1、一、选择题12（2019烟台）如图，AB是的直径，直线DE与相切于点C，过点A，B分别作，垂足为点D，E，连接AC，BC若，则的长为（ ）A B C D 第12题答图【答案】D【解题过程】连接OC，因为， 所以 所以 因为AB是的直径，所以，所以，所以， 在ADC与CED, 因为，所以ADCCED,所以在RtACB中，所以，又因为，所以AOC是等边三角形，所以，因为直线DE与 相切于点C，所以，因为，所以AD/OC，所以，所以，所以，所以AOC是等边三角形，所以，所以的长为8（2019娄底）如图（2），边长为的等边ABC的内切圆的半径为（ ）A. 1 B C 2 D 【答案】A【解析】由等边三
2、角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD中，从而解得如图（21），设D为O与AC的切点，连接OA和OD， 等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，ODAC，OAD30，OD即为圆的半径又，在直角三角形OAD中，代入解得：OD1故答案为 11.（2019潍坊）如图已知AOB，按照以下步骤作图：以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB的两边于C，D两点，连接CD分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点E，连接CE，DE连接OE交CD于点M下列结论中错误的是（）ACEO=DEO BCM=MDCOCD=ECD DS四边形OCED
3、=CDOE【答案】C【解析】由作图可知OC=OD，CEDE，OEOE，所以OCEODE，CEO=DEO，选项A正确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CDOE，所以选项B、D正确；选项C错误；故选C.2.（2019衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若BDE=75，则CDE的度数是A.60B.65C.75D.80【答案】D【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE，所以O=CDO,D
4、CE=CED.所以DCE=2O，EDB=3O=75,所以O=25,CED=ECD=50,所以CDE=180-CED-ECD=180-50-50=80，故选D.3.（2019重庆A卷）如图，在ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把BDC沿BD翻折，得到，与AB交于点E，连结，若AD2，BD3，则点D到的距离为（）A B C D【答案】B【解析】如答图，过点D作DM于点M，过点B作BN于点N，由翻折可知DCAD2，BDCBAD2，是等边三角形，从而BBDC60在RtBDN中，DNBD，BN，从而于是，DM故选B4.(2019聊城)如图在等腰直角三角形ABC中,BAC90,一个三角尺的直角顶点与
5、BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是A.AE+AFACB.BEO+OFC180C.OE+OFBCD.S四边形AEOFSABC【答案】C【解析】连接AO,易得AEOCFO,AE+AFCF+AFAC,故A正确；BEO+OFCBEO+AEO180,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化,故C错误；S四边形AEOFSAEO+SAFOSCFO+SAFOSABC,故D正确；故选C.二、填空题14（2019绍兴 ）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，PAD=30，
6、以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A,M，分别以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则ADE的度数为 . 【答案】15或45【解析】因为PAD30，以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A,M，而BAM60，所以BAM是等边三角形；又以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，交点有两个E或B有两种情况：由题意AME是等边三角形，所以EAM60，所以DAE30+120150，又ADAMAE，所以ADEAED（180150）15；点E与B重合，所以ADB（E）45.14（2019常德）如图，ABC是等腰三角形，ABAC，BAC45，点D在AC边上，将ABD绕点A逆时针旋
7、转45得到ACD，且点D、D、B三点在同一直线上，则ABD的度数是 【答案】22.5【解析】根据题意可知ABDACD，BACCAD45，ADAD，ADDADD67.5，D、D、B三点在同一直线上，ABDADDBAC22.51.（2019怀化）若等腰三角形的一个底角为72，则这个等腰三角形的顶角为_.【答案】36.【解析】解：等腰三角形的一个底角为72，这个等腰三角形的顶角为180-722=36.故答案为36.三、解答题19.（2019浙江省杭州市，19，8分）(本题满分8分)如图在ABC中，ACABBC.(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证:APC= 2B.(2)以点
8、B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若AQC= 3B，求B的度数.【解题过程】（1）证明：线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，PA=PB，B=BAP，APC=B+BAP，APC=2B；（2）根据题意可知BA=BQ，BAQ=BQA，AQC=3B，AQC=B+BAQ，BQA=2B，BAQ+BQA+B=180，5B=180，B=3625（2019江苏盐城卷，25，10）如图是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（I）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图；（II）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B、处，如图，两次折痕交于点O；（II
9、I）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图【探究】（1）证明：OBCOED ；（2）若 AB = 8，设 BC 为 x， OB 2为 y，求 y 关于 x 的关系式. 图 图 图 图【解题过程】解：（1）由折叠可知BC=AD=AF=DE， CB=CB、， 由两次折叠可知BCO=DCO =ODE=45O，OCD是等腰直角三角形，OC=ODOBC OED（2）如图，过O向BC做ONBC于N，则OCN是等腰直角三角形，又OCD是等腰直角三角形，OC=OD，CD=8，OC=,ON=CN=4，在直角三角形BON中，OB2=BN2+ON2=（4x8）25（2019株洲）四边形ABCD是O的圆内接四
10、边形，线段AB是O的直径，连结AC、BD点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且ACHCBD，ADCH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若ACBC，PBPD，ABCD2(1)求证：DHC为等腰直角三角形；求CH的长度【解题过程】(1)CBD=CAD,ACHCBD，CAD=ACH，CHAD，ADCH，四边形ADCH是平行四边形（2）AB是直径，ADB=ACB=90，CHAD，CHD=ADB=90，ACBC，CAB=45，CDB=CAB=45，DHC为等腰直角三角形四边形ABCD是O的圆内接四边形，PDA=PBC，P=P，PDAPBC，,DHC和
11、ABC为等腰直角三角形，AB=,CD=,ABCD2(1)CD+CD=2(1)CD=2，CH=26（2019常德）在等腰三角形ABC中，ABAC，作CMAB交AB于点M，BNAC交AC于点N（1）在图12中，求证：BMCCNB；（2）在图13中的线段CB上取一动点P，过P作PEAB交CM于点E，作PFAC交NB于点F，求证：PE+PFBM；（3）在图14中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PEAB交CM的延长线于点E，作PFAC交NB的延长线于点F，求证：AMPF+OMBNAMPE【解题过程】（1）ABAC，ABCACB，CMAB，BNAC，BMCCNB90，又BCBC，BMCCNB；
12、（2）连接OP，PEAB，PFAC，BMCPEC90，CNBPFB90，OCBMOBPFOCPEBMCCNB，OBCOCB，OBOC，PE+PFBM；（3）同上连接OP，OCBMOCPEOBPF，OBOC，PEPFBMBMCANB90，BMONBA，BOMBAN，OMBNBMAN（PEPF）AN，ABAC，BMCN，AMAN，OMBN（PEPF）AM，AMPF+OMBNAMPE1.（2019重庆A卷）如图，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EFBC交AB于点F（1）若C36，求BAD的度数；（2）求证：FBFE解：（1）ABAC，BC36B
13、AC180BC108ABAC，D是BC边上的中点，AD平分BACBADBAC54（2）证明：BE平分ABC，ABECBEEFBC，FEBCBEABEFEBFBFE2.（2019重庆B卷）如图，在ABC中，AB=AC,ADBC于点D（1） 若C=42，求BAD的度数；（2） 若点E在边AB上，EFAC交AD的延长线于点F求证：AE=FE解：（1）（方法一）：AB=AC，C=42，B=C=42，BAC=180BC=1804242=96ADBCBAD=BAC=96=48（方法二）：AB=ACC=42B=C=42ADBC于点DADB=90BAD=1809042=48（2）证明：EFACCAF=FAB=
14、AC，ADBCCAF=BAFF=BAFAE=FE3.（2019眉山）如图，在四边形ABCD中ABDC，点E是CD的中点，AE=BE求证：D=C证明：AE=BE，EAB=EBA，DCAB，DEA=EAB，CEB=EBA，DEA=CEB，在EDA和CEB中，EDACEB（SAS），D=C.4.（2019无锡）如图，在ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O；求证：（1）DBCECB;（2）.证明：（1）AB=AC，ECB=DBC，在DBC与ECB中，BD = CE，DBC =ECB，BC = CB，DBCECB（SAS）； (2)由(1)知DBCECB，D
15、CB=EBC，OB=OC.一、选择题8（2019黄石）如图，在中，于点，和的角平分线相较于点，为边的中点，则（）A.125B.145C.175 D.190【答案】C【解析】连接DF，CDAB，F为边AC的中点，DFACCF，又CDCF，CDDFCF，CDF是等边三角形，ACD60，B50，BCD+BDC130，BCD和BDC的角平分线相交于点E，DCE+CDE65，CED115，ACD+CED60+115175，故选：C【知识点】三角形的角平分线；直角三角形的斜边上的中线的性质；等边三角形；8.（2019天水）如图，等边OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A（1，1）B（1，3）C（3，1）D
16、（3，3）【答案】B【解析】过点B作BHAO于H点，OAB是等边三角形，OH1，BH=3点B的坐标为（1，3）故选：B【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质7. （2019宜宾）如图，的顶点是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于，则与的边所围成阴影部分的面积是ABCD【答案】C【解析】连接、，过点作，垂足为，为等边三角形，点为的内心，即在和中，故选：【知识点】三角形的重心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质二、填空题13（2019黔三州）如右图，以ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若B=40，C=36，则DAC的大小为 .【答案】34.【解析】根据题
17、意可得BA=BD.B=40，BAD=BDA=70.B=40，C=36，BAC=180-B-C=104，DAC=BAC-BAD=34，故答案为34【知识点】等腰三角形性质；三角形内角和.14（2019兰州）在ABC中，AB=AC，A=40，则B= .【答案】70【解析】解：AB=AC，B+C，A+B+C=180，A=40，B=C=70，故答案为：70.【知识点】等腰三角形的性质，三角形的内角和16.（2019齐齐哈尔）等腰ABC中，BDAC,垂足为点D，且BD=AC，则等腰ABC的底角的度数为 【答案】15或45或75【解析】分情况讨论：（1） 当B为顶角时为等腰直角三角形如图1；（2）当B为底
18、角时，当BAC为锐角时，如图2，BD=AC，BAC=30，则B=75；（3）当B为底角时，当BAC为锐角时，如图3，BD=AC，BAD=30，BAC=150则B=15，所以ABC的度数为45或75或15【知识点】分类讨论，等腰三角形，锐角三角函数13.（2019广安）等腰三角形的两边长分别为，其周长为【答案】32【解析】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为时，三角形三边长为6，6，13，不能构成三角形；（2）当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，周长故答案为32【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质16.（2019宜宾）如图，和都是等边三角形，且点、在同一直线上，与、分别交于点、
19、，与交于点下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）；【答案】【解析】证明：和都是等边三角形，即，在和中，在和中，即；，找不出全等的条件；，；，是等边三角形，两边同时除得，故答案为【知识点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质17.（2019武威）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰中，则它的特征值【答案】或【解析】当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：，特征值当为底角时，顶角的度数为：特征值故答案为或【知识点】等腰三角形的性质13.（2019黔东南）如图，以ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接A
20、D若B40，C36，则DAC的大小为 【答案】34【解析】B40，C36，BAC180BC104ABBDBADADB（180B）270，DACBACBAD34故答案为：34【知识点】等腰三角形的性质三、解答题一、选择题18（2019徐州）函数yx1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，若ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有_个答案：4解析：本题考查了等腰三角形存在性，涉及到一次函数的性质，线段的垂直平分线以及圆等知识，作AB的垂直平分线，交于坐标原点，OAB为等腰三角形；以B为圆心BA长为半径交x轴于C2，C2AB为等腰三角形，以A为圆心，AB长为半径，交x轴于C3，C4，则
21、C3AB，C4AB为等腰三角形，所以满足条件的C点的有4个. 第18题图二、填空题12. （2019 荆州）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图），则图中阴影部分的面积为 cm2【答案】23【解析】解：已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，GFGEEF=22+22=22，过G作GHEF于H，GH=32GF=6，图中阴影部分的面积=12226=23cm2故答案为：23【知识点】截一个几何体；等边三角形的判定与性质；勾股定理1
22、4.(2019东营)已知等腰三角形的底角是30，腰长为，则它的周长是 答案：解析：本题考查了锐角三角函数的定义或勾股定理过等腰三角形的顶点作底边的垂线，设底边为2a，那么cos30=，所以a=3，所以周长=6+4.17.(2019东营)如图，在平面直角坐标系中，ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC=2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是 答案：（，0）解析：本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形、勾股定理等，设CE交x轴于点F，因为ACE是等边三角形，所以CAD=30，那么CF=AC=1由勾股定理求得AF=.因为CD2=DF2+CF2，CD=2DF，所以可求得DF=.
23、由“HL”定理易知ABO与DCF全等，所以AO=DF.所以OD=AF-AO-DF=，即点D坐标为（，0）.三、解答题26（2019龙东地区）如图，在ABC中，ABBC，ADBC于点D，BEAC于点E，AD与BE交于点F，BHAB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H（1）如图所示，若ABC30，求证：DFBH BD；（2）如图所示，若ABC45，如图所示，若ABC60（点M与点D重合），猜想线段DF，BH，BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明图图图解：（1）证明：连接CF，AB=BC，ABC=30，BAC=ACB=75.ADBC，ADB=90，BAD=60，D
24、AC=15.（1分）AB=BC，BEAC，BE垂直平分AC，AF=CF，（1分）ACF=DAC=15，BCF=75-15=60，BHAB，ABC=30，CBH=60，CBH=BCF=60.（1分）在BHM和CFM中，CBH=BCF，BM=CM，BMH=CMF，BHMCFM，（1分）BH=CF,BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH.在RtADB中，ABC=30，AD=BD,（1分）DFBHBD.（1分）（2）图猜想结论：DFBHBD；（1分）图猜想结论：DFBHBD.（1分）【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；全等三角形的判定和性质（2019吉林）性质探究如图，在等腰三角形ABC中，ACB
25、=120，则底边AB与腰AC的长度之比为理解运用（1）若顶点为120的等腰三角形的周长为，则它的面积为 ；（2）如图，在四边形EFGH中，EF=EG=EH求证：EFG+EHG=FGH;在边FG,GH上分别取中点M,N，连接MN，若FGH=120，EF=10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含的式子表示）解：性质探究如图，过点C作CDAB于点D，则AB=2AE,ACB=120，ACD=60，RtACD中，AD:AC=:1，AB;AC=理解运用（1） 根据性质探究可知,底边AB与腰AC的长度之比为，设AC=x，则AB=周长为，AB=4，AB=CD=2
26、，三角形的面积为（2） EF=EG，EFG=EGF,EG=EH,EGH=EHG，EFG+EHG=FGH;如图，连接FHEFG=EGF，EGH=EHG，又FGH=120EFG+EHG=FGH=120，四边形EFGH内角和360，FEH=120,由性质探索可知底边AB与腰AC的长度之比为，FH=，FHG中，MN为中位线，MN=类比拓展如图,等腰三角形ABC中，过点C作CDAB于点D，ACB=2,则ACD=，AB=2AD,RtACD中，AD:AC=sin,AB:AC=2sin:1【知识点】等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形中位线定理26.（2019赤峰）【问题】如图1，在RtABC中，ACB90
27、，ACBC，过点C作直线l平行于ABEDF90，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DPDB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DGCD交BC于点G，就可以证明DPDB，请完成证明过程；【拓展引申】（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AMBN，连接MN与BC交于点Q，这个
28、数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大若ACBC4，请你直接写出BQ的最大值解：证明：【探究发现】（1）ACB90，ACBCCABCBA45CDABCBADCB45，且BDCDDCBDBC45DBDC即DBDP【数学思考】（2）DGCD，DCB45DCGDGC45DCDG，DCPDGB135，BDPCDG90CDPBDG，且DCDG，DCPDGB135，CDPGDB（ASA）BDDP【拓展引申】（3）如图4，过点M作MHMN交AC于点H，连接CM，HQ，MHMN，AMH+NMB90CDAB，CDB90DBM90NMB+MNB90HMAMNB，且AMBN，CABCBN45AMHBNQ（ASA）AHBQACB90，ACBC4，AB42，ACAHBCBQCHCQCHQCQH45CABHQABHQMQMBACBHMQ90点H，点M，点Q，点C四点共圆，HCMHQMHCMQMB，且ACBA45ACMBMQACBM=AMBQ442-AM=AMBQBQ=-(AM-22)24+2AM22时，BQ有最大值为2【知识点】等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；二次函数的性质
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