1、20202020- -20212021 学年江西省吉安市七校联盟九年级学年江西省吉安市七校联盟九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1（3 分）下列方程是一元二次方程的是（ ） Aax 2+bx+c0 Bx 2+2xx21 Cx 2 20 D3x 2+12x+2 2（3 分）已知，则的值是（ ） A B C D 3（3 分）有 6 张扑克牌面数字分别是 3，4，5，7，8，10 从中随机抽取一张点数为偶数的概率是（ ） A B C D 4（3 分）2012 年达州市政府投资 2 亿元人民币建设了廉租房 8 万平方米，预计 2014 年投资 10 亿元人民 币建设廉租房，若在
2、这两年内每年投资的增长率相同设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列 出方程为（ ） A2（1+x） 210 B2（1+x）+2（1+x） 210 C2+2（1+x）+2（1+x） 210 D2（1+x）10 5（3分） 已知三角形的两边长分别为4和6， 第三边是方程x 217x+700的根， 则此三角形的周长是 （ ） A10 B17 C20 D17 或 20 6（3 分）如图，在 RtABC中，ABAC，D，E是斜边BC上两点，且DME45，将ADC绕点A顺时 针旋转 90后， 得到AFB， 连接EF， 下列结论： AEDAEF； ABEACD； BE+DCDE； BE 2+DC2 DE
3、 2其中正确的是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1818 分）分） 7（3 分）若关于x的方程（a1）x+2x70 是一元二次方程，则a 8（3分） 如果菱形的两条对角线的长为a和b， 且a，b满足 （a1） 2+ 0， 那么菱形的面积等于 9（3 分）若x1，x2是一元二次方程x 2+10 x10 的两个根，则（x 1+1）（x2+1）的值是 10（3 分）现有 5 张正面分别标有数字3，1，1，2，4 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同， 将它们背面朝上洗均匀， 随机抽取一
4、张， 记下数字后放回， 背面朝上洗均匀， 再随机抽取一张记下数字， 前后两次抽取的数字分别记为m，n则一次函数ymx+n经过第一、二、四象限的概率是 11（3 分）如图，在ABC中，ACAB，点D在BC上，且BDBA，ABC的平分线BE交AD于点E，点F 是AC的中点，连结EF若四边形DCFE和BDE的面积都为 3，则ABC的面积为 12（3 分）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点 B落在点B处当CEB为直角三角形时，BE的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 3030 分）
5、分） 13（6 分）解下列方程： （1）（2x+1） 23（2x+1）； （2）2x 2+5x10 14（6 分）如图，在ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DEBC，EFAB若AB8，BD3， BF4，求FC的长 15（6 分）如图，网格图的每个小正方形边长均为 1OAB的顶点均在格点上已知OAB与OAB 是以O为位似中心的位似图形，且位似比为 1：3 （1）请在第一象限内画出OAB； （2）试求出OAB的面积 16（6 分）端午节是我国传统佳节小峰同学带了 4 个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个 肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的
6、好朋友小悦 （1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果； （2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率 17 （6 分） 如图， 在四边形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，AOCO，BODO， 且ABC+ADC180 （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若ADF：FDC3：2，DFAC，求BDF的度数 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18（8 分）阅读下面的材料，回答问题： 解方程x 45x2+40，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2y，那么 x 4y2，于是原方程可变为 y 25y+40 ，解得 y1
7、1，y24 当y1 时，x 21，x1； 当y4 时，x 24，x2； 原方程有四个根：x11，x21，x32，x42 （1）在由原方程得到方程的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想 （2）解方程（x 2+x）24（x2+x）120 19 （8 分） 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件， 每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加利润， 尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天 可多售出 2 件； （1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 20
8、（8 分）如图，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以 1cm/s 的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以 2cm/s的速度移动 （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为 8 平方厘米？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半？若存在， 求出运动的时间；若不存在，说明理由 五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21（9 分）关于x的一元二次方程（m1）x 22mx+m+10 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根 （2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？ （3）若ABC
9、的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为 5，当ABC是等腰三角 形时，求m的值 22（9 分）如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH 称为中点四边形连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形 （1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现： 当四边形ABCD的对角线满足ACBD时，四边形EFGH为菱形 当四边形ABCD的对角线满足 时，四边形EFGH为矩形； 当四边形ABCD的对角线满足 时，四边形EFGH为正方形； （2）探索三角形AEH、三角形CFG与四
10、边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加 以证明； （3）如果四边形ABCD的面积为 2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？ 六.解答题（本大题共 1 小题，共 12 分） 23（12 分）如图，已知四边形ABCD中，ABDC，ABDC，且AB6cm，BC8cm，对角线AC10cm （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒 5cm的速度向A点匀速移动，同时动点P从点 B出发，在BC边上以每秒 4cm的速度向C点匀速移动，运动时间为t秒（0t2），连接BQ、AP，若 APBQ，求t的值； （3）如图（3），若点Q在对角线AC上
11、，CQ4cm，动点P从B点出发，以每秒 1cm的速度沿BC运动至 点C止设点P运动了t秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是 等腰三角形？请求出所有可能的结果 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1（3 分）下列方程是一元二次方程的是（ ） Aax 2+bx+c0 Bx 2+2xx21 Cx 2 20 D3x 2+12x+2 解：A、当a0 时，ax 2+bx+c0 不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、由已知方程得到：2x+10，属于一元一次方程，故本选项不符合题意； C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题
12、意； D、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D 2（3 分）已知，则的值是（ ） A B C D 解：令a，b分别等于 13 和 5， ， a13，b5 ； 故选：D 3（3 分）有 6 张扑克牌面数字分别是 3，4，5，7，8，10 从中随机抽取一张点数为偶数的概率是（ ） A B C D 解：有 6 张扑克牌面数字分别是 3，4，5，7，8，10，其中点数为偶数的有 3 张， 从中随机抽取一张点数为偶数的概率是 故选：D 4（3 分）2012 年达州市政府投资 2 亿元人民币建设了廉租房 8 万平方米，预计 2014 年投资 10 亿元人民 币建设廉租房，若在这两年内每年投资
13、的增长率相同设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列 出方程为（ ） A2（1+x） 210 B2（1+x）+2（1+x） 210 C2+2（1+x）+2（1+x） 210 D2（1+x）10 解：设每年的增长率为x，根据题意得 2（1+x） 210， 故选：A 5（3分） 已知三角形的两边长分别为4和6， 第三边是方程x 217x+700的根， 则此三角形的周长是 （ ） A10 B17 C20 D17 或 20 解：x 217x+700， （x10）（x7）0， x110，x27， 4+610，无法构成三角形， 此三角形的周长是：4+6+717， 故选：B 6（3 分）如图，在 RtAB
14、C中，ABAC，D，E是斜边BC上两点，且DME45，将ADC绕点A顺时 针旋转 90后， 得到AFB， 连接EF， 下列结论： AEDAEF； ABEACD； BE+DCDE； BE 2+DC2 DE 2其中正确的是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：在 RtABC中，ABAC， BAC90，ABCC45， DAE45， BAE+DAC45， 将ADC绕点A顺时针旋转 90后，得到AFB， BAFCAD，AFAD，BFCD，ABFC45， EAFBAF+BAE45， EAFEAD，EBF90， AEDAEF，正确， DEEF， 在BEF中，BE+BFEF， BE+CDEF，错
15、误， BAE与CAD的大小无法确定， ABE与ACD是否相似无法确定，故错误； 在 RtBEF中，BE 2+BF2EF2， BE 2+DC2DE2；正确； 故选：B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7（3 分）若关于x的方程（a1）x+2x70 是一元二次方程，则a 1 解：关于x的方程（a1）x+2x70 是一元二次方程， a 2+12 且 a10， 解得a1， 故答案为：1 8（3 分）如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a1） 2+ 0，那么菱形的面积等于 2 解：由题意得，a10，b40， 解得a1，b4， 菱形的两条对角线的长为a和b， 菱
16、形的面积142 故答案为：2 9（3 分）若x1，x2是一元二次方程x 2+10 x10 的两个根，则（x 1+1）（x2+1）的值是 10 解：由根与系数的关系可知：x1+x210，x1x21， （x1+1）（x2+1）（x1+x2）+x1x2+1101+110， 故答案为：10 10（3 分）现有 5 张正面分别标有数字3，1，1，2，4 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同， 将它们背面朝上洗均匀， 随机抽取一张， 记下数字后放回， 背面朝上洗均匀， 再随机抽取一张记下数字， 前后两次抽取的数字分别记为m，n则一次函数ymx+n经过第一、二、四象限的概率是 解：根据题意画图如下： 共有
17、 25 种等可能的情况数，其中一次函数ymx+n经过第一、二、四象限的有 6 种， 则一次函数ymx+n经过第一、二、四象限的概率是； 故答案为： 11（3 分）如图，在ABC中，ACAB，点D在BC上，且BDBA，ABC的平分线BE交AD于点E，点F 是AC的中点，连结EF若四边形DCFE和BDE的面积都为 3，则ABC的面积为 10 解：BDAB，BE是ABC的平分线， AEDE， BDE的面积与ABE的面积均为 3， 又点F是AC的中点， EF是ACD的中位线， 2EFCD，EFDC， AEFADC， SACD4SAEF， 四边形CDEF的面积为 3， ACD的面积为 4， ABC的面积
18、为 3+3+410 故答案为：10 12（3 分）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点 B落在点B处当CEB为直角三角形时，BE的长为 或 3 解：当CEB为直角三角形时，有两种情况： 当点B落在矩形内部时，如答图 1 所示 连结AC， 在 RtABC中，AB3，BC4， AC5， B沿AE折叠，使点B落在点B处， ABEB90， 当CEB为直角三角形时，只能得到EBC90， 点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处， EBEB，ABAB3， CB532， 设BEx，则EBx，CE4x， 在 RtCEB中， EB 2+
19、CB2CE2， x 2+22（4x）2，解得 x， BE； 当点B落在AD边上时，如答图 2 所示 此时ABEB为正方形，BEAB3 综上所述，BE的长为或 3 故答案为：或 3 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13（6 分）解下列方程： （1）（2x+1） 23（2x+1）； （2）2x 2+5x10 解：（1）（2x+1） 23（2x +1）0， （2x+1）（2x+13）0， 2x+10 或 2x+130， 所以x1，x21； （2）a2，b5，c1， 5 242（1）33， x， x1，x2 14（6 分）如图，在ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，
20、BC上，DEBC，EFAB若AB8，BD3， BF4，求FC的长 解：DEBC，EFAB， 四边形BDEF为平行四边形， EFBD3， EFAB， CEFCAB， ，即， FC 15（6 分）如图，网格图的每个小正方形边长均为 1OAB的顶点均在格点上已知OAB与OAB 是以O为位似中心的位似图形，且位似比为 1：3 （1）请在第一象限内画出OAB； （2）试求出OAB的面积 【解答】解；（1）如图所示：OAB即为所求； （2）OAB的面积为：121 16（6 分）端午节是我国传统佳节小峰同学带了 4 个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个 肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准
21、备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦 （1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果； （2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率 解：（1）肉粽记为A、红枣粽子记为B、豆沙粽子记为C，由题意可得， （2）由（1）可得， 小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是：， 即小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是 17 （6 分） 如图， 在四边形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，AOCO，BODO， 且ABC+ADC180 （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若ADF：FDC3：2，DFAC，求BDF的度数 【解答】（1）证明：AOCO，BODO， 四边形ABCD是平行四边形
22、， ABCADC， ABC+ADC180， ABCADC90， 四边形ABCD是矩形； （2）解：ADC90，ADF：FDC3：2， FDC36， DFAC， DCO903654， 四边形ABCD是矩形， COOD， ODCDCO54， BDFODCFDC18 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18（8 分）阅读下面的材料，回答问题： 解方程x 45x2+40，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2y，那么 x 4y2，于是原方程可变为 y 25y+40 ，解得 y11，y24 当y1 时，x 21，x1； 当y4 时，x 24，x2； 原方
23、程有四个根：x11，x21，x32，x42 （1）在由原方程得到方程的过程中，利用 换元 法达到 降次 的目的，体现了数学的转化思想 （2）解方程（x 2+x）24（x2+x）120 解：（1）换元，降次 （2）设x 2+xy，原方程可化为 y 24y120， 解得y16，y22 由x 2+x6，得 x13，x22 由x 2+x2，得方程 x 2+x+20， b 24ac14270，此时方程无实根 所以原方程的解为x13，x22 19 （8 分） 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件， 每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加利润， 尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现
24、，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天 可多售出 2 件； （1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 解：（1）设每件衬衫应降价x元， 根据题意得（40 x）（20+2x）1200， 整理得 2x 260 x+4000 解得x120，x210 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降 20 元 答：每件衬衫应降价 20 元 （2）设商场平均每天赢利y元，则 y（20+2x）（40 x） 2x 2+60 x+800 2（x 230 x400）2（x15）2625 2（x15） 2+
25、1250 当x15 时，y取最大值，最大值为 1250 答：每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为 1250 元 20（8 分）如图，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以 1cm/s 的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以 2cm/s的速度移动 （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为 8 平方厘米？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半？若存在， 求出运动的时间；若不存在，说明理由 解：（1）设x秒钟后，可使PCQ的面积为 8 平方厘米，由题意得： （6x）2x8， x
26、2 或x4， 当 2 秒或 4 秒时，面积可为 8 平方厘米； （2）不存在 理由：设y秒时，PCQ的面积等于ABC的面积的一半，由题意得： （6y）2y68 y 26y+120 364120 方程无解，所以不存在 五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21（9 分）关于x的一元二次方程（m1）x 22mx+m+10 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根 （2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？ （3）若ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为 5，当ABC是等腰三角 形时，求m的值 解：（1）（2m） 24（m1）（m+1）40， 方程总
27、有两个不相等的实数根； （2）（m1）x 22mx+m+10， （m1）x（m+1）（x1）0， x1，x21， 此方程的两个根都是正整数， 0， 当m+10，m10 时，解得m1， 当m+10，m10 时，解得m1， m2 或m3； （3）一元二次方程（m1）x 22mx+m+10 的解为 x1，x21， ABC是等腰三角形，第三边BC的长为 5， 5， 解得m1.5， 经检验，m1.5 是原方程的解 故m的值是 1.5 22（9 分）如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH 称为中点四边形连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一
28、定是平行四边形 （1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现： 当四边形ABCD的对角线满足ACBD时，四边形EFGH为菱形 当四边形ABCD的对角线满足 ACBD 时，四边形EFGH为矩形； 当四边形ABCD的对角线满足 ACBD且ACBD 时，四边形EFGH为正方形； （2）探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加 以证明； （3）如果四边形ABCD的面积为 2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？ 解：（1）若四边形EFGH为矩形，则应有EFHGAC，EHFGBD，EFEH，故应有ACBD； 若
29、四边形EFGH为正方形，同上应有ACBD，又应有EHEF，而EFAC，EHBD，故应有ACBD （2）SAEH+SCFGS四边形ABCD 证明：在ABD中， EHBD， AEHABD 即SAEHSABD 同理可证：SCFGSCBD SAEH+SCFG（SABD+SCBD）S四边形ABCD （3）由（2）可知SAEH+SCFG（SABD+SCBD）S四边形ABCD， 同理可得SBEF+SDHG（SABC+SCDA）S四边形ABCD， 故SEFGHS四边形ABCD1 六.解答题（本大题共 1 小题，共 12 分） 23（12 分）如图，已知四边形ABCD中，ABDC，ABDC，且AB6cm，BC8
30、cm，对角线AC10cm （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒 5cm的速度向A点匀速移动，同时动点P从点 B出发，在BC边上以每秒 4cm的速度向C点匀速移动，运动时间为t秒（0t2），连接BQ、AP，若 APBQ，求t的值； （3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ4cm，动点P从B点出发，以每秒 1cm的速度沿BC运动至 点C止设点P运动了t秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是 等腰三角形？请求出所有可能的结果 【解答】（1）证明：ABDC，ABDC， 四边形ABCD是平行四边形， AB 2+BC
31、262+82100，AC2100， AB 2+BC2AC2， B90， 平行四边形ABCD为矩形； （2）解：作QEBC于E， 由题意得CQ5t，BP4t， QEBC，ABBC， QEAB， CQECAB， ，即， 解得，QE3t， EC4t， BE84t， APBQ，ABBC， BAPEBQ，又ABPBEQ， ABPBEQ， ，即， 解得，t； （3）当CPCQ4 时，BP844， 则点P运动了 4 秒； 当QPQC时，作QEBC于E， 由（2）可知，CQECAB， ，即， 解得，CE3.2， QPQC，QEBC， PECE3.2， BP86.41.6， 则点P运动了 1.6 秒； 当PCPQ时，作PHCA于H， 则CHHQ2， ABBC，PHCA， CPHCAB， ，即， 解得，CP2.5， BP82.55.5， 则点P运动了 5.5 秒， 综上所述，从运动开始，经过 4 秒或 1.6 秒或 5.5 秒，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形
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