1、2019-2020 学年浙江省杭州市富阳区八年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市富阳区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （3 分）点 P（2，4）所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （3 分）若长度分别为 a，3，5 的三条线段能组成一个三角形，则下列选项中符合条件的 a 值是（ ） A1 B2 C3 D8 3 （3 分）在，2，1，3 四个数中，满
2、足不等式 x2 的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4 （3 分）如果一次函数 ykx+b 的图象经过第二、第四象限，且与 x 轴正半轴相交，那么（ ） Ak0，b0 Bk0，b0 Ck0，b0 Dk0，b0 5 （3 分）已知ABCA1B1C1，A 和 A1对应，B 和 B1对应，A70，B150，则C 的度数为 （ ） A70 B50 C120 D60 6 （3 分）已知（2，y1） ， （1，y2） ， （1.7，y3）是直线 y5x+b（b 为常数）上的三个点，则 y1，y2， y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy3y1y2 7（
3、3 分） 如图， ABC 中， ABAC， BAC100， DE 是 AC 边的垂直平分线， 则BAE 的度数为 （ ） A60 B50 C45 D40 8 （3 分）已知 xy，则下列不等式成立的是（ ） A2x2y B4x3y C5x5y Dx2y3 9 （3 分）如图，在 44 方格中，以 AB 为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（ ） A7 个 B6 个 C4 个 D3 个 10 （3 分）如图，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD30，连接 AC，BD 交于点 M，AC 与 OD 相交于 E，BD 与 OA 相交于 F，连接 OM则下列结论
4、中： ACBD；AMB30；OEMOFM；MO 平分BMC 正确的个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 11 （4 分）x 减去 y 大于4，用不等式表示为 12 （4 分）若点 M（a3，a+4）在 x 轴上，则点 M 的坐标是 13 （4 分）在ABC 中，A：B：C2：3：4，则C 14 （4 分）已知一个直角三角形的两条边的长分别为 3 和 5，则第三条边的长为 15 （4 分）某商店卖水果，数量 x（千克）与售价 y（元）之间的关系如下表， （y 是 x 的一次函数） x
5、（千克） 0.5 1 1.5 2 y（元） 1.6+0.1 3.2+0.1 4.8+0.1 6.4+0.1 当 x7 千克时，售价 y 元 16 （4 分）如图，CD 是ABC 的角平分线，AECD 于 E，BC6，AC4，ABC 的面积是 9，则AEC 的面积是 三三.解答题：本大题有解答题：本大题有 7 个小题个小题.共共 66 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （6 分）解下列不等式（组） ： （1）4x12x3 （2） 18 （8 分）如图所示，ABC 在正方形网格中，若点 A 的坐标是（2，4） ，点 B 的坐标是（1，0）
6、，按要 求解答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点 C 的坐标； （2）在图中作出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1 19 （8 分）如图，已知 B，D，E，C 在同一直线上，DCBE，ADEAED求证：ABAC 20 （10 分）如图 1，公路上有 A，B，C 三个车站，一辆汽车从 A 站以速度 v1匀速驶向 B 站，到达 B 站后 不停留，以速度 v2匀速驶向 C 站，汽车行驶路程 y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象如图 2 所示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）汽车距离 C 站 20 千米时已行驶了多少时间？ 21 （
7、10 分）如图，在ABC 中，ACABBC，AD 是高线，B，C （1）用直尺与圆规作三角形内角BAC 的平分线 AE； （不写作法，保留作图痕迹） （2） 在 （1） 的前提下， 判断EAD， EAD中哪一个正确？并说明理由 22 （12 分）如图，已知直线 l1：y12x3，直线 l2：y2x+3，l1与 l2相交于点 P，l1，l2分别与 y 轴相 交于点 A，B （1）求点 P 的坐标 （2）若 y1y20，求 x 的取值范围 （3）点 D（m，0）为 x 轴上的一个动点，过点 D 作 x 轴的垂线分别交 l1和 l2于点 E，F，当 EF3 时， 求 m 的值 23 （12 分）如图
8、，CD，BE 是ABC 的两条高线，且它们相交于 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH，DH 与 BE 相交于点 G，已知 CDBD （1）求证 BFAC （2）若 BE 平分ABC 求证：DFDG 若 AC8，求 BG 的长 2019-2020 学年浙江省杭州市富阳区八年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市富阳区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1
9、（3 分）点 P（2，4）所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】点 P（2，4）横坐标为负，纵坐标为正，根据象限内点的符号，确定象限 【解答】解：20，40， 点 P（2，4）在第二象限， 故选：B 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决 的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限（，+） ；第三象限（，） ；第 四象限（+，） 2 （3 分）若长度分别为 a，3，5 的三条线段能组成一个三角形，则下列选项中符合条件的 a 值是（ ） A1 B2 C3 D8 【分析】根据三角形的三边
10、关系定理可得：53a5+3，即可得到 a 的范围，进而可得答案 【解答】解：由题意得：53a5+3， 则 2a8， 故选：C 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和第三边，任意两边之差第三 边 3 （3 分）在，2，1，3 四个数中，满足不等式 x2 的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据不等式的解集的定义解答即可 【解答】解：469， 23， 32， 21， 在，2，1，3 四个数中，小于2 的数有两个， 即满足不等式 x2 的有 2 个， 故选：B 【点评】本题考查了不等式的解集解题的关键是掌握不等式的解集的定义 4 （3 分）如果一次函数
11、 ykx+b 的图象经过第二、第四象限，且与 x 轴正半轴相交，那么（ ） Ak0，b0 Bk0，b0 Ck0，b0 Dk0，b0 【分析】因为一次函数 ykx+b 图象经过第二第四象限，且与 x 轴正半轴相交，即函数 ykx+b 的图象 经过第一、二、四象限，即可确定 k，b 的符号 【解答】解：由题意得，函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限，k0，b0 故选：C 【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据一次函数 ykx+b 的图象有四种情况： 当 k0，b0，函数 ykx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随 x 的值增大而增大； 当 k0，b0，函数 ykx+b 的图象经过
12、第一、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而增大； 当 k0，b0 时，函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随 x 的值增大而减小； 当 k0，b0 时，函数 ykx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而减小 5 （3 分）已知ABCA1B1C1，A 和 A1对应，B 和 B1对应，A70，B150，则C 的度数为 （ ） A70 B50 C120 D60 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案 【解答】解：ABCA1B1C1，A 和 A1对应，B 和 B1对应，A70，B150， BB150， 则C 的度数为：180507060 故选：
13、D 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角相等是解题关键 6 （3 分）已知（2，y1） ， （1，y2） ， （1.7，y3）是直线 y5x+b（b 为常数）上的三个点，则 y1，y2， y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy3y1y2 【分析】y5x+b，k50，故 y 随 x 的增大而减小，即可求解 【解答】解：y5x+b，k50， 故 y 随 x 的增大而减小， 1.712， 故 y1y2y3， 故选：A 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，关键根据一次函数 k 值情况，确定 y 随 x 变化的 规律求解即可 7（3 分
14、） 如图， ABC 中， ABAC， BAC100， DE 是 AC 边的垂直平分线， 则BAE 的度数为 （ ） A60 B50 C45 D40 【分析】设Bx，分别利用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质用 x 表示出BAC 的度数，从而 求得 x 的值后即可求得答案 【解答】解：设Bx， ABAC， BCx， ，又AC 边的垂直平分线交 BC 于点 E， AECE， CAECx， AEB2C2x， BAE180BCAE（1803x）， BACBAE+CAE1803x+x（1802x）， BAC100， 1802x100， 解得：x40， BAEBAECAE60 故选：A 【点评】此题考查了
15、线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用角的等量代换是正确解答本题 的关键 8 （3 分）已知 xy，则下列不等式成立的是（ ） A2x2y B4x3y C5x5y Dx2y3 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可 【解答】解：A、根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，原变形错误，故本选 项不符合题意； B、不等式两边大的乘以 4，小的乘以 3，不等号的方向不变或改变或相等，原变形错误，故本选项不符 合题意； C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不等式两边加（或减）同一个数（或式 子） ，不等号方向不变，原变形错误，故本选项不符合题意； D、不等式两
16、边大的减去 2，小的减去 3，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题主要考查不等式的性质解题的关键是掌握不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变； （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 9 （3 分）如图，在 44 方格中，以 AB 为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（ ） A7 个 B6 个 C4 个 D3 个 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径画弧，作线段 AB 的垂直平分线， 即可得出第三个
17、顶点的位置 【解答】解：如图所示，分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径画弧，则圆弧经过的格点 C1、C2、C3、C4、 C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段 AB 的垂直平分线，垂直平分线未经过格点 故以 AB 为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出 7 个 故选：A 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置掌握 等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键 10 （3 分）如图，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD30，连接 AC，BD 交于点 M，AC 与 OD 相交于 E，BD 与 OA 相交于
18、 F，连接 OM则下列结论中： ACBD；AMB30；OEMOFM；MO 平分BMC 正确的个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据“SAS”判断AOCBOD 得到 ACBD，则可对进行判断；根据全等三角形的性质 得到OACOBD，则根据三角形内角和得到AMFBOF30，于是可对进行判断；利用 OCOA 得到OCAOAC， 则根据三角形外角性质得到推出OEMOFM， 所以OEM 与OFM 不可能全等，于是可对进行判断；作 OHAC 于 H，OGBD 于 G，如图，根据三角形全等的性质得 到 OHOG，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可对进行判断 【解答】解：AOBC
19、OD30， AOCBOD， OAOB，OCOD， AOCBOD（SAS） ， ACBD，所以正确； OACOBD， 而AFMBFO， AMFBOF30，所以正确； OCOA， OCAOAC， OEMOCE+30，OFMOBF+30OAM+30， OEMOFM， OEM 与OFM 不可能全等，所以错误； 作 OHAC 于 H，OGBD 于 G，如图， AOCBOD， OHOG， MO 平分BMC，所以正确 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的 5 种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目 中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再
20、找一 组对边对应相等， 且要是两角的夹边， 若已知一边一角， 则找另一组角， 或找这个角的另一组对应邻边 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 11 （4 分）x 减去 y 大于4，用不等式表示为 xy4 【分析】首先表示“x 减去 y” ，再表示“大于4”即可 【解答】解：由题意得：xy4， 故答案为：xy4 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词，选准不等号 12 （4 分）若点 M（a3，a+4）在 x 轴上，则点 M 的坐标是 （7，0） 【分析】根据 x 轴上的点纵坐标为 0，列式求出 a 的
21、值，然后计算求出横坐标，从而点 M 的坐标可得 【解答】解：M（a3，a+4）在 x 轴上， a+40， 解得 a4， a3437， M 点的坐标为（7，0） 故答案为（7，0） 【点评】本题主要考查了点的坐标，利用 x 轴上的点纵坐标等于 0 列式求出 a 的值是解题的关键 13 （4 分）在ABC 中，A：B：C2：3：4，则C 80 【分析】利用三角形内角和定理结合条件可求得答案 【解答】解：A：B：C2：3：4， 设A2x，B3x，C4x， 由三角形内角和定理可得：2x+3x+4x180， 解得 x20， C4x80， 故答案为：80 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三
22、个内角的和为 180是解题的关键 14 （4 分）已知一个直角三角形的两条边的长分别为 3 和 5，则第三条边的长为 4 或 【分析】此题要分两种情况：当 3 和 5 都是直角边时，当 5 是斜边长时，分别利用勾股定理计算出第三 边长即可 【解答】解：当 3 和 5 都是直角边时，第三边长为：， 当 5 是斜边长时，第三边长为：4， 故答案为：4 或 【点评】此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往 往忽略这一点，造成丢解 15 （4 分）某商店卖水果，数量 x（千克）与售价 y（元）之间的关系如下表， （y 是 x 的一次函数） x（千克） 0.5
23、1 1.5 2 y（元） 1.6+0.1 3.2+0.1 4.8+0.1 6.4+0.1 当 x7 千克时，售价 y 22.5 元 【分析】根据题意和表格中的数据，可以求得 y 与 x 的函数关系式，然后将 x7 代入函数关系式，即可 求得相应的 y 的值，本题得以解决 【解答】解：设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， ， 解得， 即 y 与 x 的函数关系式为 y3.2x+0.1， 当 x7 时，y3.27+0.122.5， 故答案为：22.5 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式，利用一次函 数的性质解答 16 （4 分）如图，CD 是AB
24、C 的角平分线，AECD 于 E，BC6，AC4，ABC 的面积是 9，则AEC 的面积是 3 【分析】延长 AE 交 BC 于 F，根据全等三角形的性质得到 CFAC4，得到 BF2，根据三角形的面 积公式即可得到结论 【解答】解：延长 AE 交 BC 于 F， CD 是ABC 的角平分线， ACEFCE， AECD 于 E， AECCEF90， CECE， ACEFCE（ASA） ， CFAC4， BC6， BF2， ABC 的面积是 9， SACF96， AEC 的面积SACF3， 故答案为：3 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确
25、的作出辅助线是解题的关键 三三.解答题：本大题有解答题：本大题有 7 个小题个小题.共共 66 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （6 分）解下列不等式（组） ： （1）4x12x3 （2） 【分析】 （1）不等式移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 【解答】解： （1）移项合并得：2x2， 解得：x1； （2）， 解不等式得：x， 解不等式得：x3， 则不等式组的解集为 x3 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，解不等式的步骤为：去分母，
26、去括 号，移项合并，把未知数系数化为 1，求出解集 18 （8 分）如图所示，ABC 在正方形网格中，若点 A 的坐标是（2，4） ，点 B 的坐标是（1，0） ，按要 求解答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点 C 的坐标； （2）在图中作出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1 【分析】 （1）根据 B 点坐标确定原点位置，再建立坐标系即可； （2）首先确定 A、B、C 三点关于 x 轴的对称点，再连接即可 【解答】解： （1）如图：C（3，2） ； （2）如图所示，A1B1C1即为所求 【点评】此题主要考查了作图轴对称变换，画轴对称图形关键是确定组成图形的关键点的对称
27、点位 置 19 （8 分）如图，已知 B，D，E，C 在同一直线上，DCBE，ADEAED求证：ABAC 【分析】利用 SAS 得到三角形 ADB 与三角形 AEC 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证 【解答】证明：ADEAED，ADE+ADB180，AED+AEC180， ADAE，ADBAEC， DCBE， BDCE 在ADB 和AEC 中， ， ADBAEC（SAS） ， ABAC 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 20 （10 分）如图 1，公路上有 A，B，C 三个车站，一辆汽车从 A 站以速度 v1匀速驶向 B 站，到达 B
28、 站后 不停留，以速度 v2匀速驶向 C 站，汽车行驶路程 y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象如图 2 所示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）汽车距离 C 站 20 千米时已行驶了多少时间？ 【分析】 （1）根据题意和函数图象中的数据，可以分别求得汽车从 A 站到 B 站、从 B 站到 C 站对应的函 数解析式并写出 x 的取值范围； （2）将 y42020 代入从 B 站到 C 站的函数解析式，即可得到汽车距离 C 站 20 千米时已行驶了多少 时间 【解答】解： （1）设汽车从 A 站到 B 站对应的函数解析式为 ykx， k1100，得 k1
29、00， 即汽车从 A 站到 B 站对应的函数解析式为 y100 x， 当 y300 时，300100 x，得 x3， 设汽车从 B 站到 C 站对应的函数解析式为 yax+b， ，的， 即汽车从 B 站到 C 站对应的函数解析式为 y120 x60， 由上可得，y 与 x 之间的函数关系式是 y； （2）当 y42020400 时， 400120 x60，得 x， 答：汽车距离 C 站 20 千米时已行驶了小时 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思 想解答 21 （10 分）如图，在ABC 中，ACABBC，AD 是高线，B，C （1）用直
30、尺与圆规作三角形内角BAC 的平分线 AE； （不写作法，保留作图痕迹） （2） 在 （1） 的前提下， 判断EAD， EAD中哪一个正确？并说明理由 【分析】 （1）用直尺与圆规作三角形内角BAC 的平分线 AE 即可； （2）在（1）的前提下，根据三角形内角和定理即可判断EAD，EAD 中哪一个正确 【解答】解：如图， （1）AE 即为BAC 的平分线； （2）EAD正确，理由如下： 在（1）的前提下， AE 为BAC 的平分线， EABEACBAC， （180） 90， AD 是高线， ADC90， DAC90C90， EADEACDAC 90（90） （） 所以EAD正确 【点评】本题
31、考查了作图复杂作图、三角形内角和定理，解决本题的关键是准确画图 22 （12 分）如图，已知直线 l1：y12x3，直线 l2：y2x+3，l1与 l2相交于点 P，l1，l2分别与 y 轴相 交于点 A，B （1）求点 P 的坐标 （2）若 y1y20，求 x 的取值范围 （3）点 D（m，0）为 x 轴上的一个动点，过点 D 作 x 轴的垂线分别交 l1和 l2于点 E，F，当 EF3 时， 求 m 的值 【分析】 （1）联立两直线解析式得到关于 x、y 的方程组，解之即可得； （2）求得直线 l2：y2x+3 与 x 轴的交点，然后根据图象即可求得； （3）根据题意表示出 E、F 的坐标
32、，得到关于 m 的方程，解之可得答案 【解答】解： （1）根据题意，得：， 解得：， 点 P 的坐标为（2，1） （2）在直线 l2：y2x+3 中，令 y0，解得 x3， 由图象可知：若 y1y20，x 的取值范围是3x2； （2）由题意可知 E（m，2m3） ，F（m，m+3） ， EF3， |2m3m3|3， 解得：m3 或 m1 【点评】本题主要考查两直线相交或平行问题，解题的关键是掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条 直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解 23 （12 分）如图，CD，BE 是ABC 的两条高线，且它们相交于 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH，D
33、H 与 BE 相交于点 G，已知 CDBD （1）求证 BFAC （2）若 BE 平分ABC 求证：DFDG 若 AC8，求 BG 的长 【分析】 （1）根据垂直的定义得到CEFADCBDF90，求得ACDDBF，根据全等三 角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到 DHBC，求得HGB+HBG90，根据角平分线的定义得 到HBGFBD，求得DFGDGF，于是得到 DFDG； 过 G 作 GHBD 于 H，则DHG 是等腰直角三角形，求得 DHGH，设 DHGHx，则 DFDG x，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论 【解答】 （1）证明：CD，BE 是AB
34、C 的两条高线， CEFADCBDF90， CFEBFD， ACDDBF， CDBD， ACDFBD（ASA） ， BFAC； （2）解：BDC90，CDBD， BDC 是等腰直角三角形， H 是 BC 边的中点， DHBC， HGB+HBG90， BE 平分ABC， HBGFBD， DFB+DBF90， DFGBGH， BGHDGF， DFGDGF， DFDG； 过 G 作 GHBD 于 P，则DPG 是等腰直角三角形， DPGP， 设 DPGPx，则 DFDGx，CFDF2x， CDBD（2+）x， PB（1+）x， BEAC， BECCDB90， CFEBFD， ACDDBF， CDBD，ADCBDF90， ACDFBD（ASA） ， ADDFx， AC2AD2+CD2， 82（x）2+（2）x2， 解得：x， PB（1+）， BG4 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性 质，正确的识别图形是解题的关键
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