1、 1 五、抛物线与平行四边形五、抛物线与平行四边形 15如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+bx+c 与 轴相交于 A、B 两点，与 轴相交于点 C， OA=1，OC=3，连接 BC （1）求 b 的值； （2）点 D 是直线 BC 上方抛物线一动点（点 B、C 除外） ，当BCD 的面积取得最大值时，在 轴上是 否存在一点 P，使得|PBPD|最大，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，若在平面上存在点 Q，使得以点 B、C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形， 请直接写出点 Q 坐标 【答案】 （1）b=2，c=3； （2）P（0，） ； （3
2、） （- ，） ， （ ，- ） ， （ ， ） ， 2 直线 BC 的解析式为：y=-x+3， 如图 1，作直线 lBC， 设直线 l 的解析式为：y=-x+b， 由题意可知：BCD 中边 BC 长一定，当BCD 的面积取得最大值时，即以 BC 为底边，其高最大， 也就是直线 l 与抛物线有一个交点时，三角形高最大，BCD 的面积最大， 则， 3 （3）如图 4，分三种情况： 4 当 CD 为平行四边形的对角线时， 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式， 平行四边形的判定，以及坐标与图形性质，确定点 D、P、B 共线是解决第（2）
3、小题的关键，画出以点 B、 C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形是解决第（3）小题的关键 16如图，抛物线经过两点，与 x 轴交于另一点 B点 P 是抛物线上的 动点。 （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点 P，使得BCP 是以 BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 5 的坐标；若不存在，说明理由； （3）当 P 运动到第一象限时，过 P 作直线 PM 平行 y 轴，交直线 BC 于点 M。 求线段 PM 长度的最大值 D 为平面内任意一点，当线段 PM 最大时，是否存在以 C、P、M、D 为顶点的平行四边形。若存在， 直接写出所有符合条件的点 D 坐标. 【答
4、案】(1) ;(2)见解析;(3) 4; D1,D2 ,D3. （3）求出直线 BC 解析式, 根据PM 平行 y 轴用二次函数表示 P M 的长度从而表示出 PM 的最大值; 分 3 种情况:CM 为对角线;MP 为对角线;CP 为对角线. 解: （1）将两点代入到中得， 抛物线的解析式为. （2） 存在 6 第二种情况，当以 B 为直角顶点时， 过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H.CBA=45 ，CBP=90 ， OBP =45 HPB=45 ， PH=HB 即：， 解得：（舍去） ， 则 P2的坐标是 综上所述，P 的坐标是或 7 17已知，如图，抛物线 y=ax2+3ax+c（a0）
5、与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在点 B 左侧，点 B 的坐标为（1，0） 、C（0，3） 8 （1）求抛物线的解析式 （2）若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值 （3）若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以 A、C、E、P 为顶点且以 AC 为一边的平行四边 形？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y= x2+ x3（2）（3）P1（3，3）或 P2（，3）或 P3（，3） 解： （1）解：将点 B、C 的坐标代入抛物线的解析式得： ， 解得：a= ，c=3 抛物线的解析式为 y=
6、 x2+ x3. （2）解：令 y=0，则 x2+ x3=0，解得 x1=1，x2=4， A（4，0） 、B（1，0）. 令 x=0，则 y=3， C（0，3） ， SABC= 5 3= . 9 设 D（m， m 2+ m3） ， 过点 D 作 DEy 轴交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 y= x3，则 E（m， m3） ， DE= m3（ m2+ m3）= （m+2）2+3， 当 m=2 时，DE 有最大值为 3， 此时，SACD有最大值为 DE 4=2DE=6. 四边形 ABCD 的面积的最大值为 6+ = ， 10 18在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（4，0） ，B（0，4
7、） ，C（2，0）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值 （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=x 上的动点，是否存在以点 P、Q、B、O 为顶点的 四边形为平行四边形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y= x2+x4； （2）m=2 时，S 有最大值，S=4； （3）Q（4，4）或（2+2，22） 或（22，2+2）或（4，4） 【解析】 （1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式 11 （2）M 点
8、的横坐标为 m，且点 M 在这条抛物线上， M 点的坐标为： （m， m2+m4） ， S=SAOM+SOBMSAOB = 4 （ m2m+4）+ 4 （m） 4 4 =m22m+82m8 =m24m， =（m+2）2+4， 4m0， 当 m=2 时，S 有最大值为：S=4+8=4 答：m=2 时，S 有最大值，S=4 （3）设 P（x， x2+x4） 当 OB 为边时，根据平行四边形的性质知 PQOB，且 PQ=OB， Q 的横坐标等于 P 的横坐标， 又直线的解析式为 y=x， 则 Q（x，x） 由 PQ=OB，得|x（ x2+x4）|=4， 解得 x=0，4，2 2 x=0 不合题意，舍
9、去 12 如图，当 BO 为对角线时，知 A 与 P 应该重合，OP=4四边形 PBQO 为平行四边形则 BQ=OP=4，Q 横坐标为 4，代入 y=x 得出 Q 为（4，4） 由此可得 Q（4，4）或（2+2，22）或（22，2+2）或（4，4） 点睛：考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法 19如图，抛物线 y=ax2+bx 经过 A（1，0） ，B（5，0）两点 （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使得 PA+PC 的值最小时，求ABP 的面积； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成
10、的四边形为平 行四边形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y= x22x ； （2） ； （3）符合条件的点 N 的坐标为（4， ） 、 （2+， ）或（2 ， ） 13 种情况分别画出图形，从而得出答案 详解： （1）把 A（1，0） ，B（5，0）代入 y=ax2+bx ， 得到，解得：， 即抛物线的解析式为 y= x22x ； 六、抛物线与动点问题六、抛物线与动点问题 20如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =ax2+bx3（a0）与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（4，0） 两点，与 y 轴交于点 C点 P、Q 分别是 AB、BC 上的动点，当点
11、 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个 14 单位长度的速度向 B 点运动， 同时点 Q 从 B 点出发， 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动， 其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设 P、Q 同时运动的时间为 t 秒（0t2). （1）求抛物线的表达式； （2）设PBQ 的面积为 S ，当 t 为何值时，PBQ 的面积最大，最大面积是多少？ （3）当 t 为何值时，PBQ 是等腰三角形？ 【答案】（1） y= 3 8 x2 3 4 x3；（2） 当 t=1 时， S PBQ 最大= 9 10 .；（3） 当 t 的值是 3 2 秒或 30 23 秒
12、或 48 29 秒时,CPQ 为等腰三角形. (2)由题意可知：AP=3t，BQ=t. PB=63t. 由题意得,点 C 的坐标为(0,3). 在 RtBOC 中,BC= 22 345. 如图 1，过点 Q 作 QHAB 于点 H. 15 QHCO， BHQBOC HQBQ OCBC ,即 35 HQt HQ= 3 5 t. S PBQ = 1 2 PBHQ= 1 2 (63t) 3 5 t= 9 10 t2+ 9 5 t= 9 10 (t1)2+ 9 10 . 当 t=1 时，S PBQ 最大= 9 10 . （） 答：运动 1 秒使PBQ 的面积最大,最大面积是 9 10 ； 16 cos
13、HBQ= BDOB BPBC 1 4 2 635 t t ,解得 t= 48 29 当 t= 48 29 秒时，CPQ 是等腰三角形， 即当CPQ 为等腰三角形时,t 的值是 3 2 秒或 30 23 秒或 48 29 秒. 21如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 点 C，且 OA=2，OB=8，OC=6 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时，点 N 从 B 出发， 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停
14、止运动， 当MBN 存在时，求运动多少秒使MBN 的面积最大，最大面积是多少？ （3）在（2）的条件下，MBN 面积最大时，在 BC 上方的抛物线上是否存在点 P，使BPC 的面积是 MBN 面积的 9 倍？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）； （2）运动 秒使MBN 的面积最大，最大面积是 ； （3）P（3，）或 （5，） 17 （2） 设运动时间为 t 秒， 则 AM=3t， BN=t， MB=103t 由题意得， 点 C 的坐标为 （0， 6） 在 RtBOC 中，BC=10如图，过点 N 作 NHAB 于点 H，NHCO，BHNBOC，即 ，HN= t，S
15、MBN= MBHN= （103t） t=（t ）2+ ，当MBN 存在时， 0t2，当 t= 时，SMBN最大= 答：运动 秒使MBN 的面积最大，最大面积是 ； （3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+c（k0） 把 B（8，0） ，C（0，6）代入，得：，解得：，直线 BC 的解析式为 点 P 在抛物线上，设点 P 的坐标为（m，） ，如图，过点 P 作 PEy 轴，交 BC 于 点 E，则 E 点的坐标为（m，） 18 22如图，已知抛物线与 y 轴交于点，与 x 轴交于点，点 P 是线段 AB 上方 抛物线上的一个动点 求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； 当点 P 移动到抛物线的什么
16、位置时，使得，求出此时点 P 的坐标； 当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点 P 的横坐标以每秒 1 个单 位长度的速度变动；与此同时点 M 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自 终点时停止当两个动点移动 t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时，S 有 最大值，最大值是多少？ 19 【答案】 （1）抛物线的表达式为，抛物线的顶点坐标为； （2）P 点坐标为 ； （3）当时，S 有最大值，最大值为 24 解：根据题意，把，代入抛物线解析式可得，解得， 抛物线的表达式
17、为， ， 抛物线的顶点坐标为； 如图 1，过 P 作轴于点 C， ， ， 当时， ，即， 设，则， ， 20 把 P 点坐标代入抛物线表达式可得，解得或， 经检验，与点 A 重合，不合题意，舍去， 所求的 P 点坐标为； 七、抛七、抛物线与直物线与直线、线段的交点问题线、线段的交点问题 23在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx24mx+4m+4（m0）的顶点为 PP，M 两点关于原点 O 成中心对称 （1）求点 P，M 的坐标； （2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿 x 轴翻折，翻折后的图象在 0 x5 的部分记为图象 H，点 N 为抛 物
18、线对称轴上的一个动点，经过 M，N 的直线与图象 H 有两个公共点，结合图象求出点 N 的纵坐标 n 的取 21 值范围 【答案】 （1）点 P（2，4） ，点 M（2，4） ； （2）y=x2+4x（3）4n 22 24已知二次函数 y=x22（k+1）x+k22k3 与 x 轴有两个交点 （）求 k 取值范围； （）当 k 取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标； （）将（）中求得的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得 到一个新图象请你求出新图象与直线 y=x+m 有三个不同公共点时 m 的值 【答案】 （）k1（）对称轴为：x=1顶点坐标为（
19、1，4） ； （）m 的值为 1 或13 4 23 25在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+mx+2m7 的图象经过点（1，0） （1）求抛物线的表达式； 24 （2）把4x1 时的函数图象记为 H，求此时函数 y 的取值范围； （3）在（2）的条件下，将图象 H 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象 H 的其余部分保持不变，得到 一个新图象 M若直线 y=x+b 与 图象 M 有三个公共点，求 b 的取值范围 【答案】 （1）抛物线的表达式为 y=x2+2x3； （2）y 的取值范围是4y5； （3）b 的取值范围是 3b 21 4 解： （1）二次函数 y=x2+mx+2m7 的图
20、象经过点（1，0） ， 1+m+2m7=0，解得 m=2， 抛物线的表达式为 y=x2+2x3； （2）y=x2+2x3=（x+1）24， 当4x1 时，y 随 x 增大而减小； 当1x1 时，y 随 x 增大而增大， 25 当 x=1，y最小=4， 当 x=4 时，y=5， 4x1 时，y 的取值范围是4y5； 26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 443ymxmxm的顶点为 A （1）求点 A 的坐标； 26 （2）将线段OA沿x轴向右平移 2 个单位得到线段O A 直接写出点 O 和 A 的坐标； 若抛物线 2 443ymxmxm与四边形AOO A 有且只有两个公共点， 结合函数
21、的图象， 求m的 取值范围 【答案】 （1） （2，3） （2） O （2，0） ， A （4，3） （3） 3 0 4 m （3）如图， 抛物线 ymx24mx4m3 与四边形 AOOA有且只有两个公共点， 27 m0 由图象可知，抛物线是始终和四边形 AOOA的边 OA相交， 抛物线已经和四边形 AOOA有两个公共点， 将（0，0）代入 ymx24mx4m3 中，得 m 3 4 3 4 m0 七、七、抛物线与整点问题抛物线与整点问题 27. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 21(0)ymxmxmm与 x 轴的交点为 A,B. (1)求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的
22、点叫做整点。 当 m1 时，求线段 AB 上整点的个数； 若抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 6 个整点，结合函数的 图象，求 m 的取值范围。 【答案】见解析 28 28已知一次函数 1 ykxb（k0）的图象经过2,0， 4,1两点，二次函数 2 2 24yxax（其 中 a2）. （1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含 a 的代数式表示） ； （2）利用函数图象解决下列问题： 若 5 2 a ，求当 1 0y 且 2 y0 时，自变量 x 的取值范围； 如果满足 1 0y 且 2 y0 时的自变量 x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出 a 的取值范围. 【答案】 （1） 1 1 1 2 yx；二次函数图象的顶点坐标为 2 ,4aa； （2）2x4.13 6 a 5 2 . 29 （2）当 5 2 a 时， 2 2 54yxx， 如图, 30
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