1、20202020- -20212021 学年人教版八年级上册期末复习精选题考点讲义学年人教版八年级上册期末复习精选题考点讲义 第十二章第十二章 全等三角形全等三角形 思维导图思维导图 新知讲练新知讲练 知识点知识点 1 1：全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定与性质 知识点知识点 2 2：全等三角形的证明思路：全等三角形的证明思路 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必
2、须有一组对应边相等 SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角 已知两边 找直角 找另一边 边为角的对边找任一角 找夹角的另一边 已知一边一角 边为角的邻边 找夹边的另一角 找边的对角 找夹边 已知两角 找任一边 知识点知识点 3 3：角平分线的性质：角平分线的性质 1.1.角的平分线的性质定理角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.2.角的平分线的判定定理角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.3.三角形的角平分线三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.4.与角平分线
3、有关的辅助线与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 知识点知识点 4 4：全等三角形证明方法：全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆 等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、 线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1 1 证明线段相等的方法：证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的
4、距离相等. (3) 等式性质. 2 2 证明角相等的方法：证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3 3 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法： 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4 4 辅助线的添加辅助线的添加: : (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短
5、)法作旋转变换的全等三角形. 5. 5. 证明三角形全等的思维方法证明三角形全等的思维方法: : （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两 个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质 或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3） 如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系， 此时应添置辅助线， 使之出现全等三角形， 通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 考点典例分析考点典例分析 考点考点 1 1：全等三角形的性质全等三角形的性质 【例题【
6、例题 1 1】 （2019 秋蜀山区期末）如图，ABCDEC ，点E在边AB上，75DEC，则BCE的度 数是( ) A25 B30 C40 D75 【解答】解：ABCDEC ， 75BDEC ，CECB， 75CEBB ，BCEB ， 18027530BCE ， 故选：B 【变式变式 1 1- -1 1】 （2019 秋门头沟区期末）如图，在正方形网格内（每个小正方形的边长为1)，有一格点三角 形ABC（三个顶点分别在正方形的格点上） ，现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且 有一条边与原三角形的一条边重合，这样的三角形可以构造出( ) A3 个 B4 个 C5 个 D6 个
7、 【解答】解：如图满足条件的三角形如图所示，有 5 个 故选：C 【变式变式 1 1- -2 2】 （2019 秋开福区校级期末）ABC与DEF是两个全等的等腰直角三角形， 90 ,6BACDABAC 现将DEF与ABC按如图所示的方式叠放在一起， 使ABC保持不动， DEF运动， 且满足点E在边BC上运动 （不与B，C重合） ， 边DE始终经过点A，EF与AC交于点M 在 D E F运动过程中，若AEM能构成等腰三角形，则BE的长为 【解答】解：若AEAM 则45AMEAEM 45C AMEC 又AMEC 这种情况不成立； 若AEEM 45BAEM 135BAEAEB，135MECAEB B
8、AEMEC 在ABE和ECM中， BC BAECEM AEEM ， ()ABEECM AAS ， 6CEAB， 22 3ACBCAB， 2 36BE； 若MAME 则45MAEAEM 90BAC， 45BAE AE平分BAC ABAC， 1 3 2 BEBC 故答案为2 36或3 【变式变式 1 1- -3 3】（2020 春广饶县期末） 如图， 在Rt ABC中，90C，9BCcm，12ACcm，15ABcm， 现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边ACCBBA运动，回到点A停止，速度为3/cm s，设运 动时间为ts （1）如图（1） ，当t 时，APC的面积等于ABC面积的一半； （2
9、）如图（2） ，在DEF中，90E，4DEcm，5DFcm，DA 在ABC的边上，若另外有 一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边ABBCCA运动，回到点A停止在两点运动过程中的 某一时刻，恰好APQDEF ，求点Q的运动速度 【解答】解： （1）当点P在BC上时，如图1， 若APC的面积等于ABC面积的一半；则 19 22 CPBCcm， 此时，点P移动的距离为 933 12 22 ACCP， 移动的时间为： 3311 3 22 秒， 当点P在BA上时，如图2 若APC的面积等于ABC面积的一半；则 1 2 PDBC，即点P为BA中点， 此时，点P移动的距离为 1557 129 22 AC
10、CBBPcm， 移动的时间为： 5719 3 22 秒， 故答案为： 11 2 或 19 2 ； （2）APQDEF ，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F； 当点P在AC上，如图1所示： 此时，4AP ，5AQ ， 点Q移动的速度为 15 5(43)/ 4 cm s， 当点P在AB上，如图2所示： 此时，4AP ，5AQ ， 即，点P移动的距离为91215432cm，点Q移动的距离为91215531cm， 点Q移动的速度为 93 31(323)/ 32 cm s， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好APQDEF ， 点Q的运动速为15/ 4 cm s或 93 / 32 cm s 【变式
11、变式 1 1- -4 4】 （2017 秋句容市期末）已知：ABCEDC （1）若/ /DEBC（如图1)，判断ABC的形状并说明理由 （2）连结BE，交AC于F，点H是CE上的点，且CHCF，连结DH交BE于K（如图2)求证： DKFACB 【解答】解： （1）ABCEDC ， ABCEDC ，ACBECD ， / /DEBC， EDCACB ， ABCACB ， ABAC， 即ABC是等腰三角形 （2）ABCEDC ， BCCD，ACBDCE ， 在BCF和DCH中， BCCD ACBDCE CHCF BCFDCH ， FBCHDC ， 在FBC和FDK中， FBCHDC ，BFCDFK
12、， DKFACB 考点考点 2 2：全等三角形的判定全等三角形的判定 【例题例题 2 2】（2020 春广饶县期末） 如图， 在四边形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点E， 若AC平分DAB， 且ABAC，ACAD，有四个结论：ACBD；BCDC；ABCADC ；ABD是等边三 角形其中正确的是( ) A B C D 【解答】解：ABAD，AC平分DAB， ACBD， BEDE， AC是DB的垂直平分线， BCDC ABAD BCDC ACAC ()ABCADC SSS ， ADBD，60DAB ABD是正三角形不一定成立的，所以错误 故正确， 故选：A 【变式变式 2 2- -1 1】
13、（2020 春抚州期末）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，ACAB，BDAH于点D， CHAH于点H，HE，DF分别平分AHC和ADB，给出下列结论：DFHE，DFHE， AEBF，AHEBDF ，其中正确的是( ) A B C D 【解答】解：90CAHBAD，90ABDBAD CAHABD 又90CHAADB ，ACAB ()AHCBDA AAS ， AHBD， 如图，延长BD与AC相交于点M，延长FD、HE，两延长线交于点G， 9090180CHDHDM ， / /CHBM， DF平分ADB， DG平分HDM， 又HE平分AHC， 90HGD， DFHE；故正确； HE，DF分别平分A
14、HC和ADB， 1 2 EHACHA， 1 2 FDBADB， 又CHAADB ， EHAFDB， 又EAHFBD，AHBD， ()EHAFDB SAS ，故正确； DFHE；故正确； EHAFDB AEBF；故正确； 故选：A 【变式变式 2 2- -2 2】 （2020 春沙坪坝区校级期末） （多选）如图，4ABcm，3ACBDcm，CABDBA ， 点P在线段AB上以1/cm s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动设运 动时间为( )t s，则当ACP与BPQ全等时，点Q的运动速度为 /c ms 1 . 3 A；.1B；.1.5C；.2D 【解答】解：当ACPB
15、PQ 时， 则ACBP，APBQ， 3ACcm， 3BPcm， 4ABcm， 1APcm， 1BQcm， 点Q的速度为：1 (1 1)1(/ )cm s； 当ACPBQP 时， 则ACBQ，APBP， 4ABcm，3ACBDcm， 2APBPcm，3BQcm， 点Q的速度为：3(2 1)1.5(/ )cm s； 故选：B、C 【变式变式 2 2- -3 3】 （2019 秋莱山区期末）如图，ABC中，90ACB，6ACcm，8BCcm，点P从A点 出发沿AC路径向终点C运动； 点Q从B点出发沿BCA路径向终点A运动 点P和Q分别以每秒1cm 和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另
16、一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作 PEl于E，QFl于F则点P运动时间为多少时，PEC与QFC全等？ 【解答】解：设运动时间为t秒时，PECQFC ， PECQFC ， 斜边CPCQ， 有 2 种情况：P在AC上，Q在BC上， 6CPt，83CQt， 683tt ， 1t ； P、Q都在AC上，此时P、Q重合， 638CPtt ， 3.5t ； 答：点P运动1s或3.5s时，PEC与QFC全等 【变式变式 2 2- -4 4】 （2018 秋黄石港区期末）在平面直角坐标系中，点(0,6)A，(8,0)B，10AB ，如图作 DBOABO ，CAyBAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC
17、于点C （1）求证：ACOEDO ；求出线段AC、BD的位置关系和数量关系； （2） 动点P从A出发， 沿AOB路线运动， 速度为 1， 到B点处停止运动； 动点Q从B出发， 沿BOA 运动，速度为 2，到A点处停止运动二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止在某时刻， 作PGCD于点G，QFCD于点F问两动点运动多长时间时OPG与OQF全等？ 【解答】解： （1）如图，DBOABO ，OBAE， BAOBEO ， ABBE， AOOE， CAyBAO， CAyBEO， DEOCAO 在ACO与EDO中， CAODEO OAOE AOCDOE ， ()ACOEDO ASA ； 由知，ACO
18、EDO ， CD ，ACDE， / /ACBD，10ACBD； （2）设运动的时间为t秒， ( ) i当点P、Q分别在y轴、x轴上时POQO得：682tt ，解得2t （秒） ， ( )ii当点P、Q都在y轴上时POQO得：628tt ，解得 14 3 t （秒） ， ()iii当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则POQO得：628tt，解得2t （秒） 不合题意； 当点Q提前停止时，有66t ，解得12t （秒） ， 综上所述：当两动点运动时间为 2、14 3 、12 秒时，OPE与OQF全等 考点考点 3 3：直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定 【例题例题 3 3】 （
19、2019 秋桐梓县期末）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是( ) A两条直角边对应相等 B两个锐角对应相等 C斜边和一直角边对应相等 D斜边和一锐角对应相等 【解答】解：A、根据SAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意 B、AA不能判定三角形全等，本选项符合题意 C、根据HL可以判定三角形全等，本选项不符合题意 D、根据AAS可以判定三角形全等，本选项不符合题意 故选：B 【变式变式 3 3- -1 1】 （2019 春新泰市期末）下列说法，正确的是( ) A等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 C三角形一边上的中线将三角形分成周
20、长相等的两个三角形 D两边分别相等的两个直角三角形全等 【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，错误； B、到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，正确； C、三角形一边上的中线将三角形分成面积长相等的两个三角形，错误； D、若一个直角三角形的斜边和直角边与另一个直角三角形的两个直角边相等则这两个直角三角形不 全等，错误； 故选：B 【变式变式 3 3- -2 2】 （2019 秋勃利县期末）如图，ABBC、DCBC，垂足分别为B、C，6AB ，8BC ， 2CD ，点P为BC边上一动点，当BP 时，形成的Rt ABP与Rt PCD全等 【解答】解：当2
21、BP 时，Rt ABPRt PCD， 8BC ，2BP ， 6PC， ABBC、DCBC， 90BC ， 在ABP和PCD中 6 90 2 ABPC BC BPCD ， ()ABPPCD SAS ， 故答案为：2 【变式变式 3 3- -3 3】 （2012 春工业园区期末） 已知Rt ABC的两直角边不相等， 如果要画一个三角形与Rt ABC 全等， 且使所画三角形两条直角边与Rt ABC的两条直角边分别在同一条直线上(Rt ABC本身不算） ， 那么满足上述条件的三角形最多能画出 个 【解答】解：如图所示： AMC，EFC，EGC，HGC，HFC，BCN，MNC共 7 个， 故答案为：7
22、【变式变式 3 3- -4 4】（2019 秋北流市期末） 如图 （1） ，A B A D ，EDAD，ABCD，ACDE， 试说明BCCE 的理由； 如图 （2） ， 若ABC向右平移， 使得点C移到点D，ABAD，EDAD，ABCD，ADDE， 探索BDCE 的结论是否成立，并说明理由 【解答】解： （1）ABAD，EDAD， 90AD 又ABCD，ACDE， ABCDCE BDCE 90BACB， 90ACBDCE 90BCE， 即BCCE； （2）ABAD，EDAD， 90ACDE 又ABCD，ADDE， ABDDCE BDCE 90BADB， 90ADBDCE BDCE 【变式变式
23、3 3- -5 5】 （2018 秋洛南县期末） 如图，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F， 且D BD C， 求证：EBFC 【解答】证明：AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F， DEDF； DEAB于E，DFAC于F 在Rt DBE和Rt DCF中 DEDF DBDC Rt DBERt DCF(HL)； EBFC 考点考点 4 4：全等三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质 【例题例题 4 4】17 （2020 春泰山区期末）等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为 5，现把它们拼合起 来如图所示，E是AD上异于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，满足5AECF，当E
24、，F移动 时，BEF的形状为( ) A等边三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形非等边三角形 D直角三角形 【解答】解：BEF为等边三角形，理由如下： 等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为 5， 60ABDDBCBDEC ，BDBC，5AEDEDFCF， 5AECF， DECF， 在BDE和BCF中， DECF BDEBCF BDBC ， ()BDEBCF SAS ， BEBF，CBFDBE ， 又60CBFFBD， 60FBDDBE， 即60EBF， BEF为等边三角形， 故选：A 【变式变式 4 4- -1 1】 （2020 春靖远县期末）如图，在ABC中，90ACB，2BACB
25、，AD平分BAC， 交BC于点D，CEAD，DFAB， 垂足分别为E，F， 则下列结论中： DCEB ； 60ACE； BCADDF；直线DF垂直平分线段AB，正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：90ACB，2BACB ， 30B，60BAC， AD平分BAC， 30CADBAD ， CEAD， 90AEC， 9060ACECAD，故正确； 90ACB， 30DCEB ，故正确； 30DABB ， ADBD， DFAB， CDDF， BCADDF，故正确； ADBD，DFAB， AFBF， 直线DF垂直平分线段AB，故正确 故选：D 【变式变式 4 4- -2
26、2】 （2020 春槐荫区期末）如图，DAC和EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与 BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N， 有如下结论： ACEDCB ； 60DPA； ACDN；EMBN；/ /DCEB，其中正确结论是 （填序号） 【解答】解：DAC和EBC都是等边三角形， 60ACDBCE ， 120ACEDCB ， 在ACE与DCB中， ACDC ACEDCB CBCE ， ()ACEDCB SAS ，故正确； AECDBC ， 60ECB， 60EACAECECB ， 60APDEACABPEACAEC ，故正确； ACEDCB ， CAMCDN ， 在A
27、CM与DCN中， 60 CAMCDN ACDC ACMDCN ， ()ACMDCN ASA ， DNAM， 同理可得EMBN，故正确； 在AMC中，AMCMCN ， 180180606060MCNACDBCE ，60ACM， AMCACM ， ACAM， ACDN，故错误； 60DCEBEC ， / /CDBE，故正确； 故答案为： 【变式变式 4 4- -3 3】 （2019 秋瑶海区期末） 如图，ABC和EBD中，90ABCDBE ，ABCB，BEBD， 连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N （1）求证：AECD； （2）求证：AECD； （3） 连接BM， 有以下两个结
28、论： BM平分CBE； MB平分AMD 其中正确的有 （请写序号， 少选、错选均不得分） 【解答】 （1）证明：ABCDBE ， ABCCBEDBECBE ， 即ABECBD ， 在ABE和CBD中， ABCB ABECBD BEBD ， ABECBD ， AECD （2）ABECBD ， BAEBCD ， 180NMCBCDCNM，180ABCBAEANB， 又CNMANB ， 90ABC， 90NMC， AECD （3）结论： 理由：作BKAE于K，BJCD于J ABECBD ， AECD， ABECDB SS ， 11 22 AE BKCD BJ， BKBJ，作BKAE于K，BJCD于J
29、， BM平分AMD 不妨设成立，则CBMEBM ，则ABBD，显然不可能，故错误 故答案为 【变式变式4 4- -4 4】（2019秋扎鲁特旗期末） 已知BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DEAB， DFAC，垂足分别为E、F， （1）连接CD、BD，求证：CDFBDE ； （2）若5AE ，3AC ，求BE的长 【解答】证明： （1）AD平分BAE，DEAB，DFAC， DEDF， 又DG垂直平分BC， CDBD， 在Rt CDF和Rt BDE中 CDBD DFDE ， Rt CDFRt BDE(HL)， （2）在Rt ADF和Rt ADE中 ADAD DFDE ， Rt AD
30、FRt ADE(HL)， AEAF， Rt CDFRt BDE， BECF， 532CFAFAC， 2BE 考点考点 5 5：全等三角形的应用全等三角形的应用 【例题例题 5 5】 （2020 春涪城区期末）如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当 一端C下滑至 C 时，另一端D向右滑到 D ，则下列说法正确的是( ) A下滑过程中，始终有CCDD B下滑过程中，始终有CCDD C若OCOD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CCDD D若OCOD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CCDD 【解答】解：将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下
31、滑至 C 时，另一端 D向右滑到 D ， 可得：CDC D ， A、下滑过程中， CC 与 DD 不一定相等，说法错误； B、下滑过程中，当OCD与OD C 全等时，CCDD，说法错误； C、若OCOD，则下滑过程中，不存在某个位置使得CCDD，说法错误； D、若OCOD，则下滑过程中，当OCD与OD C 全等时，一定存在某个位置使得CCDD，说法 正确； 故选：D 【变式变式 5 5- -1 1】 （2020 春长清区期末）如图，两根旗杆间相距 20 米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间 后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90，且CMDM已知旗杆BD 的高为 1
32、2 米，该人的运动速度为 2 米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 秒 【解答】解：90CMD， 90CMADMB， 又90CAM， 90CMAC， CDMB 在Rt ACM和Rt BMD中， AB CDMB CMMD ， Rt ACMRt BMD(AAS)， 12BDAM米， 20128BM（米） ， 该人的运动速度为2/m s， 他到达点M时，运动时间为824( ) s 故答案为 4 【变式变式 5 5- -2 2】 （2019 秋松滋市期末）王强同学用 10 块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面 垂直的木墙， 木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(,90 )ACBCACB
33、， 点C在DE上， 点A和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm 【解答】解：由题意得：ACBC，90ACB，ADDE，BEDE， 90ADCCEB ， 90ACDBCE，90ACDDAC， BCEDAC ， 在ADC和CEB中， ADCCEB DACBCE ACBC ， ()ADCCEB AAS ； 由题意得：6ADECcm，14DCBEcm， 20()DEDCCEcm， 答：两堵木墙之间的距离为20cm 故答案是：20 【变式变式 5 5- -3 3】 （2018 秋宿松县期末） （1）问题背景： 如图 1：在四边形ABCD中，ABAD，120BAD，90BADC ，E、F
34、分别是BC，CD上的 点且EAF 60，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DGBE连结AG，先证明ABEADG ，再证明 AEFAGF ，可得出结论，他的结论应是 ； （2）探索延伸：如图 2，若在四边形ABCD中，ABAD，180BDE，F分别是BC，CD上 的点，且 1 2 EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥 中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 45 海里/小时的速度前进
35、，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以 60 海里/小时的速度前进，2 小时后，指挥中 心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离 【解答】解： （1）EFBEDF，证明如下： 在ABE和ADG中， DGBE BADG ABAD ， ()ABEADG SAS ， AEAG，BAEDAG ， 1 2 EAFBAD， GAFDAGDAFBAEDAFBADEAFEAF ， EAFGAF ， 在AEF和GAF中， AEAG EAFGAF AFAF ， ()AEFAGF SAS ， EFFG， FGDGDFBEDF， EFBEDF； 故答案为EFBEDF （2）结论
36、EFBEDF仍然成立； 理由：延长FD到点G使DGBE连结AG，如图 2， 在ABE和ADG中， DGBE BADG ABAD ， ()ABEADG SAS ， AEAG，BAEDAG ， 1 2 EAFBAD， GAFDAGDAFBAEDAFBADEAFEAF ， EAFGAF ， 在AEF和GAF中， AEAG EAFGAF AFAF ， ()AEFAGF SAS ， EFFG， FGDGDFBEDF， EFBEDF； （3）如图 3，连接EF，延长AE、BF相交于点C， 3090(9070 )140AOB ，70EOF， 1 2 EOFAOB， 又OAOB，(9030 )(7050 )180OACOBC ， 符合探索延伸中的条件， 结论EFAEBF成立， 即2 (4560)210EF （海里） 答：此时两舰艇之间的距离是 210 海里
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