1、2020-2021 学年重庆市渝北区学年重庆市渝北区三校联考三校联考八年级八年级上上第三次自主测试数学试卷第三次自主测试数学试卷 一、单选题一、单选题 1下面各式中，x+y，4xy，分式的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2下列图标，可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 3下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 B2a+3a5a2 C （a+b）2a2+b2 D （ab2）3a3b6 4如图，P 是ABC 的边 AC 上一点，若ABPACB，A45，ABC110，则ABP 的度数 为（ ） A25 B35 C45 D110 5如图，ABCABC，若B30，A80，
2、ACB45，则BCB 的度数为（ ） A25 B30 C35 D40 6若（x+b） （xa）x2+kxab，则 k 的值为（ ） Aa+b Bab Cab Dba 7如图，ABC 中，C90，ACBC，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，DEAB，垂足为 E，且 AB 6cm，则DEB 的周长为（ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 8如图，在 44 的正方形网格中，1、2、3 的大小关系是（ ） A123 B123 C123 D123 9甲做 480 个零件与乙做 360 个零件所用的时间相同，已知两人每天共做 140 个零件，若设甲每天做 x 个 零件，则可以列出方程为（ ）
3、 A B C D 10下列结论是正确的是（ ） A全等三角形的对应角相等 B对应角相等的两个三角形全等 C有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D相等的两个角是对顶角 11 如图， 在ABC 中， BC， D 为 BC 边上一点， E 点在 AC 边上， ADEAED， 若BAD24， 则CDE（ ） A24 B20 C15 D12 12若整数 a 使得关于 x 的方程 2的解为非负数，且使得关于 y 的不等式组 至少有四个整数解，则所有符合条件的整数 a 的和为（ ） A17 B18 C22 D25 二、填空题二、填空题 13计算： 14如图，在ABC 中，ACB90，沿 CD 折叠CBD
4、，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处若A 25，则ADE 15若分式的值为 0，则 x 的值为 16等腰梯形两底长分别为 5cm 和 11cm，一个底角为 60，则腰长为 17已知（a+2）2+|2b1|0，则 6ab2ab3（ab1） 18某超市促销活动，将车厘子、波罗蜜、山竹三种水果采用三种不同方式搭配成礼盒，分别是蒸蒸日上 礼盒、独占鳌头礼盒、吉祥如意礼盒，将礼盒进行销售，每盒的总成本为盒中车厘子、波罗蜜、山竹三 种水果成本之和，盒子成本忽略不计，蒸蒸日上每盒分别装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果 8 千克，4 千克，3 千克；独占鳌头每盒装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果 3 千克
5、，8 千克，6 千克；蒸蒸日上每 盒的总成本是每千克车厘子水果成本的 14 倍， 每盒蒸蒸日上的销售利润是 60%， 每盒独占鳌头的售价是 成本的倍，每盒吉祥如意在成本上提高 60%标价后打八折出售，获利为每千克车厘子水果成本的 2.8 倍， 当销售蒸蒸日上、 独占鳌头、 吉祥如意三种礼盒的数量之比为 5： 2： 5， 则销售的总利润率为 三、解答题三、解答题 19计算： （1） （15x2y10 xy2）5xy （2） （2x1）2（2x+5） （2x5） 20解方程 ； 21在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点在网格线的交点的三角形） ABC 的顶点 A、C
6、 的坐标分别为（4，5） 、 （1，3） （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1，并分别写出点 A1、B1、C1的坐标 22如图，在ABC 中，ABAC，BAC80，D 为边 BC 的中点，DEAB，交 AC 于点 E，求ADE 各内角的度数 23某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 20000 元，乙种商品共用了 24000 元已知乙种商品每 件进价比甲种商品每件进价多 8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同 （1）求甲、乙两种商品的每件进价； （2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为 60 元，乙种
7、商品的销售单价为 88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按 原销售单价的七折销售； 乙种商品销售单价保持不变 要使两种商品全部售完后共获利不少于 24600 元， 问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？ 24如图，在ABC 中，ABBC，ABC90，E 为 BC 边上一点（不与 B、C 重合） ，D 为 AB 延长线 上一点且 BDBE点 F、G 分别为 AE、CD 的中点求证： （1）AECD； （2）BFG 为等腰直角三角形 25阅读理解 因为（a+）2a2+2a+（）2a2+2， 因为2 所以由得：a2+2，由得：a2+2 所以 a4
8、+2 试根据上面公式的变形解答下列问题： （1）已知 a+2，则下列等式成立的是 a2+2； a4+2； a0； 2； A； B； C； D； （2）已知 a+2，求下列代数式的值： a2+； ； a4+ 26如图，在ABC 中，ABC90，ABBC，点 D 为 BC 边上任意一点（与 B、C 不重合） ，以 BD 为 直角边构造等腰直角三角形 BDE，F 为 AD 的中点 （1）将BDE 绕点 B 旋转，当点 E 与 F 重合时，求证：BAE+BCD45； （2）将BDE 绕点 B 旋转，当点 F 在 BE 上且 ABAD 时，求证：2CDBE 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选
9、题一、单选题 1下面各式中，x+y，4xy，分式的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分 式 【解答】解：在，的分母中含有字母，属于分式 在x+y，4xy，的分母中不含有字母，属于整式 故选：B 2下列图标，可以看作是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D
10、、该图形呈左右对称，属于轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 3下列运算正确的是（ ） Aa2a3a6 B2a+3a5a2 C （a+b）2a2+b2 D （ab2）3a3b6 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简 得出答案 【解答】解：A、a2a3a5，故此选项错误； B、2a+3a5a，故此选项错误； C、 （a+b）2a2+2ab+b2，故此选项错误； D、 （ab2）3a3b6，正确 故选：D 4如图，P 是ABC 的边 AC 上一点，若ABPACB，A45，ABC110，则ABP 的度数 为（ ） A25 B35 C45 D11
11、0 【分析】直接利用相似三角形的对应角相等进而得出答案 【解答】解：ABPACB， ABCAPB110， ABP1804511025 故选：A 5如图，ABCABC，若B30，A80，ACB45，则BCB 的度数为（ ） A25 B30 C35 D40 【分析】根据全等三角形的性质解答即可 【解答】解：ABCABC， ACBACB， ACBACBACBACB， ACABCB， B30，A80， ACB180308070， ACB45， BCB25， 故选：A 6若（x+b） （xa）x2+kxab，则 k 的值为（ ） Aa+b Bab Cab Dba 【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式
12、法则计算，利用多项式相等的条件即可求出 k 【解答】解： （x+b） （xa）x2+（ba）xabx2+kxab， 得到 bak， 则 kba 故选：D 7如图，ABC 中，C90，ACBC，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，DEAB，垂足为 E，且 AB 6cm，则DEB 的周长为（ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 【分析】 先利用 AAS 判定ACDAED 得出 ACAE， CDDE； 再对构成DEB 的几条边进行变换， 可得到其周长等于 AB 的长 【解答】解：AD 平分CAB 交 BC 于点 D CADEAD DEAB AEDC90 ADAD ACDAED （AAS）
13、 ACAE，CDDE C90，ACBC B45 DEBE ACBC，AB6cm， 2BC2AB2，即 BC3， BEABAEABAC63， BC+BE3+636cm， DEB 的周长DE+DB+BEBC+BE6（cm） 另法：证明三角形全等后， ACAE，CDDE ACBC， BCAE DEB 的周长DB+DE+EBDB+CD+EBCB+BEAE+BE6cm 故选：B 8如图，在 44 的正方形网格中，1、2、3 的大小关系是（ ） A123 B123 C123 D123 【分析】利用“边角边”证明ABG 和CDH 全等，根据全等三角形对应角相等求出ABGDCH， 再根据两直线平行，内错角相等
14、求出CBGBCH，从而得到12，同理求出DCHCDM， 结合图形判断出BCHEDM，从而得到23，即可得解 【解答】解：如图， BGCH，AGDH，AGBCHD90， ABGCDH， ABGDCH， CBGBCH， 12， 同理可得：DCHCDM， 但BCHEDM， 23， 123 故选：B 9甲做 480 个零件与乙做 360 个零件所用的时间相同，已知两人每天共做 140 个零件，若设甲每天做 x 个 零件，则可以列出方程为（ ） A B C D 【分析】 设甲每天做 x 个零件， 根据甲做 480 个零件与乙做 360 个零件所用的时间相同， 列出方程即可 【解答】解：设甲每天做 x 个
15、零件，根据题意得： 故选：A 10下列结论是正确的是（ ） A全等三角形的对应角相等 B对应角相等的两个三角形全等 C有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D相等的两个角是对顶角 【分析】根据全等三角形的判定即可解决问题 【解答】解：A、正确本选项符合题意 B、对应角相等的两个三角形不一定全等，本选项不符合题意 C、有两条边和一角对应相等的两个三角形全等，错误，两边必须夹角相等，两个三角形全等，本选项 不符合题意 D、错误相等的两个角不一定是对顶角，本选项不符合题意， 故选：A 11 如图， 在ABC 中， BC， D 为 BC 边上一点， E 点在 AC 边上， ADEAED， 若BAD2
16、4， 则CDE（ ） A24 B20 C15 D12 【分析】先根据三角形外角的性质得出ADCB+BADB+24，AEDC+EDC，再根据 BC，ADEAED 即可得出结论 【解答】解：ADC 是ABD 的外角， ADCB+BADB+24， AED 是CDE 的外角， AEDC+EDC， BC，ADEAED， C+EDCADCEDCB+24EDC， 解得EDC12 故选：D 12若整数 a 使得关于 x 的方程 2的解为非负数，且使得关于 y 的不等式组 至少有四个整数解，则所有符合条件的整数 a 的和为（ ） A17 B18 C22 D25 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整
17、数解确定出 a 的值，再由分式方程的解为非负 数以及分式有意义的条件求出满足题意整数 a的值，进而求出之和 【解答】解：， 不等式组整理得：， 由不等式组至少有四个整数解，得到1ya， 解得：a3，即整数 a3，4，5，6， 2， 去分母得：2（x2）3a， 解得：x， 0，且2， a7，且 a3， 由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到 a 为 4，5，6，7，之和为 22 故选：C 二、填空题二、填空题 13计算： 9 【分析】根据平方差公式（a+b） （ab）a2b2直接计算即可 【解答】解：42（）21679； 故答案为：9 14如图，在ABC 中，ACB90，沿 CD 折叠
18、CBD，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处若A 25，则ADE 40 【分析】根据三角形内角和定理可得B65，再由折叠可得CED 的度数，再根据三角形外角的性 质可得EDA 的度数 【解答】解：在ABC 中，ACB90，A25， B180902565， 根据折叠可得CED65， EDA652540， 故答案为：40 15若分式的值为 0，则 x 的值为 2 【分析】根据分式的值为 0 的条件和分式有意义条件得出 4x20 且 x+20，再求出即可 【解答】解：分式的值为 0， 4x20 且 x+20， 解得：x2， 故答案为：2 16等腰梯形两底长分别为 5cm 和 11cm，一个底角
19、为 60，则腰长为 6cm 【分析】过点 A 作 AEBC 于点 E，根据等腰梯形的性质可得出 AE 的长度，在 RtABE 中可求出腰长 AB 的长度 【解答】解： 过点 A 作 AEBC 于点 E，由题意得，AD5cm，BC11cm， 则 AE（BCAD）3cm， B60， AB2BE6cm 故答案为：6cm 17已知（a+2）2+|2b1|0，则 6ab2ab3（ab1） 2 【分析】利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，原式去括号合并得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即 可求出值 【解答】解：（a+2）2+|2b1|0， a+20，2b10，即 a2，b， 则原式6ab2ab
20、3ab+3ab+31+32 故答案为：2 18某超市促销活动，将车厘子、波罗蜜、山竹三种水果采用三种不同方式搭配成礼盒，分别是蒸蒸日上 礼盒、独占鳌头礼盒、吉祥如意礼盒，将礼盒进行销售，每盒的总成本为盒中车厘子、波罗蜜、山竹三 种水果成本之和，盒子成本忽略不计，蒸蒸日上每盒分别装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果 8 千克，4 千克，3 千克；独占鳌头每盒装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果 3 千克，8 千克，6 千克；蒸蒸日上每 盒的总成本是每千克车厘子水果成本的 14 倍， 每盒蒸蒸日上的销售利润是 60%， 每盒独占鳌头的售价是 成本的倍，每盒吉祥如意在成本上提高 60%标价后打八折出售，获利
21、为每千克车厘子水果成本的 2.8 倍， 当销售蒸蒸日上、 独占鳌头、 吉祥如意三种礼盒的数量之比为 5： 2： 5， 则销售的总利润率为 44% 【分析】分别设每千克车厘子、波罗蜜、山竹三种水果的成本价分别为 x、y、z，再由题意分别求出每一 种礼盒的成本、利润则可求解 【解答】解：设每千克车厘子、波罗蜜、山竹三种水果的成本价分别为 x、y、z， 由题意可得 8x+4y+3z14x， 4y+3z6x； 蒸蒸日上的总成本为：8x+4y+3z14x， 每盒的利润是（8x+4y+3z）x； 独占鳌头的总成本为：3x+8y+6z3x+26x15x， 每盒的售价是（3x+8y+6z） ， 每盒的利润是（
22、3x+8y+6z）（3x+8y+6z）（3x+8y+6z）5x， 每盒吉祥如意的销售利润是 2.8x，则成本为10 x， 当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数量之比为 5：2：5， 总成本是 14x5+15x2+10 x5150 x， 总利润是x5+5x2+2.8x566x， 总利润是44%， 故答案为 44% 三、解答题三、解答题 19计算： （1） （15x2y10 xy2）5xy （2） （2x1）2（2x+5） （2x5） 【分析】 （1）根据去括号法则去括号后，再合并同类项即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式化简，再根据去括号法则去括号，然后合并同类项即可 【解答】
23、解： （1）原式15x2y5xy10 xy25xy 3x2y； （2）原式4x24x+1（4x225） 4x24x+14x2+25 4x+26 20解方程 ； 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程 的解 【解答】解：去分母得：2x63x+6， 解得：x12， 经检验 x12 是分式方程的解； 去分母得：x2+2x+14x21， 解得：x1， 经检验 x1 是增根，分式方程无解 21在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点在网格线的交点的三角形） ABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（4，5） 、 （1，3）
24、（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1，并分别写出点 A1、B1、C1的坐标 【分析】 （1）直接利用 A，C 点坐标得出原点位置进而作出平面直角坐标系； （2）直接利用关于 y 轴对称点的性质得出各点位置进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示： ； （2）如图所示：A1（4，5） ，B1（2，1） ，C1（1，3） 22如图，在ABC 中，ABAC，BAC80，D 为边 BC 的中点，DEAB，交 AC 于点 E，求ADE 各内角的度数 【分析】根据等腰三角形的性质得到 ADBC，根据三角形内角和定理计算即可 【解答】解：A
25、BAC，D 是 BC 的中点， ADBC， ADB90， BAC80， BADDACBAC40， DEAB， ADEBAD40， AED1804040100 23某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 20000 元，乙种商品共用了 24000 元已知乙种商品每 件进价比甲种商品每件进价多 8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同 （1）求甲、乙两种商品的每件进价； （2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为 60 元，乙种商品的销售单价为 88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按 原销售单价的七折销售； 乙种商品销售
26、单价保持不变 要使两种商品全部售完后共获利不少于 24600 元， 问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？ 【分析】 （1）设甲种商品的每件进价为 x 元，乙种商品的每件进价为 y 元根据“某商场购进甲、乙两 种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400 元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方 程； （2）设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元”列出不等 式 【解答】解： （1）设甲种商品的每件进价为 x 元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元 根据题意，得， 解得 x40 经检验，x40 是原方程的解 答：甲种商品的每件进价为
27、 40 元，乙种商品的每件进价为 48 元； （2）甲乙两种商品的销售量为500 设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则 （6040）a+（600.740） （500a）+（8848）50024600， 解得 a200 答：甲种商品按原销售单价至少销售 200 件 24如图，在ABC 中，ABBC，ABC90，E 为 BC 边上一点（不与 B、C 重合） ，D 为 AB 延长线 上一点且 BDBE点 F、G 分别为 AE、CD 的中点求证： （1）AECD； （2）BFG 为等腰直角三角形 【分析】 （1）证明ABECBD（SAS） ，即可得出 AECD； （2）由全等三角形的性质得出 AEC
28、D，BAEBCD，由直角三角形斜边上的中线性质得出 BF AEAF，BGCDCG，得出 BFBG，BAEABF，BCDCBG，证出ABFCBG， 得出FBGABC90，即可得出结论 【解答】证明： （1）ABC90， CBD90， 在ABE 和CBD 中， ABECBD（SAS） ， AECD； （2）由（1）得：ABECBD， AECD，BAEBCD， ABECBD90，点 F、G 分别为 AE、CD 的中点， BFAEAF，BGCDCG， BFBG，BAEABF，BCDCBG， ABFCBG， FBGABC90， BFG 为等腰直角三角形 25阅读理解 因为（a+）2a2+2a+（）2a2
29、+2， 因为2 所以由得：a2+2，由得：a2+2 所以 a4+2 试根据上面公式的变形解答下列问题： （1）已知 a+2，则下列等式成立的是 C a2+2； a4+2； a0； 2； A； B； C； D； （2）已知 a+2，求下列代数式的值： a2+； ； a4+ 【分析】 （1）根据 a+2，应用完全平方公式，求出每个算式的值各是多少，判断出等式成立的是哪 个即可 （2）根据 a2，应用完全平方公式，求出每个算式的值各是多少即可 【解答】解： （1）a+2， a2+2422； a4+2422； 4440， a0； 0 等式成立的是： （2）原式（a+）22（2）222 原式a2+222
30、0 原式（a2+）222222 故选：C 26如图，在ABC 中，ABC90，ABBC，点 D 为 BC 边上任意一点（与 B、C 不重合） ，以 BD 为 直角边构造等腰直角三角形 BDE，F 为 AD 的中点 （1）将BDE 绕点 B 旋转，当点 E 与 F 重合时，求证：BAE+BCD45； （2）将BDE 绕点 B 旋转，当点 F 在 BE 上且 ABAD 时，求证：2CDBE 【分析】 （1）如图 2 中，证明ABFBCD（SAS）即可解决问题 （2）如图 3 中，作 ANBM 于 N 交 BE 于 G，CMBD 于 M只要证明CDM 是等腰直角三角形，BN DNDM，即可解决问题
31、【解答】证明： （1）如图 2 中， BDE 是等腰直角三角形，BDE 绕点 B 旋转，当点 E 与 F 重合， BFD 是得把直角三角形， DBFBFD45，BDDF， F 为 AD 的中点， AFDF， BDAF， ABC90， ABF+DBCABF+BAF45， BAFDBC， ABBC， ABFBCD（SAS） ， ABFBCD， BAE+BCD45； 证明：如图 3 中，作 ANBM 于 N 交 BE 于 G，CMBD 于 M 由（1）可知CBMBAN， BNCM，ANBM， ABAD，ANBD， BNDN，EDBD， ANDE， GAFFDE，BGGE， DE2GN， 在AGF 和DEF 中， ， AGFDEF（AAS） ， AGDEBD， AN3BN，BM3CM， BNDN， DMCM， CDM 是等腰直角三角形， CDCM， CMBNBD， CDBD， BEBD， BE2CD
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