1、 一、选择题一、选择题 1.（2019岳阳）岳阳）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点如 果二次函数 y=x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2，且 x11x2，则 c 的取值范围是（） Ac3 Bc2 C 1 4 c Dc1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 当y=x时， x=x2+2x+c， 即为x2+x+c=0， 由题意可知： x1， x2是该方程的两个实数根， 所以 12 12 1xx x xc x11x2，（x11）（x21）0， 即 x1x2(x1x2) 10， c(1)10， c2. 又知方程有两个不相等的实数根
2、，故0， 即 124c0， 解得：c 1 4 . c 的取值范围为 c2 . 2.（2019济宁）已知有理数 a1，我们把 1 1a 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 1 12 1，1 的差 倒数是 11 1 ( 1)2 如果 a12，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差倒数，依此 类推，那么 a1a2a100的值是（） A7.5 B7.5 C5.5 D5.5 【答案】【答案】A 【解【解析析】由题意知：a2 1 1 ( 2) 1 3 ；a3 1 1 1 3 3 2 ，a4 1 3 1 2 2；a5 1 1 ( 2) 1 3 ；可知 经过 3 次开始循环， 所以
3、a1a2a1002 1 3 3 2 2 1 3 3 2 2 1 332 6 7.5 二、填空题二、填空题 18 （2019娄底娄底） 已知点 P 00 ,x y到直线ykxb的距离可表示为 00 2 1 kxby d k ，例如：点（0， 1）到直线 y2x+6 的距离 2 2 06 1 5 12 d 据此进一步可得两平行直线y x 与4yx之 间的距离为_ 【答案】【答案】2 2 【解【解析析】在直线y x 上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直 线4yx的距离就是两平行直线y x 与4yx之间的距离 2 0404 2 2 2 1 1 d 16（2019
4、常德常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形根 据规定判断下面四个结论：正方形和菱形都是广义菱形；平行四边形是广义菱形；对角线互相 垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若 M、N 的坐标分别为(0，1)，(0，1)，P 是二 次函数 yx2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线 y1 于点 Q，则四边形 PMNQ 是 广义菱形其中正确的是 （填序号） 【答案】【答案】 【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故正确；平行四边形虽然 满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故错误；对角线互相垂直，且两
5、组 邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故错误；中 的四边形 PMNQ 满足 MNPQ， 设 P(m， 0) （m0） ， PM1， PQ (1)1，PMPQ，故四边形 PMNQ 是广义菱形综上所述正确的是 17（2019陇南陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特征 值”若等腰ABC 中，A80，则它的特征值 k 【答案】【答案】 8 5 或或 1 4 【解【解析析】当A 是顶角时，底角是 50，则 k= 808 505 ；当A 是底角时，则底角是 20，k= 201 804 ， 故答案为： 8 5 或 1 4
6、三、解答题三、解答题 1.（2019重庆 A 卷）道德经中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征在 数的学习过程中， 我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究， 如学习自然数时， 我们研究了奇数、 偶数、质数、合数等现在我们来研究另一种特珠的自然数“纯数” 定义：对于自然数 n，在计算 n(n1)(n2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 n 为“纯 数”， 例如：32 是”纯数”，因为计算 323334 时，各数位都不产生进位；23 不是“纯数”，因为计算 232425 时，个位产生了进位 （1）判断 2019 和 2020 是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大
7、于 100 的“纯数”的个数 解：解：（1）2019 不是“纯数”，2020 是“纯数”，理由如下： 在计算 201920202021 时，个位产生了进位，而计算 202020212022 时，各数 位都不产生进位， 2019 不是“纯数”，2020 是“纯数” （2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为 0、1、2 时，不会产生进位；其他位的数字为 0、1、2、3 时，不会产生进位现分三种情况讨 论如下： 当这个数为一位自然数时，只能是 0、1、2，共 3 个； 1 4 222 1 (1) 4 mm 2 1 4 m 2 1 4 m 2 1 4 m 当
8、这个数为二位自然数时，十位只能为 1、2、3，个位只能为 0、1、2，即 10、11、 12、20、21、22、30、31、32 共 9 个； 当这个数为 100 时，易知 100 是“纯数” 综上，不大于 100 的“纯数”的个数为 39113 2.（2019重庆重庆 B 卷）卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然 数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数“纯数”. 定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自 然数为“纯数”. 例如：是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 不
9、是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位. 请直接写出 1949 到 2019 之间的“纯数”； 求出不大于 100 的“纯数”的个数，并说明理由. 解：解：（1）1949 到 2019 之间的“纯数”为 2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于 100 的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数 100 若 n 为一位数，则有 n+（n+1）+（n+2）10，解得：n3，所以：小于 10 的“纯数数”有 0、1、2，共 3 个 两位数须满足：十位数可以是 1、2、3，个位数可以是 0、1、2，列举共有 9 个分别是 10、11、12、20、 21、
10、22、30、31、32；三位数为 100，共 1 个所以：不大于 100 的“纯数”共有 13 个. 3.（2019衢州衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满 是x= 3 ac ，y= 3 bd ，那么称点T是点A，B的融合点。 例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x= 14 3 =1，y= 8( 2) 3 =2时.则点T（1，2）是点 A，B的融合点。 （1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点. （2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T
11、（x，y）是点D，E的融合点. 试确定y与x的关系式. 若直线ET交x轴于点H，当DTH为直角三角形时，求点E的坐标. 解：解：（1） 1 7 3 =2， 57 3 =4， 点C（2，4）是点A.B的融合点。.3分 （2）由融合点定义知x= 3 3 t ，得t=3x-3.4分 n 21nnn n 32343332 23252423 x y l 1 1 1 1 O D 又y= 0(23) 3 t ，得t= 33 2 y .5分 3x-3= 33 2 y ，化简得y=2x-1.6分 要使DTH为直角三角形，可分三种情况讨论： （）当THD=90时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2
12、m+3）. 由点T是点D，E的融合点， 可得m= 3 3 m 或2m-1= (23)0 3 m 解得m= 3 2 ，点E1（ 3 2 ，6）.7分 （）当TDH=90时，如图2所示，则点T为（3，5）. 由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.8分 x y l H T E 1 1 1 1 O D x y E T H l O D （）当HTD=90时，该情况不存在。9分 （注：此类情况不写不扣分） 综上所述，符合题意的点为E1（ 3 2 ，6），E2（6，15）. 10分 4.(2019宁波宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线. (1)如图
13、1,在ABC 中,ABAC,AD 是ABC 的角平分线,E,F 分别是 BD,AD 上的点.求证:四边形 ABEF 是 邻余四边形; (2)如图 2,在 54 的方格纸中,A,B 在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF,使 AB 是邻余线,E,F 在格点上; (3)如图 3,在(1)的条件下,取 EF 中点 M,连接 DM 并延长交 AB 于点 Q,延长 EF 交 AC 于点 N.若 N 为 AC 的 中点,DE2BE,求邻余线 AB 的长. 解：解：(1)ABAC,AD 是ABC 的角平分线,ADBC,ADB90,DAB+DBA90, FAB 与EBA 互余.四边形 ABEF 是
14、邻余四边形; (2)如图所示,四边形 ABEF 即为所求.(答案不唯一) (3)ABAC,AD 是ABC 的角平分线,BDCD,DE2BE,BDCD3BE,CECD+DE5BE. EDF90,M 为 EF 的中点,DMME.MDEMED.ABAC,BC,DBQ ECN, 3 5 QBBD NCCE ,QB3,NC5,ANCN,AC2CN10,ABAC10. 5.（2019金华）金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，边 OA，OC 分别在 x 轴，y 轴 的正半轴上，把正方形 OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点点 P 为抛物线 y（x 2）2m2 的
15、顶点 （1）当 m0 时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数 （2）当 m3 时，求该抛物线上的好点坐标 （3）若点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8 个好点，求 m 的取值范围 解：（1）当 m0 时，二次函数的表达式为 yx22，画出函数图象（图 1）， 当 x0 时，y2；当 x1 时，y1； 抛物线经过点（0，2）和（1，1） 好点有：（0，0），（0，1），（0，2）（1，0）和（1，1）共 5 个 （2）当 m3 时，二次函数的表达式为 y（x3）25，画出函数图象（图 2）， 当 x1 时，y1；当 x4 时，y4； 抛物线上存在好点，坐标分别
16、是（1，1）和（4，4） （3）抛物线顶点 P 的坐标为（m，m2）， 点 P 在直线 yx2 上 由于点 P 在正方形内，则 0m2 如图 3，点 E（2，1），F（2，2） 当顶点 P 在正方形 OABC 内，且好点恰好存在 8 个时，抛物线与线段 EF 有交点（点 F 除外） 当抛物线经过点 E（2，1）时，（ 2m）2m21， 解得 m1 513 2 ，m2 513 2 （舍去） 当抛物线经过点 F（2，2）时，（ 2m）2m22， 解得 m11，m24（舍去） 当 513 2 m1 时，点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点 6.（2019达州）达州）箭头
17、四角形 模型规律 如图 1，延长 CO 交 AB 于点 D，则BOC=1+B=A+C+B. 因为凹四边形 ABOC 形似箭头，其 四角具有“BOC=A+C+B”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”. 模型应用 （1）直接应用：如图 2，A+B+C+D+E+F=_ x y P C B AO x y 图1 P C B A O x y 图2 C B A O P x y 图3 F E P C B AO . 如图如图 3， ， ABE、 、 ACE 的的 2 等分线 （即角平分线）等分线 （即角平分线） BF、 CF 交于点交于点 F， 已知， 已知BEC=120BAC=50， 则则BFC=_
18、. 如图如图 4，BO1、CO2分别为分别为ABO、ACO 的的 2019 等分线（等分线（i=1，2，3，2017，2018），它们的），它们的 交点从上到下依次为交点从上到下依次为 O1，O2，O3，O2018. 已知已知BOC=m，BAC=n，则，则BO1000C=_ 度度 （1）拓展应用：如图拓展应用：如图 5，在四边形，在四边形 ABCD 中，中，BC=CD ，BCD=2BAD. O 是四边形是四边形 ABCD 内的一内的一 点，且点，且 OA=OB=OD. 求证：四边形求证：四边形 OBCD 是菱形是菱形. 解：解：（1）A+B+C=，D+E+F= A+B+C+D+E+F=2 BE
19、C=A+ABC+ACB BFC=A+ 2 1 ABC+ 2 1 ACB BEC=120BAC=50 2 1 BEC= 2 1 A+ 2 1 ABC+ 2 1 ACB 60=25+ 2 1 ABC+ 2 1 ACB 2 1 ABC+ 2 1 ACB=35 BFC=A+ 2 1 ABC+ 2 1 ACB 5035 85 BFC85 nm 2019 1019 2019 1000 （2） 7.(2019枣庄枣庄)对于实数 a、b，定义关于的一种运算：ab2a+b.例如 3423+410. (1)求 4(3)的值； (2)若 x(y)2，(2y)x1，求 x+y 的值. 解：解：(1)根据题意得：4(3
20、)24+(3)5. (2)x(y)2，(2y)x1,2x+(y)2,22y+x1,解这个二元一次方程组,得,x 7 9 ,y 4 9 , x+y 1 3. 8.（2019济宁） 阅读下面材料： 如果函数 yf(x)满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2， （1）若 x1x2，都有 f(x1) f(x2)，则称 f(x)是增函数； （2）若 x1x2，都有 f(x1) f(x2)，则称 f(x)是减函数 例题：证明函数 f(x) 6 x (x0)是减函数 证明：设 0 x1x2，f(x1) f(x2) 12 66 xx 21 21 1212 666 . xxxx x xx x 0
21、x1x2，x2x10，x1x20 21 12 6 xx x x 0，即 f(x1) f(x2)0f(x1) f(x2)，函数 f(x) 6 x (x0)是减函数 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数 2 1 fxx x （x0）， 22 117 110,22 4 12 ff （1）计算：f(3)_，f(4)_； （2）猜想：函数 2 1 fxx x （x0）是_函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想 解解： （1） 22 126163 33,44 916 34 ff （2）增； （3）证明：设 x1x20， f(x1) f(x2) 22 21 121212 222222
22、121212 1111xx xxxxxx xxxxx x 21212121 21 2222 1212 1xxxxxxxx xx x xx x x1x20，x2x10，x12x220，x2x 110， 2121 22 12 1xxxx x x 0，即 f(x1)f(x2)0f(x1) f(x2)，函数 2 1 f xx x 是增函数 一、选择题一、选择题 11（2019深圳）定义一种新运算： a b n = nn ab- ，例如： 1 3 2 = 22 13- =19=8，若 5 1 m m- = 2，则 m=（ ） A2 B 5 2 C2 D5 2 【答案】B 【思路分析】如图 【解题过程】由
23、题意得 1 m- ( ) 1 5m - = 1 m 1 5m =2，则 m= 5 2 ，故选 B 【知识点】定义新运算 三、解答题三、解答题 26.（2019 扬州）如图，平面内的两条直线 1 l 、 2 l ，点A，B在直线 1 l 上，点C、D在直线 2 l 上，过A、 B两点分别作直线2 l 的垂线，垂足分別为 1 A ， 1 B ，我们把线段 11 A B 叫做线段AB在直线 2 l 上的正投影， 其长度可记作 (,)AB AD T 或 2 (,)AB l T ，特别地线段AC在直线 2 l 上的正投影就是线段 1 AC 请依据上述定义解决如下问题： （1）如图 1，在锐角 ABC 中
24、， 5AB ， (,) 3 AC AB T ，则 (,)BC AB T ； （2）如图 2，在Rt ABC 中， 90ACB， (,) 4 AC AB T ， (,) 9 BC AB T ，求 ABC 的面积； （3）如图 3，在钝角 ABC 中， 60A，点D在AB边上，90ACD， (,) 2 AD AC T ， (,) 6 BC AB T ，求 (,)BC CD T ， 【思路分析】（1）如图 1 中，作CH AB 根据正投影的定义求出BH即可 （2） 如图 2 中， 作CH AB 于H 由正投影的定义可知 4AH ， 9BH ， 利用相似三角形的性质求解CH 即可解决问题 （3）如图
25、3 中，作CH AD 于H，BK CD 于K根据正投影的定义，求出CD，DK即可解决问题 【解题过程】解：（1）如图 1 中，作CH AB (,) 3 AC AB T ， 3AH ， 5AB ， 532BH ， (,) 2 BC AB TBH ，故答案为 2 （2）如图 2 中，作CH AB 于H (,) 4 AC AB T ， (,) 9 BC AB T ， 4AH ， 9BH ， 90ACBCHACHB ，90AACH ， 90ACHBCH，ABCH ， ACHCBH ， CHAH BHCH ， 4 9 CH CH ， 6CH ， 11 13 639 22 ABC SAB CH （3）如图
26、 3 中，作CH AD 于H，BK CD 于K 90ACD， (,) 2 AD AC T ， 2AC ， 60A，30ADCBDK ，32 3CDAC ， 24ADAC ， 1 1 2 AHAC ， 3DHADAH ， (,) 6 BC AB T ， CHAB ， 6BH ， 3DBBHDH ， 在R t B D K 中， 90K，3BD ， 30BDK， 3 3 cos30 2 DKBD ， 3 37 3 2 3 22 CKCDDK ， (,) 7 3 2 BC CD TCK 【知识点】正投影的定义；解直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定和性质 （2019南京）【概念认识】 城市的许多街道
27、是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行 走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）， 用以下方式定义两点间距离：d（A，B）|x1x2|+|y1y2| 【数学理解】 （1）已知点 A（2，1），则 d（O，A） 函数 y2x+4 （0 x2） 的图象如图所示， B 是图象上一点， d （O， B） 3， 则点 B 的坐标是 （2）函数 y= 4 （x0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）3 （3）函数 yx25x+7（x0）的图象如图所示，D 是图象上一点，求 d（
28、O，D）的最小值及对应的 点 D 的坐标 【问题解决】 （4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处拐 一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意 图并简要说明理由） 【思路分析】（1）根据定义可求出 d（O，A）|0+2|+|01|2+13；由两点间距离：d（A，B） |x1x2|+|y1y2|及点 B 是函数 y2x+4 的图象上的一点， 可得出方程组， 解方程组即可求出点 B 的坐标； （2）由条件知 x0，根据题意得 + 4 = 3，整理得 x23x+40，由0 可证得该函数的图象上不存
29、在点 C，使 d（O，C）3 （3）根据条件可得|x|+|x25x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值； （4）以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 yx 的图象沿 y 轴正方向 平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为 E，过点 E 作 EHMN，垂足为 H，修建 方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建到 E 处，可由 d（O，P）d（O，E）证明结 论即可 【解题过程】解：（1）由题意得：d（O，A）|0+2|+|01|2+13； 设 B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0 x|+|0y|3， 0 x2
30、， x+y3， + = 3 = 2 + 4， 解得： = 1 = 2， B（1，2）， 故答案为：3，（1，2）； （2）假设函数 = 4 (0)的图象上存在点 C（x，y）使 d（O，C）3， 根据题意，得| 0| + | 4 0| = 3， x0， 4 0，| 0| + | 4 0| = + 4 ， + 4 = 3， x2+43x， x23x+40， b24ac70， 方程 x23x+40 没有实数根， 该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）3 （3）设 D（x，y）， 根据题意得，d（O，D）|x0|+|x25x+70|x|+|x25x+7|， 2 5 + 7 = ( 5 2) 2
31、 + 3 40， 又 x0， d（O，D）|x|+|x25x+7|x+x25x+7x24x+7（x2）2+3， 当 x2 时，d（O，D）有最小值 3，此时点 D 的坐标是（2，1） （4）如图，以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 yx 的图象沿 y 轴 正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止， 设交点为 E，过点 E 作 EHMN，垂足为 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建 到 E 处 理由：设过点 E 的直线 l1 与 x 轴相交于点 F在景观湖边界所在曲线上任取一点 P，过点 P 作直线 l2l1， l
32、2 与 x 轴相交于点 G EFH45， EHHF，d（O，E）OH+EHOF， 同理 d（O，P）OG， OGOF， d（O，P）d（O，E）， 上述方案修建的道路最短 【知识点】新定义；二次函数图象及其性质；解方程（组） 25（2019毕节）毕节）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某 些材料摘录如下： 对于三个实数a，b，c，用M a，b，c表示这三个数的平均数，用min a，b，c表示这三个数中最 小的数例如：1M，2， 129 94 3 ，1min，2，33 ，3min，1，11请结合上述材料， 解决下列问题： （1） 2 ( 2)M， 2 2，
33、2 2 4 3 ； sin30min，cos60，tan45 ； （2）若 2Mx， 2 x，32，求x的值； （3）若32minx，13x，55 ，求x的取值范围 【思路分析】【思路分析】（1）根据平均数的定义计算即可求出三个数中的最小的数即可 （2）构建方程即可解决问题 （3）根据不等式解决问题即可 【解题过程】【解题过程】解：（1） 2 ( 2)M， 2 2， 222 2 ( 2)224 2 33 ； sin30min，cos60， 1 tan45 2 ；故答案为： 4 3 ； 1 2 ； （2）) 2Mx， 2 x，32， 2 23 2 3 xx ，解得1x 或 3； （3）32min
34、x，13x，55 ， 325 135 x x ， 解得24x 剟 【知识点】【知识点】特殊角的三角函数值；算术平均数；解一元一次不等式组. 23 （2019 随州）随州）若一个两位数十位、 个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn， 易知mn 10m+n，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc100a+10b+c 【基础训练】 （1）解方程填空： 若2x3x45，则x；若7y8y26，则y；若93t5 8t13 1 t，则t； 【能力提升】 （2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mnnm一定能被整除， mnnm一定能被整除，mnnmmn
35、一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） 【探索发现】 （3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都 逃脱不了它的束缚，数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同， 把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最 小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532235297），再将这个新数按上述方式重新排列， 再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数” 该“卡普雷卡尔黑洞数”为； 设任选的三位数为ab
36、c（不妨设abc），试说明其均可产生该黑洞数 【思路分析】【思路分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是理解新定义的运算法则及一元一次方程的解法（1） 根据 mn10m+n，abc100a+10b+c，分别代换可以得到关于x，y，t的一元一次方程，解这些方程即可分别 得出、的结果；（2）将mn、nm分别根据定义写成10m+n和10 n + m，然后再依据运算分别进行 合并同类项便可以看成一定能被谁整除；（3）依据“卡普雷卡尔黑洞数”的定义反复推算可得出；由a bc，abc100a+10b+c， 重新排列得到最小的数为cba100c+10b+a， 第一次运算可以得到99 （ac） ， 结果必为9
37、9的倍数，再依据a，b，c的大小关系，以及各数位上的数至少相差1的特点，可以得出ac的取 值范围，从而写出第一次运算后所有可能的结果，再将这些数字依据“卡普雷卡尔黑洞数”的定义进行推 算，便可得到结果 【解题解题过程】过程】解：（1）mn10m+n，2x3x4520+x+10 x+311 x+2345，得x2，同理可得 y4，t7； （2）mnnm10m+n+10n+m11（m+n）故一定被11整除；同理mnnm一定被9整除；mnnm mn一定能被10整除； （3）反复运算可得495； abc，第一次运算得到100a+10b+c（100c+10b+a）99（ac），可以看出结果必为99的倍 数
38、， abc，ab1，bc1，即ab1c2，ac2，9ac，ac9，则ac2，3， 4，5，6，7，8，9，第一次运算得到99（ac）可以是198，297，396，495，594，693，792，891，再 让这些数字依据“卡普雷卡尔黑洞数”的推算规则进行运算，分别可以得到：981198792，972279 693，963369594，954459495，954459495，以后均重复运算，故可以得到该黑洞数为495 【知识点知识点】新定义】新定义 25.（2019天水）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形
39、 ABCD 是垂美四边形吗？ 请说明理由； （2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD 试证明：AB2+CD2AD2+BC2； （3）解决问题：如图 3，分别以 RtACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连结 CE、BG、GE已知 AC4，AB5，求 GE 的长 【思路分析】【思路分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算 【解题过程】解：（1）四边形 ABCD 是垂美四边形 证明：ABAD， 点
40、A 在线段 BD 的垂直平分线上， CBCD， 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， 直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线， ACBD，即四边形 ABCD 是垂美四边形； （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等 如图 2，已知四边形 ABCD 中，ACBD，垂足为 E， 求证：AD2+BC2AB2+CD2 证明：ACBD， AEDAEBBECCED90， 由勾股定理得，AD2+BC2AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2AE2+BE2+CE2+DE2， AD2+BC2AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2AB2+CD2 （3）连接 CG、BE， CAGBAE90，
41、CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE， 在GAB 和CAE 中， = = = ， GABCAE（SAS）， ABGAEC，又AEC+AME90， ABG+AME90，即 CEBG， 四边形 CGEB 是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2CB2+GE2， AC4，AB5， BC3，CG42，BE52， GE2CG2+BE2CB273， GE= 73 【知识点】正方形的性质； 全等三角形的判定和性质；垂直的定义；勾股定理；新定义 25.（2019黔东南）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某 些材料摘录如下： 对于三个实，数 a，b，c，用 Ma，
42、b，c表示这三个数的平均数，用 mina，b，c表示这三个数中最 小的数，例如 M1，2，9= 1+2+9 3 =4，min1，2，33，min（3，1，11请结合上述材料， 解决下列问题： （1）M（2）2，22，22 ， minsin30，cos60，tan45 ； （2）若 min（32x，1+3x，55，则 x 的取值范围为 ； （3）若 M2x，x2，32，求 x 的值； （4）如果 M2，1+x，2xmin2，1+x，2x，求 x 的值 【思路分析】【思路分析】（1）根据平均数的定义计算即可求出三个数中的最小的数即可 （2）根据不等式解决问题即可 （3）构建方程即可解决问题 （4）
43、把问题转化为不等式组解决即可 【解题过程】解：（1）M（2）2，22，22= 4 3， minsin30，cos60，tan45= 1 2； 故答案为：4 3， 1 2 （2）min（32x，1+3x，55， 3 2 5 1 + 3 5， 解得2x4， 故答案为2x4 （3）M2x，x2，32， 2+ 2+3 3 =2， 解得 x1 或 3 （4）M2，1+x，2xmin2，1+x，2x， 又2+1+2 3 =x+1， + 1 2 + 1 2， 解得 1x1， x1 【知识点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；算术平均数 二、填空题二、填空题 12（2019襄阳）定义：a*ba b，则方
44、程 2*(x3)1*(2x)的解为_ 答案：x=1 解析：本题考查了可化为一元一次的分式方程的解法.按新定义可知： 3 2 )3(2 x x， x x 2 1 )2(1， 可得方程 xx2 1 3 2 ，解得 x=1，经检验此解为方程的根 三、解答题三、解答题 26（2019徐州）【阅读理解】 用 10cm20cm 的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为 20cm 的图案 已知长度为 10cm、20cm、30cm 的所有图案如下： 20cm 10cm 20cm 20cm 30cm 30cm 30cm 【尝试操作】 【归纳发现】 观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整
45、图案的长度 10c m 20c m 30c m 40c m 50c m 60c m 所得不同图案的个数 1 2 3 解析：本题考查与图形有关规律的探究，解题的关键是画出长度是 40cm 的图案. 答案：解：【尝试操作】按照横放和平放两大类来进行画图； 【归纳发现】按 1，2，3，5，猜想出从第三个数开始，每一个数都等于前面两个数之和. 解：【尝试操作】 【归纳发现】 图案的长度 10cm 20cm 30cm 40cm 50cm 60cm 所有不同图 案的个数 1 2 3 5 8 13 附：长度是 50cm 时，有 8 种不同的图案： 26（2019 常州） 【阅读】 数学中，常对同一个量 （图
46、形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从 而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要 的数学思想 【理解】 （1）如图 1，两个边长分别为 a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼成 一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图 2，n 行 n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式： n2_ 【运用】 （3）n 边形有 n 个顶点，在它的内部再画 m 个点，以(mn)点为顶点，把 n 边形剪成若干个三角 形，设最多可以剪得 y 个这样的三角形当 n3，m
47、3 时，如图 3，最多可以剪得 7 个这 样的三角形，所以 y7 当 n4，m2 时，如图 4，y_；当 n5，m_时，y9； 图 261 a b c c b a 图 262 对于一般的情形，在 n 边形内画 m 个点，通过归纳思想，可得 y_（用含 m、n 的代数式表示）请对同一个量 用算两次的方法说明你的猜想成立 【解题过程】【解题过程】 解：（1）S梯形 1 2 (ab)(ab) 1 2 (a22abb2)， 又S梯形2 1 2 ab 1 2 c2， 1 2 (a22abb2)2 1 2 ab 1 2 c2 a22abb22abc2 a2b2c2 结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 （2）1352n1（n 为正整数） （3）6，3； n2m2，理由如下：如答图，在 n 边形内有不共线的 m 个点，最多能剪出 y 个三角形， 这些 y 个三角形的内角和的总和为(180y)， 也等于 n 边形的内角和与 m 个周角的和， 即 180(n2)m 360，故 180y180(n2)360 m，故 yn2m2
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