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    2020年中考数学第一轮复习知识点33圆的基本性质

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    2020年中考数学第一轮复习知识点33圆的基本性质

    1、 一、选择题一、选择题 7 (2019嘉兴)嘉兴)如图,已知O上三点A,B,C,半径OC1,ABC30,切线PA交OC延长线于点 P,则PA的长为( ) A2 B C D 【答案】【答案】B 【解析】连接【解析】连接 OA,因为,因为 ABC=30,所以,所以AOC=60,又因为,又因为 PA 为切线,所以为切线,所以OAP=90,因为,因为 OC=1,所以,所以 PA=3. 3.(20192019杭州)杭州)如图,P 为O 外一点,PA、PB 分别切O 于 A、B 两点,若 PA=3,则 PB= ( ) A2 B.3 C.4 D.5 【答案答案】B B 【解析】【解析】因为 PA 和 PB

    2、与O相切,根据切线长定理,可知: PA=PB=3,故选 B 12 (2019烟台)烟台)如图,AB 是O的直径,直线 DE 与O相切于点 C,过点 A,B 分别作ADDE, BEDE,垂足为点 D,E,连接 AC,BC若3AD ,3CE ,则AC的长为( ) A 2 3 3 B 3 3 C 3 2 D 2 3 3 【答案答案】D 【解题过程】【解题过程】连接连接 OC, 因为因为ADDE,BEDE, 所以所以90ADCCEB P O A B C O DE B A 第 12 题答图 所以所以90DACACD 因为因为 AB 是是O的直径,的直径, 所以所以90ACB, 所以所以90BCEACD,

    3、 所以所以BCEDAC, 在在ADC 与与CED, 因为因为90ADCCEB,BCEDAC 所以所以ADCCED, 所以所以 3 3 3 BCCE ACAD 在在 RtACB 中,中,sin3 BC BAC AC , 所以所以60BAC, 又因为又因为OAOC, 所以所以AOC 是等边三角形,是等边三角形, 所以所以60ACO, 因为直线因为直线 DE 与与 O相切于点相切于点 C, 所以所以OCDE, 因为因为ADDE,OCDE, 所以所以 AD/OC, 所以所以60DACACO, 所以所以9030ACDDAC, 所以所以22 3ACAD, 所以所以AOC 是等边三角形,是等边三角形, 所以

    4、所以2 3OAAC,60AOC, 所以所以AC的长为 602 32 3 1803 9 (2019陕西)如图,AB 是O 的直径,EF,EB 是O 的弦,且 EFEB,EF 与 AB 交于点 C,连接 OF,若AOF40,则F 的度数是( ) A20 B35 C40 D55 【分析】连接 FB,得到FOB140,求出EFB,OFB 即可 【解答】解:连接 FB AOF40, FOB18040140, FEBFOB70 EFEB EFBEBF55, FOBO, OFBOBF20, EFOEBO, EFOEFBOFB35, 故选:B 【点评】本题考查圆周角定理,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟

    5、练掌握基本知识,属于中考 常考题型 12 (2019威海)威海) 如图,P 与 x 轴交与点 A(5,0) ,B(1,0) ,与 y 轴的正半轴交于点 C,若ACB60,则点 C 的纵坐标为 A. 133 B. 2 23C. 4 2D. 2 22 【答案答案】D x y C P A B O 【解题过程】连接【解题过程】连接 PA、PB、PC,过点过点 P 分别作分别作 PFAB,PEOC,垂足为 F,E. 由题意可知:四边形 PFOE 为矩形, PEOF,PFOE. ACB60 , APB120 . PAPB, PABPBA30 . PFAB, AFBF3. PEOF2. tan30 PF A

    6、F ,cos30 AF AP , PF3,AP2 3. OE3,PC2 3. 在 RT PEC 中,CE 22 PCPE2 2, OCCEEO2 22. 5 如图,线段 AB 经过O 的圆心,AC BD 分别与O 相切于点 D.若 AC= BD = 4,A=45, 则圆 弧 CD 的长度为( ) A. B. 2 C. 22 D.4 【答案】B 【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与O相切于C,D, x y E C P F A B O 所以ACO=DBO=90, 所以AOC=A=45, 所以 CO=AC=4,因为 AC=BD,CO=DO,所以ACOBDO,所以DOB=AOC=45,所以DO

    7、C=180- DOB-AOC=180-45-45=90,CD= 904 180 =2,故选 B. 9 (2019益阳)益阳)如图,PA、PB 为圆 O 的切线,切点分别为 A、B,PO 交 AB 于点 C,PO 的延长线交 圆 O 于点 D,下列结论不一定成立的是() A. PA=PBB.BPDAPDC.ABPDD.AB 平分 PD 第 9 题图 【答案】D 【解析】PA、PB 为圆 O 的切线,切点分别为 A、B,PO 交 AB 于点 C,PO 的延长线交圆 O 于点 D, PA=PB,BPDAPD,故 A、B 正确; PA=PB,BPDAPD,PDAB,PD 平分 AB,但 AB 不一定平

    8、分 PD,故 C 正确,D 错误. 7 (2019黄冈黄冈)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(AB) ,点O是这段弧所在圆的圆心,AB40m, 点C是AB的中点,点D是AB的中点,且CD10m.则这段弯路所在圆的半径为() A.25m B.24m C.30m D.60m 【答案】【答案】A 【解析】【解析】连接OD,由垂径定理可知O,C,D在同一条直线上,OCAB,设半径为r,则OCOAr,AD 20,ODOACDr10,在Rt ADO,由勾股定理知:r2202(r10)2,解得r25. (第7题图) O D C B A 9 (2019 陇南) 陇南) 如图, 点 A, B, S 在圆上, 若

    9、弦 AB 的长度等于圆半径的倍, 则ASB 的度数是 ( ) A22.5 B30 C45 D60 【答案答案】C 【解析】【解析】作 AB 的垂直平分线,交圆与点 C,D,设圆心为 O,CD 与 AB 交于点 E,AB=2OA,AE= 2 2 OA, 2 2 2 sin 2 OA OE AOE OAOA ,AOE=45,AOB=90, ASB=45, 故选:C 1. (2019 滨州) 滨州) 如图, AB 为O 的直径, C, D 为O 上两点, 若BCD40, 则ABD 的大小为 ( ) A60 B50 C40 D20 【答案】【答案】B 【解析】【解析】如图,连接 AD,AB 为O 的直

    10、径,ADB=90 A 和BCD 都是弧 BD 所对的圆周角, A=BCD=40 ,ABD=9040=50 故选 B A B C D O 2. (2019聊城聊城)如图,BC 是半圆 O 的直径,D,E 是BC上两点,连接 BD,CE 并延长交于点 A,连接 OD,OE,如果 A70,那么DOE 的度数为 A.35 B.38 C.40 D.42 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 A70,B+C110,BOE+COD220,DOEBOE+COD180 40,故选 C. 3.(2019潍坊)潍坊)如图,四边形 ABCD 内接于O,AB 为直径,AD=CD过点 D 作 DEAB 于点 E连 接 A

    11、C 交 DE 于点 F若 sinCAB= 3 5 ,DF=5,则 BC 的长为() A8 B10 C12 D16 【答案答案】C 【解析】【解析】连接 BD AD=CD,DAC=ACD AB 为直径,ADB=ACB=90DAB+ABD=90 DEAB,DAB+ADE=90ADE=ABD ABD=ACD,DAC=ADEAF=DF=5 在 RtAEF 中,sinCAB= 3 5 EF AF EF=3,AE=4DE=3+5=8 由 DE2=AE EB,得 22 8 16 4 DE BE AE AB=16+4=20 在 RtABC 中,sinCAB= 3 5 BC AB BC=12 4. 4. (20

    12、192019凉山)凉山)下列命题:直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;两点之间线段 最短;相等的圆心角所对的弧相等;平分弦的直径垂直于弦其中,真命题的个数( ) A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离;两点之间线段最短;在同圆或等 圆中,相等的圆心角所对的弧相等;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,所以只有是对的,故选 A. 5.(2019眉山)眉山)如图,O 的直径 AB 垂直于弦 CD垂足是点 E,CAO=225,OC=6, 则 CD 的长为 A6 2 B3 2 C6 D12 【答案】【答案】A 【解析

    13、】【解析】A=22.5,COE=45,O 的直径的直径 AB 垂直于弦垂直于弦 CD,OC=6,CEO=90, COE=45,CE=OE= 2 2 OC3 2,CD=2CE=6 2,故选,故选 D. 6. (2019 衢州) 衢州) 一块圆形宣传标志牌如图所示, 点A, B, C在O上, CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm, DC=2dm,则圆形标志牌的半径为(A) A.6dm B.5dm C.4dm D.3dm 【答案】【答案】B 【解析】 连接【解析】 连接 OD, OB, 则, 则 O, C, D 三点在一条直线上, 因为三点在一条直线上, 因为 CD 垂直平分 AB, AB=8

    14、dm, 所以 BD=4dm,OD= (r-2)dm,由勾股定理得 42+(r-2)2=r2,r=5dm,故选 B. 7.(2019泰安泰安) 如图,ABC 是O 的内接三角形,A119,过点 C 的圆的切线交 BO 于点 P,则P 的 度数为 A.32 B.31 C.29 D.61 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 连接 CO,CF,A119,BFC61,BOC122,COP58,CP 与圆相切于点 C,OCCP,在 RtOCP 中,P90COP32,故选 A. 二、填空题二、填空题 7 (2019嘉兴)嘉兴)如图,已知O上三点A,B,C,半径OC1,ABC30,切线PA交OC延长线于点

    15、P,则PA的长为( ) A2 B C D 【答案】【答案】B 【解析】连接【解析】连接 OA,因为,因为 ABC=30,所以,所以AOC=60,又因为,又因为 PA 为切线,所以为切线,所以OAP=90,因为,因为 OC=1,所以,所以 PA=3. 3.(20192019杭州)杭州)如图,P 为O 外一点,PA、PB 分别切O 于 A、B 两点,若 PA=3,则 PB= ( ) A2 B.3 C.4 D.5 【答案答案】B B 【解析】【解析】因为 PA 和 PB 与O相切,根据切线长定理,可知: PA=PB=3,故选 B 12 (2019烟台)烟台)如图,AB 是O的直径,直线 DE 与O相

    16、切于点 C,过点 A,B 分别作ADDE, BEDE,垂足为点 D,E,连接 AC,BC若3AD ,3CE ,则AC的长为( ) A 2 3 3 B 3 3 C 3 2 D 2 3 3 P O A B 【答案答案】D 【解题过程】【解题过程】连接连接 OC, 因为因为ADDE,BEDE, 所以所以90ADCCEB 所以所以90DACACD 因为因为 AB 是是O的直径,的直径, 所以所以90ACB, 所以所以90BCEACD, 所以所以BCEDAC, 在在ADC 与与CED, 因为因为90ADCCEB,BCEDAC 所以所以ADCCED, 所以所以 3 3 3 BCCE ACAD 在在 RtA

    17、CB 中,中,sin3 BC BAC AC , 所以所以60BAC, 又因为又因为OAOC, 所以所以AOC 是等边三角形,是等边三角形, 所以所以60ACO, 因为直线因为直线 DE 与与 O相切于点相切于点 C, 所以所以OCDE, 因为因为ADDE,OCDE, 所以所以 AD/OC, 所以所以60DACACO, 所以所以9030ACDDAC, 所以所以22 3ACAD, 所以所以AOC 是等边三角形,是等边三角形, 所以所以2 3OAAC,60AOC, 所以所以AC的长为 602 32 3 1803 12 (2019威海)威海) C O DE B A 第 12 题答图 如图,P 与 x

    18、轴交与点 A(5,0) ,B(1,0) ,与 y 轴的正半轴交于点 C,若ACB60,则点 C 的纵坐标为 B. 133 B. 2 23C. 4 2D. 2 22 【答案答案】D 【解题过程】连接【解题过程】连接 PA、PB、PC,过点过点 P 分别作分别作 PFAB,PEOC,垂足为 F,E. 由题意可知:四边形 PFOE 为矩形, PEOF,PFOE. ACB60 , APB120 . PAPB, PABPBA30 . PFAB, AFBF3. PEOF2. tan30 PF AF ,cos30 AF AP , PF3,AP2 3. OE3,PC2 3. 在 RT PEC 中,CE 22

    19、PCPE2 2, OCCEEO2 22. 16(2019 娄底) 娄底) 如图 (9) , C、 D两点在以AB为直径的圆上, AB2, ACD30, 则AD_ x y C P A B O x y E C P F A B O 【答案】【答案】1 【解析】【解析】如图,图 91,连结 AD, 由 AB 为O 的直径, ADB90, 又在O 中有ACD30, BACD30, 11 21 22 ADAB 17 (2019衡阳衡阳)已知圆的半径是已知圆的半径是 6,则圆内接正三角形的边长是,则圆内接正三角形的边长是 【答案】【答案】63 【解析】【解析】如图,作 ODBC 于 D,OB6,OBD30,

    20、BD 1 2 BC33,BC63,故答案为 63 13 (2019安徽)安徽)如图,ABC 内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB 于点 D,若O 的 半径为 2,则 CD 的长为 . 【答案】【答案】2 【解析】【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,等腰直角三角形的性质,正确的作出辅助线是 解题的关键连接 CO 并延长交O 于 E,连接 BE,于是得到E=A=30,EBC=90,解直角三角 形即可得到结论连接 CO 并延长交O 于 E,连接 BE, 则E=A=30, EBC=90, O 的半径为 2, CE=4, BC= 2 1 CE=2, CDAB, CBA=45,

    21、D CB O A CD= 2 2 BC=2,故答案为2 16(20192019株洲)株洲)如图所示,AB 为O 的直径,点 C 在O 上,且 OCAB,过点 C 的弦 CD 与线段 OB 相交于点 E,满足AEC65 ,连接 AD,则BAD度 第 16 题 【答案答案】2020 【解析】如图,连接 DO,因为 COAB,所以COB=90,AEC65,C=25, OD=OC,ODC=C=25,DCO 中,DOC=130,DOB=40,2BAD=DOB,BAD=20。 1.(2019凉山州)凉山州)如图所示,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于 H,A =30,CD =23,则O 的半 径是_ 【

    22、答案答案】2 【解析】【解析】 连接OC, 则OA=OC, A=ACO=30, COH=60, OBCD, CD=23, CH=3, OH=1,OC=2. 16 (2019 泰州 泰州)如图,O 的半径为 5,点 P 在O 上,点 A 在O 内,且 AP3,过点 A 作 AP 的垂线交于O 点 B、C.设 PBx,PCy,则 y 与 x 的函数表达式为_. 第 16 题图 【答案】【答案】 30 y x 【解【解析析】 过点 O 作 ODPC 于点 D 连接 OP,OC,因为 PCy,由垂径定理可得 DC 2 y ,因为 OPOC,所以 COD 1 2 POC,由圆周角定理,B 1 2 POC

    23、,所以CODB,所以CODPBA, PABP CDOC ,即 3 5 2 x y ,整理可得函数表达式为: 30 y x . 14 (2019嘉兴)嘉兴)如图,在O中,弦AB1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CDOC交O于点 D,则CD的最大值为 【答案】【答案】 1 2 【解析】连接【解析】连接 OD,因为,因为 CDOC,则有,则有 CD= 22 ODOC,根据题意可知圆半径一定,故当 OC 最小 时则有 CD 最大,故当 OCAB 时 CD=BC= 1 2 最大. 14 (2019盐城)盐城)如图,点 A、B、C、D、E 在O 上,且弧 AB 为 50 ,则EC_ 【答案】【答案】

    24、155 【解析】【解析】如图,连结 OA、OB、AE,由弧 AB 为 50 可知,AOB=50 ,又AOB 和AEB 分别为弧 AB 所对的圆心角和圆周角,故 1 2 AEBAOB,即AEB=25 ,又四边形 AEDC 是O 的内接四边形,所以 ACD+AED=180 ,又AEB=25 ,可得ACD+BED=180 -25 =155 . 三、解答题三、解答题 22 (20192019 浙江省温州市,浙江省温州市,2222,1010 分)分) (本题满分 10 分) 如图,在ABC 中,BAC=90,点 E 在 BC 边上,且 CA=CE,过 A,C,E 三点的O 交 AB 于另一点 F, 作直

    25、径 AD,连结 DE 并延长交 AB 于点 G,连结 CD,CF (1)求证:四边形 DCFG 是平行四边形; (2)当 BE=4,CD= 3 8 AB 时,求O 的直径长 O A C D E B O C D E B A 【解题过程】【解题过程】 (1)连接 AE. BAC=90,CF 是O 的直径. AC=EC,CFAE.AD 为O 的直径,AED=90,即 GDAE,CFDG. AD 为O 的直径,ACD=90,ACD+BAC=180,ABCD,四边形 DCFG 为平行 四边形; (2)由 CD= 3 8 AB,可设 CD=3x,AB=8x,CD=FG=3x. AOF=COD,AF=CD=

    26、3x,BG=8x-3x-3x=2x. GECF,BGECDE, 2 3 BEBG EGGF . 又 BE=4,AC=CE=6,BC=6+4=10,AB= 22 10 -6=8=8x,x=1. 在 RtACF 中,AF=3,AC=6,CF= 22 3 +6=35,即O 的直径长为 35. 21 (2019 年浙江省绍兴市,第年浙江省绍兴市,第 21 题,题,10 分分 )在屏幕上有如下内容: 如图, ABC 内接于圆 O,直径 AB 的长为 2,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D. 张老师要求添加条件后,编制一道题目,并解答 0 (1)在屏幕内容中添加条件D=30 ,求 AD 的长,请你

    27、解答. (2)以下是小明,小聪的对话: 参考此对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(可以添线、添字母) ,并解答. 【解题过程】【解题过程】 第22题图 O G F E D CB A 第22题图 O G F E D CB A 24 (2019 江苏盐城卷,江苏盐城卷,24,10)如图,在 RtABC 中,ACB=90 ,CD 是斜边 AB 上的中线,以 CD 为 直径的O 分别交 AC、BC 于点 M、N,过点 N 作 NEAB,垂足为 E. (2)求证:NE 与O 相切. 21 (2019山西)山西)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务: 莱昂哈德欧拉(Leonhard Euler )是

    28、瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式 和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在在ABC 中中,R 和和 r 分别为外接圆和内切圆的半径分别为外接圆和内切圆的半径,O 和和 I 分别为其外分别为其外 心和内心心和内心,则则 22 =2OIRRr-. 如图 1,O和I分别是ABC 的外接圆和内切圆,I与 AB 相切于点 F,设O的半径为R,I的半径为 r,外心 O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心 I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离 OId,则有 22 =2dRRr-. 下面是该定理的证明过程(部分): 延长 AI 交O 于点 D,过点 I 作O 的直径 MN,连接 D

    29、M,AN. DN,DMINAI(同弧所对的圆周角相等), MDIANI. IMID IAIN =.IA IDIM IN?. 如图 2,在图 1(隐去 MD,AN)的基础上作O 的直径 DE,连接 BE,BD,BI,IF. DE 是O 的直径,DBE90.I 与 AB 相切于点 F,AFI90,DBEIFA. BADE(同弧所对的圆周角相等),AIFEDB. IAIF DEBD =.IA BDDE IF?. 任务任务: (1)观察发现:IMR+r,IN_(用含 R,d 的代数式表示); (2)请判断 BD 和 ID 的数量关系,并说明理由; (3)请观察式子和式子,并利用任务(1),(2)的结论

    30、,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余 部分; (4)应用:若ABC 的外接圆的半径为 5cm,内切圆的半径为 2cm,则ABC 的外心与内心之间的距离为 _cm 第 21 题图 【思路分析】【思路分析】 (1)MN 是直径,根据内切圆与外接圆半径与它的关系得到 IN 的代数式(2)由内切圆是三角 形三条角平分线的交点,转化相等的角,再利用同弧所对的圆周角相等转化角,最后得到BIDDBI,利用 等角对等边得证(3)由材料得到的结论及任务(1) (2)等量代换得线段等积式,从而得证结论(4)根据 结论直接应用求解. 【解题过程】【解题过程】 (1)INRd; (2)BDID.理由如下:点 I

    31、 是ABC 的内心,BADCAD,CBIABI,DBCCAD, BIDBAD+ABI,DBIDBC+CBI,BIDDBI,BDID; (3)由 ( 2 ) 知 :BD ID, IA IDDE IF?, 又 I A I DI MI N?, DE IFIM IN?, () () 2R rR dRd?+?, 22 2RdRr-=, 22 2dRRr=-; (4)由 22 2dRRr=-得 222 252 5 25dRRr=-=-创=,d0,5d =. 2.(2019天津)如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中,ABC 的顶点 A 在格点上,B 是小正方 形边的中点,ABC=50 ,BAC=30

    32、,经过点 A,B 的圆的圆心在边 AC 上, (1)线段 AB 的长等于; (2)请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出一个点 P,使其满足PAC=PBC=PCB,并简 要说明点 P 的位置是如何找到的(不需要证明) 【答案】 (1)(2)如图,取圆与网格线的交点 E,F 连接 EF 与 AC 相交,得圆心 O;AB 与网格线 相交于点 D,连接 DO 并延长,交O 于点 Q,连接 QC 并延长,与点 B,O 的连线 BO 相交于点 P,连 接 AP,则点 P 满足PAC=PBC=PCB 【解析】(1)如图,RtABD 中,AD=2,BD= 2 1 ,由勾股定理可得 AB= (2)由于点

    33、A 在格点上,可得直角,根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径,又因为圆心在 AC 上,所以取圆与网格线的交点 E,F 连接 EF 与 AC 相交,得圆心 O;AB 与网格线相交于点 D,则点 D为AB的中点, 连接DO并延长, 根据垂径定理可得则DO垂直平分AB, 连接BO, 则OAB=OBA=30 , 因为ABC=50 ,所以OBC=20 ,DO 的延长线交O 于点 Q,连接 QC 并延长,与点 B,O 的连线 BO 相交于点 P,连接 AP,则点 P 满足PAC=PBC=PCB. 3.(2019湖州)已知一条弧所对的圆周角的度数为 15,则它所对的圆心角的度数是_ 【答案答案】30

    34、【解析】【解析】根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的 2 倍,可知答案 为 30 4. (2019台州台州)如图,AC 是圆内接四边形 ABCD 的一条对角线,点 D 关于 AC 的对称点 E 在边 BC 上,连接 AE,若ABC64,则BAE 的度数为_. 【答案】【答案】52 【解析】【解析】圆内接四边形 ABCD,B+D180,B64,D116,又点 D 关于 AC 的对 称点是点 E,DAEC116,又AECB+BAE,BAE52. 三、解答题三、解答题 26 (2019苏州苏州,26,12)如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,D 是弧 BC

    35、的中点,BC 与 AD、 OD 分别交于点 E、F (1)求证:DOAC; (2)求证:DEDADC2; (3)若 tanCAD 1 2 ,求 sin CDA 的值 第 26 题图 【解题过程】【解题过程】解: (1)点 D 是BC中点,OD 是圆的半径,ODBC,AB 是圆的直径,ACB 90,ACOD; (2)CDBD,CADDCB,DCEDCA,CD2DEDA; (3)tanCAD 1 2 ,DCE 和DAC 的相似比为 1 2 ,设:DEa,则 CD2a,AD4a,AE 3a, AE DE 3,即AEC 和DEF 的相似比为 3,设 EFk,则 CE3k,BC8k,tanCAD 1 2

    36、 ,AC 6k,AB10k,sinCDA 3 5 19 (2019 安徽,安徽,19 题号,题号,10 分)分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1,明朝科学家徐光启在 农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理.如图 2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆.已 知圆心在水面上方, 且圆被水面截得的弦 AB 的长为 6 米, OAB=41.3.若点 C 为运行轨道的最高点 (C, O 的连线垂直于 AB).求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. (参考数据:sin41.30.66, cos41.30.75 , tan41.30.88) 【解题过程】【解题过程】解:连接 CO 并延

    37、长,交 AB 于点 D,所以 CDAB,所以 D 为 AB 中点,所 求运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离即为线段 CD 的长. 2 分 在 RtAOD 中,AD= 2 1 AB=3,OAD=41.3, OD=ADtan41.330.88=2.64,OA= 0 3 .41cos AD 75. 0 3 =4,8 分 CD=CO+OD=AO+OD2.64+4=6.64.10 分 答:运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离约为 6.64 米. 1.(2019宁波宁波)如图 1,O 经过等边三角形 ABC 的顶点 A,C(圆心 O 在ABC 内),分别与 AB,CB 的延长线

    38、交于点 D,E,连接 DE,BFEC 交 AE 于点 F. (1)求证:BDBE; (2)当 AF:EF3:2,AC6 时,求 AE 的长; (3)设 AF EF x,tanDAEy. 求 y 关于 x 的函数表达式; 如图 2,连接 OF,OB,若AEC 的面积是OFB 面积的 10 倍,求 y 的值. 解:解:(1)ABC 为等边三角形,BACC60,DEBBAC60,DC60,DEB D,BDBE. (2)如图,过点 A 作 AGEC 于点 G,ABC 为等边三角形,AC6,BG 1 2 BC 1 2 AC3,在 RtABG 中,AG3BG3 3,BFEC,BFAG,= AFBG EFE

    39、B ,AF:EF3:2,BE 2 3 BG2,EGBE+BG 3+25,在 RtAEG 中,AE 22 2 13AGEG; 答图(1) (3)如图,过点 E 作 EHAD 于点 H,EBDABC60,在 RtBEH 中, EH EB sin60 3 2 ,EH 3 2 BE,BH 1 2 BE,= BGAF EBEF x,BGxBE,ABBC2BG2xBE,AHAB+BH2xBE+ 1 2 BE(2x+ 1 2 )BE,Rt AHE 中,tanEAD 3 3 2 = 141 2 2 BE EH AHx xBE ,y 3 41x ; 答图(2) 如图,过点 O 作 OMEC 于点 M,设 BEa

    40、,= BGAF EBEF x,CGBGxBEax,ECCG+BG+BE a+2ax, EM 1 2 EC 1 2 a+ax, BM EM BE ax 1 2 a, BF AG, EBF EGA, 1 = 1 BFBEa AGEGaaxx , AG 3BG 3ax, BF 1 1x AG 3 1 ax x , OFB 的 面 积 131 2212 BF BMax axa x ,AEC 的面积 1 32 22 EC AG ax aax ,OFB 的面积是AEC 的 面积的 10 倍, 131 10 212 ax axa x 1 32 2 ax aax,2x27x+60,解之,得 x12,x2 3

    41、2 ,y 3 9 或 3 7 . 答图(3) 2.(2019自贡)如图,O 中,弦 AB 与 CD 相交于点 E,AB=CD,连接 AD、BC, 求证: (1)D = BC ; (2)AE=CE. 解: (1)连接 AO,BO,CO,DO, AB=CD, AOB=COD, AOD=BOC, D = BC . (2)D = BC , AD=BC, C = AC, ADC=ABC, 又AED=CEB, ADECBE, AE=CE. 3.(2019攀枝花)攀枝花)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,2),动点 P 在 y 3 3 x 的图象上运动(不与 O 重合) ,连接 AP,过点 P 作

    42、 PQAP,交 x 轴于点 Q,连接 AQ。 (1)求线段 AP 长度的取值范围; (2)试问:点 P 运动过程中,QAP 是否为定值?如果是,求出该值;如果不是,请说明理由。 (3)当OPQ 为等腰三角形时,求点 Q 的坐标. 解:(1)作 AHOP,则 APAH 点 P 在 y 3 3 x 的图象上, HOQ30 ,HOA60 A(0,2),AHAO sin60 3 AP3 (2)QAP 是定值 法一: (共圆法)法一: (共圆法) 当点 P 在第一象限的线段 OH 的延长线上时, 由QPAQOA90 ,可得APQAOQ180 , P、Q、O、A 四点共圆 PAQPOQ30 当点 P 在第

    43、一象限的线段 OH 上时, 由QPAQOA90 ,可得 P、O、Q、A 四点共圆 PAQPOQ180 ,又POQ150 , PAQ180 POQ30 x y Q A O P x y H Q A O P 当点 P 在第三象限时,特殊角的三角函数值; 由QPAQOA90 ,可得 Q、P、O、A 四点共圆 PAQPOQ30 法二: (相似法)法二: (相似法) 当点 P 在第三象限时, 由QPAQOA90 ,可得BPQBOA PBQB OBAB QBAPBO PAQPOQ30 , 当点 P 在第一象限且点 B 在 AP 延长线上时, 由QPAQOA90 ,可得BPQBOA90 , BPQBOA BP

    44、BQ BOBA BPOBQAPAQPOB30 x y H Q A O P x y Q A O P x y BQ A O P x y B Q A O P 当点 P 在第一象限且点 B 在 PA 延长线上时, 由QPAQOA90 ,可得BPQBOA90 , BPQBOA BPBQ BOBA BPOBQAPAQPOQ30 (3)设 P(m, 3 3 m) ,Q(a,0), OA2OQ2AP2PQ2 22a2m2( 3 3 m2) 2(am) 2( 3 3 m)2 整理,得 a 42 3 3 m . Q( 42 3 3 m ,0). OP2 4 3 m2,OQ216 9 m216 9 3m 4 3 .

    45、 PQ2 4 9 m2 4 9 3m 4 3 . 当 OPOQ 时,则 4 3 m216 9 m216 9 3m 4 3 整理,得 m243m30,解得 m23 3 Q1 (234,0),Q2(234,0) x y BQ A O P x y M Q A O P 当 POPQ 时,则 4 3 m2 4 9 m2 4 9 3m 4 3 整理得:2 m23m30, 解得解得 m 3 2 ,或 m3. 当 m 3 2 时,Q 点与 O 重合,舍去, m3. Q3 (23,0). 当 QOQP 时, 则 16 9 m216 9 3m 4 3 4 9 m2 4 9 3m 4 3 整理,得 m23m0. 解

    46、得 m3 Q4 ( 2 3 3 ,0). x y Q A O P x y Q A O P 综上, 当OPQ 为等腰三角形时, 点 Q 的坐标为 Q1 (234,0), Q2(234,0), Q3 (23,0), Q4 ( 2 3 3 ,0). 4.(2019济宁)济宁) 如图,AB 是O 的直径,C 是O 上一点,D 是弧 AC 的中点,E 为 OD 延长线上一点,CAE2 C,AC 与 BD 交于点 H,与 OE 交于点 F (1)求证:AE 是O 的切线; (2)若 DH9,tanC 3 4 ,求直径 AB 的长 解解: D 是弧 AC 的中点, ADCDDACCCAEEADDAC, CA

    47、E2C, EAD C,CB,BEAD,AB 是O 的直径,ADB90 ,DABB90 , EADDAB90 ,EAO90 ,AE 是O 的切线; 在ADH 中ADH90 ,DH9,DAHC,tanDAH 3 4 DH AD , 93 4BD ,AD12,在 BAD 中ADB90 ,AD12,tanBtanC 3 4 ,tanB 3 4 AD BD ,BD16,ADB 90 ,AB 2222 121620ADBD 5. (2019 无锡) 无锡) 如图 1, 在矩形ABCD中, BC=3, 动点P从B出发, 以每秒 1 个单位的速度, 沿射线BC 方向移动,作PAB关于直线PA的对称 PAB,设点P的运动时间为 t s. (1)若 AB=2 3 ,如图 2,当点 B落在 AC 上时,显然PC B是直角三角形,求此时 t 的值; 是否存在异于图 2 的时刻,使得PC B是直角三角形?若存在


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