1、2020-2021 学年山西省晋中市寿阳县八年级（上）期中数学试卷学年山西省晋中市寿阳县八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把正确答案的标号用题目要求，把正确答案的标号用 2B 铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上）铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上） 1在下列实数中，是无理数的为（ ） A0 B C D 2如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A （5，2） B （6，3） C （4，6） D （3，4）
2、 3下列图象中，表示 y 是 x 的函数的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A B C D 5下列计算正确的是（ ） A B C D 6下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） Acm，2cm，cm B1cm，1cm，cm C1cm，2cm，cm D5cm，12cm，13cm 7如果 P（m+3，2m+4）在 y 轴上，那么点 P 的坐标是（ ） A （2，0） B （0，2） C （1，0） D （0，1） 8如图，CB1，且 OAOB，BCOC，则点 A 在数轴上表示的实数是（ ） A B C D
3、9如图，某自动感应门的正上方 A 处装着一个感应器，离地 AB2.5 米，当人体进入感应器的感应范围内 时，感应门就会自动打开一个身高 1.6 米的学生 CD 正对门，缓慢走到离门 1.2 米的地方时（BC1.2 米） ，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离 AD 等于（ ） A1.2 米 B1.5 米 C2.0 米 D2.5 米 10如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB9cm，BC6cm，BF5cm，点 M 在棱 AB 上，且 AM 3cm，点 N 是 FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点 M 爬行到点 N，它需要爬行的最短 路程为（ ） A10cm Bcm C （6+
4、）cm D9cm 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若函数 y（m3）x|m 2|+3 是一次函数，则 m 的值为 12已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下： 码 35 36 37 38 39 40 厘米 22.5 23 23.5 24 24.5 25 设鞋子的“码”数为 x，长度为 y（厘米） ，那么 y 与 x 之间的关系式是 13如果点 P（x，y）的坐标满足 x+yxy，那么称点 P 为“和谐点” ，若某个“和谐点”P 到 y 轴的距离为 3，则 P 点的坐标为 14如图，在平面直角坐标系中有一个长方形 ABCO，C 点在 x 轴上，A
5、 点在 y 轴上，B 点坐标（8，4） ，将 长方形沿 EF 折叠，使点 B 落到原点 O 处，点 C 落到点 D 处，则 OF 的长度是 15观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：324+5； 列举：5、12、13，猜想：5212+13； 列举：7、24、25，猜想：7224+25； 列举：13、b、c，猜想：132b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得 b ，c 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 75 分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16 （16 分）计算 （1）； （2）；
6、 （3）； （4） 17 （7 分）已知 x2，y2+，求：x2+xy+y2的值 18 （6 分）如图所示，ABC 在正方形网格中，若点 A 的坐标为（0，3） ，按要求回答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系； （2）根据所建立的坐标系，写出点 B 和点 C 的坐标； （3）作出ABC 关于 x 轴的对称图形ABC （不用写作法） 19 （9 分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分 别按下列要求画三角形 （1）在图 1 中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图 2 中，画一个三角形，使它的三边长分别为 3，2，； （
7、3）在图 3 中，画一个三角形，使它的面积为 5 20 （7 分）求代数式 a+的值，其中 a2020 如图是小亮和小芳的解答过程 （1） 的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）求代数式 a+2的值，其中 a2019 21 （10 分）某种子商店销售玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择 方案一：每千克种子价格为 4 元，无论购买多少均不打折； 方案二：购买 3 千克以内（含 3 千克）的价格为每千克 5 元，若一次性购买超过 3 千克的，则超过 3 千 克的部分的种子价格打 7 折 （1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量 x（千克
8、） （x3）和付款金额 y（元）之间的函数关 系式； （2）王伯伯要买 20 千克玉米种子，选哪种方案合适？说明理由 （3）李叔叔花了 36 元，最多可买多少千克玉米种子？ 22 （8 分）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上他想知道风筝距地面的高度于是他先 拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出 1 米，然后把风筝线沿直线向后拉开 5 米，发现风筝线末端 刚好接触地面（如图为示意图） 请你帮小旭求出风筝距离地面的高度 AB 23 （12 分） 【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理在 我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我
9、国汉代数学家赵爽为了验证勾股定 理，创制了一幅“弦图” （如图 1） ，后人称之为“赵爽弦图” ，流传至今 【实践操作】 （1）请叙述勾股定理； （2）验证勾股定理，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该 定理： （以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】 （1）如图 4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边 三角形，这三个图形中面积关系满足 S1+S2S3的有 个； （2）如图 7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积 分别为 S1、S2，直角三角形面积为 S3，请
10、判断 S1、S2、S3的关系并说明理由 2020-2021 学年山西省晋中市寿阳县八年级（上）期中数学试卷学年山西省晋中市寿阳县八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把正确答案的标号用题目要求，把正确答案的标号用 2B 铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上）铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上） 1在下列实数中，是无理数的为（ ） A0 B C D 【分析】根据无理数的概念
11、判断即可 【解答】解：A、0 是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、是分数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、3，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：C 2如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A （5，2） B （6，3） C （4，6） D （3，4） 【分析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案 【解答】解：根据图示，小手盖住的点在第四象限， 第四象限的点坐标特点是：横正纵负； 分析选项可得只有 D 符合 故选：D 3下列图象中，表示 y 是 x 的函数的个数有（ ） A1 个
12、 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据函数的定义可知，满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即 可确定函数的个数 【解答】解：第一个图象，对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是函数图象； 第二个图象，对每一个 x 的值，都有唯一确定的 y 值与之对应，是函数图象； 第三个图象，对给定的 x 的值，有两个 y 值与之对应，不是函数图象； 第四个图象，对给定的 x 的值，有两个 y 值与之对应，不是函数图象 综上所述，表示 y 是 x 的函数的有第一个、第二个，共 2 个 故选：B 4下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A B C D 【分
13、析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同 时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 【解答】解：A、被开方数含分母，故 A 错误； B、被开方数含分母，故 B 错误； C、被开方数含能开得尽方的因数，故 C 错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故 D 正确； 故选：D 5下列计算正确的是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式的加减法对 A、D 进行判断；根据分母有理化对 B 进行判断；利用平方差公式对 C 进行判断 【解答】解：A、原式2，所以 A 选项错误； B、原式31，所以 B 选项正确； C、原式4
14、51，所以 C 选项错误； D、原式，所以 D 选项错误 故选：B 6下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） Acm，2cm，cm B1cm，1cm，cm C1cm，2cm，cm D5cm，12cm，13cm 【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方 【解答】解：A、 （）2+22（）2，不能构成直角三角形； B、12+12（）2，能构成直角三角形； C、12+22（）2，能构成直角三角形； D、52+122132，能构成直角三角形 故选：A 7如果 P（m+3，2m+4）在 y 轴上，那么点 P 的坐标是（ ） A （2，0）
15、B （0，2） C （1，0） D （0，1） 【分析】根据点在 y 轴上，可知 P 的横坐标为 0，即可得 m 的值，再确定点 P 的坐标即可 【解答】解：P（m+3，2m+4）在 y 轴上， m+30， 解得 m3，2m+42， 点 P 的坐标是（0，2） 故选：B 8如图，CB1，且 OAOB，BCOC，则点 A 在数轴上表示的实数是（ ） A B C D 【分析】在 RTBCO 中，利用勾股定理求出 BO 即可知道 OA 的长得出结论 【解答】解：BCOC， BCO90， BC1，CO2， OBOA， 点 A 在原点左边， 点 A 表示的实数是 故选：D 9如图，某自动感应门的正上方
16、A 处装着一个感应器，离地 AB2.5 米，当人体进入感应器的感应范围内 时，感应门就会自动打开一个身高 1.6 米的学生 CD 正对门，缓慢走到离门 1.2 米的地方时（BC1.2 米） ，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离 AD 等于（ ） A1.2 米 B1.5 米 C2.0 米 D2.5 米 【分析】过点 D 作 DEAB 于点 E，构造 RtADE，利用勾股定理求得 AD 的长度即可 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 于点 E， AB2.5 米，BECD1.6 米，EDBC1.2 米， AEABBE2.51.60.9（米） 在 RtADE 中，由勾股定理得到：AD1.5（
17、米） 故选：B 10如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB9cm，BC6cm，BF5cm，点 M 在棱 AB 上，且 AM 3cm，点 N 是 FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点 M 爬行到点 N，它需要爬行的最短 路程为（ ） A10cm Bcm C （6+）cm D9cm 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出 MN 的长即可 【解答】解：如图 1， AB9cm，BC6cm，BF5cm， BM936，BN5+38， MN10； 如图 2， AB9cm，BCGF6cm，BF5cm， PM93+39，NP5， MN， 10， 蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的
18、最短距离为 10 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若函数 y（m3）x|m 2|+3 是一次函数，则 m 的值为 1 【分析】利用一次函数定义可得|m2|1，且 m30，再解不等式和方程可得 m 的值 【解答】解：由题意得： |m2|1，且 m30， 解得：m1， 故答案为：1 12已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下： 码 35 36 37 38 39 40 厘米 22.5 23 23.5 24 24.5 25 设鞋子的“码”数为 x，长度为 y（厘米） ，那么 y 与 x 之间的关系式是 yx+5 【分析】根据鞋子的“码”数与长
19、度之间的关系，通过表格数据得出相应的规律，从而得出答案 【解答】解：（35+10）222.5， （36+10）223， （37+10）223.5， （38+10）224， （39+10）224.5， （40+10）225， y（x+10）2x+5， 故答案为：yx+5 13如果点 P（x，y）的坐标满足 x+yxy，那么称点 P 为“和谐点” ，若某个“和谐点”P 到 y 轴的距离为 3，则 P 点的坐标为 （3，）或（3，） 【分析】直接利用某个“和谐点”到 y 轴的距离为 3，得出 x 的值，进而求出 y 的值求出答案 【解答】解：某个“和谐点”到 y 轴的距离为 3， x3， x+yxy
20、， y33y， 解得：y或 y， 则 P 点的坐标为： （3，）或（3，） 故答案为： （3，）或（3，） 14如图，在平面直角坐标系中有一个长方形 ABCO，C 点在 x 轴上，A 点在 y 轴上，B 点坐标（8，4） ，将 长方形沿 EF 折叠，使点 B 落到原点 O 处，点 C 落到点 D 处，则 OF 的长度是 5 【分析】由题意得到 BCOD4，DFFC，然后根据勾股定理求出 OF 的长， 【解答】解：由题意可知 ODBC，DFFC， B 点坐标（8，4） ， OC8，BCOD4， 在 RtODF 中，DF2+OD2OF2， 即（8OF）2+42OF2， 解得 OF5， 故答案为 5
21、 15观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：324+5； 列举：5、12、13，猜想：5212+13； 列举：7、24、25，猜想：7224+25； 列举：13、b、c，猜想：132b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得 b 84 ，c 85 【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从 3 开始连续的 奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第 n 组数为（2n+1） ， （） ， （） ，由此规律解决问题 【解答】解：在 324+5 中，4，5； 在 5212+13 中，12，13； 则在 13
22、、b、c 中，b84，c85 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 75 分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16 （16 分）计算 （1）； （2）； （3）； （4） 【分析】 （1）利用二次根式的性质化简； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （3）根据二次根式的除法法则运算； （4）根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算 【解答】解： （1）原式 ； （2）原式32+ ； （3）原式2（） 2（23） 22+3 3； （4）原式22（13） 22+2 42 17 （7 分）已知
23、x2，y2+，求：x2+xy+y2的值 【分析】将 x2+xy+y2变形为 x2+2xy+y2xy，得到原式（x+y）2xy，再把 x2，y2+代入 计算即可求解 【解答】解：x2，y2+， x2+xy+y2 x2+2xy+y2xy （x+y）2xy （2+2+）2（2） （2+） 164+3 15 18 （6 分）如图所示，ABC 在正方形网格中，若点 A 的坐标为（0，3） ，按要求回答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系； （2）根据所建立的坐标系，写出点 B 和点 C 的坐标； （3）作出ABC 关于 x 轴的对称图形ABC （不用写作法） 【分析】 （1）根据点 A 的坐
24、标为（0，3） ，即可建立正确的平面直角坐标系； （2）观察建立的直角坐标系即可得出答案； （3）分别作点 A，B，C 关于 x 轴的对称点 A，B，C，连接 AB，BC，CA则AB C即为所求 【解答】解： （1）所建立的平面直角坐标系如下所示： （2）点 B 和点 C 的坐标分别为：B（3，1）C（1，1） ； （3）所作ABC如下图所示 19 （9 分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分 别按下列要求画三角形 （1）在图 1 中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图 2 中，画一个三角形，使它的三边长分别为 3，2，； （3
25、）在图 3 中，画一个三角形，使它的面积为 5 【分析】 （1）直接利用网格结合勾股定理得出答案； （2）直接利用网格结合勾股定理进而得出答案； （3）直接利用网格结合勾股定理进而得出答案 【解答】解： （1）如图 1 所示，即为所求； （2）如图 2 所示，即为所求； （3）如图 3 所示，即为所求 20 （7 分）求代数式 a+的值，其中 a2020 如图是小亮和小芳的解答过程 （1） 小芳 的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： |a| ； （3）求代数式 a+2的值，其中 a2019 【分析】 （1）根据题目中的解答过程，可以得到哪位同学做错了； （2）根
26、据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用被开方的数具有非负性； （3）根据题目中的式子和 a 的值，可以求得所求式子的值 【解答】解： （1）a2020， 1a1（2020）2021， 故小芳开方时，出现错误， 故答案为：小芳； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：|a|， 故答案为：|a|； （3）a+2 a+2， a2019， a30， 原式a+2（3a）a+62a6a6（2019）6+20192025， 即代数式 a+2的值是 2025 21 （10 分）某种子商店销售玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择 方案一：每千克种子价格为 4 元，无论购买多少
27、均不打折； 方案二：购买 3 千克以内（含 3 千克）的价格为每千克 5 元，若一次性购买超过 3 千克的，则超过 3 千 克的部分的种子价格打 7 折 （1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量 x（千克） （x3）和付款金额 y（元）之间的函数关 系式； （2）王伯伯要买 20 千克玉米种子，选哪种方案合适？说明理由 （3）李叔叔花了 36 元，最多可买多少千克玉米种子？ 【分析】 （1）根据题意可以得到方案一和方案二中购买的种子数量 x（千克） （x3）和付款金额 y（元） 之间的函数关系式； （2）先判断哪种方案合适，然后将 x20 代入（1）中的函数关系式，求出相应的函数值，比较
28、大小， 即可说明理由； （3）将 y36 代入（1）中的函数解析式，即可得到 x 的值，从而可以求得最多可买多少千克玉米种子 【解答】解： （1）由题意可得， 方案一中，购买的种子数量 x（千克） （x3）和付款金额 y（元）之间的函数关系式是 y4x， 方案二中，购买的种子数量 x（千克） （x3）和付款金额 y（元）之间的函数关系式是：y53+50.7 （x3）3.5x+4.5； （2）王伯伯要买 20 千克玉米种子，选方案二合适， 理由：当 x20 时， 方案一的花费为：y42080，方案二的花费为：y3.520+4.574.5， 8074.5， 王伯伯要买 20 千克玉米种子，选方案二
29、合适； （3）当 y36 时， 方案一可以购买玉米种子的质量为：3649（千克） ， 方案二可以购买玉米种子的质量为： （364.5）3.59（千克） ， 即李叔叔花了 36 元，最多可买 9 千克玉米种子 22 （8 分）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上他想知道风筝距地面的高度于是他先 拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出 1 米，然后把风筝线沿直线向后拉开 5 米，发现风筝线末端 刚好接触地面（如图为示意图） 请你帮小旭求出风筝距离地面的高度 AB 【分析】设 ABx，则 ACx+1，依据勾股定理即可得到方程 x2+52（x+1）2，进而得出风筝距离地面 的高度 AB 【解
30、答】解：设 ABx，则 ACx+1， 由图可得，ABC90，BC5， RtABC 中，AB2+BC2AC2， 即 x2+52（x+1）2， 解得 x12， 答：风筝距离地面的高度 AB 为 12 米 23 （12 分） 【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理在 我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定 理，创制了一幅“弦图” （如图 1） ，后人称之为“赵爽弦图” ，流传至今 【实践操作】 （1）请叙述勾股定理； （2）验证勾股定理，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验
31、证该 定理： （以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】 （1）如图 4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边 三角形，这三个图形中面积关系满足 S1+S2S3的有 3 个； （2）如图 7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积 分别为 S1、S2，直角三角形面积为 S3，请判断 S1、S2、S3的关系并说明理由 【分析】 【实践操作】 （1）勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2+b2c2 （2）在图 1 中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间
32、小正方形面积的和，即可 得：a2+b2c2在图 2 中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积 的和即可得：a2+b2c2 在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和即可得：a2+b2c2 【探索发现】 （1）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足 S1+S2S3的有 3 个； （2）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：S1+S2S3 【解答】解： 【实践操作】 （1）如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2+b2c2 （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 ） （2）证明：在图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和 即 c2ab4+（ba）2， 化简得：a2+b2c2 在图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和 即（a+b）2c2+ab4， 化简得：a2+b2c2 在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和 即（a+b） （a+b）ab2+c2， 化简得：a2+b2c2 【探索发现】 （1）三个图形中面积关系满足 S1+S2S3的有 3 个； 故答案为 3； （2）结论：S1+S2S3 S1+S2（）2+（）2+S3（）2， S1+S2（a2+b2c2）+S3， a2+b2c2 S1+S2S3
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