1、浙江省台州市三区三校浙江省台州市三区三校 2021 届九年级上学期数学期中考试试卷届九年级上学期数学期中考试试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心型曲线 C. 科克曲线 D. 波那契螺旋线 2.一元二次方程 x2-5x+6=0 的 解为（ ） A.x1 =2，x2= -3 B. x1 = -2, x2=-3 C x1 =-2, x2=-3 D. x1 =2, x2=3 3.二次函数 的图象经过点（0，2），则 a+b 的值是（ ） A. -3 B.
2、 -1 C. 2 D. 3 4.如图,已知 ABC 内接于O,C=45，AB=4，则O 的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 5.如图， ABC 和 A1B1C1 关于点 E 成中心对称，则点 E 坐标是（ ） A. (3,1) B. (3,3) C. (3,0) D. (4,1) 6.已知一次函数 y1=kx+m(k0)和二次函数 y2=ax2+bx+c(a0)部分自变量和对应的函数值如表： x 1 0 2 4 5 Y1 0 1 3 5 6 y2 0 1 0 5 9 当 y2y1时，自变量 x 的取值范围是（ ） A. -1x2 B. 4x5 C. x-1 或 x5 D. x-1
3、或 x4 7.如图，PA,PB 分别切o 与点 A,B,MN 切o 于点 C,分别交 PA,PB 于点 M,N，若 PA=7.5cm,则 PMN 的周长 是（ ） A. 7.5cm B. 10cm C. 12.5cm D. 15cm 8.如图，Rt ABC 中，BAC=90，AB=AC，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 40得到 ABC，CB与 AB 相 交于点 D，连接 AA，则BAA 的度数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 9.如图,在正方形 ABCD 中,边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E.F 分别在 BC 和 CD 上,下列结论： CE=CF;AEB=
4、75;BE+DF=EF;正方形对角线 AC=1+ ， 其中正确的序号是( ） A. B. C. D. 10.已知二次函数 y=x2bx+1(1 b 1),当 b 从1 逐渐变化到 1 的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动。 下列关于抛物线的移动方向的描述中,正确的是( ) A. 先往左上方移动，再往左下方移动； B. 先往左下方移动，再往左上方移动； C. 先往右上方移动，再往右下方移动； D. 先往右下方移动，再往右上方移动。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11.若关于 x 的方程 x2+ax-2=0 有一个根是
5、 1，则 a=_ 12.将抛物线 yx21 向下平移 3 个单位长度得到的抛物线的解析式为_. 13.由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由 4000 美元下调至 2560 美元，则平均每次下调的百分率为_. 14.如图，直线 AB，CD 相交于点 O，AOC=30，半径为 1cm 的的圆心 P 在射线 OA 上，且与点 O 的距离 为 6cm，P 以 1cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么P 与直线 CD 相切时，圆心 P 的运动时间为 _. 15.如图,在 ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 C
6、A、CB 分别相交于点 P、Q,则线段 PQ 长度的最小值是_ 16.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，点 E 在 CD 上，DE=1，点 F 是边 AB 上一动点，以 EF 为斜边作 Rt EFP若点 P 在矩形 ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则 AF 的值是_。 三、解答题（共三、解答题（共 80 分，第分，第 17-19 题各题各 8 分，第分，第 20,21 题各题各 9 分，第分，第 22,23 题各题各 12 分，第分，第 24 题题 14 分）分） 17.解下列方程 （1）x2-4x-5=0 （2）2（x-3）2=3（x-3） 18.图，图，图均为
7、 44 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为 1. 线段 AB 的端点均在格点上.按要求在图，图，图中画图. （1）在图中，以线段 AB 为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点； （2）在图中，以线段 AB 为斜边画一个直角三角形，使其面积为 2，且直角的顶点为格点； （3）在图中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为 格点. 19.为响应区“美丽台州，美化环境”的号召，某校开展“美丽台州 清洁校园”的活动，该校经过精心设计， 计算出需要绿化的面积为 498m2 ， 绿化 150m2后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的
8、工作量提 高为原来的 1.2 倍结果一共用 20 天完成了该项绿化工作 （1）该项绿化工作原计划每天完成多少 m2？ （2）在绿化工作中有一块面积为 170m2的矩形场地，矩形的长比宽的 2 倍少 3m，请问这块矩形场地的长 和宽各是多少米？ 20.如图，已知 AB 是O 中一条固定的弦,点 C 是优弧 AB 上一个动点(点 C 不与 A,B 重合). （1） 设ACB 的角平分线与劣弧 AB 交于点 P,试猜想点 P 在 AB 上的位置是否会随点 C 的运动而发生变化? 请说明理由; （2）如图,设 AB=8,O 的半径为 5,在(1)的条件下,四边形 ACBP 的面积是否为定值?若是定值,
9、请求出这 个定值;若不是定值,试确定四边形 ACBP的面积的取值范围. 21.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 1 所示)，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m. （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 2 所示),其表达式是 的形式。请根据所给的数 据求出 a，c 的值。 （2）求支柱 MN 的长度。 （3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m 的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、 高 3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由。 22.如图,在 ABC 中,BAC=90,AB=AC,点 E 在 AC 上(且不与点 A,C 重合),在
10、 ABC 的外部作 CED,使 CED=90，DE=CE，连接 AD，分别以 AB，AD 为邻边作平行四边形 ABFD，连接 AF. （1）请直接写出线段 AF，AE 的数量关系_； （2）将 CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC 上时，如图，连接 AE，请判断线段 AF，AE 的数量 关系，并证明你的结论。 23.如图，已知 AB 是O 的直径，C 是圆周上的动点，P 是优弧 ABC 的中点. （1）如图，求证：OPBC； （2）如图，PC 交 AB 于点 D，当 ODC 是等腰三角形时，求PAO 的度数. 24.定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x 的一个值，当 时，它
11、们对应的函数值互为相反数； 当 时， 它们对应的函数值相等， 我们称这样的两个函数互为相关函数。 例如： 一次函数 ， 它们的相关函数为 。 （1）已知点 在一次函数 的相关函数的图象上，求 a 的值。 （2）已知二次函数 。 当点 在这个函数的相关函数的图象上时，求 m 的值； 当 时，求函数 的相关函数的最大值和最小值。 （3）在平面直角坐标系中，点 M，N 的坐标分别为 ， ，连结 MN。直接写出线段 MN 与 二次函数 的相关函数的图象有两个公共点时 n 的取值范围。 答案解析答案解析 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1.【答案】 C 【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图
12、形 【解析】【解答】解：A，此图形不是轴对称图形，故 A 不符合题意； B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故 B 不符合题意； C、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 符合题意； D、不是轴对称图形，故 D 不符合题意； 故答案为：C. 【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转 180后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿 某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断即可。 2.【答案】 D 【考点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（x-2）(x-3）=0 x-2=0 或 x-3=0 解之：x1=2，x2=3. 故答案为：D. 【分析】观察方程
13、的特点：右边为 0，左边可以分解因式，由此利用公式法解方程。 3.【答案】 C 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解： 二次函数 的图象经过点（0，2） ， a+b=2. 故答案为：C. 【分析】将点（0，2）代入函数解析式可得到 a+b 的值。 4.【答案】 A 【考点】勾股定理，圆周角定理 【解析】【解答】解：连接 OA，OB， 弧 AB=弧 AB， O=2C=245=90 OA=OB， OAB=45， 2OA2=42 解之： . 故答案为：A. 【分析】连接 OA，OB，利用圆周角定理求出O=90，再利用勾股定理可求出圆的半径。 5.【答案】 A 【考点】中心对称及中心
14、对称图形 【解析】【解答】解：连接 B1B，C1C, ABC 和 A1B1C1关于点 E 成中心对称 ， B1B，C1C 交于点 E, 点 E（-3，-1）. 故答案为：A. 【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点 E 的位置，观察 可得点 E 的坐标。 6.【答案】 D 【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用 【解析】【解答】解：由题意可知： 两函数图象的交点坐标为（-1，0），（4，5） 当-1x4 时 y1y2； 当 x-1 或 x4 时 y1y2； 故答案为：D. 【分析】观察表中数据可得到两函数的交点坐标，由此可得到当-1x4 时 y1y2；由
15、此可得到 y1y2 时的 x 的取值范围。 7.【答案】 D 【考点】切线长定理 【解析】【解答】解：PA,PB 分别切o 与点 A,B,MN 切o 于点 C,分别交 PA,PB 于点 M,N， PA=PB=7.5，AM=CM，NB=NC， PMN 的周长为：PM+CM+PN+CN=PM+AM+PN+BN=AP+PB=7.5+7.5=15. 故答案为：D. 【分析】利用切线长定理可证得 PA=PB=7.5，AM=CM，NB=NC；再将 PMN 的周长转化为求出 PA+PB 的 值，即可求解。 8.【答案】 C 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，旋转的性质 【解析】【解答】解：Rt A
16、BC 中，BAC=90，AB=AC， ACB=45， 将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 40得到 ABC，CB与 AB 相交于点 D，连接 AA， ACB=ACB=45，ACA=40，AC=AC，BAC=90 AAC=CAA= （180-40）=70， BAA=90-AAC=90-70=20. 故答案为：C. 【分析】利用等腰直角三角形的性质可知ACB=45，再利用旋转的性质，可证得ACB=ACB=45， ACA=40，AC=AC，BAC=90，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出AAC 的 度数；然后求出BAA 的度数。 9.【答案】 A 【考点】直角三角形全等的判定（HL），勾股定
17、理，正方形的性质，旋转的性质 【解析】【解答】解：正方形 ABCD， AB=AD=BC=DC，B=D=C=90， 等边三角形 AEF， AEF=AFE=60，AE=AF， 在 Rt ABE 和 Rt ADF 中 ) Rt ABERt ADF（HL） BE=DF， CE=BC-BE，CF=DC-DF CE=CF，故正确； CEF=45 AEB=180-AEF-CEF=180-60-45=75，故正确； BAE=DAF=90-75=15， 将 ADF 旋转 90后不能得到结论 BE+DF=EF，只能得到 BE+DFEF，故错误； 连接 AC， EF=AE=2 在 Rt CEF 中， 2CE2=EF
18、2=4 解之：CE= ; 设 AB=BC=x，则 BE=x- , 在 Rt ABE 中 x2+（x- ） 2=4 解之： （取正值） 在 Rt ABC 中， 2AB2=AC2 AC= ， 故正确； 正确结论的序号为：. 故答案为：A 【分析】 利用正方形的性质可证得 AB=AD=BC=DC，B=D=C=90，利用等边三角形的性质可知 AEF=AFE=60，AE=AF；再利用 HL 证明 Rt ABERt ADF，利用全等三角形的性质可得到 BE=DF，由 此可推出 CE=CF， 可对作出判断； 利用平角的定义求出AEB 的度数， 可对作出判断； 由此可求出BAE 的度数， 利用旋转的性质可知
19、BE+DFEF， 可对作出判断； 利用勾股定理求出正方形的边长， 在 Rt ABC 中，利用勾股定理求出 AC 的长，可对作出判断，综上所述，可得到正确结论的个数。 10.【答案】 C 【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】解：当 b1 时，此函数解析式为：yx2x1=( ) ， 顶点坐标为：( ， )； 当 b0 时，此函数解析式为：yx21，顶点坐标为：（0，1）； 当 b1 时，此函数解析式为：yx2x1=( ) 顶点坐标为：( ， ) 函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动 故答案为：C. 【分析】分别求出当 b=-1，0，1 时的函数解析式即抛物线的顶点坐标；再根据顶点坐
20、标的变化情况可得 答案。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11.【答案】 1 【考点】一元二次方程的根 【解析】【解答】解：关于 x 的方程 x2+ax-2=0 有一个根是 1， 1+a-2=0 解之：a=1. 故答案为：1. 【分析】将 x=1 代入方程建立关于 a 的方程，解方程求出 a 的值。 12.【答案】 y=x22 【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】解：抛物线 y=x2+1 向下平移 3 个单位得到的解析式为 y=x2+13，即 y=x22. 故答案为：y=x22. 【分析】元抛物线的顶点坐标为（0,1），根据点的坐标的平移规律，得出平
21、移后新抛物线的顶点坐标为 （0，-2），进而将顶点坐标代入抛物线的顶点式即可得出答案。 13.【答案】 20% 【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：平均每次下调的百分率为 x，根据题意得 4000（1-x）2=2560 解之：x1=0.2=20，x2=1.8（不符合题意，舍去）. 故答案为：20. 【分析】此题的等量关系为：连续两次下调前的价格（1-平均每次下调的百分率）2=连续两次下调后的价 格，设未知数，列方程求解即可。 14.【答案】 4 或 8 【考点】含 30角的直角三角形，切线的性质 【解析】【解答】解：如图， 当点 P 运动到点 P1时，过点 P1作
22、P1ECD 于点 E， P1EO=90 AOC=30 ，P1E=1 P1O=2P1E=2 PP1=OP-P1O=6-2=4, 圆心 P 的运动时间为 41=4； 当点 P 运动到点 P2时，过点 P2作 P2ECD 于点 E， P2EO=90 AOC=30 ，P2E=1 P2O=2P2E=2 PP2=OP+P2O=6+2=8, 圆心 P 的运动时间为 81=8； 故答案为：4 或 8. 【分析】分情况讨论：当点 P 运动到点 P1时，过点 P1作 P1ECD 于点 E，利用 30角所对的直角边等于斜 边的一半，就可求出 P1O 的长，然后根据 PP1=OP-P1O，可求出 PP1的长，由此可求
23、出圆心 P 的运动时间； 当点 P 运动到点 P2时，过点 P2作 P2ECD 于点 E，利用同样的方法可求出圆心 P 的运动时间。 15.【答案】 4.8 【考点】三角形的面积，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，切线的性质 【解析】【解答】解：如图，设 QP 的中点为 F，圆 F 与 AB 的切点为 D，连接 FD、CF、CD，则 FDAB AB10，AC8，BC6， AB2=100，AC2+BC2=64+36=100 AB2=AC2+BC2 ， ACB90，FCFDPQ， FCFDCD， 当点 F 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 的高 CD 上时，PQCD 有最小值， 10CD=68
24、解之：CD=4.8. 故答案为：4.8. 【分析】设 QP 的中点为 F，圆 F 与 AB 的切点为 D，连接 FD、CF、CD，则 FDAB利用勾股定理的逆定 理可证得ACB=90，再利用垂线段最短，可知当点 F 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 的高 CD 上时，PQCD 有最小值，利用三角形的面积公式可求出 CD 的长。 16.【答案】 0 或 1AF 或 4 【考点】圆的综合题 【解析】【解答】解：以 EF 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 是以 EF 为直径的圆与矩形边的交点，取 EF 的中点 O， （ 1 ） 如图1， 当圆O与AD相切于点G时， 连结OG， 此时点G与点P重合，
25、 只有一个点， 此时AF=OG=DE=1； （ 2 ）如图 2， 当圆 O 与 BC 相切于点 G，连结 OG，EG，FG，此时有三个点 P 可以构成 Rt EFP，OG 是圆 O 的切线， OGBCOG/AB/CD OE=OF，BG=CG，OG= （BF+CE）， 设 AF=x，则 BF=4-x，OG= (4-x+4-1)= (7-x)， 则 EF=2OG=7-x，EG2=EC2+CG2=9+1=10,FG2=BG2+BF2=1+(4-x)2 在 Rt EFG 中，由勾股定理得 EF2=EG2+FG2得（7-x）2=10+1+（4-x）2,解得 x= 所以当 1AF 时，以 EF 为直径的圆
26、与矩形 ABCD 的交点（除了点 E 和 F）只有两个； （ 3 ）因为点 F 是边 AB 上一动点： 当点 F 与 A 点重合时，AF=0，此时 Rt EFP 正好有两个符合题意； 当点 F 与 B 点重合时，AF=4，此时 Rt EFP 正好有两个符合题意； 故答案为 0 或 1AF 或 4 【分析】以 EF 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 是以 EF 为直径的圆与矩形边的交点，取 EF 的中点 O， （ 1 ）如图 1，当圆 O 与 AD 相切于点 G 时，连结 OG，此时点 G 与点 P 重合，只有一个点，可得到 AF 的长；（2）如图 2 当圆 O 与 BC 相切于点 G，连结 O
27、G，EG，FG，此时有三个点 P 可以构成 Rt EFP，利 用切线的性质，可得到 OGBC，就可推出 OG/AB/CD，可证 OG 是三角形的中位线，设 AF=x，用含 x 的 代数式表示出 OG，EF 的长，利用勾股定理建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，即可得到 AF 的取值范 围；以 EF 为直径的圆与矩形 ABCD 的交点（除了点 E 和 F）只有两个：当点 F 与 A 点重合时，AF=0；当点 F 与 B 点重合时，AF=4，即可解答此题。 三、解答题（共 80 分，第 17-19 题各 8 分，第 20,21 题各 9 分，第 22,23 题各 12 分，第 24 题 1
28、4 分） 17.【答案】 （1）解：x2-4x-5=0， （x+1）（x-5）=0 x+1=0，x-5=0， x1=-1，x2=5; （2）解：2（x-3）2-3（x-3）=0 （x-3）（2x-6-3）=0 x-3=0 或 2x-9=0 解之：x1=3，x2=4.5; 【考点】因式分解法解一元二次方程 【解析】 【分析】 （1）观察方程的特点：方程右边为 0，左边可以分解因式，由此利用因式分解法解方程。 （2）观察方程的特点：将方程右边转化为 0，左边可以分解因式，由此利用因式分解法解方程。 18.【答案】 （1）解：如下图，过线段 AB 作垂直平分线，与网络交于格点 C，则点 C 为等腰直
29、角三角形 顶点 根据勾股定理，可求得 AB= , AC=BC= 根据勾股定理逆定理，可得 是直角三角形，满足条件 （2）解：图形如下: 根据勾股定理，可求得: AB= , AC= ，BC=2 根据勾股定理逆定理，可判断 是直角三角形 面积= ,成立. （3）解：平行四边形满足是中心对称图形，不是轴对称图形，图形如下: 【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理，作图旋转，作图-三角形 【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可知作 AB 的垂直平分线，可确定出符合题意的点 C 的位 置。 （2）利用勾股定理和三角形的面积公式，画出面积为 2 的直角三角形。 （3）利用中心对称图形和轴对称图形的定义
30、画出符合题意的四边形。 19.【答案】 （1）解：设该项绿化工作原计划每天完成 xm2 ,则提高工作量后每天完成 1.2xm2 ,根据题意， 得 解得 x=22. 答：该项绿化工作原计划每天完成 22m2 （2）解：设矩形宽为 ym,则长为(2y-3) m , 根据题意，得 y(2y-3)= 170,解得 y= 10 或 y= -8.5 (不合题意,舍去). 2y-3= 17. 答:这块矩形场地的长为 17m ,宽为 10m. 【考点】分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：实际每天的工作量提高为原来的 1.2 倍；一共用 20 天完成了
31、该项绿化工作，设未知数，列方程求解即可。 （2）等量关系为：矩形的长=宽2-3，矩形的面积=170m2,设未知数，列方程求出方程的解，然后求出矩 形的长。 20.【答案】 （1）解：如图， 结论:点 P 在弧 AB 上的位置不会随点 C 的运动而发生变化 CP 平分ACB ACP=BCP (角平分线将这个角分为两个相等的角) = (在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等) 即点 P 为劣弧 AB 的中点 （2）解：四边形 的面积不是定值. 当 经过圆心时，点 到 的距离最大,故四边形 的面积最大,此时 垂直平分 :设 交 于 M M=4， =5 M M=3 (直角三角形勾股定理求值) M =
32、2 =8 M=8 M =2 =8 ; 的最大面积= ， 的面积= 点 C 在优弧上运动,且不与 A、B 重合 8 四边形 ACBP 的面积40 【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆-动点问题 【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得ACP=BCP ，再利用圆周角定理可证得结论。 （2） 当 经过圆心时，点 到 的距离最大,故四边形 的面积最大,此时 垂直平分 :设 交 于 M，利用勾股定理求出 OM 的长 21.【答案】 （1）解：根据题目条件,A、B、C 的坐标分别是(-10,0)、(10,0)、 (0,6). 将 B、C 的坐标代入 ,得 解得 所以抛物线的表达式是 （2）解：可设 N(
33、5, ),于是 从而支柱 MN 的长度是 10- 4.5 = 5.5 米; （3）解：设 DE 是隔离带的宽, EG 是三辆车的宽度和,则 G 点坐标是(7,0) , . 过 G 点作 GH 垂直 AB 交抛物线于 H,则 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车。 【考点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）根据题意画出平面直角坐标系，可得到点 A，B，C 的坐标，再利用待定系数法可 求出函数解析式。 （2）利用函数解析式求出点 N 的坐标，然后求出 MN 的长。 （3）设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，可表示出 G 点坐标，过 G 点作 GH
34、垂直 AB 交抛物线 于 H，求出点 H 的纵坐标，再与 3 比较大小，即可作出判断。 22.【答案】 （1） （2）解：如图,连接 EF,DF 交 BC 于 K. 四边形 ABFD 是平行四边形， AB / DF, DKE=ABC= 45 EKF= 180-DKE= 135, ADE= 180-EDC = 180-45 = 135 EKF=ADE, DKC=C, DK=DC, DF=AB=AC, KF=AD, 在 和 中， EKFEDA(SAS) , EF= EA，KEF=AED, FEA=BED= 90 , AEF 是等腰直角三角形, AF= AE. 【考点】平行四边形的判定与性质，旋转的
35、性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定（SAS） 【解析】【解答】解：（1）如图，四边形 ABFD 是平行四边形, AB= DF , AB=AC, AC=DF, DE=EC，. AE= EF DEC=AEF= 90, AEF 是等腰直角三角形， AF= AE. 故答案为: AF= AE. 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得到 AB=DF，结合已知可得到 AC=DF，由此可推出 AE=EF，就可证 得 AEF 是等腰直角三角形，利用勾股定理可证得 AF 和 AE 的数量关系。 （2） 连接 EF，DF 交 BC 于 K，有 AB DF，可得到DKE=ABC= 45，再证明 KF=AD，EKF
36、=ADE，利 用 SAS 证明 EKFEDA，利用全等三角形的性质，可知 EF= EA，KEF=AED，由此可证得 AEF 是等 腰直角三角形，然后利用勾股定理可得到 AF 与 AE 的 数量关系。 23.【答案】 （1）证明：连结 AC,延长 PO 交 AC 于 H, P 是弧 ABC 的中点, PHAC, AB 是O 的直径, ACB=90 BCAC, OP|BC （2）解： P 是弧 ABC 的中点， PA=PC, PAC=PCA, OA=OC OAC=OCA, PAO=PCO, 当 DO=DC，设DCO=x,则DOC=x，PAO=x, OPC=OCP=x， PDO=2x, OPA=PA
37、O=x, POD=2x, 在 4POD 中，x+2x+2x=180, 解得 x=36 , 即PAO=36, 当 CO=CD，设DCO=x,则OPC=x,PAO=x, POD=2x, ODC=POD+OPC=3x, CD=CO, DOC=ODC=3x, 在 POC 中，x+x+5x=180， 解得 x= 即PAO= 综上所述, A 的度数为 36 或 【考点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）连结 AC，延长 PO 交 AC 于 H，利用垂径定理可证得 PHAC，再利用圆周角定理 可得到ACB=90，可推出 BCAC，由此可证得结论。 （2）由已知 P 是弧 ABC 的中点，可得到 PA=PC，
38、再利用等腰三角形的性质可证得PAO=PCO。再分情 况讨论：当 DO=DC，设DCO=x，则DOC=x，PAO=x，可表示出PDO，POD，再利用三角形的内角 和定理建立关于 x 的方程， 解方程求出 x 的值， 即可得到PAO 的度数； 当 CO=CD， 设DCO=x， 则OPC=x， PAO=x，分别表示出ODC，DOC，再利用三角形内角和定理建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值， 就可得到PAO 的度数。 24.【答案】 （1）解：函数 y=ax-3 的相关函数为 将点 A(-5, 8)代入 y-ax+3 得: 5a+3-8, 解得: a=l, （2）解：二次函数 的相关函数为 当
39、 时,将 代入 得 ,解得 (舍去)或 当0 时,将 代入 ,解得: 或 。 综上所述: 或 或= 。 当 时, ,抛物线的对称轴为 x=2,此时 y 随 x 的增大而减小， 此时 y 的最大值为势 y= 。 当 0 x3 时,函数 ,抛物线的对称轴为 x=2,当 x=0 有最小值,最小值为 ,当 x=2 时,有最 大值,最大值 y= 。 综上所述，当-3x3 时, 函数 的相关函数的最大值为 ,最小值为 。 （3）解：如图 1 所示:线段 MN 与二次函数 的相关函数的图象恰有 1 个公共点。 所以当 x=2 时，y=1, 即-4+8+n=1， 解得 n=-3. 如图 2 所示:线段 MN
40、与二次函数 的相关函数的图象恰有 3 个公共点 拋物线 与 y 轴交点纵坐标为 1, -n=1,解得: n=-1。 当-3n- 1 时，线段 MN 与二次函数 的相关函数的图象恰有 2 个公共点。 如图 3 所示:线段 MN 与二次函数 的相关函数的图象恰有 3 个公共点。 抛物线 经过点(0， 1), . n=1。 如图 4 所示:线段 MN 与二次函数 的相关函数的图象恰有 2 个公共点。 抛物线 经过点 N , ,解得: n= 时,线段 MN 与二次函数 的相关函数的图象恰有 2 个公共点。 综上所述, n 的取值范围是-3n-1 或 1n . 【考点】二次函数的最值，二次函数与一次函数
41、的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】（1）根据两个函数互为相关函数的定义可得到函数 y=ax-3 的相关函数，再将点 A 的坐 标代入函数解析式，可求出 a 的值。 （2）根据两个函数互为相关函数的定义可得到已知函数的相关函数，再分情况讨论：当 m0 时，将 点 B 的坐标代入函数解析式，可求出 m 的值；当 m0 时，将点 B 的坐标代入函数解析式，建立关于 m 的 方程，解方程求出 m 的值；分情况讨论：当-3x0 时，利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，利用 二次函数的增减性可求出此时最大的函数值；当 0 x3 时,利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，利用二 次函数的增减性可求出此时最大的函数值。 （3）如图 1 所示:线段 MN 与二次函数 的相关函数的图象恰有 1 个公共点。将 x=2， y=1 代入函数解析式，可求出 n 的值；如图 2 所示:线段 MN 与二次函数 的相关函数的 图象恰有 3 个公共点 ， 再求出 n 的值； 由此可得 当-3n- 1 时， 线段 MN 与二次函数 的 相关函数的图象的公共点的个数；如图 3 所示:线段 MN 与二次函数 的相关函数的图象 恰有3个公共点。 如图4所示:线段MN与二次函数 的相关函数的图象恰有2个公共点。 分别求出 n 的值，由此可得到 n 的取值范围。
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