1、2019-2020 学年浙江省湖州市长兴县八年级（上）期末数学试卷学年浙江省湖州市长兴县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的， 请选出最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分请选出最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分. 1 （3 分）点 P（1，2）关于 x 轴的对称点的坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 2 （3 分）若长度分别为 a，3，5 的三条线段能组成一个
2、三角形，则 a 的值可以是（ ） A1 B2 C3 D8 3 （3 分）不等式 1+x23x 的解集是（ ） A B C D 4 （3 分）下列四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的是（ ） A B C D 5 （3 分）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法 判定ABCDEF 的是（ ） AAD BACDF CABED DBFEC 6 （3 分）点 P 是直线 yx+上一动点，O 为原点，则 OP 的最小值为（ ） A2 B C1 D 7 （3 分）如图，BD 是ABC 的角平分线，AEBD，垂足为 F若ABC35，C50，则CDE 的度
3、数为（ ） A35 B40 C45 D50 8 （3 分）若关于 x 的不等式组的解集是 xa，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 9 （3 分）某通讯公司就上宽带网推出 A，B，C 三种月收费方式这三种收费方式每月所需的费用 y（元） 与上网时间 x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ） A每月上网时间不足 25h 时，选择 A 方式最省钱 B每月上网费用为 60 元时，B 方式可上网的时间比 A 方式多 C每月上网时间为 35h 时，选择 B 方式最省钱 D每月上网时间超过 70h 时，选择 C 方式最省钱 10 （3 分）如图，在等边ABC 中，AB1
4、5，BD6，BE3，点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动，连结 PD， 以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边DPF，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是 （ ） A8 B10 C D12 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）点（2，1）所在的象限是第 象限 12 （4 分）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 （填“真命题”或“假命题” ） 13 （4 分） “x 的与 x 的和不超过 5”用不等式表示为 14 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，外角ACD110，
5、则A 15 （4 分）如图所示，直线 BC 经过原点 O，点 A 在 x 轴上，ADBC 于 D，若 B（m，3） ，C（n，5） ， A（4，0） ，则 ADBC 16 （4 分）如图，AOB 中，AOB90，OAOB，等腰直角CDF 的直角顶点 C 在边 OA 上，点 D 在边OB上， 点F在边AB上， 如果CDF的面积是AOB的面积的， OD2， 则AOB的面积为 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 8 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）解不等式组： 18 （6 分）如图，AD90，ACDB，AC、DB 相交于点 O求证：OBOC 19 （6 分）一次函数的图象过
6、M（6，1） ，N（4，9）两点 （1）求函数的表达式 （2）当 y1 时，求自变量 x 的取值范围 20 （8 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点在网格线的交点的三角 形）ABC 的顶点 A，C 坐标分别是（a，5） ， （1，b） （1）求 a，b 的值； （2）在图中作出直角坐标系； （3）在图中作出ABC 关于 y 轴对称的图形ABC 21 （8 分）如图，已知 AC 平分BAD，CEAB 于 E，CFAD 于 F，且 BCCD， （1）求证：BCEDCF； （2）若 AB21，AD9，BCCD10，求 AC 的长 22 （10 分）学校与图书馆在同一
7、条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀 速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离 y（米）与时间 t（分钟）之间的函数关系如图所 示 （1）根据图象信息，当 t 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟； （2）求出线段 AB 所表示的函数表达式 23 （10 分） 【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图 1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA1，PB2，PC 3你能求出APB 的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，求出APB 的度数； 思路二：将AP
8、B 绕点 B 顺时针旋转 90，得到CPB，连接 PP，求出APB 的度数 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程 【类比探究】 如图 2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA3，PB1，PC，求APB 的度数 24 （12 分）如图，已知过点 B（1，0）的直线 l1与直线 l2：y2x+4 相交于点 P（1，a） ，l1与 y 轴交于 点 C，l2与 x 轴交于点 A （1）求 a 的值及直线 l1的解析式 （2）求四边形 PAOC 的面积 （3）在 x 轴上方有一动直线平行于 x 轴，分别与 l1，l2交于点 M，N，且点 M 在点 N 的右侧，x 轴上是 否存在点 Q，使M
9、NQ 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点 Q 的坐标；若不存在， 请说明理由 2019-2020 学年浙江省湖州市长兴县八年级（上）期末数学试卷学年浙江省湖州市长兴县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的， 请选出最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分请选出最符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分. 1 （3 分）点 P（1，2）关于 x 轴的对称点的坐标是（
10、 ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【分析】两点关于 x 轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可 【解答】解：2 的相反数是2， 点 M（1，2）关于 x 轴对称点的坐标为 （1，2） 故选：B 【点评】本题考查两点关于 x 轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数 2 （3 分）若长度分别为 a，3，5 的三条线段能组成一个三角形，则 a 的值可以是（ ） A1 B2 C3 D8 【分析】根据三角形三边关系定理得出 53a5+3，求出即可 【解答】解：由三角形三边关系定理得：53a5+3， 即 2a8， 即符合的只有 3， 故选：C 【点评】
11、本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出 53a5+3 是解此题的关键，注意：三角 形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边 3 （3 分）不等式 1+x23x 的解集是（ ） A B C D 【分析】先移项、再合并同类项、化系数为 1 即可 【解答】解：移项得，x+3x21， 合并同类项得，4x1， 化系数为 1 得，x 故选：B 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键 4 （3 分）下列四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的是（ ） A B C D 【分析】根据三角形高的画法知，过点 B 作 AC 边上的高，垂足为 E，其中线段
12、 BE 是ABC 的高，再 结合图形进行判断 【解答】解：线段 BE 是ABC 的高的图是选项 D 故选：D 【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与 垂足之间的线段熟记定义是解题的关键 5 （3 分）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法 判定ABCDEF 的是（ ） AAD BACDF CABED DBFEC 【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS 进行判断即可 【解答】解：选项 A、添加AD 不能判定ABCDEF，故本选项符合题意； 选项 B、添加
13、 ACDF 可用 AAS 进行判定，故本选项不符合题意； 选项 C、添加 ABDE 可用 AAS 进行判定，故本选项不符合题意； 选项 D、添加 BFEC 可得出 BCEF，然后可用 ASA 进行判定，故本选项不符合题意 故选：A 【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三 角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型 6 （3 分）点 P 是直线 yx+上一动点，O 为原点，则 OP 的最小值为（ ） A2 B C1 D 【分析】设直线 yx+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，过点 O 作直线 AB 的垂线，
14、垂足为点 P， 此时线段 OP 最小，分别将 x0、y0 代入一次函数解析式中求出与之对应的 y、x 值，进而即可得出 OA、OB 的长度，利用勾股定理即可得出 AB 的长度，再利用面积法即可求出 OP 的长度 【解答】解：设直线 yx+与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，过点 O 作直线 AB 的垂线，垂足为 点 P，此时线段 OP 最小 当 x0 时，y， 点 A（0，） ， OA； 当 y0 时，求得 x， 点 B（，0） ， OB， AB2 OP1 故选：C 【点评】本题考查了点到直线的距离、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及三角形的面积，利 用点到直线之间，垂直线段最短
15、找出点 P 的位置是解题的关键 7 （3 分）如图，BD 是ABC 的角平分线，AEBD，垂足为 F若ABC35，C50，则CDE 的度数为（ ） A35 B40 C45 D50 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到ABDEBDABC，AFBEFB 90，推出 ABBE，根据等腰三角形的性质得到 AFEF，求得 ADED，得到DAFDEF，根据 三角形的外角的性质即可得到结论 【解答】解：BD 是ABC 的角平分线，AEBD， ABDEBDABC，AFBEFB90， BAFBEF9017.5， ABBE， AFEF， ADED， DAFDEF， BAC180ABCC95， BEDBAD9
16、5， CDE955045， 故选：C 【点评】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等 三角形的判定和性质是解题的关键 8 （3 分）若关于 x 的不等式组的解集是 xa，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 【分析】根据不等式组的解集的概念即可求出 a 的范围 【解答】解：解关于 x 的不等式组得 a2 故选：D 【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解集，本题属于基础题型 9 （3 分）某通讯公司就上宽带网推出 A，B，C 三种月收费方式这三种收费方式每月所需的费用 y（元） 与上网时间 x（h）的函数关系
17、如图所示，则下列判断错误的是（ ） A每月上网时间不足 25h 时，选择 A 方式最省钱 B每月上网费用为 60 元时，B 方式可上网的时间比 A 方式多 C每月上网时间为 35h 时，选择 B 方式最省钱 D每月上网时间超过 70h 时，选择 C 方式最省钱 【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足 25 h 时，选择 A 方式最省钱，结论 A 正确； B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用50 元时，B 方式可上网的时间比 A 方式多，结论 B 正确； C、利用待定系数法求出：当 x25 时，yA与 x 之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特 征可求出当 x35 时
18、yA的值，将其与 50 比较后即可得出结论 C 正确； D、利用待定系数法求出：当 x50 时，yB与 x 之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特 征可求出当 x70 时 yB的值，将其与 120 比较后即可得出结论 D 错误 综上即可得出结论 【解答】解：A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足 25 h 时，选择 A 方式最省钱，结论 A 正确； B、观察函数图象，可知：当每月上网费用50 元时，B 方式可上网的时间比 A 方式多，结论 B 正确； C、设当 x25 时，yAkx+b， 将（25，30） 、 （55，120）代入 yAkx+b，得： ，解得：， yA3x45（x2
19、5） ， 当 x35 时，yA3x456050， 每月上网时间为 35h 时，选择 B 方式最省钱，结论 C 正确； D、设当 x50 时，yBmx+n， 将（50，50） 、 （55，65）代入 yBmx+n，得： ，解得：， yB3x100（x50） ， 当 x70 时，yB3x100110120， 结论 D 错误 故选：D 【点评】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观 察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键 10 （3 分）如图，在等边ABC 中，AB15，BD6，BE3，点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动
20、，连结 PD， 以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边DPF，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是 （ ） A8 B10 C D12 【分析】过 D 点作 DEAB，过点 F 作 FHBC 于 H，则 BEBD3，得出点 E与点 E 重合， BDE30，DEBE3，由 AAS 证得DPEFDH，得出 FHDE3，则点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径为一条线段，此线段到 BC 的距离为 3，当点 P 在 E 点时，作等边三 角形 DEF1，BDF130+6090，则 DF1BC，当点 P 在 A 点时，作等边三角形 DAF2，作 F2Q BC
21、于 Q，则四边形 DF1F2Q 是矩形，由 AAS 证得DF2QADE，得出 DQAEABBE12，即 可得出结果 【解答】解：ABC 为等边三角形， B60， 过 D 点作 DEAB，过点 F 作 FHBC 于 H，如图所示： 则 BEBD3， 点 E与点 E 重合， BDE30，DEBE3， DPF 为等边三角形， PDF60，DPDF， EDP+HDF90 HDF+DFH90， EDPDFH， 在DPE 和FDH 中， DPEFDH（AAS） ， FHDE3， 点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径为一条线段，此线段到 BC 的距离为 3， 当点 P 在 E 点时，作等边
22、三角形 DEF1，BDF130+6090，则 DF1BC， 当点 P 在 A 点时，作等边三角形 DAF2，作 F2QBC 于 Q，则四边形 DF1F2Q 是矩形， BDE30，ADF260， ADE+F2DQ180306090， ADE+DAE90， F2DQDAE， 在DF2Q 和ADE 中， DF2QADE（AAS） ， DQAEABBE15312， F1F2DQ12， 当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长为 12， 故选：D 【点评】本题考查了等边三角形的性质、含 30角直角三角形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形 的判定与性质等知识，熟练掌握含 30角直角三角
23、形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）点（2，1）所在的象限是第 四 象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答 【解答】解：点（2，1）所在的象限是第四象限 故答案为：四 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个 象限的符号特点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限（，+） ；第三象限（，） ；第四象限（+， ） 12 （4 分）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 真命题 （填“真命题”或“假命题” ） 【分析
24、】根据三角形内角和定理判断即可 【解答】解：三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题； 故答案为：真命题 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假 命题；经过推理论证的真命题称为定理 13 （4 分） “x 的与 x 的和不超过 5”用不等式表示为 【分析】理解：x 的，即x，然后与 x 的和即表示为x+x，不超过 5 即5，据此可得答案 【解答】解： “x 的与 x 的和不超过 5”用不等式表示为x+x5， 故答案为：x+x5 【点评】此题考查一元一次不等式问题，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系， 才能把文字语言的不等关
25、系转化为用数学符号表示的不等式 14 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，外角ACD110，则A 40 【分析】先得到ACB 的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出顶角 A 【解答】解：ABAC， ABCACB 而ACD110， ACBABC18011070， A180707040 故答案为：40 【点评】考查了三角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 15 （4 分）如图所示，直线 BC 经过原点 O，点 A 在 x 轴上，ADBC 于 D，若 B（m，3） ，C（n，5） ， A（4，0） ，则 ADBC 32 【分析】作三角形的高线，根据坐标求出 BE、OA、OF 的
26、长，利用面积法可以得出 BCAD32 【解答】解：过 B 作 BEx 轴于 E，过 C 作 CFy 轴于 F， B（m，3） ， BE3， A（4，0） ， AO4， C（n，5） ， OF5， SAOBAOBE436， SAOCAOOF4510， SAOB+SAOC6+1016， SABCSAOB+SAOC， BCAD16， BCAD32， 故答案为：32 【点评】本题考查了坐标与图形性质，根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运 用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积 16 （4 分）如图，AOB 中，AOB90，OAOB，等腰直角CDF 的直角顶点 C 在边 OA 上
27、，点 D 在边 OB 上，点 F 在边 AB 上，如果CDF 的面积是AOB 的面积的，OD2，则AOB 的面积为 【分析】过点 F 作 FMAO 于点 M，先利用 AAS 证明DOCCMF，结合等腰直角三角形的性质与 判定得出 AMMFCO，设 AMMFCOx，由CDF 的面积是AOB 的面积的得到关于 x 的方 程，解出 x 即可求出AOB 的面积 【解答】解：过点 F 作 FMAO 于点 M，如图： 则有：OFMC90， 1+290， 等腰直角CDF， CFCD，DCF90， 2+390， 13， 又OFMC90，CFCD， DOCCMF（AAS） ， CMOD2，MFOC， AOB90
28、，OAOB，FMAO， AMF 是等腰直角三角形， AMMFCO， 设 AMMFCOx，则 OAOB2x+2，CDCF， 由CDF 的面积是AOB 的面积的，得： （）2（2x+2）2， 解得：x1.5， AOB 的面积（2x+2）2； 故答案为： 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质与判定，属于中考常考题 型 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 8 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）解不等式组： 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 3x
29、5x+1 得：x3， 解不能等式x2 得：x6， 所以不等式组的解集为 3x6 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18 （6 分）如图，AD90，ACDB，AC、DB 相交于点 O求证：OBOC 【分析】 因为AD90，ACBD，BCBC， 知 RtBACRtCDB （HL） ，推出OBCOCB 可得结论 【解答】证明：在 RtABC 和 RtDCB 中 ， RtABCRtDCB（HL） ， OBCOCB， BOCO 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定
30、是结合全等三角形的性质证明线段和角 相等的重要工具 19 （6 分）一次函数的图象过 M（6，1） ，N（4，9）两点 （1）求函数的表达式 （2）当 y1 时，求自变量 x 的取值范围 【分析】 （1）设一次函数的解析式为 ykx+b，将 M（6，1） ，N（4，9）代入得关于 k 和 b 的二元 一次方程组，解得 k 和 b 的值，则可得函数的表达式； （2）由（1）中 k 的值，可得该函数的函数值随 x 的增大而减小，计算出当 y1 时的 x 值，可得自变量 x 的取值范围 【解答】解： （1）设一次函数的解析式为 ykx+b 将 M（6，1） ，N（4，9）代入得： 解得 函数的表达式
31、 yx+5 （2）k10 一次函数 yx+5 的函数值随着 x 的增大而变小 当 y1 时，1x+5 x4 当 y1 时，x4 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一次函数与一元一次不等式的关系，本题属于基 础知识的考查，难度不大 20 （8 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点在网格线的交点的三角 形）ABC 的顶点 A，C 坐标分别是（a，5） ， （1，b） （1）求 a，b 的值； （2）在图中作出直角坐标系； （3）在图中作出ABC 关于 y 轴对称的图形ABC 【分析】 （1） （2）构建平面直角坐标系即可解决问题 （3）分别作出 A，B
32、，C 的对应点 A，B，C即可解决问题 【解答】解： （1）由题意平面直角坐标系如图所示， 可得：a4，b3 （2）如图所示： （3）ABC如图所示 【点评】本题考查作图轴对称变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型 21 （8 分）如图，已知 AC 平分BAD，CEAB 于 E，CFAD 于 F，且 BCCD， （1）求证：BCEDCF； （2）若 AB21，AD9，BCCD10，求 AC 的长 【分析】 （1）要证明BCEDCF，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根 据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等； （2）
33、结合 （1） 中的结论进行分析， 发现： ABAE+BEAF+BEAD+DE+BEAD+2BE， 求出 BE 的长， 再根据勾股定理求得 CE 的长，再运用勾股定理进行求解即可 【解答】 （1）证明：AC 平分BAD，CEAB 于 E，CFAD 于 F， CFD90，CEB90（垂线的意义） CECF（角平分线的性质） BCCD（已知） RtBCERtDCF（HL） （2）解：由（1）得， RtBCERtDCF DFEB，设 DFEBX CFD90，CEB90， CECF，ACAC RtAFCRtAEC（HL） AFAE 即：AD+DFABBE AB21，AD9，DFEBx 9+x21x 解得
34、，x6 在 RtDCF 中，DF6，CD10 CF8 RtAFC 中，AC2CF2+AF282+（9+6）2289 AC17 答：AC 的长为 17 【点评】 （1）掌握全等三角形的判定方法，能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等； （2）注意线段的等量代换，熟练运用勾股定理 22 （10 分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀 速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离 y（米）与时间 t（分钟）之间的函数关系如图所 示 （1）根据图象信息，当 t 24 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 40 米/分钟； （2）求出线段 AB 所表示的函数
35、表达式 【分析】 （1）根据图象信息，当 t24 分钟时甲乙两人相遇，甲 60 分钟行驶 2400 米，根据速度路程 时间可得甲的速度； （2）由 t24 分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为 240024100 米/分钟，减去甲的速度 得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即 A 点的横坐标，用 A 点的横坐标乘以甲的速度得出 A 点的纵坐标，再将 A、B 两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段 AB 所表示的函数表达式 【解答】解： （1）根据图象信息，当 t24 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 24006040 米/分钟 故答案为 24，40； （2）甲从学校去图书馆，乙
36、从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t24 分钟时甲乙 两人相遇， 甲、乙两人的速度和为 240024100 米/分钟， 乙的速度为 1004060 米/分钟 乙从图书馆回学校的时间为 24006040 分钟， 40401600， A 点的坐标为（40，1600） 设线段 AB 所表示的函数表达式为 ykt+b， A（40，1600） ，B（60，2400） ， ，解得 线段 AB 所表示的函数表达式为 y40t（40t60） 【点评】本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属 于中考常考题型读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键 2
37、3 （10 分） 【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图 1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA1，PB2，PC 3你能求出APB 的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，求出APB 的度数； 思路二：将APB 绕点 B 顺时针旋转 90，得到CPB，连接 PP，求出APB 的度数 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程 【类比探究】 如图 2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA3，PB1，PC，求APB 的度数 【分析】 （1）思路一、先利用旋转求出PBP90，BPBP
38、2，APCP3，利用勾股定理求出 PP，进而判断出APP是直角三角形，得出APP90，即可得出结论； 思路二、同思路一的方法即可得出结论； （2）同（1）的思路一的方法即可得出结论 【解答】解： （1）思路一、如图 1， 将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP， ABPCBP， PBP90，BPBP2，APCP3， 在 RtPBP中，BPBP2， BPP45，根据勾股定理得，PPBP2， AP1， AP2+PP21+89， AP2329， AP2+PP2AP2， APP是直角三角形，且APP90， APBAPP+BPP90+45135； （2）如图 2， 将BPC 绕点
39、B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP， ABPCBP， PBP90，BPBP1，APCP， 在 RtPBP中，BPBP1， BPP45，根据勾股定理得，PPBP， AP3， AP2+PP29+211， AP2（）211， AP2+PP2AP2， APP是直角三角形，且APP90， APBAPPBPP904545 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾 股定理，正确作出辅助线是解本题的关键 24 （12 分）如图，已知过点 B（1，0）的直线 l1与直线 l2：y2x+4 相交于点 P（1，a） ，l1与 y 轴交于 点 C，l2与 x
40、 轴交于点 A （1）求 a 的值及直线 l1的解析式 （2）求四边形 PAOC 的面积 （3）在 x 轴上方有一动直线平行于 x 轴，分别与 l1，l2交于点 M，N，且点 M 在点 N 的右侧，x 轴上是 否存在点 Q，使MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点 Q 的坐标；若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）y2x+4 过点 P（1，a） ，则 a2，即可求解； （2）； （3）分 MNNQ、MNMQ、MQNQ 三种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）y2x+4 过点 P（1，a） ， a2， 直线 l1过点 B（1，0）和点 P（1，2） ， 设线段 BP 所表示的函数表达式 ykx+b 并解得： 函数的表达式 yx+1； （2）过点 P 作 PEOA 于点 E，作 PFy 轴交 y 轴于点 F， 则； （3）如图，M（1a，a） ，点 N， MNNQ，则， 当 MNNQ 时， 当 MNMQ 时，Q2（，0） ， 当 MQNQ 时，1a（a4）a， ，Q3（，0） 综上，点 Q 的坐标为： （，0）或（，0）或（，0） 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3） ，要注 意分类求解，避免遗漏
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