1、 一、选择题一、选择题 10 （2019苏州苏州）如图，在ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点且 AD=AB=2，ADAB，过点 D 作 DEAD， DE 交 AC 于点 F若 DE=1，则ABC 的面积为 （ ） A42 B4 C25 D8 第 10 题图 【答案】B 【解【解析析】ABAD，ADDE，BADADE90，DEAB，CEDCAB，CC， CEDCAB，DE1，AB2，即 DEAB12，SDECSACB14，S四边形ABDESACB34， S四边形ABDESABD+SADE 1 2 22 1 2 212+13，SACB4，故选 B 10 （2019 绍兴绍兴 ）如图 1，长、
2、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6， 绕底面一棱长进行旋转倾斜后， 水面恰好触到容器口边缘， 图 2 是此时的示意图， 则图 2 中水面高度为 ( ) A. 5 24 B. 5 32 C. 17 3412 D. 17 3420 【答案】【答案】A 【解【解析析】如图所示：设 DMx，则 CM8x， 根据题意得：（8x+8） 3 33 3 5， 解得：x4，DM6， D90 ，由勾股定理得：BM 2222 43BDDM5， 过点 B 作 BHAH，HBA+ABMABM+ABM90 ， HBA+ABM，所以 Rt ABHMBD， BHBD ABBM ，即
3、 3 85 BH ，解得 BH 5 24 ，即水面高度为 5 24 6.（20192019杭州）杭州）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 边上，DEBC，M 为 BC 边上一点(不与点 B，C 重 合)连接 AM 交 DE 干点 N，则 （ ） A. ADAN ANAE B. BDMN MNCE C. DNNE BMMC D. DNNE MCBM 【答案答案】C 【解析】【解析】根据 DEBC，可得ADNABM 与ANEAMC，再应用相似三角形的性质可得结论.DNBM， ADNABM， DNAN BMAM ，NEMC，ANEAMC， NEAN MCAM ， DNNE BMM
4、C 故选 C 7 （2019常德）常德）如图，在等腰三角形ABC 中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积 为 1，ABC 的面积为 42，则四边形 DBCE 的面积是（ ） A20 B22 C24 D26 【答案】【答案】D 【解析】【解析】图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为 1，ABC 的面积为 42，最小的三角形与 ABC 的相似比为 1 42 ， ADEABC， ADE ABC S S 2 DE BC ， DE BC 4 1 42 4 42 ， ADE ABC S S 16 42 8 21 ， SADE 8 21 4216，四边形 DBCE 的面积SABC
5、SADE26，故选项 D 正确 5 （2019陇南）陇南）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ） A平移变换 B相似变换 C旋转变换 D对称变换 【答案答案】B 【解析】【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选：B 1. (2019枣庄枣庄)如图,将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置,已知ABC 的面积为 16,阴影部分三 角形的面积为 9,若 AA1,则 AD 等于 A.2 B.3 C.4 D. 3 2 N E A B C D M 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 由平移可得,ABCAMN,设相似比为 k,SABC16,SAMN9,k216:9,k4:3,
6、因为 AD 和 AD 分别为两个三角形的中线,AD:ADk4:3,ADAA+AD,AA:AD1:3,AA1,则 AD3,故选 B. 2.（2019淄博）如图，在ABC 中，AC2，BC4，D 为 BC 边上的一点，且CADB. 若ADC 的面积 为a，则ABD 的面积为（） A.2a B. 5 2 a C.3a D. 7 2 a 【答案】【答案】C. 【解【解析析】在BAC 和ADC 中，C 是公共角，CADB.，BACADC，2 BC AC , 2 AB DA =()4 C C SBC SAC ，又ADC 的面积为a，ABC 的面积为4a，ABD 的面积为3a. 3. (2019 巴中巴中)
7、如图，ABCD,F 为 BC 中点,延长 AD 至 E,使 DE:AD1:3,连接 EF 交 DC 于点 G,则 SDEG:S CFG( ) A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9 【答案】【答案】D 【解析】【解析】因为 DE:AD1:3,F 为 BC 中点,所以 DE:CF2:3,ABCD 中,DECF,所以DEGCFG,相似比为 2:3,所以 SDEG:SCFG4:9.故选 D. 4.（2019乐山）乐山）把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ） A 6 1 B 3 1 C 5 1 D 4 1 B A C D 【答案】【答案】A 第 8
8、 题答图 【解析】【解析】四边形 ABCD 与四边形 CEFG 都是正方形，AD=DC=1，CE=2，ADCE，ADHECF， ADDH CECH ， 1 21 DH DH ，解得 DH= 1 3 ，阴影部分面积为 1 2 1 3 1= 1 6 ，故选 A. 5.（2019乐山）乐山）如图，在边长为3的菱形ABCD中，30B，过点A作BCAE 于点E，现将ABE 沿直线AE翻折至AFE的位置，AF与CD交于点G.则CG等于（ ） A13 B1C 2 1 D 2 3 第 9 题图 【答案答案】A 【解析】【解析】BCAE ，AEB=90，菱形ABCD的边长为3，30B，AE= 1 2 AB= 1
9、 2 3， BE=CF= 22 ABAE=1.5，BF=3，CF=BF-BC=3-3，ADCF，AGDFGC， DGAD CGCF ， 33 33 CG CG ，解得 CG=31，故选 A. 6.（2019凉山）凉山）如图，在ABC 中，D 在 AC 边上，ADDC = 12，O 是 BD 的中点，连接 A0 并延长交 BC 于 E，则 BEEC=（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 23 【答案】【答案】B 【解析】【解析】过点 D 作 DFAE，则1 OD BO EF BE , 2 1 CD AD FC EF ，BEEFFC=112，BEEC=13. 故选 B. 7.（2019
10、眉山）如图，一束光线从点 A（4，4）出发，经 y 轴上的点 C 反射后，经过点 B（1，0） ， G FE D A BC 12 则点 C 的坐标是 A （0， 1 2 ） B （0， 4 5 ） C （0，1） D （0，2） 【答案】B 【解析】解：过点 A 作 ADy 轴于点 D，ADC=COB=90，ACD=BCO，OBADAC， OCDC OBAD ， 4 14 OCOC ，解得：OC= 4 5 ，点 C（0， 4 5 ） ，故选 B. 8.（2019眉山）眉山）如图，在菱形 ABCD 中已知 AB=4，ABC=60，EAF=60，点 E 在 CB 的延 长线上，点 F 在 DC 的
11、延长线上，有下列结论：BE=CF，EAB=CEF；ABEEFC， 若BAE=15，则点 F 到 BC 的距离为2 32，则其中正确结论的个数是 A1 个 B 2 个 C3 个 D 4 个 【答案】【答案】B 【解析】 连接【解析】 连接 AC， 在菱形， 在菱形 ABCD 中，中， AB=BC， ， ABC=60， ， ABC 是等边三角形， 是等边三角形， AB=AC， ， BAC=60， EAF=60，EAB+BAF=CAF+BAF=60，即，即EAB=CAF，ABE=ACF=120， ABEACF，BE=CF，故正确；由，故正确；由ABEACF，可得，可得 AE=AF，EAF=60，AE
12、F 是等边三是等边三 角形，角形，AEF=60，AEB+CEF=60，AEB+EAB=60，CEF=EAB，故正确；在，故正确；在 ABE 中，中，AEB60，ECF=60，错误；过点，错误；过点 A 作作 AGBC 于点于点 G，过点，过点 F 作作 FHEC 于点于点 H， EAB=15，ABC=60，AEB=45，在，在 RtAGB 中，中，ABC=60，AB=4， BG= 1 2 AB=2，AG=3BG=2 3，在，在 RtAEG 中，中，AEG=EAG=45，AG=GE=2 3， EB=EG-BG=2 3-2，BAC=EAF=60，BAE=CAF，ABC=ACD=60，ABE= AC
13、F=120 在在AEB 和和AFC 中，中， EABFAC ABAC ABEACF120 ，AEBAFC，AE=AF，EB=CF=2 3-2， D 在在 RtCHF 中，中，HCF=180-BCD=60，CF=2 3-2，FH=CF sin60=（2 3-2） ） 3 2 =3-3. 点点 F 到到 BC 的距离为的距离为 3-3.故错误故错误.故选故选 B. 9.（2019重庆重庆 B 卷）卷）下列命题是真命题的是（ ） A.如果两个三角形相似，相似比为 4:9,那么这两个三角形的周长比为 2:3 B.如果两个三角形相似，相似比为 4:9,那么这两个三角形的周长比为 4:9 C.如果两个三角
14、形相似，相似比为 4:9,那么这两个全角形的面积比为 2:3 D.如果两个三角形相似，相似比为 4:9,那么这两个三角形的面积比为 4:9 【答案】 【解析】 如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比， 面积比是相似比的平方 . 即如果两个三角形相似，相似比为 4:9,那么这两个三角形的周长比为 4:9；面积比是相似比的 平方，即 16:81.故选 10.（2019重庆 A 卷）如图，ABOCDO，若 BO6，DO3，CD2，则 AB 的长是（） A2 B3 C4 D5 【答案答案】C 【解析】【解析】ABOCDO， ABBO CDDO BO6，DO3，CD2， 6 23 AB
15、AB4故选 C 二、填空题二、填空题 16 （2019滨州）滨州）在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（4，0） ，O（0，0） 以 原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 1 2 ，得到CDO，则点 A 的对应点 C 的坐标是 _ 【答案】【答案】 （1，2）或（1，2） 【解析】【解析】点 A 的对应点 C 的坐标是（2 1 2 ，4 1 2 ）或（2（ 1 2 ） ，4（ 1 2 ） ） ，即（1，2）或（1， 2） 2.（2019滨州）滨州）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F
16、，且 ABC60， AB2BC， 连接 OE 下列结论： EOAC； SAOD4SOCF； AC： BD： 7； FB2 OFDF其中正确的结论有_ （填写所有正确结论的序号） 【答案】【答案】 【解析】【解析】在YABCD 中，ABDC，ABC=60，BCD=120CE 平分BCD，BCE=60，BCE 是 等边三角形， BE=BC=CE， BEC=60 AB=2BC， AE=BE=CE， EAC=ACE=30， ACB=90 在YABCD 中，AO=CO，BO=DO，OE 是ACB 的中位线，OEBC，OEAC，故正确；OE 是ACB 的中位 线，OE= 1 2 BC，OEBC，OEFBC
17、F，OF：BF=OE：BC=1：2，SAOD=SBOC=3SOCF，故 错误；在 RtABC 中，AB=2BC，AC=3BC，OC= 3 2 BC在 RtBCO 中，OB= 2 2 3 2 BCBC 骣 + 桫 = 7 2 BC，BD=7BC，AC：BD=3BC：7BC =21：7，故正确；OF：BF=1：2，BF=2OF， OB=3OF，OD=OB，DF=4OF，BF2=（2OF）2=4OF2，OFDF=OF4OF=4OF2，BF2=OFDF，故 正确 3.（2019凉山）凉山）在ABCD 中，E 是 AD 上一点，且点 E 将 AD 分为 23 的两部分， 连接 BE、AC 相交于 F，
18、则 SAEFSCBF是. 【答案】【答案】4：25 或 925 【解析】【解析】 在ABCD 中， ADBC， AEFCBF.如答图 1， 当 AEDE=23 时， AEAD=25,AD=BC， AEBC=25,SAEFSCBF=425； 如答图 2， 当 AEDE=32 时， AEAD=35,AD=BC， AEBC=3 5,SAEFSCBF=925.故答案为 425 或 925. （第 16 题图答图 1） （第 16 题图答图 2） 4. （2019自贡）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=10，BC=6，CDAB，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E，DE= . 【答案】
19、9 55. 【解析】BD 平分ABC， ABD=CBD， ABCD, D=ABD, CBD=D， CD=BD=6. 在 RtABC 中，AC=2 2= 102 62=8. ABCD， ABEDCE， CE = = = 6 10 = 3 5, CE=3 5AE，DE= 3 5BE. 即 CE=3 8AC= 3 88=3. 在 RtBCE 中，BE=2+ 2= 62+ 32= 35. DE=3 5BE= 3 535= 9 55. 5.（2019衢州）衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。 （1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶
20、点A位于x轴上， 顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则 OB OA 的值为_. （2） 在 （1） 的基础上， 继续摆放第二个“7“字图形得顶点F1， 摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推， 摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1则顶点F2019的坐标为_. 【答案】【答案】（1） 1 2 （2）（ 6062 5 5 ，4055） 【解析】【解析】（1）因为DBC+BDC=90，DBC+OBA=90,DCB=BOA=90,所以BDC=OBA，所 以CDBOBA，所以，所以 OB:OA=CD:CB= 1 2 . （2）因为 OB:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得 OB= 5 5 ,OA
21、= 2 5 5 .因为CDH=ABO，DHC= BOA=90,CD=AB,所以DHCBOA,所以四边形 OACH 为矩形，DH= 5 5 ,HC= 2 5 5 ,同理MAF OBA， 由， 由 AF=3 得，得， AM= 3 5 5 ， FM= 6 5 5 ,在直角三角形在直角三角形 NCF 中，中， CN=AM= 3 5 5 ,CF=2,NF= 22 CFCN = 5 5 ,在直角三角形在直角三角形 ABC 中，中，AC=5,F 点的坐标为（ 2 5 5 + 3 5 5 ，5+ 5 5 ）;根据规律 F1比 F 的横坐标 H HN N M M 增加 3 5 5 单位单位、纵坐标增加 6 5
22、5 ，F，F1点的坐标为（ 2 5 5 + 3 5 5 2，5+ 5 5 2）;F2比 F1的横坐标增 加 3 5 5 单位单位，纵坐标增加 6 5 5 单位，单位，F2点的坐标为（ 2 5 5 + 3 5 5 3，5+ 5 5 3）; 所以所以 F2019的的坐 标为（ 2 5 5 + 3 5 5 2020，5+ 5 5 2020），即（ 6062 5 5 ，4055）. 三、解答题三、解答题 24 （20192019长沙）长沙） （9 分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做 相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比 （1） 某同学在探究相似四边形的判
23、定时， 得到如下三个命题， 请判断它们是否正确 （直接在横线上填写 “真” 或“假” ） 条边成比例的两个凸四边形相似； （命题） 三个角分别相等的两个凸四边形相似； （命题） 两个大小不同的正方形相似 （命题） （2） 如图 1， 在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1中， ABC=A1B1C1， BCD=B1C1D1， 111111 ABBCCD A BB CC D ， 求证：四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似 （3）如图 2，四边形 ABCD 中，ABCD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EFAB 分别交 AD，BC 于点 E， F记四边形 ABFE 的
24、面积为 S1，四边形 EFDE 的面积为 S2，若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似， 求 2 1 S S 的值 【解题过程【解题过程】 （1）解：(1)四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；三个角分别相等 的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；两个大小不同的正方形相似是真命题故答案为假， 假，真 (2)如图，分别连接 BD、B1D1， BCD=B1C1D1， 1111 DC CD CB BC ，BCDB1C1D1， CBD=C1B1D1，CDB=C1D1B1， 1111 DB BD CB BC ， 又ABC=A1B1C1， 1111 CB BC BA AB
25、ABD=A1B1D1， 1111 DB BD BA AB ， 1111 DA AD BA AB ， ADB=A1D1B1，DAB=D1A1B1， 11111111 DA AD DC CD CB BC BA AB ， ABC=A1B1C1， BCD=B1C1D1， ADC=A1D1C1， DAB=D1A1B1， 四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似 (3)四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似， AB EF AE DE ， EF=OEOF， AB OFOE AE DE ， EFABCD， AB OE AD DE ， AB OF AB OC AD DE ， AB OF AB OE
26、AD DE AD DE ， AE DF AD DE 2 ， AD =DE AE， AEAEDE 12 ， 2AE=DEAE，即 AE=DE，1 2 1 S S 23 （2019黄冈黄冈）如图，Rt ABC 中，ACB90 ，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D 过点 D 作O 的切线交 BC 于点 E，连接 OE. (1)求证： DBE 是等腰三角形； (2)求证： COECAB. 证明： （1）连接 OD，如图所示, DE 是O 的切线，ODE=90 ，ADO+BDE=90 . ACB=90 ，CAB+CBA=90 . OA=OD，CAB=ADO，BDE=CBA， EB=ED，DBE 是
27、等腰三角形. （2）ACB=90 ，AC 是O 的直径，CB 是O 的切线. DE 是O 的切线，DE=EC.EB=ED，EC=EB. OA=OC，OEAB，COECAB 23.（2019 安徽）安徽）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=BC.P 为ABC 内部一点，且 APB=BPC=135 . （1）求证：PABPBC； （2）求证：PA=2PC； （3）若点 P 到三角形的边 AB，BC，CA 的距离分别为 h1，h2，h3. 求证：h12= h2h3. O E D C B A 【解题过程】【解题过程】解： （1）证明：在ABP 中，APB=135，ABP+BAP=45， 又
28、ABC 为等腰直角三角形，ABC=45，即ABP+CBP=45， BAP=CBP，又APB=BPC=135，PABPBC. （2）由（1）知PABPBC，所以 PB PA = PC PB = BC AB =2， 于是， PC PA = PB PA PC PB =2，即 PA=2PC. （3）如图 3，过点 P 作边 AB，BC，CA 的垂线，垂足分别为 Q，R，S，则 PQ=h1， PR=h2，PS=h3，在 RtCPR 中， CR PR =tanPCR= AP CP = 2 1 ， 3 2 h h = 2 1 ，即 h3=2 h2， 又由PABPBC，且 BC AB =2，故 2 1 h h
29、 =2，即 h1=2h2， 于是 h12=h2h3. 1.（2019重庆重庆 B 卷）卷）在ABCD 中，BE 平分ABC 交 AD 于点 E. （1）如图 1，若D=30 ，AB=6，求ABE 的面积； （2）如图 2，过点 A 作 AFDC，交 DC 的延长线于点 F，分别交 BE，BC 于点 G，H，且 AB=AF， 求证：EDAG=FC. 解：解： （1）过点 E 作 ENAB，交 BA 延长线于点 N，垂足为 N， 在ABCD 中，ADBC，ADCB，D=ABC=30，ABC=EAN=30； BE 平分ABC，ABE=CBE，ADBC，AEB=CBE，AEB=ABE，AB=AE=6；
30、 在 RtAEN 中，cos30 EF AE ， 3 2 2 EF ， 113 23 3 6 2222 ABE SAB EF （2）延长 BE 交 CD 延长线于点 M，设AGx，ABa，DEb，CFc， 在ABCD 中，ABCD，ADBC，且 CD=ABa， 图图1 图图2 H G D C B A D C B A E F E AB=AF，AF=ABa，GF=ax， ABCD，ABM=M，CBE=AEB， BE 平分ABC，ABM=CBE，ABM=AEB，AE=ABa； AEB=DEM，DEM=M，DM=DEb，FM=abc ， ABCD， AGAB FGFM ， xa axabc ，解得：
31、2 2 a x abc ； AFDC，F=90，AEa，DEb，DFac，AFa， 222 AFDFAD， 22 2 aacab， 222 22aaccabb， AG+CF= 2 2 a xcc abc 22 2 22 aacbcc abcabc 22 2 2 aacbcc abc 22 2 2 2 22 aaccbc abbbc bDE abcabc ，DE-AG=CF. 2.(2019 台州 台州)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点,P 是 BA 延长线上的一点,连接 PC 交 AD 于点 F,AP FD. (1)求 AF AP 的值; (2)如图 1,连接 EC,
32、在线段 EC 上取一点 M,使 EMEB,连接 MF,求证:MFPF; (3)如图 2,过点 E 作 ENCD 于点 N,在线段 EN 上取一点 Q,使 AQAP,连接 BQ,BN,将AQB 绕点 A 旋转, 使点 Q 旋转后的对应点 Q落在 AD 上.请判断点 B 旋转后的对应点 B是否落在线段 BN 上,并说明理由. 第 24 题图 【分析】【分析】(1)通过相似构造等量解得对应线段 AF 与 FD 的长度,来求解它们之间的比例;(2)通过连接 PD,构造全等 转化3与1相等,再利用第一问求得的AP的长度得到EPEC,从而得到14,故转化34,从而证明 PFDFMC;(3)构造三角形,通过
33、证明相似,求得对应线段长度,进行比较,从而得到结论. 解：解：(1)设 APx,则 FDx,AF2x, 在正方形 ABCD 中,ABCD,PAFCDF, AFPFAP FDCFCD =, 2 2 xx x =, 2 42xx=-, 解得 12 5 1,5 1xx=-=-, x0,5 1x =-, () 25 1 5 1 25 1 AF FD - - = - . (2)连接 DP,PADF,PADADC,ADCD, PADFDC,32,PDFC. 又ABCD,12. 又EC5,EBEM1, MC5 1-FDAP. PEPA+AE5 1-+15EC. 14,43. 又FDMC,PDFC,PFDFM
34、C,PFFM. 图(1) (3)如图 2,在 AD 上取一点 Q,使 AQAQ,在 BN 上取一点 B,使 ABAB,连接 BQ,作 BGAD 于点 G,交 EN 于 点 K, tanNBE2,ABAB2, BB 24 2=5 55 ,BNBNBB 1 5 5 . NBKNBE,BK 1 5 ,KN 2 5 , BG 6 5 ,DG 2 5 , QG3 5 2 5 13 5 5 . 在 RtBGQ中,BGQ90,利用勾股定理可得 BQ 6625 5 5 - , 而() 2 5 1-? 6625 5 5 - ,BQBQ,点 B不在 BN 上. 图(2) 3.（2019衢州衢州）如图，在RtABC
35、中，C=90，AC=6.BAC=60，AD平分BAC交BC于点D，过点D作 DEAC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F,G. （1）求CD的长。 （2）若点M是线段AD的中点，求 EF DF 的值。 （3）请问当DM的长满是什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得CPG=60？ 解：解：（1）AD平分BAC，BAC=60， 0AC= 1 2 BAC=30。2分 在RtADC中，DC=ACtan30=23，4分 （2）易得，BC=63，BD=43.5分 由DEAC，得EDA=DAC，DFM=AGM. AM=DM， DFMAGM， DF=AG. 由DEA
36、C.得BFEBGA， EF AG = BE AB = BD BC ,7分 EF DF = EF AG = BD BC = 4 3 6 3 = 2 3 ,8分 (3）CPG=60，过C,P,G作外接圆，圆心为Q CQG是顶角为120的等腰三角形。 当 Q 与 DE 相 切 时 ， 如 图 1 ， 过 Q 点 作 QHAC ， 并 延 长 HQ 与 DE 交 于 点 P ， 连 接 QC ， QG 。 设Q的半径QP=r，则QH= 1 2 r，r+ 1 2 r=23，解得r= 4 3 3， CG= 4 3 33=4,AG=2. H 易知DFMAGM，可得 DM AM = DF AG = 4 3 ,
37、则 DM AD = 4 7 。 DM= 16 3 7 . .9分 当Q经过点E时，如图2，过C点作CKAB，垂足为K. 设Q的半径QC=QE=r，则QK=33-r. 在RtEQK中，12+（33-r）2= r2，解得r= 14 3 9 ， CG= 14 3 9 3= 14 3 . 易知DFMAGM，可得DM= 14 3 5 .10分 当 Q 经 过 点 D 时 ， 如 图 3 ， 此 时 点 M 与 点 G 重 合 ， 且 给 好 在 点 A 处 ， 可 得 DM=4311 分 综上所述，当 DM= 16 3 7 或14 3 5 DM43时，满足条件的点 P 只有一个.12 分 4.（2019
38、金华）金华）如图，在等腰 RtABC 中，ACB90 ，AB142，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，将线 段 ED 绕点 E 按逆时针方向旋转 90 得到 EF （1）如图 1，若 ADBD，点 E 与点 C 重合，AF 与 DC 相交于点 O，求证：BD2DO （2）已知点 G 为 AF 的中点 如图 2，若 ADBD，CE2，求 DG 的长若 AD6BD，是否存在点 E，使得DEG 是直角三角形？若存 F M B CA D E G K Q B CA(M,G) D(P) E 在，求 CE 的长；若不存在，试说明理由 （第 24 题图） 解： （1）由旋转的性质得：CDCF，DCF90
39、， ABC 是等腰直角三角形，ADBD， ADO90 ，CDBDAD DCFADC 在ADO 和FCO 中 AODFOC ADOFCO ADFC ， ， ， ADOFCO DOCO BDCD2 DO （2）如答图 1，连结 BF，分别过点 D，F 作 DNBC 于点 N，FMBC 于点 M DNEEMF90 又NDEMEF，DEEF， DNEEMFDNEM 又BD7 2，ABC45 ，DNEM7， BMBCMEEC5，MFNENCEC5 BF5 2 点 D，G分别为 AB，AF的中点 DG 1 2 BF 5 2 2 过点 D 作 DHBC 于点 H AD6BD，AB142，BD22 ）当DEG
40、90 时，有如答图 2，3 两种情况，设 CEt DEF90 ，DEG ， 点 E 在线段 AF 上 BHDH2，BE14t，HEBEBH12t DHEECA， DH EC HE CA ，即 2 t 12 14 t ，解得 t6 22， 图3图2图1 G F A F A O F A BBB C(E) D C E D G C D E 答图1 M N F A B C E D G CE622或 CE622 ）当 DGBC 时，如答图 4 过点 F 作 FKBC 于点 K，延长 DG 交 AC 于点 N，延长 AC 并截取 MNNA，连结 FM 则 NCDH2，MC10 设 GNt，则 FM2t，BK
41、142t DHEEKFKEDH2，KFHE142t MCFK，142t10，t2 GNEC2，GNEC， 四边形 GECN 是平行四边形 而ACB90 ， 四边形 GECN 是矩形 EGN90 当 EC2 时，有DGE90 ）当EDG90 时，如答图 5 过点 G，F 分别作 AC 的垂线，交射线 AC 于点 N，M，过点 E 作 EKFM 于点 K，过点 D 作 GN 的垂线，交 NG 的延长线于点 P 则 PNHCBCHB12 设 GNt，则 FM2t，PGPNGN12t 由DHEEKF 可得 FK2， CEKM2t2 HEHCCE12（2t2）142t， EKHE142t， AMACCM
42、ACEK14142t282t， MN 1 2 AM14t，NCMNCMt PDt2 由GPDDHE 可得 PG HD PD HE ，即 12 2 t 2 142 t t ， 解得 t11014，t21014（舍去）， CE2t218214 答图2 H G F A B C E D 答图3 H G F A B C E D 答图4 N M KH G F A B C E D 所以，CE 的长为 622，622，2 或 18214. 5. （2019 自贡） （1） 如图 1， E 是正方形 ABCD 边 AB 上一点， 连接 BD、 DE， 将BDE 绕点 D 逆时针旋转 90， 旋转后角的两边分别与
43、射线 BC 交于点 F 和点 G. 线段 DB 和 DG 的数量关系是； 写出线段 BE，BF 和 DB 之间的数量关系. （2）当四边形 ABCD 是菱形，ADC=60，点 E 是菱形 ABCD 边 AB 所在直线上一点，连接 BD、DE，将BDE 绕点 D 逆时针旋转 120，旋转后角的两边分别与射线 BC 交于点 F 和点 G. 如图 2，点 E 在线段 AB 上时，请探究线段 BE、BF 和 BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明； 如图 3，点 E 在线段 AB 的延长线上时，DE 交射线 BC 于点 M，若 BE=1,AB=2，直接写出线段 GM 的长度. 解： （1）答案：DB
44、=DG. BDE 绕点 D 逆时针旋转 90得到GDF, EDF=GDB=90，BDE=GDF， 四边形 ABCD 是正方形， DBC=DBA=1 2ABC=45. BDG=90， DBG=G=45. DB=DG. 线段 BE，BF 和 DB 关系为：BF+BE=2BD，理由如下： EDB=FDG，DB=DG,DBE=G， EDBFDG. BE=GF. 故答案为 DB=DG. 在 RtBDG 中，DBG=45， cosDBG=BD BG = 2 2 , 即 BG=2BD， 又BG=BF+FG=BF+BE, BF+BE=2BD. （2）线段 BE，BF 和 DB 关系为：BF+BE=3BD，理由
45、如下： BDE 绕点 D 逆时针旋转 120得到GDF, EDF=GDB=120，BDE=GDF， 四边形 ABCD 是菱形， ABC=ADC=60，BD 平分ABC, EBD=DBG=1 2ABC=30， 答图5 H P K M N G F A B C E D G=180-DBG-BDG=30， G=DBG， BD=GD， EDB=FDG，DB=DG,DBE=G， DBEDGF, BE=GF, BG=BF+GF=BF+BE. 过 D 作 DHBG 于 H， 又DB=DG, BH =1 2BG， 在 RtBDH 中，DBG=30， cosHBD=BH BD = 3 2 , BH= 3 2 BD
46、, 又BH =1 2BG， BG=3BD. 又BG=BF+BE， BF+BE=3BD. （2）GM=19 3 ，理由如下： 由旋转可知，BDF=1200， 又ABC=600，四边形 ABCD 为菱形， CDB=CBD=1 2ABC=30 0， FDC=BDF-BDC=900， 在 RtCDF 中，DCF=1800-BCD=600， FC= DCF = 2 1 2 =4. ABCD， CDMBEM， = = 2 1， CM=2 3= 4 3. 由（2）可知，BDEFDG， GF=BE=1. GM=FG+FC+CM=1+4+4 3= 19 3 . 6.（2019凉山）凉山）如图，ABD=BCD =
47、90，DB 平分ADC，过点 B 作 BMCD 交 AD 于 M连接 CM 交 DB 于 N （1）求证：BD 2 =ADCD； （2）若 CD=6，AD=8，求 MN 的长 解：解： （1）证明：BD平分ADC，ADB=BDC，ABD=BCD=90，DABDBC， CD BD = BD AD ,BD 2=AD CD. (2)由 （1） 可知： BD 2=AD CD.CD=6,AD=8， BD=4 3,又AD=8， AB= 2 222 84 34ADBD， AB= 1 2 AD，ADB =30，BDC=ABD=30，又ABD=BCD =90，A=DBC =60，BM CD，BDC=MBD =30，ABM =ABD-MBD =60，ABM是等边三角形，故BM=AB=4， ABDBCD， A BD B B CC D ， 46 =2 3 4 3 ABCD BC DB ， BMCD， CBM =180-BCD =90， CM= 2 222 42 32 7BMCB，BMCD，BMNDCN， 42 63 MNMB CNCD ， CN=1.5MN，又 CN+MN=CM=2 7，MN= 4 7 5 7.（2019乐山）乐山）在ABC中，已知D是BC边的中点，G是ABC的重心，过G点的
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