1、 1 知识要点知识要点 抛物线与 x 轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数b，c 是常数，与 x 轴 的交点坐标，令，即，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标决定 抛物线与 x 轴的交点个数：时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；时，抛物线与 x 轴没有交点 要点突破要点突破 1.熟练掌握二次函数的顶点坐标公式与一元二次方程两根之和的关系 2.利用二次函数图象解一元二次不等式，从二次函数图象中获取信息是解题的关键. 典例精讲典例精讲 例 1.已知二次函数（ 为常数）. （1）求证：不论 为何值，该函数的图像与 轴总有公共点； （2）当 取什么值时，
2、该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方？ 【答案】 （1）证明见解析； （2）时，该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方. 例 2.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A(-1，t)，B(3，t)，与 yy轴交于点 C(0， -1)一次函数 y=x+n 的图象经过抛物线的顶点 D 2 （1）求抛物线的表达式 （2）求一次函数yxn的表达式 （3）将直线: l ymxn绕其与y轴的交点E旋转，使当11x 时，直线l总位于抛物线的下方， 请结合函数图象，求m的取值范围 【答案】 （1）y=x2-2x-1； （2）一次函数 y=x+n 的表达式是 y=x-3； （3）当-5
3、m1 时，当-1x1 时， 直线 l 总位于抛物线的下方 (2)二次函数 2 21yxx的顶点坐标是(1,2)， 代入 y=x+n 得2=1+n， 解得：n=3， 则一次函数 y=x+n 的表达式是 y=x3； (3)如图所示： 3 在 2 21yxx中，当 x=1 时，y=2； 当 x=1 时，y=2. 当直线 y=mx3 经过点(1,2)时，m3=2，解得：m=5； 当直线 y=mx3 经过点(1,2)时，m3=2，解得：m=1. 则当5m0 可知抛物线开口向上，再根据抛物线与 x 轴最多有一个交点可 c0，由此可判断， 根据抛物线的对称轴公式 x=可判断，由 ax2+bx+c0 可判断出
4、 ax2+bx+c+110，从而可判断，由 题意可得 ab+c0，继而可得 a+b+c2b，从而可判断. 5 解：抛物线 y=ax2+bx+c（02ab）与 x 轴最多有一个交点， 抛物线与 y 轴交于正半轴， c0， abc0，故正确； 02ab， 1， 1， 该抛物线的对称轴在 x=1 的左侧，故错误； 由题意可知：对于任意的 x，都有 y=ax2+bx+c0， ax2+bx+c+110，即该方程无解，故正确； 抛物线 y=ax2+bx+c（02ab）与 x 轴最多有一个交点， 当 x=1 时，y0， ab+c0， a+b+c2b， b0， 2，故正确， 综上所述，正确的结论有 3 个，
5、故选 C 5已知二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图所示，当 y0 时，x 的取值范围是( ) A 1x2 B x2 C x1 D x1 或 x2 【答案】D 6 当 y0 时，图象在 x 轴的上方， 此时 x1 或 x2， x 的取值范围是 x1 或 x2， 故选 D 6二次函数 y=x2+2xm2+1 的图像与直线 y=1 的公共点个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 1 或 2 【答案】C 【解析】首先将其转化为一元二次方程，从而根据根的判别式得出方程的解，从而得出函数的交点个 数 解：根据题意可得：x2+2xm2+1=1，即=0， =4+40， 方程有两个不相等的实数根， 两
6、个函数的交点为两个， 故选 C 7二次函数与的图像与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） A B C D 【答案】D 8如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是（ ）. A B C D 【答案】A 【解析】根据图象可知，该二次函数的对称轴 x=2，其中一个点的坐标为（5，0） ，则根据二次函数图 7 象的对称性，求出与 x 轴的另一点坐标，即（-1，0） ；接下来根据图象求出 ax2+bx+c0，即 y0 时 x 的取 值范围，即可得到不等式的解集. 解：由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0） ， 图象与 x 轴的
7、另一个交点坐标为（-1，0）. 利用图象可知：ax2+bx+c0 的解集即是 y0 是 x 的取值范围， -1x5. 故选 A. 9二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于 x 轴的下方；当 时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为 A 8 B C D 【答案】D 解得， 则有当时，它的图象位于 x 轴的下方； 当时，则， 令，则， 解得， 则有当时，它的图象位于 x 轴的下方；当时，它的图象位于 x 轴的上方； 8 故选：D 10关于 x 的方程(x-3)(x-5)=m(m0)有两个实数根 ， ( )，则下列选项正确的是（ ） A 3 5 B 3 5 C 2 5 D 5 【答案】D 【
8、解析】根据平移可知：将抛物线 y=（x-3） （x-5）往下平移 m 个单位可得出抛物线 y=（x-3） （x-5） -m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结论 解：将抛物线 y=（x-3） （x-5）往下平移 m 个单位可得出抛物线 y=（x-3） （x-5）-m， 画出函数图象，如图所示 抛物线 y=（x-3） （x-5）与 x 轴的交点坐标为（3，0） 、 （5，0） ，抛物线 y=（x-3） （x-5）-m 与 x 轴的 交点坐标为（，0） 、 （，0） ， 5 故选：D 11如图，抛物线与双曲线的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x 的不等式的解 集是 9 A B C D 【答案】
9、C 12二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中，x 与 y 的部分对应值如下表： x 3 2 1 0 y 0 3 4 3 下列结论： ac0； 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大； 4 是方程 ax2+（b4）x+c=0 的一个根； 当1x0 时，ax2+（b1）x+c+30其中正确结论的个数为（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【答案】C 【解析】x=-3 时 y=0，x=0 时，y=-3，x=-1 时，y=-4， ， 10 解得：， y=x2+2x-3， ac=1 （-3）=-3-1 时，y 随 x 的增大而增大，所以当 x1 时，y 随
10、x 的增大而增大也正确，故正确； 方程 ax2+（b-4）x+c=0 可化为 x2-2x-3=0， 解得 x1=-1，x2=3， 所以-4 是方程 ax2+（b-4）x+c=0 的一个根，错误，故错误； -1x0 时，ax2+（b-1）x+c+30，即（-4）2-4k0， k4， 故答案为：k4. 15平行于 x 轴的直线 分别与一次函数 y=-x+3 和二次函数 y= x2 -2x-3 的图象交于 A（x1，y1） ，B(x2， 11 y2)，C（x3，y3）三点，且 x1x2x3，设 m= x1+x2+x3，则 m 的取值范围是_ 【答案】m5 所以 x1+x2+x37, 即：m7 故正确
11、答案为：m7 16已知抛物线与 轴有两个交点，其中一个交点的坐标为，则抛物线 y=ax2-2ax+c 与 x 轴另一个交点的坐标为_ 【答案】(3,0) 【解析】二次函数的对称轴为：x=，与 x 轴的一个交点坐标为(1，0)， 与 x 轴的另一个交点坐标为(3，0) 17 行驶中的汽车刹车后， 由于惯性的作用， 还会继续向前滑行一段距离， 这段距离称为“刹车距离” 某 车的刹车距离 s（m）与车速 x（km/h）之间有下述的函数关系式：s=0.01x+0.002x2，现该车在限速 140km/h 的高速公路上出了交通事故， 事后测得刹车距离为 46.5m， 请推测： 刹车时， 汽车_超速 （填
12、“是”或“否”） 【答案】是 12 18的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图所示） ，由图象可知关于 x 的一元 二次方程的两个根分别是 x1=1.3 和 x2=_ 【答案】-3.3 19 直线 y=mx+n 和抛物线 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的位置如图所示， 那么不等式 mx+nax2+bx+c 0 的解集是_ 【答案】1x2 【解析】从图上可知，mx+nax2+bx+c，则有 x1 或 x ；根据 ax2+bx+c0，可知1x2； 综上，不等式 mx+nax2+bx+c0 的解集是 1x2 解：因为 mx+nax2+bx+c0，由图可知，1x2 20已知二次函数 yax
13、2bxc(a0)中，函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： 13 x 5 4 3 2 1 y 3 2 5 6 5 则关于 x 的一元二次方程 ax2bxc2 的根是_ 【答案】x1=-4，x2=0 【解析】解：x=3，x=1 的函数值都是5，相等，二次函数的对称轴为直线 x=2x=4 时，y=2，x=0 时，y=2，方程 ax2+bx+c=3 的解是 x1=4，x2=0故答案为：x1=4，x2=0 21如图，抛物线 y1x22x3 与直线 y24x 交于 A，B 两点 (1)求 A，B 两点的坐标； (2)当 x 取何值时，y1y2？ 【答案】 （1）A 点的坐标是(1，4)，B 点的
14、坐标是(3，12)；(2)当3xy2. 22已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（15m）x5=0（m0） （1）求证：无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； （2）若抛物线 y=mx2+（15m）x5 与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，且|x1x2|=6，求 m 的值； （3）若 m0，点 P（a，b）与 Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点 P、Q 不重合） ，求代数式 4a2 n2+8n 的值 14 【答案】 （1）证明见解析； （2）m=1 或 m=； （3）4a2n2+8n=16 （2）解：mx2+（1-5m）x-5=0， 解得：x1=- ，x2=
15、5， 由|x1-x2|=6， 得|- -5|=6， 解得：m=1 或 m=-； （3）解：由（2）得，当 m0 时，m=1， 此时抛物线为 y=x2-4x-5，其对称轴为：x=2， 由题已知，P，Q 关于 x=2 对称， =2，即 2a=4-n， 4a2-n2+8n=（4-n）2-n2+8n=16 23利用图象解一元二次方程 x22x10 时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线 y x2和直线 y2x1，两图象交点的横坐标就是该方程的解 (1)请再给出一种利用图象求方程 x22x10 的解的方法； (2)已知函数 yx3的图象(如图)，求方程 x3x20 的解(结果保留两位有效数字)
16、 15 【答案】 （1）见解析（2）x1.5 （2）在图中画出直线 yx2，与函数 yx3的图象交于点 B，得点 B 的横坐标 x1.5， 方程的解为 x1.5. 24已知关于 x 的一元二次方程 mx2+(3m+1)x+3=0. (1)当 m 取何值时,此方程有两个不相等的实数根; (2)当抛物线 y=mx2+(3m+1)x+3 与 x 轴两个交点的横坐标均为整数,且 m 为正整数时,求此抛物线的解析 式; 16 (3)在(2)的条件下,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1y2,请结合函数图象直接写出实数a的取值 范围. 【答案】(1)当 m 且 m0 时,方程有两个不
17、相等的实数根； （2）y=x2+4x+3；(3) 当 y1y2时,a1,或 a0， 解得：m ， mx2+(3m+1)x+3=0 是一元二次方程， m0， 当 m 且 m0 时，关于 x 的一元二次方程 mx2+(3m+1)x+3=0 有两个不相等的实数根； (2)由一元二次方程的求根公式可解得 mx2+(3m+1)x+3=0 的两实数根为：x1=-3，x2=. 抛物线与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 m 为正整数, m=1, 抛物线的解析式为 y=x2+4x+3； 25已知：抛物线：与抛物线关于 y 轴对称， 抛物线与 x 轴分别交于点 A（-3， 17 0） ， B（m， 0） ，
18、顶点为 M （1）求 b 和 m 的值； （2）求抛物线的解析式； （3）在 x 轴， y 轴上分别有点 P（t， 0） ， Q（0， -2t） ， 其中 t0， 当线段 PQ 与抛物线有且 只有一个公共点时，求 t 的取值范围 【答案】(1) m=-1；(2) y=2x2-8x+6；(3) 当 1t3 或 t=时，PQ 与抛物线 C2有且仅有一个公共点. （2）C1：y=2x2+8x+6=2（x+2）2-2， M（-2，-2） ， 点 M 关于 y 轴的对称点 N（2，-2） ， 18 C2：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6， （3）由题意，点 A（-3，0）与 D，点 B（-1，0
19、）与 C 关于 y 轴对称， D（3，0） ，C（1，0） ， P（t，0） ，Q（0，-2t） ， PQ：y=2x-2t， 26如图甲，在平面直角坐标系中，A、B 的坐标分别为（4，0） 、 （0，3） ，抛物线 y= x2+bx+c 经过 点 B，且对称轴是直线 x= （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）将图甲中ABO 沿 x 轴向左平移到DCE（如图乙） ，当四边形 ABCD 是菱形时，请说明点 C 和 点 D 都在该抛物线上 （3）在（2）中，若点 M 是抛物线上的一个动点（点 M 不与点 C、D 重合） ，经过点 M 作 MNy 轴 交直线 CD 于 N，设点 M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l，求 l 与 t 之间的函数解析式，并求当 t 为何值时， 以 M、N、C、E 为顶点的四边形是平行四边形 （参考公式：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（ ，） ，对称轴是直线 x= ） 19 【答案】 （1）y= x2+x+4 （2）见解析 （3）t=3 2或3 时，以 M、N、C、E 为顶点的四边形是平行四边形 （3）设直线 CD 的解析式为：y=kx+b，依题意，有： ，解得 直线 CD：y= x 由于 MNy 轴，设 M（t， t2+t+4） ，则 N（t， t ） ； 20
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