1、20202020- -20212021 学年人教版八年级上册期末复习精选题考点讲义学年人教版八年级上册期末复习精选题考点讲义 第十五章第十五章 分式分式 思维导图思维导图 新知讲练新知讲练 知识点知识点 1 1：分式的有关概念及性质：分式的有关概念及性质 1 1分式分式 一般地，如果 A、B 表示两个整式整式，并且 B 中含有字母字母，那么式子叫做分式.其中 A 叫做分子分子，B 叫 做分母分母. . 细节剖析细节剖析 分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0 0，所以分式的分母不能为 0 0，即当 B0 时，分式才有意义. 2 2. .分式的基本性质分式的基本性质 （M 为不等于 0 的整式
2、）. 3 3最简分式最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式最简分式.如果分子分母有公因式公因式，要进行约分化简约分化简. . 知识点知识点 2 2：分式的运算：分式的运算 A B A B 1 1约分约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式公因式约去，不改变分式的值分式的值，这样的分式变形叫 做分式的约分约分. . 2 2通分通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘分子和分母同乘适当的整式，整式，不改变分式的值，值，把异分母的分式化为同分母的 分式，这样的分式变形叫做分式的通分通分 3 3基本运算法则基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
3、 （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变不变，把分子相加减加减. . ；异分母的分式相加减，先通分通分，变为同分母的分式同分母的分式，再加减加减. . （2）乘法运算 ，其中是整式，整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母分子和分母颠倒位置后，与被除式被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方乘方. . 4 4零指数零指数 . 5.5.负整数指数负整数指数 6.6.分式的混合运算顺序分式的混合运算顺序 先算乘方乘方，再算乘
4、除乘除，最后加减加减，有括号先算括号里面括号先算括号里面的. 知识点知识点 3 3：分式方程：分式方程 1 1分式方程的概念分式方程的概念 分母中含有未知数未知数的方程方程叫做分式方程 abab ccc a cac b dbd abcd、 、 、0bd aca dad bdb cbc abcd、 、 、0bcd 2 2分式方程的解法分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母去分母,即方程两边都乘以最简公分母最简公分母将分式方程转化为整式方程整式方程 3 3分式方程的增根问题分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数 允许取值
5、的范围取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0 0，那么就会出现不适合原 方程的根增根增根. . 细节剖析细节剖析 因为解分式方程可能出现增根， 所以解分式方程必须验根验根 验根的方法是将所得的根带入到最简公分母最简公分母中， 看它是否为 0，如果为 0，即为增根增根，不为 0，就是原方程的解解. . 知识点知识点 4 4：分式方程的应用：分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些 解题时应抓住 “找等量关系、等量关系、 恰当设未知数、未知数、确定主要等量关系等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量未知量”等关键环节，从而正确
6、列出方列出方 程，程，并进行求解. 考点典例分析考点典例分析 考点考点 1 1：科学记数法科学记数法表示较小的数表示较小的数 【例题【例题 1 1】 （2020 春河口区期末）新冠病毒(2019)nCoV平均直径约为100nm（纳米） ，即 0.0000001 米0.0000001m用科学记数法可以表示为( ) A 6 0.1 10 m B 8 10 10 m C 7 1 10 m D 11 1 10 m 【解答】解： 7 0.00000011 10mm 故选：C 【变式变式 1 1- -1 1】 （2020 春越城区期末）用科学记数法表示：0.00000706 【解答】解： 6 0.0000
7、07067.06 10， 故答案为： 6 7.06 10 【变式变式 1 1- -2 2】 （2006 秋涟水县期末）在显微镜下，一种细胞的截面可以近似地看成圆，它的半径约为 9 8.7 10 m ，试求这种细胞的截面面积(3.14) 【解答】解：细胞的截面面积 9 2218162 (8.7 10 )3.14 (8.7)102.376666 10m 答：这种细胞的截面面积为 162 2.4 10m 考点考点 2 2：分式的基本性质分式的基本性质 【例题例题 2 2】 （2017 秋嘉定区期末）如果将分式 22 xy xy 中x，y都扩大到原来的 2 倍，则分式的值( ) A扩大到原来的 2 倍
8、 B不变 C扩大到原来的 4 倍 D缩小到原来的 1 4 【解答】解：用2x和2y代替式子中的x和y得： 2222 (2 )(2 )22 22 xyxy xyxy ， 则分式的值扩大为原来的 2 倍 故选：A 【变式变式 2 2- -1 1】 （2017 秋房山区期末）如果分式 2 a ab 中的a，b都同时扩大 2 倍，那么该分式的值( ) A不变 B缩小 2 倍 C扩大 2 倍 D扩大 4 倍 【解答】解：分式 2 a ab 中的a，b都同时扩大 2 倍， 22 (2 )2 22 aa abab ， 该分式的值扩大 2 倍 故选：C 【变式变式 2 2- -2 2】 （2015 秋雨花台区
9、校级期末）不改变分式的值，化简： 0.030.1 0.040.03 x x 【解答】解： 0.030.1310 0.040.0343 xx xx ， 故答案为： 310 43 x x 考点考点 3 3：最简分式最简分式 【例题例题 3 3】 （2018 秋浦东新区期末）下列分式是最简分式的是( ) A 2 1 44 x x B 2 2 23 45 xx xx C 2 21 x x D 3 36 x x 【解答】解：A 2 1(1)(1)1 444(1)4 xxxx xx ，不符合题意； B 2 2 23(1)(3)3 45(1)(5)5 xxxxx xxxxx ，不符合题意； C 2 21 x
10、 x 是最简分式，符合题意； D 33 363(2)2 xxx xxx ，不符合题意； 故选：C 【变式变式 3 3- -1 1】 （2012 春博野县校级期末）分式 43 4 yx a ， 2 4 1 1 x x ， 22 xxyy xy ， 2 2 2 2 aab abb 中，最简分式有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解： 2 4 1 1 x x 分子分母有公因式 2 1x ， 43 4 yx a ； 22 xxyy xy ； 2 2 2 2 aab abb 这三个是最简分式 故选：C 【变式变式 3 3- -2 2】 （2017 春无锡期末）给出下列 3 个分式：
11、 2 b a ， 22 ab ab ， 22 2 4 mn mn 其中的最简分式 有 （填写出所有符合要求的分式的序号） 【解答】解：原式 21 (2 )(2 )2 mn mn mnmn 故答案为： 考点考点 4 4：分式的混合运算分式的混合运算 【例题例题 4 4】 （2018 秋白云区期末）计算： 524 (2)( 23 m m mm ) A26m B26m C3m D3m 【解答】解：原式 2 452(2) () 22(3) mm mmm (3)(3) 2(2) 2(3) mmm mm 2(3)m 26m ， 故选：A 【变式变式 4 4- -1 1】 （2018 秋越秀区期末）计算：
12、5210 (1) 56 a a aa 的结果是（结果化为最简形式） 【解答】解：原式 (1)(5)52(5) 556 aaa aaa 2 62(5) 56 aaa aa (6) 2(5) 56 a aa aa 2a， 故答案为：2a 【变式变式 4 4- -2 2】 （2020 春太平区期末） （1）因式分解： 3223 242x yx yxy （2）计算： 33 818a bab （3）计算： 22 123 () 111 xx xxx （4）解不等式组： 273(1) 42 3 1 33 xx xx 【解答】解： （1）原式 222 2(22)2()xy xxyyxy xy （2）原式 22
13、 2(49)2(23 )(23 )ababababab （3）原式 222 2 21211 133 xxx xx x （4） 2731 42 3 1 33 xx xx ， 由可得：4x ， 由可得：1x， 该不等式的解集为：1x 考点考点 5 5：分式的化简求值分式的化简求值 【例题例题 5 5】 （2020 春南召县期末）如果4xy，那么代数式 2222 22xy xyxy 的值是( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 【解答】解：原式 22 222()2 ()() xyxy xyxy xyxy ， 当4xy时，原式 21 42 故选：C 【变式变式 5 5- -1 1】 （2018 秋
14、太仓市期末）已知：:2:3:4x y z ，则 2 3 xyz xyz 的值为 【解答】解：由:2:3:4x y z ，可设2xk，3yk，4zk， 226444 323121111 xyzkkkk xyzkkkk 故答案为： 4 11 【变式变式 5 5- -2 2】 （2020 春莘县期末）先化简，再求值： 22 124 ()(1) 442 xx xxxxx ，其中x是不等式 25 3 3 x x 的最小整数解 【解答】解：原式 2 124 () (2)(2) xxx xx xxx 22 22 44 (2)(2) xxxx x xx xx 2 4 (2)4 xx x xx 2 1 (2)x
15、 ， 解不等式 25 3 3 x x ，得：4x， 则不等式得最小整数解为4x ， 当4x 时，分式无意义， 所以符合条件的x的最小整数解为5x ， 则原式 1 9 考点考点 6 6：解分式方程解分式方程 【例题例题 6 6】 （2020 春宁德期末）解分式方程 2 3 2112 x xx 时，去分母正确的是( ) A32x B3(21)2xx C3(21)2xx D632xx 【解答】解：方程整理得： 2 3 2121 x xx ， 去分母得：3(21)2xx ， 故选：B 【变式变式 6 6- -1 1】 （2019 秋大同期末）解分式方程 21 1 11 x xx 时，在方程两边同乘(1
16、)x，把原方程化为： 2(1)1xx，这一变形过程体现的数学思想主要是( ) A类比思想 B转化思想 C方程思想 D函数思想 【解答】解：分式方程 21 1 11 x xx 时，在方程两边同乘(1)x， 把原方程化为：2(1)1xx， 这一变形过程体现的数学思想主要是转化思想， 故选：B 【变式变式 6 6- -2 2】 （2019 秋连山区期末）解方程： （1） 2 1 1 x xx （2） 54410 1 236 xx xx 【解答】解： （1）去分母得： 22 22xxxx， 移项合并得：2x ， 解得：2x ， 经检验2x 是分式方程的解； （2）去分母得：151241036xxx，
17、移项合并得：1428x ， 解得：2x ， 经检验2x 是增根，分式方程无解 考点考点 7 7：换元法解分式方程换元法解分式方程 【例题例题 7 7】 （2018 春普陀区期末）用换元法解方程 2 2 315 12 xx xx 时，如果设 2 1 x y x ，则原方程可化 为( ) A 15 2 y y B 2 2520yy C 2 6520yy D 15 3 2 y y 【解答】解：设 2 1 x y x ， 则原方程变形为： 15 3 2 y y ， 故选：D 【变式变式 7 7- -1 1】 （2020 春杨浦区期末）已知方程 322 30 1 xx xx ，如果设 1 x y x ，
18、那么原方程可化为关 于y的整式方程是 【解答】解：设 1 x y x ， 方程 322 30 1 xx xx 变形为 2 330y y ， 整理得： 2 3320yy 故答案为： 2 3320yy 考点考点 8 8：分式方程的增根分式方程的增根 【例题例题 8 8】 （2020 春东坡区期末）关于x的方程 31 1 11 xm xx 有增根，则方程的增根是( ) A1 B4 C4 D2 【解答】解：由分式方程有增根，得到10 x ， 解得：1x 故选：A 【变式变式 8 8- -1 1】 （2020 春陈仓区期末）若关于x的分式方程 5 33 xm xx 有增根时，则m的值为 【解答】解： 5
19、 33 xm xx ， 方程两边都乘(3)x得5xm ， 方程化简得5mx ， 原方程增根为3x ， 把3x 代入整式方程得2m 故答案为：2 【变式变式 8 8- -2 2】 （2020 春青岛期末）若关于x的分式方程 2 2 33 xm xx 有增根，则m的值为 【解答】解：方程两边都乘(3)x，得 22(3)xmx 原方程增根为3x ， 把3x 代入整式方程，得230m， 解得1m 故答案为：1 【变式变式 8 8- -3 3】 （2015 春淮安校级期末）已知关于x的方程 2 3 22 xm xx （1）当m取何值时，此方程的解为3x ； （2）当m取何值时，此方程会产生增根； （3）
20、当此方程的解是正数时，求m的取值范围 【解答】解： （1）把3x 代入方程 2 3 22 xm xx ，得 3m ； （2）方程的增根为2x ， 236xmx， 所以4m ； （3）去分母得，236xmx， 解得6xm， 因为0 x ， 所以60m ， 解得6m ， 因为2x ， 所以4m 考点考点 9 9：分式方程的应用分式方程的应用 【例题例题 9 9】 （2018 秋兴业县期末）甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工 90 个玩具所用的时间与乙加工 120 个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工 35 个玩具，则甲每天加工的玩具数为( ) A15 B20 C18 D17 【解答】解：设
21、甲每天加工x个玩具，则乙每天加工(35) x个玩具 由题意得， 90120 35xx ， 解得：15x ， 经检验，15x 是原方程的解，且符合题意， 则3520 x， 即甲每天加工 15 个玩具，乙每天加工 20 个玩具 故选：A 【变式变式 9 9- -1 1】 （2018 秋荣昌区期末）市场上的红茶由茶原液与纯净水按一定比例配制而成，其中购买一吨 茶原液的钱可以买 15 吨纯净水由于今年以来茶产地连续大旱，茶原液收购价上涨50%，纯净水价也 上涨了10%， 导致配制的这种茶饮料成本上涨40%， 问这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为 【解答】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为
22、:a b，购买一吨纯净水的价格是x， (1 10%) 15 (1 50%)15 (140%) bxxabxxa abab ，1:5 a b 故答案为：1:5 【变式变式 9 9- -2 2】 （2020 春定远县期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每 个乙商品的进价少 2 元，且用 80 元购进甲商品的数量与用 100 元购进乙商品的数量相同 （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的 3 倍还少 5 个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过 95 个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙
23、两种商品的售价分别是 12 元/个和 15 元/个，且将购进的甲、乙两种 商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过 380 元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【解答】解： （1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为(2)x元， 根据题意，得 80100 2xx ， 解得：10 x ， 经检验，10 x 是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：1028 答：每件甲种商品的进价为 8 元，每件乙种商品件的进价为 10 元 （2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品(35)y 个 由题意得：3595yy 解得25y 答：商场最多购进乙商品 25 个； （3）由（2）知，(
24、128)(35)(15 10)380yy， 解得： 9 2317y y为整数，25y， 24y或 25 共有 2 种方案 方案一：购进甲种商品 67 个，乙商品件 24 个； 方案二：购进甲种商品 70 个，乙种商品 25 个 【变式变式 9 9- -3 3】 （2020 春百色期末）某单位为美化环境，计划对面积为 1200 平方米的区域进行绿化，现安排 甲、乙两个工程队来完成已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 1.5 倍，并且在 独立完成面积为 360 平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用 3 天 （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？ （2）若该单位每天
25、需付给甲队的绿化费用为 700 元，付给乙队的费用为 500 元，要使这次的绿化总费用不 超过 14500 元，至少安排甲队工作多少天？ 【解答】解： （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x 平方米， 依题意，得： 360360 3 1.5xx ， 解得：40 x ， 经检验，40 x 是原方程的解，且符合题意， 1.560 x 答：甲工程队每天能完成绿化的面积是 60 平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是 40 平方米 （2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作1200 60 40 m 天， 依题意，得： 120060 70050014500 40 m m ， 解得：10m 所以m最小值是 10 答：至少应安排甲队工作 10 天
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