1、 1 二、抛物线与等腰三角形二、抛物线与等腰三角形 4如图，直线与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，对称轴为的抛物线经过 B、C 两点，与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 D、点 P 是该抛物线上的一个动点，过点 P 作轴于点 E，分别交线段 BD、BC 于点 F、G，设点 P 的横坐标为 求该抛物线所对应的函数关系式及顶点 D 的坐标； 求证：； 当为等腰三角形时，求 t 的值 【答案】 ，D 坐标为；证明见解析；证明见解析；t 的值为 或 分三种情况讨论： 若则； 若则； 若则； 分别解方程可得. 解：直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为， 抛物线的对称轴为， 2 点 A 坐标为 设
2、所求抛物线的函数关系式为， 把点代入，得， 解得 所求抛物线的函数关系式为：，即 该抛物线的顶点 D 的坐标为 ， 易得直线 DB 所对应的函数关系式为 设点 P 的坐标为，则， ， ，即 过点 D 作轴，垂足为点 H，如图 分三种情况讨论： 若则， 3 整理得， 解得，舍去 若则， 整理得， 解得， ， 这种情况不存在 5如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx2 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C（0，2） ，OB=4OA，tanBCO=2 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）点 M、N 分别是线段 BC、AB
3、 上的动点，点 M 从点 B 出发以每秒个单位的速度向点 C 运动， 同时点 N 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度向点 B 运动，当点 M、N 中的一点到达终点时，两点同时停止 运动 过点 M 作 MPx 轴于点 E， 交抛物线于点 P 设点 M、 点 N 的运动时间为 t （s） ， 当 t 为多少时， PNE 是等腰三角形？ 4 【答案】 （1）A（1，0） ； （2）y= x2 x2； （3）当 t=1 时，PNE 是等腰三角形 【解析】（1） 由 C （0， 2） 知 OC=2， 根据 tanBCO=2 得 OB=4， 据此得出点 B 坐标， 再由 OB=4OA 可得点 A 坐标
4、； （2）将点 A、B 坐标代入抛物线解析式求得 a、b 的值，从而得出答案； （3）由题意知 AN=2t、BM=t，根据 tanBME=tanBCO=2 知=，求得 OE=OBBE=4t， 从而得出 PE= （4t）2+ （4t）+2，再分点 N 在点 E 左侧和右侧两种情况，表示出 NE 的长，利用 NE=PE 列方程求解可得答案 （2）将点 A（1，0） 、B（4，0）代入 y=ax2+bx2， 得：， 解得：， 抛物线解析式为 y= x2 x2； （3）设点 M、点 N 的运动时间为 t（s） ，则 AN=2t、BM=t， PEx 轴， PEOC， BME=BCO， 则 tanBME=
5、tanBCO，即=2， 5 =，即 =， 则 BE=t， OE=OBBE=4t， PE= （4t）2 （4t）2= （4t）2+ （4t）+2， 点 N 在点 E 左侧时，即1+2t4t，解得 t ， 此时 NE=AO+OEAN=1+4t2t=53t， PNE是等腰三角形， PE=NE， 即 （4t）2+ （4t）+2=53t， 整理，得：t211t+10=0， 解得：t=1 或 t=10 （舍） ； 6如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴相交 于点 C（0，3） （1）求这个二次函数的表达式； （2）若 P 是第四象限
6、内这个二次函数的图象上任意一点，PHx 轴于点 H，与 BC 交于点 M，连接 PC 6 求线段 PM 的最大值； 当PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时，求点 P 的坐标 【答案】 （1）二次函数的表达式 y=x22x3； （2）PM最大= ；P（1，4）或（，21） 当 PM=PC 时， （n2+3n）2=n2+（n22n3+3）2， 解得 n1=0（不符合题意，舍） ，n2=2， n22n3=-3， P（2，-3） ； 7 当 PM=MC 时， （n2+3n）2=n2+（n3+3）2， 解得 n1=0（不符合题意，舍） ，n2=3+（不符合题意，舍） ，n3=3-， n22n3=2-
7、4， P（3-，2-4） ； 综上所述：P（2，3）或（3-，24） 三、抛物线与直角三角形三、抛物线与直角三角形 7如图，直线与抛物线相交于和，点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作轴于点 D，交抛物线于点 C 求抛物线的解析式； 是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理 由； 连接 AC，直接写出为直角三角形时点 P 的坐标 【答案】 （1）； （2）当时，线段 PC 最大且为； （3）为直角三角形时，点 P 的坐标为或 (3)当PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解 解：在直
8、线上， 8 ， ， ，在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为； 设动点 P 的坐标为，则 C 点的坐标为， ， ， ， ， 当时，线段 PC 最大且为； 设直线 AM 的解析式为：， 则：，解得， 直线 AM 的解析式为： ， 又抛物线的解析式为： ， 9 联立式，解得：或与点A 重合，舍去 ， ，即点 C、M 点重合， 当时， ； 若点 C 为直角顶点，则 ， 抛物线的对称轴为直线， 如图 2，作点关于对称轴的对称点 C， 则点 C 在抛物线上，且， 当时， ， 点、均在线段 AB 上， 综上所述，为直角三角形时，点 P 的坐标为或 8如图 1，在平面直角坐标系中，直线与 x 轴交于 B
9、点，与 y 轴交于 C 点，抛物线 经过 B、C 两点，与 y 轴的另一个交点为点 A，P 为线段 BC 上一个动点 不与点 B、点 C 重合 求抛物线的解析式； 10 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，连结 CD、PD，当为直角三角形时，求点 P 的坐标； 过点 C 作轴，交抛物线于点 E，如图 2，求的最小值 【答案】抛物线的解析式为；点 P 的坐标为或； 的最小值为 10 解：直线与 x 轴交于 B 点，与 y 轴交于 C 点， 点 B 的坐标为，点 C 的坐标为 抛物线经过 B、C 两点， ，解得：， 抛物线的解析式为 抛物线的解析式为， 11 抛物线的对称轴为直线， 点 D 的坐
10、标为 设点P的坐标为过点P作轴于Q，则点 当时，如图 3， ， ， ， ，即， 12 综上所述，点 P 的坐标为或 连接 AE，交 BC 于点 F，在的内部作，BH 与 AE 交于点 H，过点 P 作， 垂足为 R，连接 PE，如图 5 所示 ， ， 点 C 与点 E、点 A 与点 B 均关于直线对称， ， ， ，当且仅当点 P 与点 F 重合时，等号成立 ，对称轴为直线， ，且点 A 的坐标为， ， ，即的最小值为 5， 的最小值为 10 13 9已知，抛物线经过点和 求抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使的值最小？如果存在，请求出点 P 的坐标，如果不 存在，请说明理由
11、； 设点 M 在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点 M 的坐标 【答案】（1）； （2） 当的值最小时， 点 P 的坐标为； （3） 点 M 的坐标为、 、或. 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为 连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时取最小值，如图 1 所示 14 当时，有， 解得：， 点 B 的坐标为 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线 设直线 BC 的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线 BC 的解析式为 当时， 当的值最小时，点 P 的坐标为 15 综上所述：当是直角三角形时，点 M 的坐标为、或 10已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与
12、坐标轴分别交于点 A（0，6） ，B（6，0） ，C（2，0） ，点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 运动到什么位置时，PAB 的面积有最大值？ （3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 做 PEx 轴交抛物线于点 E，连结 DE，请 问是否存在点 P 使PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 16 【答案】 （1）抛物线解析式为 y= x2+2x+6； （2）当 t=3 时，PAB 的面积有最大值； （3）点 P（4， 6） 解： （1）抛物线过点 B（6，0） 、C（2，0）
13、， 设抛物线解析式为 y=a（x6） （x+2） ， 将点 A（0，6）代入，得：12a=6， 解得：a= ， 所以抛物线解析式为 y=（x6） （x+2）= x2+2x+6； 17 PN=PMMN= t2+2t+6（t+6）= t2+2t+6+t6= t2+3t， S PAB =S PAN +S PBN = PNAG+ PNBM = PN（AG+BM） = PNOB = （ t2+3t） 6 = t2+9t = （t3）2+， 当 t=3 时，PAB 的面积有最大值； （3）如图 2， 18 四、抛物线与图形的面积四、抛物线与图形的面积 11如图，已知二次函数的图象经过点、和原点为二次函数图
14、象上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为，并与直线 OA 交于点 C 求直线 OA 和二次函数的解析式； 当点 P 在直线 OA 的上方时， 当 PC 的长最大时，求点 P 的坐标； 当时，求点 P 的坐标 19 【答案】，； 解：，轴，P 在上，C 在上， ， ， ， ， 当时，PC 的长最大， ； 当时，即， 当时，则有，解得，舍去 ， 20 12如图，已知抛物线过点，顶点为 D 求抛物线的解析式； 设点，当的值最小时，求 m 的值； 若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求的面积的最大值 【答案】 （1）； （2）； （3）. 配方，得，顶点 D 的坐标为 作 B
15、点关于直线的对称点，如图 1 21 ， 则，由得， 可求出直线的函数关系式为， 当在直线上时，的值最小， 则 13如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，1)的抛物线交 y 轴于点 A，交 x 轴于 B，C 两点(点 B 在点 C 的左侧)，已知 C 点坐标为(6，0) (1)求此抛物线的解析式； (2)连结 AB，过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与抛物线的对称轴 l 相 22 切，先补全图形，再判断直线 BD 与C 的位置关系并加以证明； (3)已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C 两点之间问：当点 P 运动到什么位置时，PAC 的面积最大？
16、求出PAC 的最大面积 【答案】(1)y x22x3；(2) 直线 BD 与C 相离证明见解析；(3) P 点的位置是(3， )，PAC 的最大面积是. （3）根据抛物线解析式设点 P 的坐标为（x，- x2+2x-3） ，过点 P 作 PQy 轴交直线 AC 于 Q，求出直线 AC 的解析式并表示出点 Q 的坐标，然后求出 PQ 的长，再根据三角形的面积公式列式整理，然后利用二次 函数的最值问题确定出点 P 的横坐标，再求出纵坐标，即可得解 解：(1)y x22x3. (2)补全图形如图 1， 判断：直线 BD 与C 相离证明：令 (x4)210，则 x12，x26. B 点坐标(2，0)
17、又抛物线交 y 轴于点 A，A 点坐标为(0，3)， AB . 23 设C 与对称轴 l 相切于点 F，则C 的半径 CF2， 作 CEBD 于点 E，则BECAOB90 . ABD90 ，CBE90 ABO， 又BAO90 ABO，BAOCBE， AOBBEC， ， ，CE 2， 直线 BD 与C 相离. (3)如图 2，过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q， 14如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与 y 轴交于点 C . （1）求抛物线的表达式； （2）如图，用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x
18、 轴，并沿 x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直 24 线与抛物线相交于 P、 Q 两点（点 P 在点 Q 的左侧） ，连接 PQ，在线段 PQ 上方抛物线上有一动点 D，连 接 DP、DQ. 若点 P 的横坐标为，求DPQ 面积的最大值，并求此时点 D 的坐标； 直尺在平移过程中，DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由. 【答案】 （1）抛物线 y=-x2+2x+3； （2）点 D（ ） ；PQD 面积的最大值为 8 详解： （1）将 A（-1，0） 、B（3，0）代入 y=ax2+bx+3，得： ，解得：， 抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3 （2） （
19、I）当点 P 的横坐标为- 时，点 Q 的横坐标为 ， 此时点 P 的坐标为（- ， ） ，点 Q 的坐标为（ ，- ） 设直线 PQ 的表达式为 y=mx+n， 将 P（- ， ） 、Q（ ，- ）代入 y=mx+n，得： ，解得：， 直线 PQ 的表达式为 y=-x+ 如图，过点 D 作 DEy 轴交直线 PQ 于点 E， 25 设点 D 的坐标为（x，-x2+2x+3） ，则点 E 的坐标为（x，-x+ ） ， DE=-x2+2x+3-（-x+ ）=-x2+3x+ ， S DPQ = DE（xQ-xP）=-2x2+6x+ =-2（x- ）2+8 -20， 当 x= 时，DPQ 的面积取最大值，最大值为 8，此时点 D 的坐标为（ ，）
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