx2x+1（1x2020） 在 L1上，x 为奇数的点是“美点”，则 L1上有 1011 个“美点”； 在 L2上，x 为整数的点是“美点”，则 L2上有 2020 个“美点” 又点 A，B 重合， 则 L 上“美点”的个数是 1011+2020130
20、30 （3）yx2+x+c（2020 x1）上时，当 x 时，M1+c， yx2+2cx+1（1x2020），对称轴为 xc， 当 c1 时，M2c2+1， |+cc21| ， c1（舍去）或 c2； 当 c1 时，M22c， |2cc|， c3（舍去）或 c； c或 2 24解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），且过点（0，3）， 设抛物线的解析式为：ya（x1）24， 把（0，3）代入解析式得 a43， 解得 a1， 则抛物线的解析式为：y（x1）24x22x3 25解：（1）抛物线 yx24x+3（x2）21（x3）（x1）， 该抛物的顶点坐标为（2，1），当 y0 时，x13，x
21、21，当 x0 时，y3， 它与 x 轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与 y 轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，1）， 故答案为：（3，0）、（1，0），（0，3），（2，1）； （2）由（1）知，它与 x 轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与 y 轴交点的坐标为（0，3），顶点坐 标为（2，1），且过点（4，3）， 抛物线如右图所示 26解：（1）依题意 m2m0 且 m0，所以 m1 （2）依题意 m2m0，所以 m1 且 m0 27解：（1）将（0，1）和点 A 的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：36a+6b1； （2）当 x1x23 时，（x1x2）（y1y2）0，
22、即为当 x3 时，y 随 x 的增大而增大， 当 3x1x2时，（x1x2）（y1y2）0，即为当 x3 时，y 随 x 的增大而减小，故抛物线开口下，且 抛物线的对称轴为直线 x3， 该抛物线与直线 y3 只有一个交点 P，故点 P 是抛物线的顶点，即点 P（3，3）， 则设抛物线的表达式为 ya（x3）2+3，将点（6，0）代入上式并解得 a， 故抛物线的表达式为 y（x3）2+3x2+2x； 设点 B 的坐标为（m， m2+2m）， 由点 O、B 的坐标知，直线 OB 的表达式为 y（m+2）x， 当 x3 时，y（m+2）x6m，故点 M（3，6m）， 点 M、N 关于点 P 对称，由
23、中点公式得，点 N（3，m）， 由 O、P 的坐标得，OP3MN，则 MN6， 即 MNm（6m）6，解得 m3+3， 则点 B（3，3），点 N（3，3+3 ）， 由点 B、O 的坐标知，OB2（3+3）2+（3）236+18， 同理 ON236+18OB2，BN272+36 OB2+ON2， 故NOB 为等腰直角三角形； 连接 NB， 由点 O、N 的坐标，同理可得，直线 ON 的表达式为 ymx， 联立得： x2+2xmx，解得 x6m，设直线 ON 交抛物线与点 H，则点 H 的横坐标为 6 m，而点 B 的横坐标为 m，抛物线的对称轴为 x3，故点 B、H 关于抛物线对称轴（即关于 MN）对称， NM 平分ONB
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