1、2019-2020 学年浙江省杭州市滨江区八年级（下）期末数学试卷学年浙江省杭州市滨江区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 （3 分）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）若关于 x 的方程 x2+ax+a0 有一个根为3，则 a 的值是（ ） A9 B4.5 C3 D3 3 （3 分）如图，若要使平行四边形 ABCD 成为菱形，需添加的条件是（ ） AA
2、BCD BADBDBC CAOBO DAC，BD 互相垂直 4 （3 分）小明妈妈经营一家服装专卖店，为了合理利用资金，小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销售数 量进行了一次统计分析，决定在这个月的进货中多进某种型号服装，此时小明应重点参考（ ） A众数 B平均数 C加权平均数 D中位数 5 （3 分）假设命题“a0”不成立，那么 a 与 0 的大小关系只能是（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da0 6 （3 分）用配方法解一元二次方程 x28x+70，方程可变形为（ ） A （x+4）29 B （x4）29 C （x8）216 D （x+8）257 7 （3 分）已知（2，y1） ， （3，y2
3、） ， （2，y3）在反比例函数 y图象上，则 y1，y2，y3的大小关 系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 8 （3 分）如图，ABCD 中，AB4，BC5，AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，则CDE 的周长是（ ） A6 B8 C9 D10 9 （3 分）如图，在反比例函数 y（x0）的图象上有 A，B，C，D 四点，他们的横坐标依次是 1，2， 3，4，分别过这些点作 x 轴和 y 轴的垂线，图中构成的阴影部分的面积从左到右依次是 S1，S2，S3则 下列结论正确的是（ ） AS1S2+S3 BS12S2S3 CS12S2+S3 DS12S2+
4、2S3 10 （3 分）在矩形 ABCD 中，E，P，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合） ，对于任 意矩形 ABCD，下面四个结论中正确的是（ ） 存在无数个四边形 EFGH 是平行四边形 存在无数个四边形 EFGH 是矩形 存在且仅有一个四边形 EFGH 是菱形 除非矩形 ABCD 为正方形，否则不存在四边形 EFGH 是正方形 A B C D 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 12 （4 分）已知一个多边形的内角和为 540，
5、则这个多边形是 边形 13 （4 分）一组数据：1，4，4，8，3，10，x，5，5，其平均数是 5，则其中位数是 14 （4 分）超市的一种饮料，平均每天可售出 100 箱，每箱利润 12 元，为扩大销售，准备适当降价，据测 算，每降价 1 元，每天可多售出 20 箱，若要使每天销售这种饮料获利 1400 元，每箱应降价多少元？设 每箱降价 x 元，则可列方程（不用化简）为： 15 （4 分）已知 25x2+20（n1）x+8n 是一个关于 x 的完全平方式，则常数 n 16 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 AB 上一点，分别沿 AE，CF 折叠，D，B 两
6、点刚 好都落在矩形内一点 P，且APC120，则 AB：AD 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （6 分）计算： （1）； （2） 18 （8 分）解一元二次方程： （1）x2+2x29； （2）2x2x10 19 （8 分）老李想利用一段 5 米长的墙（图中 EF） ，建一个面积为 32 平方米的矩形养猪圈，另外三面（图 中 AB，BC，CD）需要自己建筑老李准备了可以修建 20 米墙的材料（可以不用完） （1）设 ABy，BCx，求 y 关于 x 的函数关系式
7、 （2）对于（1）中的函数 y 的值能否取到 8.5？请说明理由 20 （10 分）某公司计划从两家生产能力相近的制造厂选择一家来承担外销业务，这两家厂生产的皮具款式 和材料都符合要求，因此只需要检测皮具质量的克数是否稳定，现从两家提供的样品中各随机抽取了 6 件进行检查，超过标准质量部分记为正数，不足部分记为负数，若该皮具的标准质量为 400 克，测得它 们质量如下（单位：g） 厂超过标准质量的部分 家 甲 4 1 0 1 2 0 乙 2 1 1 0 1 1 （1）分别计算甲、乙两厂抽样检测的 6 件皮具的平均质量各是多少克？ （2）通过计算，你认为哪一家生产的皮具质量比较稳定？ 21 （1
8、0 分）如图，ABCD 中，DAB 为钝角，AD1，AB，且ABCD 的面积为 1 （1）求ABCD 各内角的度数 （2）求ABCD 的对角线 AC，BD 的长 22 （12 分）如图，在矩形 ABCO 中，点 O 为坐标原点，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA 比 OC 大 2，比 AC 小 2反比例函数 y（k0，x0）的图象经过矩形对角线 AC，BO 的交点 D （1）求 OA 的长和此反比例函数的表达式； （2）若反比例函数 y（m0，x0）的图象经过矩形 ABCO 边 BC 的中点； 求 m 的值 在双曲线 y（m0，x0）上任取一点 G，过点 G 作 GEx 轴于点
9、 E，交双曲线 y（m0， x0）于 F 点，过点 G 作 GKy 轴于点 K，交双曲线 y（m0，x0）于 H 点求GHF 的面积 23 （12 分）矩形 ABCD 中，AB3，BC4点 E，F 在对角线 AC 上，点 M，N 分别在边 AD，BC 上 （1）如图 1，若 AECF1，M，N 分别是 AD，BC 的中点求证：四边形 EMFN 为矩形 （2）如图 2，若 AECF0.5，AMCNx（0 x2） ，且四边形 EMFN 为矩形，求 x 的值 2019-2020 学年浙江省杭州市滨江区八年级（下）期末数学试卷学年浙江省杭州市滨江区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与
10、试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 （3 分）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】 根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形， 即可判断出 【解答】 解： A 此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形， 故此选项错误； B：此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误； C此图形旋转 180后
11、不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误； D此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键 2 （3 分）若关于 x 的方程 x2+ax+a0 有一个根为3，则 a 的值是（ ） A9 B4.5 C3 D3 【分析】把 x3 代入方程 x2+ax+a0 得 93a+a0，然后解关于 a 的方程即可 【解答】解：把 x3 代入方程 x2+ax+a0 得 93a+a0， 解得 a4.5 故选：B 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数
12、的值是一元二次方程 的解 3 （3 分）如图，若要使平行四边形 ABCD 成为菱形，需添加的条件是（ ） AABCD BADBDBC CAOBO DAC，BD 互相垂直 【分析】根据菱形的判定方法得出 D 正确，A、B、C 不正确；即可得出结果 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，AC，BD 互相垂直， 平行四边形 ABCD 是菱形，故 D 选项正确； 故选：D 【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：有一组邻边相 等的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4 （3 分）小明妈妈经营一家服装专卖店，为了合理利
13、用资金，小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销售数 量进行了一次统计分析，决定在这个月的进货中多进某种型号服装，此时小明应重点参考（ ） A众数 B平均数 C加权平均数 D中位数 【分析】在决定在这个月的进货中多进某种型号服装，应考虑各种型号的服装销售数量，选销售量最大 的，即参考众数 【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应重点参考众数 故选：A 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义反映数据集中程度的 统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用 5 （3 分）假设命题“a0”不成立，那么 a 与 0 的大小关系
14、只能是（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da0 【分析】认真读题可看出，此题其实是求原命题的逆命题 【解答】解：a 与 0 的大小关系是：a0 故选：A 【点评】此题考查学生对命题的定义的掌握情况，关键是求原命题的逆命题 6 （3 分）用配方法解一元二次方程 x28x+70，方程可变形为（ ） A （x+4）29 B （x4）29 C （x8）216 D （x+8）257 【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全 平方式即可 【解答】解：x28x+70， x28x7， x28x+167+16， （x4）29 故选：B 【点评】本题考查了运用配方法
15、解一元二次方程的运用，配方法的解法的运用，解答时熟练配方法的步 骤是关键 7 （3 分）已知（2，y1） ， （3，y2） ， （2，y3）在反比例函数 y图象上，则 y1，y2，y3的大小关 系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 【分析】分别把 x2、3、2 代入反比例函数解析式计算出 y1，y2，y3的值，从而得到它们的大小关 系 【解答】解：当 x2 时，y1；当 x3 时，y2；当 x2 时，y3 0.4， 所以 y1y2y3 故选：A 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y（k 为常数，k0）的图象是双 曲线，图象上的点（
16、x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk 8 （3 分）如图，ABCD 中，AB4，BC5，AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，则CDE 的周长是（ ） A6 B8 C9 D10 【分析】依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得到CDE 的周长CE+DE+CD AE+DE+CDAD+CD 【解答】解：ABCD 中，AB4，BC5， AD5，CD4， AC 的垂直平分线交 AD 于点 E， AECE CDE 的周长CE+DE+CDAE+DE+CDAD+CD5+49， 故选：C 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端
17、点的距离相等 9 （3 分）如图，在反比例函数 y（x0）的图象上有 A，B，C，D 四点，他们的横坐标依次是 1，2， 3，4，分别过这些点作 x 轴和 y 轴的垂线，图中构成的阴影部分的面积从左到右依次是 S1，S2，S3则 下列结论正确的是（ ） AS1S2+S3 BS12S2S3 CS12S2+S3 DS12S2+2S3 【分析】用含有 k 的代数式表示 S1、S2、S3，进而得出答案 【解答】解：S11（k），S21（），S31（）， S12S2+2S3 故选：D 【点评】本题考查反比例函数的系数 k 的几何意义以及图象上点的坐标特征，表示出各个矩形的面积是 正确解答的关键 10 （
18、3 分）在矩形 ABCD 中，E，P，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合） ，对于任 意矩形 ABCD，下面四个结论中正确的是（ ） 存在无数个四边形 EFGH 是平行四边形 存在无数个四边形 EFGH 是矩形 存在且仅有一个四边形 EFGH 是菱形 除非矩形 ABCD 为正方形，否则不存在四边形 EFGH 是正方形 A B C D 【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论 【解答】解：如图，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC，BD 交于 O， 过点 O 直线 EG 和 HF，分别交 AB，BC，CD，AD 于 E，
19、F，G，H， 则四边形 EFGH 是平行四边形， 故存在无数个四边形 EFGH 是平行四边形；故正确； 如图，当 EGHF 时，四边形 EFGH 是矩形，故存在无数个四边形 EFGH 是矩形；故正确； 如图，当 EGHF 时，存在无数个四边形 EFGH 是菱形；故错误； 当四边形 EFGH 是正方形时，EHHG， 则AEHDHG， AEHD，AHGD， GDBE， ABAD， 四边形 ABCD 是正方形， 当四边形 ABCD 为正方形时，四边形 EFGH 是正方形，故正确； 故选：C 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各 定理是解题的关键
20、二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，列不等式求解 【解答】解：依题意有 2x30， 即 x时，二次根式有意义 故若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x 【点评】主要考查了二次根式的概念 二次根式的概念：式子（a0）叫二次根式 二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 12 （4 分）已知一个多边形的内角和为 540，则这个多边形是 五 边形 【分析】利用 n 边形的内角和可以表示成（n2
21、） 180，结合方程即可求出答案 【解答】解：根据多边形的内角和可得： （n2）180540， 解得：n5 则这个多边形是五边形 故答案为：五 【点评】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据 n 边形的内角和公式（n2） 180 13 （4 分）一组数据：1，4，4，8，3，10，x，5，5，其平均数是 5，则其中位数是 5 【分析】 先根据算术平均数的定义列方程求出 x 的值， 再将数据重新排列， 利用中位数的概念求解可得 【解答】解：根据题意知（1+4+4+8+3+10+x+5+5）5， 解得：x10， 所以这组数据从小到大重新排列为 1，3，4，4，5，5，8，10，10， 则这组数据的
22、中位数为 5， 故答案为：5 【点评】本题主要考查中位数、算术平均数，解题的关键是掌握中位数和算术平均数的定义 14 （4 分）超市的一种饮料，平均每天可售出 100 箱，每箱利润 12 元，为扩大销售，准备适当降价，据测 算，每降价 1 元，每天可多售出 20 箱，若要使每天销售这种饮料获利 1400 元，每箱应降价多少元？设 每箱降价 x 元，则可列方程（不用化简）为： （12x） （100+20 x）1400 【分析】由每降价 1 元每天可多售出 20 箱，可得出平均每天可售出（100+20 x）箱，根据总利润每箱 饮料的利润销售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】
23、解：每箱降价 x 元，每降价 1 元，每天可多售出 20 箱， 平均每天可售出（100+20 x）箱 依题意，得： （12x） （100+20 x）1400 故答案为： （12x） （100+20 x）1400 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键 15 （4 分）已知 25x2+20（n1）x+8n 是一个关于 x 的完全平方式，则常数 n 2 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 n 的值 【解答】解：25x2+20（n1）x+8n 是一个关于 x 的完全平方式， 25x2+20（n1）x+8n（5x）2+25x2（n
24、1）+（2）2， n1， 解得：n2 故答案为：2 【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 16 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 AB 上一点，分别沿 AE，CF 折叠，D，B 两点刚 好都落在矩形内一点 P，且APC120，则 AB：AD ：1 【分析】如图，设 ADBCx过点 P 作 PHAC 于 H解直角三角形求出 AC，CD 即可解决问题 【解答】解：如图，设 ADBCx过点 P 作 PHAC 于 H 由翻折的性质可知，PAPCBCx， APC120，PHAC， AHCH，APHCPH60， AC2AH2PAsin60 x， 四
25、边形 ABCD 是矩形， D90， CDABx， ， 故答案为：1 【点评】 本题考查翻折变换， 矩形的性质， 解直角三角形等知识， 解题的关键是学会利用参数解决问题， 属于中考常考题型 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （6 分）计算： （1）； （2） 【分析】 （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得； （2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得 【解答】解： （1）原式+1011； （2）原式+ 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关
26、键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则 18 （8 分）解一元二次方程： （1）x2+2x29； （2）2x2x10 【分析】 （1）利用配方法求解可得； （2）利用公式法求解可得 【解答】解： （1）x2+2x29， x2+2x+129+1，即（x+1）230， 则 x+1， x11+，x21； （2）a2，b，c1， （）242（1）100， 则 x， 即 x1，x2 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 19 （8 分）老李想利用一段 5 米长的墙（图中
27、 EF） ，建一个面积为 32 平方米的矩形养猪圈，另外三面（图 中 AB，BC，CD）需要自己建筑老李准备了可以修建 20 米墙的材料（可以不用完） （1）设 ABy，BCx，求 y 关于 x 的函数关系式 （2）对于（1）中的函数 y 的值能否取到 8.5？请说明理由 【分析】 （1）利用矩形的面积计算公式，可得出 y 关于 x 的函数关系式； （2）代入 y8.5 求出与之对应的 x 的值，进而可求出（x+2y）的值，由该值大于 20 可得出（1）中的函 数 y 的值不能取到 8.5 【解答】解： （1）依题意，得：xy32， y （2）当 y8.5 时，8.5， 解得：x， x+2y2
28、0 又2020， 对于（1）中的函数 y 的值不能取到 8.5 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是： （1）利用矩形的面积计算公式，找出 y 关于 x 的函数关系式； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出当 y8.5 时 x 的值 20 （10 分）某公司计划从两家生产能力相近的制造厂选择一家来承担外销业务，这两家厂生产的皮具款式 和材料都符合要求，因此只需要检测皮具质量的克数是否稳定，现从两家提供的样品中各随机抽取了 6 件进行检查，超过标准质量部分记为正数，不足部分记为负数，若该皮具的标准质量为 400 克，测得它 们质量如下（单位：g） 厂 家 超过标准质量的部分
29、甲 4 1 0 1 2 0 乙 2 1 1 0 1 1 （1）分别计算甲、乙两厂抽样检测的 6 件皮具的平均质量各是多少克？ （2）通过计算，你认为哪一家生产的皮具质量比较稳定？ 【分析】 （1）根据皮具的标准质量，结合表格确定出所求即可； （2）求出甲乙两厂家生产皮具质量的方差，比较即可 【解答】解： （1）甲厂抽样检测的 6 件皮具的平均质量为 400+（4+1+0+1+2+0）6400（克） ； 乙厂抽样检测的 6 件皮具的平均质量为 400+（2+11+0+1+1）6400（克） ； （2）S甲 2 （4）2+12+0+12+22+0， S乙 2 （2）2+12+（1）2+0+12+1
30、2， S甲 2S 乙 2， 则乙厂生产的皮具质量比较稳定 【点评】此题考查了方差，平均数，以及正数与负数，熟练掌握各自的算法是解本题的关键 21 （10 分）如图，ABCD 中，DAB 为钝角，AD1，AB，且ABCD 的面积为 1 （1）求ABCD 各内角的度数 （2）求ABCD 的对角线 AC，BD 的长 【分析】 （1）过点 D 作 DEBA 交 BA 延长线于 E，由 S平行四边形ABCD2SABD，求出 DE，由勾股 定理得 AE，则AED 是等腰直角三角形，得DAE45，推出DAB135，即可得出结果； （2）过点 C 作 CFAB 于 F，则四边形 CDEF 是矩形，得 EFCD
31、，CFDE，证明AFC 是等腰直角三角形，得出 AC1，BEAE+AB，在 RtBDE 中，由勾股定理即可得出 BD 的长 【解答】解： （1）过点 D 作 DEBA 交 BA 延长线于 E，如图 1 所示： 四边形 ABCD 是平行四边形， S平行四边形ABCD2SABD2ABDEABDEDE， DE1， DE， 在 RtAED 中，由勾股定理得：AE， DEAE， AED 是等腰直角三角形， DAE45， DAB18045135， 四边形 ABCD 是平行四边形， DABBD135，ADCABC45； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC1， 过点 C 作 CFAB
32、于 F，如图 2 所示： 则四边形 CDEF 是矩形， EFCD，CFDE， AFEFAE， AFCF， AFC 是等腰直角三角形， ACAF1， BEAE+AB+， 在 RtBDE 中，由勾股定理得：BD 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质 等知识；熟练掌握平行四边形的性质与勾股定理是解题的关键 22 （12 分）如图，在矩形 ABCO 中，点 O 为坐标原点，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA 比 OC 大 2，比 AC 小 2反比例函数 y（k0，x0）的图象经过矩形对角线 AC，BO 的交点 D （1）求 OA 的
33、长和此反比例函数的表达式； （2）若反比例函数 y（m0，x0）的图象经过矩形 ABCO 边 BC 的中点； 求 m 的值 在双曲线 y（m0，x0）上任取一点 G，过点 G 作 GEx 轴于点 E，交双曲线 y（m0， x0）于 F 点，过点 G 作 GKy 轴于点 K，交双曲线 y（m0，x0）于 H 点求GHF 的面积 【分析】 （1）根据勾股定理求得 A、C 的坐标，根据矩形的性质即可求得 D 的坐标； （2）求得矩形 AB、BC 的中点坐标，然后根据待定系数法即可求得； 表示出 F、H 的坐标，根据三角形面积公式即可求得 【解答】解： （1）设 OAm，则 OCm2，ACm+2， A
34、C2OA2+OC2， （m+2）2m2+（m2）2， 解得 m18，m20（舍去） ， OA8，OC6， A（8，0） ，C（0，6） ， 矩形对角线 AC，BO 的交点 D， D（4，3） ， 反比例函数 y（k0，x0）的图象经过点 D， k4312， 此反比例函数的表达式为 y； （2）OA8，OC6， B（8，6） ， BC 的中点为（4，6） ，AB 的中点为（8，3） ， 反比例函数 y（m0，x0）的图象经过矩形 ABCO 边 BC 的中点， m4624； 如图，设 G（a，） ，则 F（a，） ，H（，） ， SGFHGHGF（）3 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解
35、析式，反比例函数系数 k 的几何意义，矩形的性质， 反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键 23 （12 分）矩形 ABCD 中，AB3，BC4点 E，F 在对角线 AC 上，点 M，N 分别在边 AD，BC 上 （1）如图 1，若 AECF1，M，N 分别是 AD，BC 的中点求证：四边形 EMFN 为矩形 （2）如图 2，若 AECF0.5，AMCNx（0 x2） ，且四边形 EMFN 为矩形，求 x 的值 【分析】 （1）连接 MN，由勾股定理求出 AC5，证出四边形 ABNM 是矩形，得 MNAB3，证AME CNF（SAS） ，得出 EMFN，AEMCFN，证 EM
36、FN，得四边形 EMFN 是平行四边形，求出 MNEF，即可得出结论； （2）连接 MN，作 MHBC 于 H，则 MHAB3，BHAMx，得 HNBCBHCN42x，由矩 形的性质得出 MNEFACAECF4，在 RtMHN 中，由勾股定理得出方程，解方程即可 【解答】 （1）证明：连接 MN，如图 1 所示： 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADBC，B90， EAMFCN，AC5， M，N 分别是 AD，BC 的中点， AMDMBNCN，AMBN， 四边形 ABNM 是平行四边形， 又B90， 四边形 ABNM 是矩形， MNAB3， 在AME 和CNF 中， AMECNF（SAS
37、） ， EMFN，AEMCFN， MEFNFE， EMFN， 四边形 EMFN 是平行四边形， 又AECF1， EFACAECF3， MNEF， 四边形 EMFN 为矩形 （2）解：连接 MN，作 MHBC 于 H，如图 2 所示： 则四边形 ABHM 是矩形， MHAB3，BHAMx， HNBCBHCN42x， 四边形 EMFN 为矩形，AECF0.5， MNEFACAECF4， 在 RtMHN 中，由勾股定理得：32+（42x）242， 解得：x2， 0 x2， x2 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线 的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键
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