1、2020-2021 学年河南省九年级上学年河南省九年级上期中数学试卷（期中数学试卷（A 卷）卷） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代 号字母填在题后括号内号字母填在题后括号内 1下列函数中，是反比例函数的为（ ） Ay2x+1 By Cy D2yx 2如图所示的几何体，下列说法正确的是（ ） A主视图和左视图相同 B主视图和俯视图相同 C左视图和俯视图相同 D三视图各不相同 3有一首对子歌中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空现将“天，雨，大，
2、空”四个字书写在材质、 大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天” 、 “空”二字的概率为（ ） A B C D 4反比例函数 y图象上有三个点（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3） ，其中 x10 x2x3，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy1y3y2 Dy3y2y1 5如图，l1l2l3，直线 AB，CD 与 l1、l2、l3分别相交于点 A、O、B 和点 C、O、D若，CD6， 则 CO 的长是（ ） A2.4 B3 C3.6 D4 6如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC6，BD8，E
3、F 为过点 O 的一条直线，则图中 阴影部分的面积为（ ） A4 B6 C8 D12 7若关于 x 的方程（k1）x22x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的值可以为（ ） A3 B7 C1 D1 8如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的 A 端时，杠杆绕 C 点转动，另一端 B 向上翘 起，石头就被撬动现有一块石头，要使其滚动，杠杆的 B 端必须向上翘起 10cm，已知杠杆的动力臂 AC 与阻力臂 BC 之比为 5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的 A 端向下压（ ） A100cm B60cm C50cm D10cm 9如图，在 RtABC 中，按以下步骤作图：分别
4、以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，弧线两 两交于 P、Q 两点，作直线 PQ，与边 AB、BC 分别交于 D、E 两点，连接 CD、AE，AE、CD 交于点 F在 下列说法中：ADC2DCB；AEBC；AFEFDFCF；若 AB8，BC10，则ADC 的周长为 14其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方 式，绕点 O 连续旋转 2021 次得到正方形 OA2021B2021C2021，如果点 A 的坐标为（1，0） ，那么点 B2021的 坐标为（
5、 ） A （1，1） B （0，） C （0，） D （1，1） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11在一个不透明的袋子中有 1 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入 x 个白球后， 从袋子中随机摸出 1 个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在 0.95 左右，则 x 12等腰三角形的两边恰为方程 x27x+100 的根，则此等腰三角形的周长为 13如图，在反比例函数 y1和 y2，B 的图象上取 A、B 两点，已知 ABx 轴，AOB 的面积为 7， 则 k 14如图，王华晚上由路灯 A 下的 B
6、 处走到 C 处时，测得影子 CD 的长为 1 米，继续往前走 3 米到达 E 处 时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度 AB 米 15如图，矩形 ABCD 中，AB5，BC8，点 E 为 AD 边上不与端点重合的一个动点，把ABE 沿直线 BE 折叠，当点 A 对应点 F 刚好落在矩形的对称轴上时，AE 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16解下列方程： （1）2x25x+10； （2） （x+1） （x2）4 17已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m220 （1
7、）若该方程有两个实数根，求 m 的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且（x1x2）2+m221，求 m 的值 18如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（2，1） ，B（1，4） ，C（3，3） （1）画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90得到的A1BC1； （2）以原点 O 为位似中心，位似比为 2：1，在 y 轴的左侧，画出将 ABC 放大后的A2B2C2，并写出点 A2的坐标 19如图，A、C 为 x 轴上两点，以 AC 为对角线构造矩形 ABCD，反比例函数 y（x0）经过点 D，已 知点 B 坐标为（0，4） ，点 P 坐标为（3，0） 提示：
8、已知 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，点 M（x，y）为 线段 AB 的中点，则有 x，y （1）求反比例函数解析式； （2）求直线 AB 的解析式 20如图，平行四边形 ABCD 中，AB3，BC5，对角线 ACAB，点 E 为 BC 边上一动点，过点 E 作 EF AB，EF，AC 交于点 P，连接 AE，CF （1）若 AE 取最小值时，求四边形 AECF 的面积； （2）当点 E 运动到 BC 的中点时，判断四边形 AECF 的形状，请说明你的理由 21小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图 1，图 2 是晒衣架的侧面示意图，立杆 AB、CD 相交于点 O， B、D 两点在地面上
9、，经测量得到 ABCD136cm，OAOC51cm，OEOF34cm，现将晒衣架完 全稳固张开，扣链 EF 成一条线段，且 EF32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才 不会拖在地面上？ 22如图，以ABC 顶点 A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 AB，AC 于 M，N 两点，再分别以 M， N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧交于 P 点，连接 AP 交 BC 于 D （1）猜想 AB，AC，BD，CD 四条线段之间的关系，并给出证明； （2）若ACB90，CD，BD2； 求B 的度数； ADm，ACn，且一元二次方程 x2mxn0 两根为 x1，x2，求 x1
10、2+x22的值 23 矩形 AOBC 在平面直角坐标系中的位置如图所置， 已知点 C 的坐标为 （10，6） ， 点 M 为 AC 边上一点， 且 MC4MA （1）求直线 AB 的解析式； （2）在 x 轴上是否存在点 E，使得直线 ME 平分矩形 AOBC 的面积，若存在，请求出点 E 的坐标，若不 存在，请说明理由； （3）若点 P 为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点 Q，使得以 A、O、P、Q 为顶点的四边形为平 行四边形，请直接写出点 Q 的坐标 2020-2021 学年河南省九年级（上）期中数学试卷（学年河南省九年级（上）期中数学试卷（A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与
11、试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列函数中，是反比例函数的为（ ） Ay2x+1 By Cy D2yx 【分析】根据反比例函数的定义，解析式符合（k0）这一形式的为反比例函数 【解答】解：A、是一次函数，错误； B、不是反比例函数，错误； C、符合反比例函数的定义，正确； D、是正比例函数，错误 故选：C 2如图所示的几何体，下列说法正确的是（ ） A主视图和左视图相同 B主视图和俯视图相同 C左视图和俯视图相同 D三视图各不相同 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯 视图，可得答案 【解答】解：从正面看，底层是一
12、个较大的正方形，上层右边是一个小正方形； 从左边看，底层是一个较大的正方形，上层左边是一个小正方形； 从上边看，是一个较大的正方形，正方形内部的右上角是一个小正方形 所以三视图各不相同 故选：D 3有一首对子歌中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、 大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天” 、 “空”二字的概率为（ ） A B C D 【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中恰为天” 、 “空”的有 2 种结果， 恰为“天”
13、 、 “空”的概率为， 故选：D 4反比例函数 y图象上有三个点（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x3，y3） ，其中 x10 x2x3，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy1y3y2 Dy3y2y1 【分析】先根据反比例函数 y的系数30 判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，再根据 x10 x2x3，判断出 y1、y2、y3的大小 【解答】解：反比例函数 y中，k30， 此函数的图象在二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大， x10 x2x3， y10、y2y30， y2y3y1 故选：B 5如图，
14、l1l2l3，直线 AB，CD 与 l1、l2、l3分别相交于点 A、O、B 和点 C、O、D若，CD6， 则 CO 的长是（ ） A2.4 B3 C3.6 D4 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答 【解答】解：l1l2l3， ， ， 即， CO3.6， 故选：C 6如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AC6，BD8，EF 为过点 O 的一条直线，则图中 阴影部分的面积为（ ） A4 B6 C8 D12 【分析】根据菱形的性质可证出CFOAEO，可将阴影部分面积转化为BOC 的面积，根据菱形的 面积公式计算即可 【解答】解：四边形 ADCB 为菱
15、形， OCOA，ABCD，FCOOAE， FOCAOE， CFOAEO（ASA） ， SCFOSAOE， SCFO+SBOFSBOC， SBOCSABCDACBD686， 故选：B 7若关于 x 的方程（k1）x22x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的值可以为（ ） A3 B7 C1 D1 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出 k 的取值范围，再结合四个选项即可得出结论 【解答】解：关于 x 的方程（k1）x22x+10 有两个不相等的实数根， ， k2 且 k1 故选：C 8如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的
16、A 端时，杠杆绕 C 点转动，另一端 B 向上翘 起，石头就被撬动现有一块石头，要使其滚动，杠杆的 B 端必须向上翘起 10cm，已知杠杆的动力臂 AC 与阻力臂 BC 之比为 5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的 A 端向下压（ ） A100cm B60cm C50cm D10cm 【分析】利用相似比解题，在实际操作过程中，用力方向是平行的，构成两个相似三角形 【解答】解：假设向下下压 x 厘米，则5，解得 x50 故选：C 9如图，在 RtABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，弧线两 两交于 P、Q 两点，作直线 PQ，与边 AB、BC 分别
17、交于 D、E 两点，连接 CD、AE，AE、CD 交于点 F在 下列说法中：ADC2DCB；AEBC；AFEFDFCF；若 AB8，BC10，则ADC 的周长为 14其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用基本作图得到 DE 垂直平分 BC，则 DBDC，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性 质可对进行判断； 证明ADFCEF， 则利用相似比可对进行判断； 先利用勾股定理计算出 AC， 则利用等线段代换得到ADC 的周长AB+AC，从而可对进行判断 【解答】解：由作法得 DE 垂直平分 BC， DBDC， BDCB， ADCB+DCB2DCB，所以正确； DE
18、 垂直平分 BC， BECE， 而BAC90， AE 为斜边 BC 边上的中线， AEBC，所以正确； AEBE， BEAB， BDCB， EABDCB， FADFCE，AFDCFE， ADFCEF， AF：CFDF：EF， AFEFDFCF，所以正确； 在 RtABC 中，AC6， DBDC， ADC 的周长AD+CD+ACAD+DB+ACAB+AC8+614，所以正确 故选：D 10如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方 式，绕点 O 连续旋转 2021 次得到正方形 OA2021B2021C2021，如果点 A 的坐标
19、为（1，0） ，那么点 B2021的 坐标为（ ） A （1，1） B （0，） C （0，） D （1，1） 【分析】根据图形可知：点 B 在以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，相当于将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45，可得对应 点 B 的坐标，根据规律发现是 8 次一循环，可得结论 【解答】解：四边形 OABC 是正方形，且 OA1， B（1，1） ， 连接 OB， 由勾股定理得：OB， 由旋转得：OBOB1OB2OB3， 将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1
20、B1C1， 相当于将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45，依次得到AOBBOB1B1OB245， B1（0，） ，B2（1，1） ，B3（，0） ，B4（1，1） ，B5（0，） ， 发现是 8 次一循环，所以 202182525， 点 B2021的坐标为（0，） 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11在一个不透明的袋子中有 1 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入 x 个白球后， 从袋子中随机摸出 1 个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在 0.95 左右，则 x 16 【分析】根据在同样条件下，大量反复试验时，随
21、机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例 关系入手，由白球的频率，即可求出 x 的值 【解答】解：根据题意可得： 0.95， 解得：x16， 经检验 x16 是原方程的解， 所有 x 的值为 16； 故答案为：16 12等腰三角形的两边恰为方程 x27x+100 的根，则此等腰三角形的周长为 6 或 12 或 15 【分析】先利用因式分解法中的十字相乘法求得方程的根，再利用三角形的三边关系及等腰三角形的性 质求得答案即可 【解答】解：x27x+100， （x2） （x5）0， （x2）0 或（x5）0， x12，x25， 等腰三角形的两边恰为方程 x27x+100 的根，且 2+25，
22、该三角形的三边分别为 2，2，2，或 2，5，5，或 5，5，5 此等腰三角形的周长为：2+2+26，或 2+5+512，或 5+5+515 故答案为：6 或 12 或 15 13如图，在反比例函数 y1和 y2，B 的图象上取 A、B 两点，已知 ABx 轴，AOB 的面积为 7， 则 k 20 【分析】延长 BA 交 y 轴于 E，根据反比例函数 k 的几何意义得到 SAOE3，SBOE|k|，则 |k|37，解得即可 【解答】解：延长 BA 交 y 轴于 E，如图， SAOE3，SBOE|k|， 而AOB 的面积为 7， SBOESAOE7， 即|k|37， 而 k0， k20 故答案为
23、 20 14如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD 的长为 1 米，继续往前走 3 米到达 E 处 时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度 AB 6 米 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光 线三者构成的两个直角三角形相似解答 【解答】解：， 当王华在 CG 处时，RtDCGRtDBA，即， 当王华在 EH 处时，RtFEHRtFBA，即， ， CGEH1.5 米，CD1 米，CE3 米，EF2 米， 设 ABx，BCy， ，即，即 2（y+1）y+5， 解得：y
24、3， 则， 解得，x6 米 即路灯 A 的高度 AB6 米 15如图，矩形 ABCD 中，AB5，BC8，点 E 为 AD 边上不与端点重合的一个动点，把ABE 沿直线 BE 折叠，当点 A 对应点 F 刚好落在矩形的对称轴上时，AE 的长为 或 【分析】分两种情况：过 F 作 MNCD 交 AD 于 M，交 BC 于 N，则直线 MN 是矩形 ABCD 的对称 轴，得出 AMBNAD4，由勾股定理得到 FN3，求得 FM2，再由勾股定理解得 FE 即可； 过 F 作 PQAD 交 AB 于 P， 交 CD 于 Q； 求出EBF30， 由三角函数求出 AEFEFBtan30 【解答】解：分两种
25、情况： 如图 1，过 F 作 MNCD 交 AD 于 M，交 BC 于 N， 则直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴， AMBNAD4， ABE 沿 BE 折叠得到FBE， FEAE，FBAB5， FN3， FM2， FE2EM2+FM2， FE2（4FE）2+22， 解得：FE， AE； 如图 2，过 F 作 PQAD 交 AB 于 P，交 CD 于 Q， 则直线 PQ 是矩形 ABCD 的对称轴， PQAB，APPB，ADPQBC， FB2PB， PFB30， FBC30， EBF30， AEFEFBtan305； 综上所述：AE 的长为或； 故答案为：或 三解答题三解答题 16解下列方
26、程： （1）2x25x+10； （2） （x+1） （x2）4 【分析】 （1）先求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可； （2）整理后分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解： （1）a2，b5，c1， b24ac（5）242117， x， x1，x2； （2）方程变形得：x2x60， 分解因式得： （x3） （x+2）0， 解得：x13，x22 17已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m220 （1）若该方程有两个实数根，求 m 的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且（x1x2）2+m221，求 m 的值 【分析】 （1）利用判别
27、式的意义得到（2m+1）24（m22）0，然后解不等式得到 m 的范围，再 在此范围内找出最小整数值即可； （2） 利用根与系数的关系得到 x1+x2 （2m+1） ， x1x2m22， 再利用 （x1x2） 2+m221 得到 （2m+1） 24（m22）+m221，接着解关于 m 的方程，然后利用（1）中 m 的范围确定 m 的值 【解答】解： （1）根据题意得（2m+1）24（m22）0， 解得 m， 所以 m 的最小整数值为2； （2）根据题意得 x1+x2（2m+1） ，x1x2m22， （x1x2）2+m221， （x1+x2）24x1x2+m221， （2m+1）24（m22）+
28、m221， 整理得 m2+4m120，解得 m12，m26， m， m 的值为 2 18如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（2，1） ，B（1，4） ，C（3，3） （1）画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90得到的A1BC1； （2）以原点 O 为位似中心，位似比为 2：1，在 y 轴的左侧，画出将 ABC 放大后的A2B2C2，并写出点 A2的坐标 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出 A、C 的对应点 A1、C1即可； （2）延长 OA 到 A2使 OA22OA，延长 OB 到 B2使 OB22OB，延长 OC 到 C2使 OC22OC，从而得 到A2B2
29、C2，再点 A2的坐标 【解答】解： （1）如图，A1BC1为所作； （2）如图，A2B2C2为所作，点 A2的坐标（4，2） 19如图，A、C 为 x 轴上两点，以 AC 为对角线构造矩形 ABCD，反比例函数 y（x0）经过点 D，已 知点 B 坐标为（0，4） ，点 P 坐标为（3，0） 提示：已知 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，点 M（x，y）为 线段 AB 的中点，则有 x，y （1）求反比例函数解析式； （2）求直线 AB 的解析式 【分析】 （1）根据矩形的性质即可求得 D 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）利用勾股定理求得 PB5，进而根据
30、矩形的性质求得 APBP5，即可求得 A 的坐标，然后根据 待定系数法即可求得直线 AB 的解析式 【解答】解： （1）矩形 ABCD 中，点 B 坐标为（0，4） ，点 P 坐标为（3，0） ， D（6，4） ， 反比例函数 y（x0）经过点 D， k6424， 反比例函数解析式为 y， （2）点 B 坐标为（0，4） ，点 P 坐标为（3，0） ， OB4，OP3， PB5， P 是矩形对角线的交点， BD2PB10， ACBD10， AP5， A（2，0） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx4， 把 A（2，0）代入得，02k4， 解得 k2 直线 AB 的解析式为 y2x4 20如图
31、，平行四边形 ABCD 中，AB3，BC5，对角线 ACAB，点 E 为 BC 边上一动点，过点 E 作 EF AB，EF，AC 交于点 P，连接 AE，CF （1）若 AE 取最小值时，求四边形 AECF 的面积； （2）当点 E 运动到 BC 的中点时，判断四边形 AECF 的形状，请说明你的理由 【分析】 （1）由垂线段最短可知 AE 取最小值时 AEBC；由两组边分别平行的四边形是平行四边形判定 四边形 ABEF 是平行四边形；由勾股定理得出 AC 的值；将梯形 AECF 的面积转化为 RtABC 的面积， 计算即可； （2）当点 E 运动到 BC 的中点时，四边形 AECF 为菱形由
32、直角三角形的斜边中线性质及平行四边形的 性质得出条件证明四边形 AECF 是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即 可 【解答】解： （1）AE 取最小值， AEBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， AFBE， 又EFAB， 四边形 ABEF 是平行四边形， AFBE； ACAB， BAC90， RtABC 中，AB3，BC5， AC4； AFBE， AF+ECBE+ECBC5， S四边形AECF （AF+EC） AE BCAE SABC ABAC 34 6； AE 取最小值时，四边形 AECF 的面积为 6； （2）当点 E 运动到 BC 的中点时，四边形 AECF
33、 为菱形理由如下： E 为 BC 的中点，BAC90， AEBCECBE， 四边形 ABEF 是平行四边形， AFBE， AFAEEC 在平行四边形 ABCD 中，ADBC， AFEC， 又AFEC， 四边形 AECF 是平行四边形， 又AFAE， 四边形 AECF 为菱形 21小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图 1，图 2 是晒衣架的侧面示意图，立杆 AB、CD 相交于点 O， B、D 两点在地面上，经测量得到 ABCD136cm，OAOC51cm，OEOF34cm，现将晒衣架完 全稳固张开，扣链 EF 成一条线段，且 EF32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才 不会拖在
34、地面上？ 【分析】先根据等角对等边得出OACOCA（180BOD）和OBDODB（180 BOD） ，进而利用平行线的判定得出即可，再证明 RtOEMRtABH，进而得出 AH 的长即可 【解答】解：AB、CD 相交于点 O， AOCBOD OAOC， OACOCA（180BOD） ， 同理可证：OBDODB（180BOD） ， OACOBD， ACBD， 在 RtOEN 中，ON30（cm） ， 过点 A 作 AMBD 于点 M， 同理可证：EFBD， ABMOEN，则 RtOENRtABM， ，AM120（cm） ， 所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于 120cm 时，连衣裙才不会拖落到地
35、面上 22如图，以ABC 顶点 A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 AB，AC 于 M，N 两点，再分别以 M， N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧交于 P 点，连接 AP 交 BC 于 D （1）猜想 AB，AC，BD，CD 四条线段之间的关系，并给出证明； （2）若ACB90，CD，BD2； 求B 的度数； ADm，ACn，且一元二次方程 x2mxn0 两根为 x1，x2，求 x12+x22的值 【分析】 （1）过点 B 作 BEAC 交射线 AD 与 E，由角平分线的性质和平行线的性质可得EBAD， 可得 ABBE，通过证明ACDEBD，可得结论； （2）由 sinABC，
36、可求解； 先求出 m，n 的值，由根与系数关系，可求解 【解答】解： （1）， 理由如下：如图，过点 B 作 BEAC 交射线 AD 与 E， 由题意可得：AP 平分BAC， CADBAD， BEAC， CADE， EBAD， ABBE， BEAC， ACDEBD， ， ； （2）ACB90， sinABC， ABC30； ABC30，ACB90， BAC60， AP 平分 BAC， CAD30， AD2CD2，ACCD3， m2，n3， 一元二次方程 x2mxn0 两根为 x1，x2， x1+x2m，x1x2n， x12+x22（x1+x2）22x1x2m2+2n12+618 23 矩形 A
37、OBC 在平面直角坐标系中的位置如图所置， 已知点 C 的坐标为 （10，6） ， 点 M 为 AC 边上一点， 且 MC4MA （1）求直线 AB 的解析式； （2）在 x 轴上是否存在点 E，使得直线 ME 平分矩形 AOBC 的面积，若存在，请求出点 E 的坐标，若不 存在，请说明理由； （3）若点 P 为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点 Q，使得以 A、O、P、Q 为顶点的四边形为平 行四边形，请直接写出点 Q 的坐标 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）由 S四边形AMEO（AM+OE）AO（2+x）660，即可求解； （3）分 AO 是边、AO 是对角线利用平移的性质
38、和中点公式，分别求解即可 【解答】解： （1）由点 C 的坐标知，ACOB10，AOBC6， 则点 A（0，6） 、点 B（10，0） ， 设直线 AB 的表达式为 ykx+m，则， 解得， 故直线 AB 的表达式为 yx+6； （2）存在，理由： 矩形 AOBC 的面积AOBO10660， MC4MA，则 AM2，MC8， 设点 E（x，0） ， 则 S四边形AMEO（AM+OE）AO（2+x）660，解得 x8， 故点 E 的坐标为（8，0） ； （3）点 P 为矩形的中心，由中点公式得，点 P（5，3） ， 而点 A（0，6） 、点 O（0，0） ，设点 Q（a，b） ， 当 AO 是边时， 由 O 向右平移 0 个单位向上平移 6 个单位得到点 A，同样点 P（Q）向右平移 0 个单位向上平移 6 个单 位得到点 Q（P） ， 则，解得； 当 AO 是对角线时， 由中点公式得：，解得， 故点 Q 的坐标为（5，9）或（5，3）或（5，3）
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