1、 1 考点 16 多边形与平行四边形 一、一、多边形多边形 1多边形的多边形的相关相关概念概念 （1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 （2）对角线：从 n 边形的一个顶点可以引(n3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n2)个三角 形；n 边形对角线条数为 3 2 n n 2多边形的内角和多边形的内角和、外角外角和和 （1）内角和：n 边形内角和公式为(n2) 180 ； （2）外角和：任意多边形的外角和为 360 . 3正多边形正多边形 （1）定义：各边相等，各角也相等的多边形. （2）正 n 边形的每个内角为 2180n n ，每一个外角为 360 n
2、 （3）正 n 边形有 n 条对称轴. （4）对于正 n 边形，当 n 为奇数时，是轴对称图形；当 n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称 图形 二、平行四边形的性质二、平行四边形的性质 1平行四边形的定义平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示. 2平行四边形的性质平行四边形的性质 （1）边：两组对边分别平行且相等 （2）角：对角相等，邻角互补 （3）对角线：互相平分 （4）对称性：中心对称但不是轴对称 3注意：注意： 利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法： （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半 2 （2）平行四边形中有相等的边、角
3、和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题 （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长 4平行四边形中的几个解题模型平行四边形中的几个解题模型 （1）如图，AE 平分BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到ABE 为等腰三角形，即 AB=BE （2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图中ABDCDB； 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图中AODCOB,AOBCOD； 根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心 O 的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三 角形全等，如图AOECOF.图中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半 （3）如图
4、，已知点 E 为 AD 上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得 SBEC=SABE+SCDE. （4）如图，根据平行四边形的面积的求法，可得 AEBC=AFCD 三三、平行四边形的判定平行四边形的判定 （1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形. （5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 考向一 多边形 多边形内角和：n 边形内角和公式为(n2) 180 ；多边形外角和：任意多边形的外角和为 360 ；
5、 正多边形是各边相等，各角也相等的多边形 典例典例 1 若一个多边形的内角和等于 720 ，则这个多边形的边数是 A5 B6 C7 D8 3 【答案】B 【解析】180 （n2）=720 ，解得 n=6故选 B 典例典例 2 如果一个多边形的每一个外角都是 60 ，那么这个多边形是 A四边形 B五边形 C六边形 D八边形 【答案】C 【解析】多边形外角和为 360 ，此多边形外角个数为：360 60 =6，所以此多边形是六边形. 故选 C 【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到. 1一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 2520 ，则原多边形的边数是
6、A17 B16 C15 D16 或 15 或 17 2如果一个多边形的每一个内角都是 108 ，那么这个多边形是 A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 考向二 平行四边形的性质 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分. 平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据 典例典例 3 在ABCD 中，ABCD 的值可能是 A3434 B5225 C2345 D3344 【答案】A 【解析】四边形 ABCD 是平行四边形，A=C，B=D，在ABCD 中，ABCD 的值可能是：3434故选 A 【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键
7、 4 3平行四边形的周长为 24，相邻两边的差为 2，则平行四边形的各边长为 A4，4，8，8 B5，5，7，7 C5.5，5.5，6.5，6.5 D3，3，9，9 考向三 平行四边形的判定 平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定对于平行四边形的判定方法， 应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面 典例典例 4 如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线的交点是 O，直线 EF 过 O 点，且平行于 AD，直线 GH 过 O 点且平行于 AB，则图中平行四边形共有 A15 个 B16 个 C17 个 D18 个 【答案】D 【解析】 平
8、行四边形有：AEOG，AEFD，ABHG，GOFD，GHCD，EBHO，EBCF，OHCF， ABCD，EHFG，AEHO， AOFG，EODG，BHFO， HCOE，OHFD，OCFG， BOGE 共 18 个 故选 D 4小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条 AC，BD 的中点重叠， 并用钉子固定，则四边形 ABCD 就是平行四边形，这种方法的依据是 5 A对角线互相平分的四边形是平行四边形 B两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D两组对边分别平行的四边形是平行四边形 1下面四个图形中，是多边形的是 2一个正多边形
9、的内角和为 900 ，那么从一点引对角线的条数是 A3 B4 C5 D6 3n 边形的边数增加一倍,它的内角和增加 A180 B360 C(n2) 180 Dn180 4平行四边形一定具有的性质是 A四边都相等 B对角相等 C对角线相等 D是轴对称图形 5在平行四边形 ABCD 中，A 的平分线交 DC 于 E，若DEA=30 ，则B= A100 B120 C135 D150 6如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=2AD，E、F、G 分别是 OC、OD、AB 的中点，下列结论：BEAC；四边形 BEFG 是平行四边形；EFGGBE；EG=EF，其中 正确的
10、个数是 A1 B2 C3 D4 6 7如图，在ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AB=10 cm，AD=8 cm，ACBC，则 OB=_cm 8一个平行四边形两对角之和为 116 ，则相邻的两内角分别是_和_ 9如图，某人从点 A 出发，前进 5 m 后向右转 60 ，再前进 5 m 后又向右转 60 ，这样一直走下去，当他 第一次回到出发点 A 时，共走了_m 10如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A处，1248 ，则A 的度数 为_ 11如图，在平行四边形 ABCD 中，若 AB=6，AD=10，ABC 的平分线交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于 点 F，
11、求 DF 的长 7 12如图，在ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连接 AE，F 为 CD 边上一点，且满足DFA=2BAE （1）若D=105 ，DAF=35 求FAE 的度数； （2）求证：AF=CD+CF 13如图，在ABC 中，ACB=90 ，D 为 AB 边上一点，连接 CD，E 为 CD 的中点，连接 BE 并延长至点 F，使得 EF=EB，连接 DF 交 AC 于点 G，连接 CF （1）求证：四边形 DBCF 是平行四边形； （2）若A=30 ，BC=4，CF=6，求 CD 的长 8 14如图，分别以 RtABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边ACD 及等边ABE
12、已知BAC=30 ，EF AB，垂足为 F，连接 DF （1）试说明 AC=EF； （2）求证：四边形 ADFE 是平行四边形 1（2019福建）已知正多边形的一个外角为 36 ，则该正多边形的边数为 A12 B10 C8 D6 2（2019湘西州）已知一个多边形的内角和是 1080，则这个多边形是 A五边形 B六边形 C七边形 D八边形 3（2019咸宁）若正多边形的内角和是 540 ，则该正多边形的一个外角为 A45 B60 C72 D90 4（2019云南）一个十二边形的内角和等于 A2160 B2080 C1980 D1800 9 5（2019庆阳）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内
13、角和是 A180 B360 C540 D720 6（2019广州）如图，ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确的是 AEH=HG B四边形 EFGH 是平行四边形 CACBD DABO 的面积是EFO 的面积的 2 倍 7 （2019海南） 如图， 在ABCD 中， 将ADC 沿 AC 折叠后， 点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处 若 B=60 ，AB=3，则ADE 的周长为 A12 B15 C18 D21 8（2019池河）如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点
14、，点 F 在 DE 延长线上，添加一个条件 使四边形 ADFC 为平行四边形，则这个条件是 AB=F BB=BCF CAC=CF DAD=CF 10 9（2019威海）如图，E 是ABCD 边 AD 延长线上一点，连接 BE，CE，BD，BE 交 CD 于点 F添加以 下条件，不能判定四边形 BCED 为平行四边形的是 AABD=DCE BDF=CF CAEB=BCD DAEC=CBD 10（2019广东）一个多边形的内角和是 1080 ，这个多边形的边数是_ 11（2019新疆）五边形的内角和为_度 12 （2019武汉） 如图， 在ABCD 中， E.F 是对角线 AC 上两点， AE=E
15、F=CD， ADF=90， BCD=63， 则ADE 的大小为_ 13（2019达州）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，BEO 的周长是 8， 则BCD 的周长为_ 14 （2019安徽）如图，点 E 在YABCD 内部，AFBE，DFCE. （1）求证：BCEADF； （2）设YABCD 的面积为 S，四边形 AEDF 的面积为 T，求 S T 的值. 11 1【答案】D 【解析】多边形的内角和可以表示成2 180n(3n且 n 是整数)，一个多边形截去一个角后，多边 形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据2 1802520 ,n解得
16、：n=16， 则多边形的边数是 15，16，17故选 D 2【答案】B 【解析】180108=72，多边形的边数是：360 72=5.则这个多边形是五边形故选 B 3【答案】B 【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半周长为 24，则两邻边的和为 12又 因为相邻的两边相差 2，则可计算出较长的一边长为 7，较短的一边长为 5故选 B 4【答案】A 【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.故选 A 1【答案】D 【解析】根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形,得：D 是 多边形故选 D 2【答案】B 【解析】设这个正多边形的边数是 n，则
17、（n2）180=900， 解得：n=7 则这个正多边形是正七边形 所以，从一点引对角线的条数是：73=4 故选 B 3【答案】D 【解析】n 边形的内角和是（n2）180，2n 边形的内角和是（2n2）180， 考点冲关考点冲关 变式训练变式训练 12 将 n 边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n2）180（n2）180= n 180 ，故选 D 4【答案】B 【解析】A、平行四边形的四条边不相等，故此选项错误； B、平行四边形的对角相等，故此选项正确； C、平行四边形的对角线不相等，故此选项错误； D、平行四边形不是轴对称图形，故此选项错误， 故选 B 5【答案】B 【解析】根据平行
18、四边形的性质邻角互补来解答A 的平分线交 DC 于 E，若DEA=30 ，所以A 的度数应为 60 A 与B 互补，所以B=120 故选 B 6【答案】D 【解析】四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，AD=BC，BO=DO= 1 2 BD，AO=CO，ABCD， BD=2AD， BO=DO=AD=BC，且点 E 是 OC 中点， BEAC， 正确； E、F、分别是 OC、OD 中点， EFDC，CD=2EF， G 是 AB 中点，BEAC， AB=2BG=2GE，且 CD=AB，CDAB， BG=EF=GE，EFCDAB， 四边形 BGFE 是平行四边形， 正确； 四边形 BGFE
19、是平行四边形， BG=EF，GF=BE，且 GE=GE， BGEFEG， 正确， 故选 D 13 7【答案】73 【解析】四边形 ABCD 是平行四边形， 1 8cm, 2 BCADOAOCAC， ACBC， 90 ,ACB 2222 1086,ACABBC 3,OC 2222 8373.OBBCOC 故答案为: 73 8【答案】58 ；122 【解析】如图所示： 四边形 ABCD 是平行四边形， 180ACAB ， 116AC ， 5818058122AB ，； 故答案为：58 ；122 9【答案】30 【解析】依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为 n， 则 60n=3
20、60，解得 n=6， 他第一次回到出发点 A 时一共走了：5 6=30（m）， 故答案为：30 10【答案】108 【解析】ADBC， ADB=DBG， 由折叠可得ADB=BDG， DBG=BDG， 又1=BDG+DBG=48 ， ADB=BDG=24 ， 又2=48 ， ABD 中，A=108 ， A=A=108 ， 14 故答案为：108 11【解析】如图，四边形 ABCD 为平行四边形， AB=DC=6，AD=BC=10，ABDC ABDC，1=3. 又BF 平分ABC，1=2，2=3， BC=CF=10，DF=CFDC=106=4 12【解析】10535DDAF， 18040DFADD
21、AF （三角形内角和定理） 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等） 40DFAFAB（两直线平行，内错角相等）； 2DFABAE （已知）， 2FABBAE （等量代换） 即2FAEBAEBAE FAEBAE； 240FAE ， 20FAE； （2）在 AF 上截取AGAB，连接EGCG， FAEBAEAEAE， AEGAEB， EGBEBAGE ，； 又E 为 BC 中点， CEBE EGECEGCECG，； ABCD，180BBCD 15 又180AGEEGFAGEB， BCFEGF； 又EGCECG， FGCFCGFGFC，； 又AGAB AB
22、CD， AFAGGFABFCCD CF 13【解析】（1）E 为 CD 的中点， CE=DE，又 EF=EB， 四边形 DBCF 是平行四边形 （2）四边形 DBCF 是平行四边形，CFAB，DFBC， FCG=A=30 ，CGF=CGD=ACB=90 ， 在 RtFCG 中，CF=6， FG= 1 2 CF=3，CG=3 3， DF=BC=4， DG=1， 在 RtDCG 中，CD=22 2 7CGDG 14【解析】（1）RtABC 中，BAC=30 ，AB=2BC， 又ABE 是等边三角形，EFAB，AB=2AF，AF=BC， 在 RtAFE 和 RtBCA 中， AF=BC，AE=BA，
23、RtAFERtBCA（HL）， AC=EF； （2）ACD 是等边三角形，DAC=60 ，AC=AD， DAB=DAC+BAC=90 又EFAB，EFAD， AC=EF，AC=AD，EF=AD， 四边形 ADFE 是平行四边形 1【答案】B 直通中考直通中考 16 【解析】360 36 =10，所以这个正多边形是正十边形故选 B 2【答案】D 【解析】设所求多边形边数为 n， 则（n2）180=1080， 解得 n=8 故选 D 3【答案】C 【解析】正多边形的内角和是 540 ， 多边形的边数为 540 180 +2=5， 多边形的外角和都是 360 ， 多边形的每个外角=3605=72 故
24、选 C 4【答案】D 【解析】多边形内角和公式为180)2(n，其中n为多边形的边的条数.十二边形内角和为 1800180)212( ，故选 D 5【答案】C 【解析】黑色正五边形的内角和为：（52） 180 =540 ， 故选 C 6【答案】B 【解析】E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，在ABCD 中，AB=2，AD=4， EH= 1 2 AD=2，HG= 11 22 CD AB=1，EHHG，故选项 A 错误； E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点， EH= 11 22 ADBCFG， 四边形 EFGH 是平行四边形，故选项 B 正确； 由题目中的条
25、件，无法判断 AC 和 BD 是否垂直，故选项 C 错误； 点 E、F 分别为 OA 和 OB 的中点， EF= 1 2 AB，EFAB，OEFOAB， 2 1 4 AEF OAB SEF SAB ， 17 即ABO 的面积是EFO 的面积的 4 倍，故选项 D 错误， 故选 B 7【答案】C 【解析】由折叠可得，ACD=ACE=90 ，BAC=90 ， 又B=60 ，ACB=30 ，BC=2AB=6，AD=6， 由折叠可得，E=D=B=60 ， DAE=60 ，ADE 是等边三角形， ADE 的周长为 6 3=18， 故选 C 8【答案】B 【解析】在ABC 中，D，E 分别是 AB，BC
26、的中点， DE 是ABC 的中位线，DE 1 2 AC A根据B=F 不能判定 ACDF，即不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错误 B根据B=BCF 可以判定 CFAB，即 CFAD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 得到四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项正确 C根据 AC=CF 不能判定 ACDF，即不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错误 D根据 AD=CF，FDAC 不能判定四边形 ADFC 为平行四边形，故本选项错误 故选 B 9【答案】C 【解析】四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABCD， DEBC，ABD=CDB， ABD=DCE
27、，DCE=CDB， BDCE，BCED 为平行四边形，故 A 正确； DEBC，DEF=CBF， 在DEF 与CBF 中， DEFCBF DFECFB DFCF ， DEFCBF（AAS），EF=BF， DF=CF， 四边形 BCED 为平行四边形，故 B 正确； 18 AEBC，AEB=CBF， AEB=BCD，CBF=BCD，CF=BF， 同理，EF=DF， 不能判定四边形 BCED 为平行四边形；故 C 错误； AEBC，DEC+BCE=EDB+DBC=180， AEC=CBD，BDE=BCE， 四边形 BCED 为平行四边形，故 D 正确， 故选 C 10【答案】8 【解析】设多边形边
28、数有 x 条， 由题意得：180 （x2）=1080 ， 解得 x=8，故答案为：8 11【答案】540 【解析】五边形的内角和为（52）180 =540 故答案为：540 12【答案】21 【解析】设ADE=x， AE=EF，ADF=90， DAE=ADE=x，DE= 1 2 AF=AE=EF， AE=EF=CD，DE=CD， DCE=DEC=2x， 四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC， DAE=BCA=x， DCE=BCDBCA=63x， 2x=63x，解得 x=21，即ADE=21,故答案为：21 13【答案】16 【解析】ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， BO=DO
29、= 1 2 BD，BD=2OB，O 为 BD 中点， 点 E 是 AB 的中点，AB=2BE，BC=2OE， 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，CD=2BE 19 BEO 的周长为 8，OB+OE+BE=8， BD+BC+CD=2OB+2OE+2BE=2（OB+OE+BE）=16， BCD 的周长是 16，故答案为 16 14 【解析】 （1）四边形 ABCD 为平行四边形，ADBC， 180BADABC， 又AFBE， 180BAFABE， BADABEEBCFADBADABE， EBCFAD， 同理可得：ECBFDA， 在BCE和 ADF 中， EBCFAD BCAD ECBFDA ， BCEADF （2）连接 EF， BCEADF，,BEAF CEDF， 又,AFBEDFCE， 四边形 ABEF，四边形 CDFE 为平行四边形， , ABEAFECDEFED SSSS， AFEFEDABECDEAEDF SSSSTS 四边形 ， 设点 E 到 AB 的距离为 h1，到 CD 的距离为 h2，线段 AB 到 CD 的距离为 h， 则 h=h1+h2， 1212 111 222 TAB hCD hABhh 11 22 AB hS，即 S T =2.
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