1、2019-2020 学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷 一、仔细选一选（本题有一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）已知线段 a4cm，b6cm，下列长度的线段中，不能与 a，b 组成三角形的是（ ） A4cm B6cm C11cm D9cm 2 （3 分）不等式 2x60 的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 3 （3 分）若ABC 三个内角的关系为，则三角形的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 4 （3 分）等腰三角形的一个
2、外角是 100，它的顶角的度数为（ ） A80 B20 C80或 20 D80或 50 5 （3 分）下列正确的选项是（ ） A命题“同旁内角互补”是真命题 B “作线段 AC”这句话是命题 C “对顶角相等”是定义 D说明命题“若 xy，则 a2xa2y”是假命题，只能举反例 a0 6 （3 分）将一根长度为 16cm 自然伸直的弹性皮筋 AB 两端固定在水平的桌面上，然后把中点 C 竖直向上 拉升 6cm 至 D 点（如图） ，则该弹性皮筋被拉长了（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm 7 （3 分）如图，平面直角坐标系上，A，B 两点对应的坐标为（0，3） ， （0，3） ，C
3、为 x 正半轴上一点， ACBC4，则 C 的坐标为（ ） A （5，0） B （2.5，0） C （，0） D （3.5，0） 8 （3 分）一次函数 y（m1）x+（m3）不经过第二象限，则 m 的取值范围是（ ） A1m3 Bm3 且 m1 Cm3 且 m1 D1m3 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1） ，B（1，1） ，C（1，2） ，D（1，2） ，把一条长 为 2016 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点 A 处，并按 ABCD A的规律绕在四边形 ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ） A （1，0） B （1，2）
4、C （1，1） D （0，2） 10 （3 分）甲、乙两地高速铁路建设成功试运行期间，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地 开往甲地，两车同时出发设普通列车行驶的时间为 x（小时） ，两车之间的距离为 y（千米） ，图中的折 线表示 y 与 x 之间的函数关系根据图象分析出以下信息：甲、乙两地相距 1000 千米；动车从甲 地到乙地共需要 4 个小时； 表示的实际意义是动车的速度； 普通列车的速度是千米/小时； 动车到达乙地停留 2 小时后返回甲地，在普通列车出发后 7.5 小时和动车再次相遇以上信息正确的 是（ ） A B C D 二、认真填一填（本题有二、认真填一填（本题有 6 个小
5、题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）写一个过（3，0）点，且 y 随着 x 增大而减小的一次函数解析式 12 （4 分）若不等式组的解集是 3x6，则 a 13 （4 分）在 RtABC 中，C90，BC6，DE 是斜边 AB 的中垂线，交 AC 于点 E，EBC 的周长 为 14，则 AB 14 （4 分）平面直角坐标系中，点（3，4）关于坐标轴对称的点的坐标为 15 （4 分）等腰ABC 中，D 为线段 BC 上一点，ADBC，若 AB10，AD8，则 CD 16 （4 分）如图，BACDAE90，ABAC，ADAE，点 C，D，E 在同一条直线上，
6、连结 BD， BE以下四个结论：BDCE；BDCE；ACE+DBC45；ACEDBC，其中结论 正确的是 三、全面答一答（本题有三、全面答一答（本题有 7 个小题，共个小题，共 66 分）分） 17 （6 分）解不等式组 18 （8 分）在平面直角坐标系中，A（2，2） ，B（4，3） ，C（a，b） ，其中 C 是由 A 点向左平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位得到 （1）求 a，b 的值； （2）画出ABC，判断它的形状并说明理由 19 （8 分）如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是 E，F，连接 EF 与 AD 相交 于 G 点 （1）证明：AEDAF
7、D； （2）AD 是 EF 的中垂线吗？若是，证明你的结论 20 （10 分）一次函数 ymx+n（m，n 为常数） （1）若函数图象由 y2x1 平移所得，且经过点（4，5） ，求函数解析式； （2）若函数图象经过（1，2） ，且交 y 轴于负半轴，求 m 的取值范围 21 （10 分）已知，线段 a，b，请按要求作图并回答问题； （1）作ABC，使C，ACb，BCa； （2）已知45，a4，b7，求ABC 的面积 22 （12 分）某公园的门票每张 10 元，一次性使用考虑到周围群众经常进入公园锻炼的需求，该公园除 保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票” ，个人年票从购买日起，
8、可供持票者使用一年） 的售票方法年票分 A，B，C 三类：A 类年票每张 120 元，持票者进入公园时，无需再购门票；B 类年 票每张 60 元持票者进入该公园时， 需要购买门票， 每次 2 元； C 类年票每张 40 元， 持票者进入公园时， 需要再购买门票，每次 3 元 （1）请列不等式说明一年中进入该公园超过多少次时，购买 A 类年票相比不购年票比较合算？ （2）设一年进入公园次数为 x，一年购票总费用为 y，请分别写出选择 B 类和 C 类年票的费用与次数的 函数关系式，并在如图平面坐标系中画出两个函数图象，根据图象讨论 B 类年票和 C 类年票哪一种更合 算 23 （12 分）在AB
9、C 中，ACBC，ACB90，点 D 为 AC 的中点 （1） 如图 1， E 为线段 DC 上任意一点， 将线段 DE 绕点 D 顺时针方向旋转 90得到线段 DF， 连结 CF， 过点 F 作 FHFC，交直线 AB 于点 H 若 CEED，求ECF 的度数； 判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明 （2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点， （1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结 论是否发生改变，给出证明 2019-2020 学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、仔
10、细选一选（本题有一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）已知线段 a4cm，b6cm，下列长度的线段中，不能与 a，b 组成三角形的是（ ） A4cm B6cm C11cm D9cm 【分析】 已知两边， 则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和， 这样就可求出第三边长的范围， 再选出答案即可 【解答】解：设第三边的长度为 x，由题意得： 64x6+4， 即：2x10， 故选项 A，B，D 可以构成三角形，只有 11cm 无法构成三角形 故选：C 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出
11、不等式，然后解 不等式即可 2 （3 分）不等式 2x60 的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】首先解出不等式的解集，然后看四个答案中哪个符合，即可解答； 【解答】解：不等式 2x60， 2x6， x3； A 符合； 故选：A 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法： “”空心圆 点向右画折线， “”实心圆点向右画折线， “”空心圆点向左画折线， “”实心圆点向左画折线 3 （3 分）若ABC 三个内角的关系为，则三角形的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【分析】设k，根据三角形的内角和列方程即可得到即
12、可 【解答】解：ABC 三个内角的关系为， 设k， A3k，B4k，C5k， 3k+4k+5k180， k15， A45，B60，C75， 三角形的形状为锐角三角形， 故选：A 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 180是解答此题的关键 4 （3 分）等腰三角形的一个外角是 100，它的顶角的度数为（ ） A80 B20 C80或 20 D80或 50 【分析】由等腰三角形的一个外角是 100，分别从：若 100的外角的邻角是等腰三角形顶角， 若 100的外角的邻角是等腰三角形底角，去分析，即可求得答案 【解答】解：若 100的外角的邻角是等腰三角形顶角， 则它的顶角的度
13、数为：18010080； 若 100的外角的邻角是等腰三角形底角， 则它的底角的度数为：18010080； 它的顶角为：180808020； 它的顶角的度数为：80或 20 故选：C 【点评】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想 的应用，小心别漏解 5 （3 分）下列正确的选项是（ ） A命题“同旁内角互补”是真命题 B “作线段 AC”这句话是命题 C “对顶角相等”是定义 D说明命题“若 xy，则 a2xa2y”是假命题，只能举反例 a0 【分析】根据判断一件事情的语句，叫做命题；正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行判断即 可 【解答】解：
14、A、命题“同旁内角互补”是真命题，说法错误； B、 “作线段 AC”这句话是命题，说法错误； C、 “对顶角相等”是定义，说法错误； D、说明命题“若 xy，则 a2xa2y”是假命题，只能举反例 a0，说法正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握命题的“真” “假”是就命题的内容而言任何一个命 题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一 个反例即可 6 （3 分）将一根长度为 16cm 自然伸直的弹性皮筋 AB 两端固定在水平的桌面上，然后把中点 C 竖直向上 拉升 6cm 至 D 点（如图） ，则该弹性皮筋被拉长了（ ）
15、A2cm B4cm C6cm D8cm 【分析】根据题意可得 CD 是 AB 的垂直平分线，然后利用勾股定理求出 AD 长，进而可得 BD 长，从而 可得答案 【解答】解：连接 CD， 中点 C 竖直向上拉升 6cm 至 D 点， CD 是 AB 的垂直平分线， ACD90，ACBCAB8cm，ADBD， 在 RtACD 中，由勾股定理得： AD10（cm） ， BD10cm， AD+BD20cm， AB16cm， 该弹性皮筋被拉长了：20164（cm） ， 故选：B 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是抽象出直角三角形，画出准确的示意图 7 （3 分）如图，平面直角坐标系上，A，B
16、两点对应的坐标为（0，3） ， （0，3） ，C 为 x 正半轴上一点， ACBC4，则 C 的坐标为（ ） A （5，0） B （2.5，0） C （，0） D （3.5，0） 【分析】由条件可知 OA3，根据勾股定理求出 OC 的长，则答案可求出 【解答】解：A（0，3） ， OA3， ACBC4， OC C（，0） ， 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键 8 （3 分）一次函数 y（m1）x+（m3）不经过第二象限，则 m 的取值范围是（ ） A1m3 Bm3 且 m1 Cm3 且 m1 D1m3 【分析】根据题意可得一次函数图象经过第一、三象限或第一、
17、三、四象限，进而可得 m 的取值范围 【解答】解：一次函数 y（m1）x+（m3）不经过第二象限， ， 解得：1m3， 故选：D 【点评】 此题主要考查了一次函数的系数与图象的关系， 关键是注意不经过第二象限要分两种情况分析， 不是一定经过第一、三、四象限 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1） ，B（1，1） ，C（1，2） ，D（1，2） ，把一条长 为 2016 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点 A 处，并按 ABCD A的规律绕在四边形 ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ） A （1，0） B （1，2） C （1，1） D
18、 （0，2） 【分析】根据点的坐标求出四边形 ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从 而确定答案 【解答】解：A（1，1） ，B（1，1） ，C（1，2） ，D（1，2） ， AB1（1）2，BC1（2）3，CD1（1）2，DA1（2）3， 绕四边形 ABCD 一周的细线长度为 2+3+2+310， 2016102016， 细线另一端在绕四边形第 202 圈的第 6 个单位长度的位置， 即 CD 中间的位置，点的坐标为（0，2） ， 故选：D 【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形 ABCD 一周的长度，从而确 定 2016 个单位长度的细
19、线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键 10 （3 分）甲、乙两地高速铁路建设成功试运行期间，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地 开往甲地，两车同时出发设普通列车行驶的时间为 x（小时） ，两车之间的距离为 y（千米） ，图中的折 线表示 y 与 x 之间的函数关系根据图象分析出以下信息：甲、乙两地相距 1000 千米；动车从甲 地到乙地共需要 4 个小时； 表示的实际意义是动车的速度； 普通列车的速度是千米/小时； 动车到达乙地停留 2 小时后返回甲地，在普通列车出发后 7.5 小时和动车再次相遇以上信息正确的 是（ ） A B C D 【分析】根据题意和函数图象中的数
20、据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：由图象可得， AB 两地相距 1000 千米，故正确； 由出发 4 小时后两车的距离增加速度不变并比原来的增加速度变小即可得出动车从甲地到乙地共需要 4 个小时，故正确； 表示的实际意义是动车与普通列车的速度和，故错误； 普通列车的速度是（千米/小时） ，故正确； 设动车的速度为 x 千米/小时， 根据题意，得：3x+31000， 解得：x250， 动车的速度为 250 千米/小时， 设动车与普通列车再次相遇时普通列车出发了 t 小时，根据题意得 ，解得 t9， 即动车到达乙地停留 2 小时后返回甲地，在普通列车出发后 9 小时
21、和动车再次相遇故错误 综上所述，正确的有： 故选：A 【点评】本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中 蕴含的相等关系是解题的关键 二、认真填一填（本题有二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）写一个过（3，0）点，且 y 随着 x 增大而减小的一次函数解析式 yx+3（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质，y 随 x 的增大而减小时 k 值小于 0，令 k1，然后求解即可 【解答】解：y 随 x 的增大而减小， k0， 不妨设为 yx+b， 把（3，0）代入得，3+b0， 解得
22、b3， 函数解析式为 yx+3 故答案为：yx+3（答案不唯一） 【点评】 本题考查了一次函数的性质， 在直线 ykx+b 中， 当 k0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 k0 时， y 随 x 的增大而减小 12 （4 分）若不等式组的解集是 3x6，则 a 12 【分析】求出不等式组的解集，再与已知不等式组的解集相比较求出 a 的值，进而可得出结论 【解答】解：， 由得，x3，由得，x， 不等式组的解集是 3x6， 6 a12， 故答案为：12 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小 找不到”的原则是解答此题的关键 13 （4 分）
23、在 RtABC 中，C90，BC6，DE 是斜边 AB 的中垂线，交 AC 于点 E，EBC 的周长 为 14，则 AB 10 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得 EAEB，由EBC 的周长为 14，BC6，可求出 AC 的长， 再根据勾股定理求出 AB 即可 【解答】解：DE 是斜边 AB 的中垂线， EAEB， EBC 的周长为 14， BC+CE+EB14， 即：BC+AC14， BC6， AC1468， AB10， 故答案为：10 【点评】考查线段垂直平分线的性质、直角三角形的勾股定理等知识，掌握线段中垂线的性质和勾股定 理是解决问题的前提 14 （4 分）平面直角坐标系中，点（3，
24、4）关于坐标轴对称的点的坐标为 （3，4）和（3，4） 【分析】根据关于 x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于 y 轴的对称点的坐 标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案 【解答】解：点（3，4）关于 x 轴对称的点的坐标为（3，4） ， 点（3，4）关于 y 轴对称的点的坐标为（3，4） ， 故答案为： （3，4）和（3，4） 【点评】此题主要考查了关于坐标轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律 15 （4 分）等腰ABC 中，D 为线段 BC 上一点，ADBC，若 AB10，AD8，则 CD 4 或 6 或 【分析】分三种情况：当 ABAC10 时，如
25、图 1，当 ABBC10 时，如图 2，当 ACBC 时， 如图 3，分别根据勾股定理和等腰三角形的性质求 CD 的长即可 【解答】解：分三种情况： 当 ABAC10 时，如图 1， ADBC， ADC90，BDDC， 在 RtADC 中，由勾股定理得：DC6， 当 ABBC10 时，如图 2， ADBC， ADBADC90， 同理得：BD6， DC1064， 当 ACBC 时，如图 3， 同理得：BD6， 设 CDx，则 ACx+6， 由勾股定理得： （x+6）2x2+82， 12x28， x， 综上所述，DC 的长为 6 或 4 或； 故答案为：6 或 4 或 【点评】本题考查了等腰三角形
26、的定义、勾股定理，根据已知不确定腰的情况下，分三种情况进行讨论 解决问题，并与勾股定理相结合解题的关键 16 （4 分）如图，BACDAE90，ABAC，ADAE，点 C，D，E 在同一条直线上，连结 BD， BE以下四个结论：BDCE；BDCE；ACE+DBC45；ACEDBC，其中结论 正确的是 【分析】由 ABAC，ADAE，利用等式的性质得到夹角相等，利用 SAS 得出ABDAEC，由全 等三角形的对应边相等得到 BDCE； 由ABDAEC 得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到 BD 垂直于 CE； 由等腰直角三角形的性质得到ABD+DBC45，等量代换得到ACE+
27、DBC45； 由ACE+DBC45，则当 BD 平分ABC 时，ACEDBC，故错误； 【解答】解：BACDAE90， BAC+CADDAE+CAD，即BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE（SAS） ， BDCE，故正确； BADCAE， ABDACE， ABD+DBC45， ACE+DBC45， DBC+DCBDBC+ACE+ACB90， 则 BDCE，故正确； ABC 为等腰直角三角形， ABCACB45， ABD+DBC45， ABDACE ACE+DBC45，故正确； ACE+DBC45，且 BD 不是角平分线， ACE 不一定等于DBC，故错误， 故答案为： 【
28、点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与 性质是解本题的关键 三、全面答一答（本题有三、全面答一答（本题有 7 个小题，共个小题，共 66 分）分） 17 （6 分）解不等式组 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 5x13（x+1） ，得：x2， 解不等式x17x，得：x4， 则不等式组的解集为 2x4 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解
29、答此题的关键 18 （8 分）在平面直角坐标系中，A（2，2） ，B（4，3） ，C（a，b） ，其中 C 是由 A 点向左平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位得到 （1）求 a，b 的值； （2）画出ABC，判断它的形状并说明理由 【分析】 （1）依据坐标的平移规律，即可得到 a，b 的值； （2）依据勾股定理以及勾股定理的逆定理，即可得到ABC 是等腰直角三角形 【解答】解： （1）C（a，b）是由 A（2，2）向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到， a211，b2+24 （2）如图所示，ABC 即为所求，ABC 是等腰直角三角形， 理由：由题可得，AC，AB，BC， A
30、C2+BC2BC2，ACAB， BAC90， ABC 是等腰直角三角形 【点评】 本题主要考查了平移变换以及勾股定理的运用， 确定平移后图形的基本要素有两个： 平移方向、 平移距离 19 （8 分）如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是 E，F，连接 EF 与 AD 相交 于 G 点 （1）证明：AEDAFD； （2）AD 是 EF 的中垂线吗？若是，证明你的结论 【分析】 （1）由角平分线的性质可得 DEDF，AEDAFD90，由“HL”可证 RtAEDRt AFD； （2）由全等三角形的性质可得 AEAF，且 DEDF，可证 AD 是 EF 的中垂线 【解答】 （
31、1）证明：方法一、AD 是ABC 的角平分线，DEAB，DFAC， DEDF，AEDAFD90， 在 RtADE 和 RtADF 中， ， RtAEDRtAFD（HL） ， 方法二：AD 是ABC 的角平分线， DAEDAF， 又DEAB，DFAC， AEDAFD90， 在ADE 和ADF 中， ， ADEADF（AAS） （2）AD 是 EF 的中垂线， 理由如下：RtAEDRtAFD， AEAF， 点 A 在 EF 的垂直平分线上， DEDF， 点 D 在 EF 的垂直平分线上， AD 是 EF 的中垂线 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵
32、活运用 这些性质进行推理是本题的关键 20 （10 分）一次函数 ymx+n（m，n 为常数） （1）若函数图象由 y2x1 平移所得，且经过点（4，5） ，求函数解析式； （2）若函数图象经过（1，2） ，且交 y 轴于负半轴，求 m 的取值范围 【分析】 （1）根据平移的规律即可求得 m2，然后把点（4，5）代入 y2x+n，即可求得 n； （2）根据图象上点的坐标特征得到 nm2，根据图象交 y 轴于负半轴，n0，即可得到 m20，解 得即可 【解答】解： （1）函数 ymx+n 图象由 y2x1 平移所得， m2， y2x+n， 把点（4，5）代入得，524+n， n3， 函数解析式为
33、 y2x3； （2）一次函数 ymx+n 图象经过（l，2） ， 2m+n，m0， nm2， 一次函数 ymx+n 图象交 y 轴于负半轴， n0， m20， m2 且 m0 【点评】本题考查一次函数的系数与图象的关系，一次函数图象与几何变换，属于中考常考题型 21 （10 分）已知，线段 a，b，请按要求作图并回答问题； （1）作ABC，使C，ACb，BCa； （2）已知45，a4，b7，求ABC 的面积 【分析】 （1）作MON，然后在 OM、ON 上分别截取 CBa，CAb，从而得到ABC； （2）作 BHAC 于 H，如图，先利用BCH 为等腰直角三角形得到 BHBC4，然后根据三角形
34、 面积公式计算 SABC 【解答】解： （1）如图，ABC 为所作； （2）作 BHAC 于 H，如图， B45， BCH 为等腰直角三角形， BHBC44， SABCACBH7414 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几 何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本 性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 22 （12 分）某公园的门票每张 10 元，一次性使用考虑到周围群众经常进入公园锻炼的需求，该公园除 保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票” ，个人年票从购买日起，可供持票者使用一
35、年） 的售票方法年票分 A，B，C 三类：A 类年票每张 120 元，持票者进入公园时，无需再购门票；B 类年 票每张 60 元持票者进入该公园时， 需要购买门票， 每次 2 元； C 类年票每张 40 元， 持票者进入公园时， 需要再购买门票，每次 3 元 （1）请列不等式说明一年中进入该公园超过多少次时，购买 A 类年票相比不购年票比较合算？ （2）设一年进入公园次数为 x，一年购票总费用为 y，请分别写出选择 B 类和 C 类年票的费用与次数的 函数关系式，并在如图平面坐标系中画出两个函数图象，根据图象讨论 B 类年票和 C 类年票哪一种更合 算 【分析】 （1）根据题意，可以列出相应的
36、不等式，从而可以求得一年中进入该公园超过多少次时，购买 A 类年票相比不购年票比较合算； （2）根据题意，可以写出 B 类和 C 类年票的费用与次数的函数关系式，并在如图平面坐标系中画出两 个函数图象，再根据函数图象，可以写出当 x 取何值时，B 类年票和 C 类年票哪一种更合算 【解答】解： （1）设一年去公园 a 次， 根据题意得 12010a， 解得，a12， 即一年中进入该公园超过 12 次时，购买 A 类年票相比不购年票比较合算； （2）由题意可得， yB60+2x， yC40+3x， 函数图象如下图所示： 令 60+2x40+3x，得 x20， 由图象可知，当 x20 时，C 类年
37、票更合算；当 x20 时，C 类和 B 类年票一样，当 x20 时，B 类年 票更合算 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等式 的性质、一次函数的性质和数形结合的思想解答 23 （12 分）在ABC 中，ACBC，ACB90，点 D 为 AC 的中点 （1） 如图 1， E 为线段 DC 上任意一点， 将线段 DE 绕点 D 顺时针方向旋转 90得到线段 DF， 连结 CF， 过点 F 作 FHFC，交直线 AB 于点 H 若 CEED，求ECF 的度数； 判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明 （2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延
38、长线上任意一点， （1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结 论是否发生改变，给出证明 【分析】 （1）证明 EFCE，由三角形外角和定理可求出答案； 证得GDA 是等腰直角三角形， 证得 GFCE， HFGFCD， 证明CFEFHG， 可得出结论； （2）由EFD 为等腰直角三角形，可得出 GFCE，HFGFCE，证得ECFGFH，即可得出 结论 【解答】解： （1）FDED，FDED， EFD 为等腰直角三角形， EFED， 又CEED， EFCE， CFEECF， CFE+ECFDEF45， EFCCFE22.5， 如图 1，延长 DF 交 AB 于点 G， GDCA， GDA90，
39、ACBC， A45， GDA 是等腰直角三角形， GDDA， D 是 AC 的中点， DACD，即 GDCD， EDFD， GFGDFDCDEDCE， DGAFED45， CEF180FED180DGAHGF135， HFG+CFD90FCD+CFD， HFGFCD， 在CFE 和FHG 中， ， CEFFGH（ASA） ， CFHF； （2）不变 证明：设 FD 交 AB 于 G， GDA 和GDA 是等腰直角三角形， AGDFEC45， FDDE，DACDGD， FGFDGDEDCDEC， HFG90+CFD180FCDFCE， 在ECF 和FHG 中， ， ECFGFH（ASA） ， CFHF 【点评】 本题是几何变换综合题， 考查了旋转的性质， 等腰直角三角形的判定与性质， 三角形外角定理， 三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键
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