1、 1 考点 23 图形的相似 一、比例的相关概念及性质一、比例的相关概念及性质 1线段的比线段的比 两条线段的比是两条线段的长度之比 2比例中项比例中项 如果 a b= b c，即 b 2=ac，我们就把 b 叫做 a，c 的比例中项 3比例的性质比例的性质 性质 内容 性质 1 a b = c d ad=bc（a，b，c，d0） 性质 2 如果 a b = c d ，那么 abcd bd 性质 3 如果 a b = c d = m n （b+d+n0），则 acm bdn = m n （不唯一） 4.黄金分割黄金分割 如果点 C 把线段 AB 分成两条线段，使 ACBC ABAC ，那么点
2、C 叫做线段 AC 的黄金分割点，AC 是 BC 与 AB 的比例中项，AC 与 AB 的比叫做黄金比 二二、相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质 1定义定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比 2性质性质 （1）相似三角形的对应角相等； （2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 3判定判定 （1）有两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例
3、，两直角三角形相似 2 【方法技巧】判定三角形相似的几条思路： （1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）； （2）条件中若有一对等角，可再找一对等角用判定（1）或再找夹边成比例用判定（2）； （3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； （4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； （5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例 三三、相似多边形相似多边形 1定义定义 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相 似比 2性质性质 （1）相似多边形的对应边成比例； （2）相似多
4、边形的对应角相等； （3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方 四、四、位似图形位似图形 1定义定义 如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直 线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比 2性质性质 （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的 坐标的比等于 k 或k； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比 3找位似中心的方法找位似中心的方法 将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即
5、是位似中心 4画位似图形的步骤画位似图形的步骤 （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点 考向一 比例线段及其性质 3 1比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项两端的两项叫做比例的外项，中间的两项 叫做比例的内项 2对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等， 如 ab=cd（即 ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段 3判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前
6、两条线段之比与后两条线 段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无 关系 典例典例 1 已知 3 4 x y ，那么下列等式中，不成立的是 A 3 = 7 x xy B 1 4 xy y C 33 44 x y D4x=3y 【答案】B 【解析】A、 3 4 x y ， 3 = 7 x xy ，此选项正确，不合题意； B、 3 4 x y ， 1 4 xy y ，此选项错误，符合题意； C、 3 4 x y ， 33 44 x y ，此选项正确，不合题意； D、 3 4 x y ，4x=3y，此选项正确，不合题意； 故选 B 典例典例 2 四条线段 a
7、，b，c，d 成比例，其中 b=3cm，c=8cm，d=12cm，则 a= A2cm B4cm C6cm D8cm 【答案】A 4 【解析】四条线段 a、b、c、d 成比例， a b = c d ，b=3cm，c=8cm，d=12cm， 3 a = 8 12 ，解得： a=2cm故选 A 1已知线段 a、b，如果 a：b=5：2，那么下列各式中一定正确的是 Aa+b=7 B5a=2b C ab b = 7 2 D 5 2 a b =1 2在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，如果 AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断 DE BC 的是 A 1 3 DE BC = B 1 4
8、 DE BC C 1 3 AE AC D 1 4 AE AC 考向二 相似三角形 1相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的周长的比等 于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似 比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的 比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方 2相似三角形的判定：平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形 与原三角形相似；三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组 对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相
9、似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形 相似 典例典例3 【浙江省宁波市北仑区20192020学年九年级上学期期末数学试题】 如图， ABC中A=60 ， AB=4，AC=6，将 ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与 ABC 不相似的是 5 A B C D 【答案】A 【解析】A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意， B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意， C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意， D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意， 故选 A
10、. 【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角 对应相等， 那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且对应的夹角相等， 那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键 典例典例 4 【山西省吕梁市汾阳市 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】 若ABCDEF， 10AB，12BC ，5DE ，则EF的长为 A4 B5 C6 D7 【答案】C 【解析】ABCDEF，10AB，12BC ，5DE ， ABBC DEEF ，10 12 5EF ，E
11、F=6.故选 C. 【名师点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，属 于中考基础题 6 3【江苏省徐州市铜山区 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】两个相似三角形的面积比 为9:16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为_cm 4【陕西省渭南市富平县 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】如图，在 ABC 中，BD 平分ABC，交 AC 于点 D，点 E 是 AB 上一点，连接 DE，BD2=BC BE.证明： BCDBDE. 考向三 相似多边形 1如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似
12、多边形 2相似多边形对应边的比叫做相似比 3多边形的相似比为 1 的相似多边形是全等形 4相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等 典例典例 5 下列各组图形中一定是相似形的是 A两个直角三角形 B两个等边三角形 C两个菱形 D两个矩形 【答案】B 【解析】等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， 7 两个等边三角形一定是相似形， 又直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， 两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选 B 5已知 A4 纸的宽度为 21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则 A4 纸的高度约 为 A24.8cm B26.
13、7cm C29.7cm D无法确定 6如图，矩形 ABCD 中，AB=4，点 E，F 分别在 AD，BC 边上，且 EFBC，若矩形 ABFE矩形 DEFC，且相似比为 1：2，求 AD 的长 考向四 位似 8 1如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的 两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 2位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么 位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 典例典例 6 【河北省保定市涞水县 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】 已知， 如图，A B AB ， B CBC
14、 ，且:4:3OA AA ，则ABC与_是位似图形，位似比为_. 【答案】ABC ，7：4 【解析】ABAB，BCBC， ABCABC， = O O B AB A B B ，= B B C BC BO O ， ABO=ABO，CBO=CBO， = C BC ABB AB ，ABC=ABC， ABCABC，ABC 与 ABC是位似图形， 位似比=AB：AB=OA：OA=（4+3）：4=7：4 【名师点睛】本题考查了相似图形交于一点的图形的位似图形，位似比等于对应边的比 7【广东省广州市海珠区 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为位似中心
15、线段CD与线段AB是位似图形，若2,3C，3,1D，4,6A，则B 的坐标为_ 9 8 【陕西省渭南市富平县 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】如图，在边长为1个单位长 度的小正方形组成的网格中，给出了 ABC 格点（顶点是网格线的交点）.请在网格中画出 ABC 以A为位似中心放大到原来的3倍的格点 AB1C1， 并写出 ABC与 AB1C1的面积比_ （ ABC 与 AB1C1，在点 A 的同一侧）. 1【广东省佛山市三水区 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】设 3 2 a b ，下列变形正确 的是 A 3 2 b a B 23 ab C32ab D23ab 2【
16、广东省惠州市 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DEBC，且 AD=2，AB=3，AE=4，则 AC 等于 A5 B6 10 C7 D8 3【广东省佛山市三水区 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】若ABCDEF，面积 之比为9:4，则相似比为 A 9 4 B 4 9 C 3 2 D 81 16 4【河南省许昌市襄城县 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系 中，已知点3,6A ，9, 3B ，以原点O为位似中心，相似比为 1 3 ，把ABO缩小，则点 A的对应点A的坐标是 A(
17、) 1,2- B9,18 C9,18或9, 18 D( ) 1,2-或1, 2 5如图，ABC 中，DFBE，AD、BE 相交于点 G，下列结论错误的是 A AEAG AFAD B CECB CFCD C AECF AFCE D GEAG DFAD 6如图，直角坐标系中，线段 AB 两端点坐标分别为 A(4，2)、B(8，0)，以原点 O 为位似中心，将 线段 AB 缩小后得到对应线段 A1B1，若 B1的坐标为(4，0)，则 A1的坐标为 A(2，1) B(2，1) C(1，2) D(4，2) 11 7在比例尺为 1：6000000 的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为 3.7 厘米，则海
18、口与三亚的 实际距离约为_千米 8如图，在ABC 中，ABAC，D，E 分别为边 AB，AC 上的点.AC=3AD，AB=3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件:_，可以使得FDB 与ADE 相似(只需写出一个) 9【河北省唐山市滦州市 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】如图将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处， （1）求证：AMEBEC （2）若EMCAME，求 AB 与 BC 的数量关系 10【湖南省邵阳市双清区 20192020 学年九年级上学期期末数学试题】如图，四边形 ABCD 中， AC 平分DAB，ADC=ACB=90
19、，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2=ABAD （2）求证：CEAD； （3）若 AD=4，AB=6，求 AF 的值 11作四边形，使它和已知的四边形位似比等于 12，位似中心为 O 使两个图形在点 O 同侧 （不 12 写作法） 12如图，菱形 ABCD 中，BAD=60 ，点 E 在边 AD 上，连接 BE，在 BE 上取点 F，连接 AF 并 延长交 BD 于 H，且AFE=60 ，过 C 作 CGBD，直线 CG、AF 交于 G （1）求证：FAE=ABE； （2）求证：AH=BE； （3）若 AE=3，BH=5，求线段 FG 的长 13 1（2019雅安）若3 4ab ，且
20、14a b ，则2ab的值是 A4 B2 C20 D14 2 （2019沈阳） 已知ABCABC， AD 和 AD是它们的对应中线， 若 AD=10， AD=6， 则ABC 与ABC的周长比是 A35 B925 C53 D259 3（2019安徽）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=6，BC=12，点 D 在边 BC 上，点 E 在线 段 AD 上，EFAC 于点 F，EGEF 交 AB 于点 G若 EF=EG，则 CD 的长为 A3.6 B4 C4.8 D5 4（2019杭州）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，DEBC，M 为 BC 边上一点 （不与点
21、B，C 重合），连接 AM 交 DE 于点 N，则 A ADAN ANAE B BDMN MNCE C DNNE BMMC D DNNE MCBM 5（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规 则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形 与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似 14 A处 B处 C处 D处 6（2019巴中）如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 13DEAD ，连接 EF 交 DC 于点 G，则: DEGCFG SS = A23 B32 C94 D49 7
22、（2019贵港） 如图， 在ABC中， 点D，E分别在AB，AC边上，DEBC，ACDB， 若2ADBD，6BC ，则线段CD的长为 A2 3 B3 2 C2 6 D5 8（2019凉山州）如图，在ABC 中，D 在 AC 边上，ADDC=12，O 是 BD 的中点，连接 AO 并延长交 BC 于 E，则 BEEC= A12 B13 C14 D23 9（2019常德）如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三 15 角形面积为 1，ABC 的面积为 42，则四边形 DBCE 的面积是 A20 B22 C24 D26 10（2019玉林）如图，ABEFDC，AD
23、BC，EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有 A3 对 B5 对 C6 对 D8 对 11 （2019淄博） 如图， 在ABC 中， AC=2， BC=4， D 为 BC 边上的一点， 且CAD=B 若ADC 的面积为 a，则ABD 的面积为 A2a B 5 2 a C3a D 7 2 a 12（2019邵阳）如图，以点 O 为位似中心，把ABC 放大为原图形的 2 倍得到ABC，以下说 法中错误的是 AABCABC B点 C、点 O、点 C三点在同一直线上 CAOAA=12 DABAB 13（2019永州）如图，已知点 F 是ABC 的重心，连接 BF 并延长，交 AC 于点 E，连
24、接 CF 并 16 延长，交 AB 于点 D，过点 F 作 FGBC，交 AC 于点 G设三角形 EFG，四边形 FBCG 的面 积分别为 S1，S2，则 S1：S2=_ 14（2019台州）如图，直线 123 lll ，A，B，C分别为直线 1 l， 2 l， 3 l上的动点，连接AB， BC，AC，线段AC交直线 2 l于点D设直线 1 l， 2 l之间的距离为m，直线 2 l， 3 l之间的距 离为n，若90ABC，4BD ，且 3 2 m n ，则mn的最大值为_ 15（2019辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BOCO，分别在x轴，y轴上，A 点的坐标为( 8 6) ，点
25、P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足 PBE CBO， 当APC是等腰三角形时，P点坐标为_ 16（2019广东）如图，在ABC中，点D是边AB上的一点 （1）请用尺规作图法，在ABC内，求作ADE，使ADEB，DE交AC于E；（不 要求写作法，保留作图痕迹） 17 （2）在（1）的条件下，若2 AD DB ，求 AE EC 的值 17 （2019张家界） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 连接对角线 AC， 延长 AB 至点 E， 使B EA B， 连接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G （1）求证：BFCF； （2）若6BC ，4DG，求 FG 的长 18（2019菏泽
26、） 如图，ABC 和 ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BACDAE （1） 如图 1， 连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F， 交CD于点P， 求证：BPCD； （2）如图 2，把 ADE 绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的 延长线交BE于点P，若 6 2BC ，3AD，求PDE的面积 18 19 （2019凉山州） 如图， ABD=BCD=90 ， DB 平分ADC， 过点 B 作 BMCD 交 AD 于 M 连 接 CM 交 DB 于 N （1）求证：BD2=ADCD； （2）若 CD=6，AD=8，求 MN 的长 19 1【答案】C 【解析】A、当
27、 a=10，b=4 时，a：b=5：2，但是 a+b=14，故本选项错误； B、由 a：b=5：2，得 2a=5b，故本选项错误； C、由 a：b=5：2，得 ab b = 7 2 ，故本选项正确； D、由 a：b=5：2，得 5 2 a b = 5 2 ，故本选项错误 故选 C 2【答案】D 【解析】如图，AD=1，BD=3， 1 4 AD AB ，当 1 4 AE AC 时， ADAE ABAC ，DAE=BAC， ADEABC， ADE=B， DEBC， 根据选项 A、 B、 C 的条件都不能推出 DEBC， 故选 D 3【答案】48 【解析】两个相似三角形的面积比为9:16，两个相似三
28、角形的相似比为3:4， 两个相似三角形的周长也比为3:4，较大的三角形的周长为64cm， 较小的三角形的周长为 64 348 4 cm ，故答案为：48 【名师点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键 4【解析】BD 平分ABC， DBECBD， 2 BDBC BE， BCBD BDBE ， BCDBDE. 【名师点睛】本题考查相似三角形的判定，如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相对应的 夹角相等，那么这两个三角形相似；正确找出对应边和对应角是解题关键. 变式拓展变式拓展 20 5【答案】C 【解析】设 A4 纸的高度为 xcm，则对折后的矩形的高度为 2 x
29、， 对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似， 21 2 x 21 x ，解得 x=21 229.7（cm）， 即 A4 纸的高度约为 29.7cm故选 C 6【解析】矩形 ABFE矩形 DEFC，且相似比为 1：2， AB DE = AE DC = 1 2 ， 四边形 ABCD 为矩形，CD=AB=4， 4 DE = 4 AE = 1 2 ，DE=8，AE=2， AD=AE+DE=2+8=10 7【答案】6,2 【解析】以原点为位似中心线段CD与线段AB是位似图形，2,3C的对应点是4,6A， 线段CD与线段AB的位似比是 1 2 ， 点3,1D的对应点B的坐标为： 6,2 故答案是：6,2
30、【名师点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标， 根据位似图形的性质，得到位似比，是解题的关键 8【解析】如图所示：延长 AB、AC 到 B1、C1，使 AB1=3AB，AC1=3AC，连接 B1C1， AB1C1，即为所求， AB：AB1=1：3， 1 1 :1:9 ABCAB C SS. 21 【名师点睛】本题考查位似图形及相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平 方是解题关键. 1【答案】D 【解析】由 3 2 a b 得，2a=3b， A、 3 2 b a ，2b=3a，故本选项不符合题意； B、 23 ab ，3a=2b，故本选项不符
31、合题意； C、32ab，故本选项不符合题意； D、23ab，故本选项符合题意； 故选 D 【名师点睛】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果 ac bd ，那么 ad=bc 2【答案】B 【解析】DEBC， ADAE ABAC ， 24 3AC ，AC=6，故选 B 【名师点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，难度系数不高，解题关键是找准对应线段. 3【答案】C 【解析】两个相似三角形的面积比为 9：4，它们的相似比为 3：2故选 C 【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方 4【答案】D 【解析】以原点 O 为位似中心，相似比为
32、1 3 ，把ABO 缩小， 点 A 的对应点 A的坐标是（31 3 ，61 3 ）或3 （ 1 3 ），6 （ 1 3 ）， 即点 A的坐标为（1，2）或（1，2）故选 D 【名师点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 考点冲关考点冲关 22 5【答案】C 【解析】DFBE，AEAF=AGAD，CECF=CBCD，GEDF=AGAD故 A、B、 D 正确故选 C 6【答案】B 【解析】线段 AB 两端点坐标分别为 A（4，2）、B（8，0），以原点 O 为位似中心，将线段 AB 缩小后得到对应线段
33、 A1B1，若 B1的坐标为（4，0），对应点在原点的两侧，且位似比为 2：1，则 A1的坐标为：（2，1）故选 B 7【答案】222 【解析】比例尺为 1:6000000，图上距离 3.7 厘米则实际距离为 3.76000000cm222km，故 答案为 222 8【答案】答案不唯一，如A=BDF 【解析】因为3ACAD，3ABAE，AA ，所以 ADEACB ，欲使 FDB 与 ADE 相似，只需要 FDB 与ACB相似即可，则可以添加的条件有：A=BDF，或者 C=BDF 等等故答案为：答案不唯一，如A=BDF 9【解析】（1）矩形 ABCD，A=B=D=90 ， 将矩形 ABCD 沿
34、CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处， MEC=D=90 ，AEM+BEC=90 ， AEM+AME=90 ，AME=EBC， 又A=B，AMEBEC （2）EMCAME，AEM=ECM， AMEBEC，AEM=BCE，BCE=ECM， 由折叠可知：ECMDCM，DCM=ECM，DC=EC， 即BCE=ECM=DCM=30 ， 在 RtBCE 中，cos BE BCE CE ， 3 cos30 2 BE CE =， DC=EC=AB， 2 3 3 AB BC . 23 【名师点睛】 此题考查矩形的性质， 相似三角形的判定及性质， 利用 30角的余弦值求边长的比， 利用三角形相似及
35、折叠得到BCE=ECM=DCM=30 是解题的关键. 10【解析】（1）AC 平分BAD，CAD=CAB， ADC=ACB=90 ，ADCACB， ADAC ACAB ，AC2=ADAB； （2）在 RtABC 中，E 为 AB 的中点， CE=AE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， ACE=CAE， AC 平分BAD， CAD=CAE， CAD=ACE，CEAE； （3）由（1）知，AC2=ADAB， AD=4，AB=6，AC2=4 6=24，AC=2 6， 在 RtABC 中，E 为 AB 的中点，CE= 1 2 AB=3， 由（2）知，CEAD，CFEAFD， CFCE AFAD
36、， 2 6AF3 AF4 ，AF= 8 6 7 【名师点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、直角三角形的性质和平行线的判定，掌 握相似三角形的判定及性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和平行线的判定是解决此 题的关键 11【解析】如图所示，四边形 ABCD即为所求 24 12【解析】（1）AFE=BAE=60 ，AEF=BEA， AEFBEA，FAE=ABE； （2）四边形 ABCD 是菱形，且BAD=60 ，AB=AD、BAE=ADB=60 ， 在ABE 和DAH 中， ABEDAH ABDA BAEADB ，ABEDAH(ASA)， AH=BE； （3）如图，连接 AC 交 BD
37、于点 P，则 ACBD，且 AC 平分 BD， ABEDAH，AE=DH=3，则 BD=BH+DH=8， BP=PD=4，PH=BHBP=1， AB=BD=8，AP= 22 ABBP =4 3，则 AC=2AP=83， CGBD，且 P 为 AC 中点，ACG=90 ，CG=2PH=2， AG= 22 ACCG =14，BE=AH= 1 2 AG=7， AEFBEA， AF AB = AE BE ，即 8 AF = 3 7 ，解得 AF= 24 7 ， FG=AGAF=14 24 7 = 74 7 25 1【答案】A 【解析】由 ab=34 知34ba，所以 4 3 a b 所以由14a b
38、得到： 4 14 3 a a， 解得6a所以8b 所以22 6 84a b 故选 A 【名师点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积若 ac bd ，则adbc 2【答案】C 【解析】ABCABC，AD 和 AD是它们的对应中线，AD=10，AD=6， ABC 与ABC的周长比=ADAD=106=53故选 C 【名师点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学 知识解决问题 3【答案】B 【解析】如图，作 DHEG 交 AB 于点 H，则AEGADH， AEEG ADDH ，EFAC，C=90 ，EFA=C=90 ，EFCD， AEFADC， AEEF A
39、DCD ， EGEF DHCD ， EG=EF，DH=CD，设 DH=x，则 CD=x，BC=12，AC=6，BD=12-x， EFAC，EFEG，DHEG，EGACDH，BDHBCA， DHBD ACBC ，即 12 612 xx ，解得，x=4，CD=4，故选 B 4【答案】C 【解析】DNBM，ADNABM， DNAN BMAM ， 直通中考直通中考 26 NEMC，ANEAMC， NEAN MCAM ， DNNE BMMC 故选 C 5【答案】B 【解析】 帅”、 “相”、 “兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为 2、 2 5、 42， “车”、“炮”之间的距离为 1，“炮”
40、之间的距离为 5，“车”之间的距离为 22， 52 21 22 54 2 ，马应该落在的位置，故选 B 6【答案】D 【解析】设DEx，13DEAD ，3ADx， 四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，3BCADx， 点 F 是 BC 的中点， 13 22 CFBCx， ADBC，DEGCFG， 22 4 ()() 3 9 2 DEG CFG SDEx SCF x ，故选 D 【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示 出 CF 是解本题的关键 7【答案】C 【解析】设2ADx，BDx，3ABx， DEBC，ADEABC， DEADAE BCABA
41、C ， 2 63 DEx x ， 4DE ， 2 3 AE AC ， ACDB，ADEB ，ADEACD， AA ，ADEACD， ADAEDE ACADCD ， 设2AEy，3ACy， 2 3 ADy yAD ， 6ADy， 24 6 y CDy ，2 6CD ， 27 故选 C 【名师点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于 中等题型 8【答案】B 【解析】如图，过 O 作 OGBC，交 AC 于 G， O 是 BD 的中点，G 是 DC 的中点 又 ADDC=12，AD=DG=GC，AGGC=21，AOOE=21，SAOB：SBOE=2， 设 SBO
42、E=S， SAOB=2S， 又 BO=OD， SAOD=2S， SABD=4S， ADDC=12， S BDC=2SABD=8S， S四边形CDOE=7S，SAEC=9S，SABE=3S， 31 93 ABE AEC SBES ECSS ，故选 B 9【答案】D 【解析】如图，根据题意得AFHADE， 22 39 ()( ) 416 AFH ADE SFH SDE ， 设 SAFH=9x，则 SADE=16x，16x-9x=7，解得 x=1，S ADE=16， 四边形 DBCE 的面积=42-16=26故选 D 10【答案】C 【解析】图中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA， ABEFD
43、C，ADBC，AEGADCCFGCBA， 共有 6 个组合分别为：AEGADC，AEGCFG，AEGCBA，ADCCFG， ADCCBA，CFGCBA，故选 C 11【答案】C 【解析】 CAD=B， ACD=BCA， ACDBCA， 2 () ACD BCA SAC SAB ， 即 1 4 B C A a S ， 解得，BCA 的面积为 4a，ABD 的面积为：4a-a=3a，故选 C 12【答案】C 【解析】以点 O 为位似中心，把ABC 放大为原图形的 2 倍得到ABC， 28 ABCABC，点 C、点 O、点 C三点在同一直线上，ABAB， AOOA=12，故选项 C 错误，符合题意故
44、选 C 13【答案】 1 8 【解析】点 F 是ABC 的重心，BF=2EF，BE=3EF， FGBC，EFGEBC， 1 3 EF BE ， 1 EBC S S （ 1 3 ）2 1 9 ， S1S2，故答案为： 1 8 【名师点睛】本题考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形的重 心定理，证明三角形相似是解题的关键 14【答案】 25 3 【解析】 如图， 过B作 1 BEl于E， 延长EB交 3 l于F， 过A作 2 ANl于N， 过C作 2 CMl 于M， 设AEx，CFy，BNx，BMy， 4BD ，4DMy，4DNx ， 90ABCAEBBFCCMDAND，
45、90EABABEABECBF， EABCBF，ABEBFC， AEBE BFCF ，即 xm ny ，xy mn ， ADNCDM，CMDAND， ANDN CMDM ，即 42 43 mx ny ， 29 3 10 2 yx ， 2 3 m n ， 3 2 nm， 5 () 2 mnm 最大 ， 当m最大时， 5 () 2 mnm 最大 ， 22 333 (10)10 222 mnxyxxxxm ， 当 1010 3 3 2 () 2 x 时， 2 503 32 mnm 最大 ， 10 3 m 最大 ， mn的最大值为 51025 233 故答案为： 25 3 【名师点睛】此题主要考查相似三
46、角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线 构造相似三角形进行求解 15【答案】 32 6 () 55 ，或( 4 3) ， 【解析】点P在矩形ABOC的内部，且APC是等腰三角形， P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上； 当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是 E，如图 1 所示， PEBO，COBO， PECO， PBE CBO， 四边形ABOC是矩形，A点的坐标为( 8 6) ， 点P横坐标为4，6OC ，8BO，4BE ， PBE CBO， 30 PEBE COBO ，即 4 68 PE ， 解得：3PE ， 点( 4 3)P ， P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P， 过点P作PEBO于E，如图 2 所示， COBO，PECO， PBE CBO， 四边形ABOC是矩形，A点的坐标为( 8 6) ， 8ACBO，8CP，6ABOC， 2222 8610BCBOOC ，2BP ， PBE CBO， PEBEBP COBOBC
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