1、2020-2021 学年杭州市拱墅区拱墅区三校联考九年级上期中数学试卷学年杭州市拱墅区拱墅区三校联考九年级上期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1（3 分）如图，O是ABC的外接圆，OBC40，则A等于（ ） A60 B50 C40 D30 2（3 分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A B C D 3 （3 分）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在O上，CD垂直平分AB于点D现测得AB8dm， DC2dm，则圆形标志牌的半径为（ ） A6dm B5dm C4dm D3dm 4（3 分）已知二次函数yx 2+2mx，以下点可能成为函数顶点的是（ ） A（2，4） B（1，
2、2） C（1，1） D（2，4） 5（3分） 已知一元二次方程x 2+bx30的一根为3， 在二次函数 yx 2+bx3的图象上有三点 、 、，y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y3y2 6（3 分）已知m0，关于x的一元二次方程（x+1）（x2）m0 的解为x1，x2（x1x2），则下列结 论正确的是（ ） Ax112x2 B1x12x2 C1x1x22 Dx11x22 7（3 分）二次函数yax 2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线x2，图象经过（1，0），下列结论 中，正确的一项（ ） Ac0 B4acb 20 C9a+c3b
3、 D5ab 8 （3 分）在数学拓展课折叠矩形纸片上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：把ABF 翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；把ADH翻折，点D落在AE边上的点 G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD6，CD10，则（ ） A B C D 9 （3 分）如图，四边形ABCD内接于O，AECB交CB的延长线于点E，若BA平分DBE，AD7，CE5， 则AE（ ） A3 B C D 10 （3 分）如图，RtABC中，ACBC，AD平分BAC交BC于点D，DEAD交AB于点E，M为AE的中点， BFBC交CM的延长线于点F，BD4，CD3， 下列结论AE
4、DADC； ACBE12； ； 3BF 4AC，其中结论正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：每题二、填空题：每题 4 4 分，共分，共 2424 分分 11（4 分）如图，已知D，E分别是ABC的AB，AC边上的点，DEBC，S四边形DBCE8SADE，那么AE：AC 等于 12（4 分）写一个实数m的值 ，使得二次函数yx 2（m1）x+3，当 x3 时，y随x的增大 而减小 13（4 分）如图，在 RtABC中，ACB90，ACBC2，将 RtABC绕A点逆时针旋转 30后得到 RtADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 14 （4 分） 如图
5、， ABC内接于O，AHBC于点H， 若AC24，AH18， O的半径OC13， 则AB 15（4 分）已知实数m，n满足mn 21，则代数式 m 2+2n2+4m1 的最小值等于 16（4 分）在ABC中，点A到直线BC的距离为d，ABACd，以A为圆心，AC为半径画圆弧，圆弧交 直线BC于点D，过点D作DEAC交直线AB于点E，若BC4，DE1，EDAACD，则AD 三、解答题：三、解答题：7 7 小题，共小题，共 6666 分分 17已知抛物线y1ax 2+bx+c 的顶点A是直线y22x与y32x+4 的交点，且经过直线y32x+4 与y 轴的交点B （1）求点A的坐标； （2）求抛物
6、线的表达式； （3）写出当y1y3时x的取值范围 18如图，在O中，AB是O的直径，点C在O上，ODAC于点D，延长DO交O于点E，连接EC、EB、 BC，若AC6，OD （1）求O的直径； （2）求BEC的面积 19如图，已知锐角ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高 （1）证明：ABDCBE； （2）若ABC和BDE的面积分别是 24 和 6，DE2，求点B到直线AC的距离 20 把一边长为 40cm的正方形硬纸板， 进行适当的剪裁， 折成一个长方体形盒子 （纸板的厚度忽略不计） ， （1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体形 盒子要使
7、折成的长方形体盒子的底面积为 484cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ （2）在（1）中，折成的长方体形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的 正方形的边长；如果没有，说明理由 21如图，AB是O的直径，D、E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CDBD，连 接AC交O于点F，连接AE、DE、DF （1）证明：EC； （2）若E55，求BDF的度数； （3）设DE交AB于点G，若AB10，E是的中点，求EGED的值 22在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式yax 2+（a+1）x，其中 a0 （1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达
8、式； （2）函数yax 2+（a+1）x（a0），若（x 1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点， 若x1+x22，则y1y2，试求a的值； 当x1x22，对任意的x1，x2都有y1y2，试求a的取值范围 23如图 1，在ABC中，ABAC20，BC32，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）以点D 为顶点作ADEB，射线DE交AC边于点E，过A作AFAD交射线DE于F，连接CF （1）求证：ABDDCE； （2）当DEAB时（如图 2），求AE的长； （3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DFCF？若存在，写出此时BD的长；若 不存在，请说明理由 参
9、考答案参考答案 一、选择题：每小题 3 分，共 30 分 1（3 分）如图，O是ABC的外接圆，OBC40，则A等于（ ） A60 B50 C40 D30 【分析】由等腰三角形的性质得出OCBOBC40，由三角形内角和定理得出BOC100，由圆 周角定理得出ABOC50即可 解：OBOC， OCBOBC40， BOC1804040100， ABOC50， 故选：B 2（3 分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A B C D 【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可 解：设单位正方形的边长为 1，给出的三角形三边长分别为，2， A、三角形三边 2，3，
10、与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B、三角形三边 2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C、三角形三边 2，3，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D、三角形三边，4，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误 故选：B 3 （3 分）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在O上，CD垂直平分AB于点D现测得AB8dm， DC2dm，则圆形标志牌的半径为（ ） A6dm B5dm C4dm D3dm 【分析】连接OA，OD，利用垂径定理解答即可 解：连接OA，OD， 点A，B，C在O上，CD垂直平分AB于点DAB8dm，DC2dm， AD4dm， 设
11、圆形标志牌的半径为r，可得：r 242+（r2）2， 解得：r5， 故选：B 4（3 分）已知二次函数yx 2+2mx，以下点可能成为函数顶点的是（ ） A（2，4） B（1，2） C（1，1） D（2，4） 【分析】根据顶点公式求得顶点坐标为（m，m 2），即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定可能 的顶点 解：a1，b2m，c0， m， m 2， 顶点坐标为（m，m 2）， 可能成为函数顶点的是（2，4）， 故选：A 5（3分） 已知一元二次方程x 2+bx30的一根为3， 在二次函数 yx 2+bx3的图象上有三点 、 、，y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By2y
12、1y3 Cy3y1y2 Dy1y3y2 【分析】方法 1、将x3 代入x 2+bx30 中，求 b，得出二次函数yx 2+bx3 的解析式，再根据抛 物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系 方法 2，先求出b的值，代入抛物线解析式中，再将横坐标代入，求出y值，最后比较大小 解：方法 1、把x3 代入x 2+bx30 中，得 93b30，解得 b2， 二次函数解析式为yx 2+2x3， 抛物线开口向上，对称轴为x1， 1，且1（），（1），而， y1y2y3 故选A 方法 2、把x3 代入x 2+bx30 中，得 93b30，解得 b2， 二次函数解析式为yx 2+2x
13、3， 当x时，y1（） 2+2（ ）333.96， 当x时，y2（） 2+2（ ）333.9375， 当x时，y3（） 2+2 32， y1y2y3 故选：A 6（3 分）已知m0，关于x的一元二次方程（x+1）（x2）m0 的解为x1，x2（x1x2），则下列结 论正确的是（ ） Ax112x2 B1x12x2 C1x1x22 Dx11x22 【分析】可以将关于x的方程（x+1） （x2）m0 的解为x1，x2看作直线ym与二次函数y（x+1） （x2）交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求出x1与x2 的取值范围，进而做出判断 解：二次函数y（x+1）（
14、x2）的图象如图所示： 它与x轴的交点坐标为（1，0），（2，0）， 关于x的一元二次方程（x+1）（x2）m0 的解为x1，x2，可以看作是直线ym（m0）与二次函 数y（x+1）（x2）交点的横坐标， 由图象可知x11，x22； x112x2， 故选：A 7（3 分）二次函数yax 2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线x2，图象经过（1，0），下列结论 中，正确的一项（ ） Ac0 B4acb 20 C9a+c3b D5ab 【分析】先根据题意画出草图，再由抛物线与y轴的交点判断c与 0 的关系，根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解：二次函数yax
15、2+bx+c 的对称轴为直线x2，图象经过（1，0）， 抛物线与x轴另一交点为（5，0）， 抛物线与x轴有两个交点，b 24ac0， 4acb 20，B 选项错误； 画出草图，可知抛物线与y轴交于负半轴，则c0，A选项错误； 由图象可知，x3 时，y0，即 9a3b+c0，则 9a+c3b，C选项错误； 2，b4a 图象开口向上，a0， a+bb， a+4ab， 即 5ab，D选项正确 故选：D 8 （3 分）在数学拓展课折叠矩形纸片上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：把ABF 翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；把ADH翻折，点D落在AE边上的点 G处，折
16、痕为AH，点H在CD边上，若AD6，CD10，则（ ） A B C D 【分析】利用翻折不变性可得AEAB10，推出DE8，EC2，设BFEFx，在 RtEFC中，x 222+ （6x） 2，可得 x，设DHGHy，在 RtEGH中，y 2+42（8y）2，可得 y3，由此即可解决 问题 解：四边形ABCD是矩形， CD90，ABCD10，ADBC6， 由翻折不变性可知：ABAE10，ADAG6，BFEF，DHHG， EG4， 在 RtADE中，DE8， EC1082， 设BFEFx，在 RtEFC中有：x 222+（6x）2， x， 设DHGHy，在 RtEGH中，y 2+42（8y）2，
17、y3， EH5， ， 故选：A 9 （3 分）如图，四边形ABCD内接于O，AECB交CB的延长线于点E，若BA平分DBE，AD7，CE5， 则AE（ ） A3 B C D 【分析】连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到BAECDA，ABDACD，从而得到 ACDCDA，得出ACAD7，然后利用勾股定理计算AE的长 解：连接AC，如图， BA平分DBE， ABEABD， ABECDA，ABDACD， ACDCDA， ACAD7， AECB， AEC90， AE2 故选：C 10 （3 分）如图，RtABC中，ACBC，AD平分BAC交BC于点D，DEAD交AB于点E，M为AE的中点，
18、BFBC交CM的延长线于点F，BD4，CD3， 下列结论AEDADC； ACBE12； ； 3BF 4AC，其中结论正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】AED90EAD，ADC90DAC，EADDAC；易证ADEACD，得DE： DADC：AC3：3；由ADEACD和BEDBDA得BE：BDDC：AC；连接DM，可证DM BFAC，得FM：MCBD：DC4：3；易证FMBCMA，得比例线段求解 解：AED90EAD，ADC90DAC， EADDAC， AEDADC 故本选项正确； 如图，作DNAB于N， AD平分BAC交BC于点D， DNCD3， BN， BND
19、ACB90，BDNABC， BDNBAC， ，即， AC3， EADDAC，ADEACD90， ADEACD，得， 故本选项错误； 由知AEDADC， BEDBDA， 又DBEABD， BEDBDA， DE：DABE：BD，由知DE：DADC：AC， BE：BDDC：AC， ACBEBDDC12 故本选项正确； 连接DM， 在 RtADE中，MD为斜边AE的中线， 则DMMA MDAMADDAC， DMBFAC， 由DMBF得FM：MCBD：DC4：3； 由BFAC得FMBCMA，有BF：ACFM：MC4：3， 3BF4AC 故本选项正确 综上所述，正确，共有 3 个 故选：C 二、填空题：每
20、题 4 分，共 24 分 11（4 分）如图，已知D，E分别是ABC的AB，AC边上的点，DEBC，S四边形DBCE8SADE，那么AE：AC 等于 1：3 【分析】由DEBC，即可得ADEABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得 （） 2 ，又由S四边形DBCE8SADE，即可求得SADE：SABC1：9，则可求得AE：AC的值 解：S四边形DBCE8SADE， SABC9SADE， SADE：SABC1：9， DEBC， ADEABC， （） 2 ， AE：AC1：3 故答案为：1：3 12（4 分）写一个实数m的值 2 ，使得二次函数yx 2（m1）x+3，当 x3 时
21、，y随x的增大 而减小 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案 解：由题意可知：该二次函数的对称轴为x， 要使得二次函数yx 2（m1）x+3，当 x3 时，y随x的增大而减小， 3， m5， 故答案为：2（答案不唯一） 13（4 分）如图，在 RtABC中，ACB90，ACBC2，将 RtABC绕A点逆时针旋转 30后得到 RtADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 【分析】先根据勾股定理得到AB2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到 Rt ADERtACB，于是S阴影部分SADE+S扇形ABDSABCS扇形ABD 解：ACB90，ACBC2， AB2， S扇
22、形ABD 又RtABC绕A点逆时针旋转 30后得到 RtADE， RtADERtACB， S阴影部分SADE+S扇形ABDSABCS扇形ABD 故答案为 14（4 分）如图，ABC内接于O，AHBC于点H，若AC24，AH18，O的半径OC13，则AB 【分析】首先作直径AE，连接CE，易证得ABHAEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 O半径 解：作直径AE，连接CE， ACE90， AHBC， AHB90， ACEAHB， BE， ABHAEC， ， AB， AC24，AH18，AE2OC26， AB， 故答案为： 15（4 分）已知实数m，n满足mn 21，则代数式 m 2+2
23、n2+4m1 的最小值等于 4 【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于 0，即可确定 出最小值 解：mn 21，即 n 2m10，m1， 原式m 2+2m2+4m1m2+6m+912（m+3）212， 则代数式m 2+2n2+4m1 的最小值等于（1+3）2124 故答案为：4 16（4 分）在ABC中，点A到直线BC的距离为d，ABACd，以A为圆心，AC为半径画圆弧，圆弧交 直线BC于点D，过点D作DEAC交直线AB于点E，若BC4，DE1，EDAACD，则AD 2 或 2+2 【分析】分两种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理等知识构建方程求解
24、即可 解：分两种情形： 如图 1 中，当点D在线段BC上时 DEAC， ADECAD， ADEC， CADC， DADC， ADAC， ADDCAC，设ADx， DEAC， ， ， 解得x2 如图 2 中，当点D在线段BC的延长线上时， 同法可证：ADDCAC，设ADx， DEAC， ， ， 解得x2+2或22（舍弃）， 综上所述，满足条件的AD的值为 2 或2+2， 故答案为 2 或2+2 三、解答题：7 小题，共 66 分 17已知抛物线y1ax 2+bx+c 的顶点A是直线y22x与y32x+4 的交点，且经过直线y32x+4 与y 轴的交点B （1）求点A的坐标； （2）求抛物线的表达
25、式； （3）写出当y1y3时x的取值范围 【分析】（1）y22x与y32x+4 联立，组成方程组，解方程组即可求得； （2）根据待定系数法即可求得； （3）根据二次函数的性质，结合A、B的坐标即可求得 解：（1）解得， A（1，2）； （2）在直线y32x+4 中，令x0，则y4， B（0，4）， 设抛物线的解析式为ya（x1） 2+2， 代入B（0，4）得，4a+2， 解得a2， 抛物线的表达式为y2（x1） 2+22x24x+4； （3）抛物线与直线y32x+4 的交点为A（1，2），B（0，4）， 当y1y3时x的取值范围是x0 或x1 18如图，在O中，AB是O的直径，点C在O上，OD
26、AC于点D，延长DO交O于点E，连接EC、EB、 BC，若AC6，OD （1）求O的直径； （2）求BEC的面积 【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理解答即可； （2）过点E作EFCB，交CB的延长线于点F，根据三角形面积公式解答即可 解：（1）ODAC，AC6， AD3， OD， OA4， O的直径8； （2）过点E作EFCB，交CB的延长线于点F， AB为直径， ACBCDECFE90， 四边形CDEF为矩形， EFCDAC3，BC2， SBECBCEF33 19如图，已知锐角ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高 （1）证明：ABDCBE； （2）若ABC和BDE的面积分别是 24
27、和 6，DE2，求点B到直线AC的距离 【分析】（1）由有两个角分别相等的三角形相似证明即可； （2） 利用两组边成比例夹角相等的两个三角形相似判定BEDBCA，再利用相似三角形的面积比等于 相似比的平方，得出比例式，求得AC的值，然后利用三角形的面积公式求得答案即可 解：（1）证明：AD、CE分别是BC、AB边上的高， ADBCEB90， 又BB， ABDCBE； （2）ABDCBE， ， 又BB， BEDBCA， ABC和BDE的面积分别是 24 和 6，DE2， ， AC4， 点B到直线AC的距离为：6 20 把一边长为 40cm的正方形硬纸板， 进行适当的剪裁， 折成一个长方体形盒子
28、（纸板的厚度忽略不计） ， （1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体形 盒子要使折成的长方形体盒子的底面积为 484cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ （2）在（1）中，折成的长方体形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的 正方形的边长；如果没有，说明理由 【分析】（1）假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（402x） 2484，求出即可； （2）假设剪掉的正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm 2，则 y与x的函数关系为：y4（402a） a，利用二次函数最值求出即可 解：（1）设剪掉的正方形的边长为x
29、cm 则（402x） 2484， 即 402x22， 解得x131（不合题意，舍去），x29， 剪掉的正方形的边长为 9cm （2）侧面积有最大值 设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm 2， 则y与a的函数关系为：y4（402a）a， 即y8a 2+160a， 即y8（a10） 2+800， a10 时，y最大800 即当剪掉的正方形的边长为 10cm时，长方形盒子的侧面积最大为 800cm 2 21如图，AB是O的直径，D、E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CDBD，连 接AC交O于点F，连接AE、DE、DF （1）证明：EC； （2）若E55，求BDF的
30、度数； （3）设DE交AB于点G，若AB10，E是的中点，求EGED的值 【分析】（1）直接利用圆周角定理得出ADBC，再利用线段垂直平分线的性质得出ABAC，即可得出 EC； （2）利用圆内接四边形的性质得出AFD180E，进而得出BDFC+CFD，即可得出答案； （3）根据AB的长，即可求出AE的长，再判断AEGDEA，求出EGED的值 【解答】证明：（1）连接AD， AB是O的直径， ADB90，即ADBC， CDBD， AD垂直平分BC， ABAC， BC， 又BE， EC； （2）四边形AEDF是O的内接四边形， AFD180E， 又CFD180AFD， CFDE55， 又EC55，
31、 BDFC+CFD110； （3）连接OE， AB10， E是的中点，AB是O的直径， AOE90， AOOE5， AE5， E是的中点， ADEEAB， AEGDEA， ， 即EGEDAE 250 22在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式yax 2+（a+1）x，其中 a0 （1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式； （2）函数yax 2+（a+1）x（a0），若（x 1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点， 若x1+x22，则y1y2，试求a的值； 当x1x22，对任意的x1，x2都有y1y2，试求a的取值范围 【分析】（1）直接将点（1，3）代入即可
32、； （2）利用等式的性质，求解a；由已知当x1x22，对任意的x1，x2都有y1y2，则在x1x2 2 时，二次函数是递增的，结合图象即可求解 解：（1）函数图象过点（1，3）， 将点代入yax 2+（a+1）x， 解得a2， 二次函数的解析式为y2x 2x； （2）（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点， x1x2， y1y2， ax1 2+（a+1）x 1ax2 2+（a+1）x 2， a（x1+x2）（x1x2）（a+1）（x2x1）， a（x1+x2）（a+1）， x1+x22， a； 函数yax 2+（a+1）x 的对称轴是x， x1x22，对任意的x1，x2都有y
33、1y2， 当a0，2 时，0a； 0a； 当a0 时，不符合题意舍去； 0a 23如图 1，在ABC中，ABAC20，BC32，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）以点D 为顶点作ADEB，射线DE交AC边于点E，过A作AFAD交射线DE于F，连接CF （1）求证：ABDDCE； （2）当DEAB时（如图 2），求AE的长； （3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DFCF？若存在，写出此时BD的长；若 不存在，请说明理由 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BACB，根据三角形的外角性质得到BADCDE，根据 两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）证明ABD
34、CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE； （3）如图 3 中，作FHBC于H，AMBC于M，ANFH于N根据勾股定理求出AM，证明AFNADM， 根据相似三角形的性质求出MH，根据等腰三角形的性质计算，得到答案 【解答】（1）证明：ABAC， BACB， ADE+CDEB+BAD，ADEB， BADCDE，又BACB， BADDCE （2）解：DEAB， CDECBA， CDEABD， ABDCBA， ，即， 解得，BD， DEAB， ，即， 解得，AE （3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DFCF 理由：如图 3，作FHBC于H，AMBC于M，ANFH于N 则四边形AMHN为矩形， MAN90，MHAN， ABAC，AMBC， BMCMBC16， 在 RtABM中，由勾股定理，得AM12， tanB， ADEB， tanADE， ANFH，AMBC， ANF90AMD， DAF90MAN， NAFMAD， AFNADM， ，即， 解得，AN9， MHAN9， CHCMMH7， FDFC，FHCD， CD2CH14， BDBCCD18
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