1、2018-2019 学年浙江省台州市玉环市七年级（下）期末数学试卷学年浙江省台州市玉环市七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确答案，多选、不选、错选，分，每小题只有一个正确答案，多选、不选、错选， 均不得分）均不得分） 1 （3 分）北京 2022 年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的在下面如图的四个图中，能由如图 经过平移得到的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列各点中，在第二象限的是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3 ） D （1，3） 3 （3
2、分）下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A调查一批新型节能灯的使用寿命 B调查玉环市的空气污染情况 C调查国产航母的所有零部件质量 D调查台州市七年级学生对五水共治的知晓率 4 （3 分）如果三角形的两边长分别是 5 厘米、7 厘米，那么这个三角形第三边的长可能是（ ） A12 厘米 B10 厘米 C2 厘米 D1 厘米 5 （3 分）下列命题中，是假命题的是（ ） A若 3a3b，则 3+a3+b B4 的平方根是2 C同旁内角互补，两条直线平行 D的算术平方根是 3 6 （3 分）下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 ab，则 am2bm2 C若 a
3、c2bc2，则 ab D若 mn，则 7 （3 分）如图，CDAB，1120，280，则E 的度数是（ ） A40 B60 C80 D120 8 （3 分） 九章算术 “方程”章，有许多关于一次方程组的内容，现有上等谷 3 束，中等谷 5 束，可得的 粮食比上等谷 2 束，中等谷 3 束，可得的粮食多 9 斗，则上等谷 2 束，中等谷 4 束，可得粮食（ ） A9 斗 B18 斗 C27 斗 D36 斗 9 （3 分）有一个数值转换器原理如图，当输入一个 100 以内的正整数 x 值使输出 y 值为，则符合条 件 x 值的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10 （3 分）如
4、图，有公共顶点 A，B 的正五边形 ABEFG 和正方形 ABCD 按如图所示位置摆放，连接 AC 交 正五边形于点 M，过 C 作 CNGF 交 AD 于 N 点，则ACN 的度数为（ ） A10 B9 C11 D12 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 10 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 11 （3 分）27 的立方根为 12 （3 分）一个容量为 60 的样本，样本中最大值是 172，最小值是 150，取组距为 3，则该样本可以分为 组 13 （3 分）不等式 2x31 的正整数解为 14 （3 分）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线如图，小华
5、的画法：将含 30角三角 尺的最长边与直线 a 重合，用虚线作出一条最短边所在直线；再次将含 30角三角尺的最短边与虚线 重合，画出最长边所在直线 b，则 ba你认为他画图的依据是 15 （3 分）如图，已知12365，则4 的度数为 16 （3 分）若方程 xy1 的一个解与方程组的解相同，则 k 的值为 17 （3 分）如图，在ABC 中，ADBC，AE 平分BAC，若140，220，则B 18 （3 分）已知点 P 的坐标（2a，3a+6） ，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标是 19 （3 分）若关于 x 的一元一次不等式组，有 4 个整数解，则 m 的取值范围是 20
6、（3 分）如果有一种新的运算定义为： “T（a，b），其中 a、b 为实数，且 a+b0” ， 比如：T（4，3），T（3，4），若 T（2m，32m）4， 则 m 的值是 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，其中第小题，其中第 21.22.2324.25 题每题题每题 6 分，分，26 题题 8 分，分，27 题题 10 分，分，28 题题 12 分，分， 共共 60 分）分） 21 （6 分） （1）计算： （2）2+|1|； （2）解方程组： 22 （6 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 23 （6 分）在下列网格中建立平面直角坐标系如图，每个小正方形的边长均为
7、1 个单位长度已知 A（1， 1） 、B（3，4）和 C（4，2） （1）在图中标出点 A、B、C （2）将点 C 向下平移 3 个单位到 D 点，将点 A 先向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位到 E 点，在 图中标出 D 点和 E 点 （3）求EBD 的面积 SEBD 24 （6 分）在ABC 中，A50，B70，ACB 的平分线交 AB 于 D，DEBC 交 AC 于 E，求 BDC、EDC 的度数 25 （6 分）某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生 对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项） ，并将调查结果绘制成如图两
8、幅统计图，请 你结合图中信息解答问题 （1）将条形统计图补充完整； （2）本次抽样调查的样本容量是 ； （3）已知该校有 1200 名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数 26 （8 分）某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球 的价格相同，每个篮球的价格相同） ，若购买 3 个足球和 2 个篮球共需 490 元，购买 2 个足球和 5 个篮球 共需 730 元 （1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元？ （2）根据该中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共 80 个，要求购买足球和 篮球的总费用不超过 7810 元这所中学
9、最多可以购买多少个篮球？ 27 （10 分）规定符号 f（x） （x 是正整数）满足下列性质： 当 x 为质数时，f（x）1（质数：是指除了本身和 1 之外，再没有其他因数的数） 对于任意两个正整数 m 和 n，f（mn）mf（n）+nf（m） 例如：f（6）（23）2f（3）+3f（2）21+315 （1）直接写出 f（3） ，f（4） （2）求 f（12）和 f（24）的值； （3）求不等式 f（12x）12f（x）4x+f（24）的最小正整数解 28 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，ABx 轴，A（a，b） ，B（a，0） ，过 B 作 CBAO 交 y 轴于点 C，C（0，b
10、） ，且满（a+b3）2+0 （1）ABO 的面积为 （2）如图 1，分别作OAB 与OBC 的角平分线交于点 D，求D 的度数 （3）如图 2，将OBC 沿 x 轴向左平移 （记为OBC） ，分别作OAB 与BBC的角平分线交于点 D， 则OBC”在平移过程中，D 的度数是否会变化？若不变，请求出度数，若变化，请说明理由 （4）如图 3，在OBC 向左平移过程中（记为OBC） ，连接 AB，AC，若构成ABC面积等于 AOB 面积的一半，直接写出移动距离 BB的长 2018-2019 学年浙江省台州市玉环市七年级（下）期末数学试卷学年浙江省台州市玉环市七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题
11、解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确答案，多选、不选、错选，分，每小题只有一个正确答案，多选、不选、错选， 均不得分）均不得分） 1 （3 分）北京 2022 年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的在下面如图的四个图中，能由如图 经过平移得到的是（ ） A B C D 【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答 【解答】解：观察各选项图形可知，C 选项的图案可以通过平移得到 故选：C 【点评】本题考查了利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的
12、形状和大小， 学生易混淆图形的平移与旋转或翻转 2 （3 分）下列各点中，在第二象限的是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3 ） D （1，3） 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、 （1，3）在第二象限，故本选项正确； B、 （1，3）在第四象限，故本选项错误； C、 （1，3）在第三象限，故本选项错误； D、 （1，3）在第一象限，故本选项错误 故选：A 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个 象限的符号特点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限（，+） ；第三象限（，） ；第
13、四象限（+， ） 3 （3 分）下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A调查一批新型节能灯的使用寿命 B调查玉环市的空气污染情况 C调查国产航母的所有零部件质量 D调查台州市七年级学生对五水共治的知晓率 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结 果比较近似 【解答】解：A、调查一批新型节能灯的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，故此选项不合 题意； B、调查玉环市的空气污染情况，应采用抽样调查，故此选项不合题意； C、调查国产航母的所有零部件质量，意义重大，应采用全面调查，故此选项符合题意； D、调查台州市七年级学生对五水共治的知晓
14、率，人数众多，应采用抽样调查，故此选项不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了全面调查与抽样调查的优缺点：全面调查收集的到数据全面、准确，但一般 花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本 是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度 4 （3 分）如果三角形的两边长分别是 5 厘米、7 厘米，那么这个三角形第三边的长可能是（ ） A12 厘米 B10 厘米 C2 厘米 D1 厘米 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案 【解答】解：三角形的两边长分别是 5 厘米、7 厘米， 设这个三角形第三边长为 x，则
15、x 的取值范围是：2x12， 故这个三角形第三边的长可能是 10cm 故选：B 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边长得取值范围是解题关键 5 （3 分）下列命题中，是假命题的是（ ） A若 3a3b，则 3+a3+b B4 的平方根是2 C同旁内角互补，两条直线平行 D的算术平方根是 3 【分析】根据不等式的性质、平方根、平行线的判定和算术平方根进行判断即可 【解答】解：A、若 3a3b，则 3+a3+b，是真命题； B、4 的平方根是2，是真命题； C、同旁内角互补，两条直线平行，是真命题； D、的算术平方根是，原命题是假命题； 故选：D 【点评】本题考查了命题与定理：判断
16、一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分 组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有 些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 6 （3 分）下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 ab，则 am2bm2 C若 ac2bc2，则 ab D若 mn，则 【分析】利用不等式的性质和 c0 对 A 进行判断；利用不等式的性质和 m0 对 B 进行判断；利用不等 式的性质对 C、D 进行判断 【解答】解：A、若 acbc，c0，所以 ab，所以 A 选项错误； B、若 ab，m0，则 am2bm2不成立，所
17、以 B 选项错误； C、若 ac2bc2，c20，则 ab，所以 C 选项正确； D、若 mn，则mn，所以 D 选项错误 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母 的式子，不等号的方向不变等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式 的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 7 （3 分）如图，CDAB，1120，280，则E 的度数是（ ） A40 B60 C80 D120 【分析】首先由平行线的性质得出1 等于三角形 CDE 的外角，再由三角形的外角性质求出E 【解答】解：CDAB， 1EDF12
18、0， EEDF21208040 故选：A 【点评】此题考查的知识点是平行线的性质及三角形的外角性质，关键是由平行线的性质得出三角形 CED 的外角 8 （3 分） 九章算术 “方程”章，有许多关于一次方程组的内容，现有上等谷 3 束，中等谷 5 束，可得的 粮食比上等谷 2 束，中等谷 3 束，可得的粮食多 9 斗，则上等谷 2 束，中等谷 4 束，可得粮食（ ） A9 斗 B18 斗 C27 斗 D36 斗 【分析】设每束上等谷可得粮食 x 斗，每束中等谷可得粮食 y 斗，根据“上等谷 3 束，中等谷 5 束，可 得的粮食比上等谷 2 束， 中等谷 3 束， 可得的粮食多 9 斗” ， 即可
19、得出 x+2y9， 将其代入 2x+4y2 （x+2y） 中即可求出结论 【解答】解：设每束上等谷可得粮食 x 斗，每束中等谷可得粮食 y 斗， 依题意，得：3x+5y（2x+3y）9， 即 x+2y9， 2x+4y2（x+2y）2918 故选：B 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键 9 （3 分）有一个数值转换器原理如图，当输入一个 100 以内的正整数 x 值使输出 y 值为，则符合条 件 x 值的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据数值转换器中的运算确定出 x 的值即可 【解答】解：当 x16 时，4， 把
20、x4 代入得：2， 把 x2 代入得：， 则符合条件 x 值的个数为 3 个 故选：C 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根性质是解本题的关键 10 （3 分）如图，有公共顶点 A，B 的正五边形 ABEFG 和正方形 ABCD 按如图所示位置摆放，连接 AC 交 正五边形于点 M，过 C 作 CNGF 交 AD 于 N 点，则ACN 的度数为（ ） A10 B9 C11 D12 【分析】延长 CN 交 AG 于 H，根据正多边形的内角和公式，可得G、GAB，根据平行线的性质可得 CHA，根据正方形的性质和角的和差关系可得GAC，再根据三角形的内角和为 180可得答案 【解答】解：
21、延长 CN 交 AG 于 H， 五边形 ABEFG 是正五边形， GGAB108， CNGF， CHA108， 四边形 ABCD 是正方形， CAB45， GAB63， ACN180108639 故选：B 【点评】本题考查了正方形的性质、平行线的性质多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五 边形的内角、正方形的内角是解题关键 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 10 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 11 （3 分）27 的立方根为 3 【分析】找到立方等于 27 的数即可 【解答】解：3327， 27 的立方根是 3， 故答案为：3 【点评】考查了求一个数的
22、立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算 12 （3 分）一个容量为 60 的样本，样本中最大值是 172，最小值是 150，取组距为 3，则该样本可以分为 8 组 【分析】求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数 【解答】解：最大值与最小值的差是：17215022， 则可以分成的组数是：2238（组） ， 故答案为：8 【点评】本题考查频率分布表中组数的确定，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一 法取整数值就是组数 13 （3 分）不等式 2x31 的正整数解为 1，2 【分析】首先移项合并同类项，算出不等式的解集，再在解集范围内找出符合条件的正整数解
23、 【解答】解：2x31， 移项得：2x1+3， 合并同类项得：2x4， 把 x 的系数化为 1 得：x2， 正整数解为：1，2 故答案为：1，2 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，关键是正确确定不等式的解集 14 （3 分）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线如图，小华的画法：将含 30角三角 尺的最长边与直线 a 重合，用虚线作出一条最短边所在直线；再次将含 30角三角尺的最短边与虚线 重合，画出最长边所在直线 b，则 ba你认为他画图的依据是 内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定方法解答即可 【解答】解：画图的依据是内错角相等，两直线平行 故答案为：内错角
24、相等，两直线平行 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型 15 （3 分）如图，已知12365，则4 的度数为 115 【分析】根据平行线的判定与性质，可得3565，又根据邻补角可得5+4180，即可得 出4 的度数 【解答】解：12， ABCD， 35，又12365， 565又5+4180， 4115； 故答案为：115 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合 运用 16 （3 分）若方程 xy1 的一个解与方程组的解相同，则 k 的值为 4 【分析】联立不含 k 的方程组成方程组
25、，求出方程组的解得到 x 与 y 的值，即可确定出 k 的值 【解答】解：联立得：， 解得：， 代入方程得：26k， 解得：k4， 故答案为：4 【点评】 此题考查了二元一次方程组的解， 以及二元一次方程的解， 熟练掌握运算法则是解本题的关键 17 （3 分）如图，在ABC 中，ADBC，AE 平分BAC，若140，220，则B 30 【分析】由 AE 平分BAC，可得角相等，由140，220，可求得EAD 的度数，在直角三 角形 ABD 在利用两锐角互余可求得答案 【解答】解：AE 平分BAC， 1EAD+2， EAD12402020， RtABD 中，B90BAD90402030 故答案为
26、 30 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得EAD 的度数是正确解答本题的关 键 18 （3 分）已知点 P 的坐标（2a，3a+6） ，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标是 （3，3） 或（6，6） 【分析】点 P 到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，就可以得到方程求出 a 的值，从 而求出点的坐标 【解答】解：点 P 到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数， 分以下两种情考虑： 横纵坐标相等时，即当 2a3a+6 时，解得 a1， 点 P 的坐标是（3，3） ； 横纵坐标互为相反数时，即当（2a）+（3a+6）0 时，解得 a4
27、， 点 P 的坐标是（6，6） 故答案为（3，3）或（6，6） 【点评】因为这个点到两坐标轴的距离相等，即到坐标轴形成的角的两边距离相等，所以这个点一定在 各象限的角平分线上 19 （3 分）若关于 x 的一元一次不等式组，有 4 个整数解，则 m 的取值范围是 3m3.5 【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答 案即可 【解答】解：解不等式 x20，得：x2， 解不等式x+m2，得：x42m， 不等式组有 4 个整数解， 这 4 个整数解为 1、0、1、2， 则342m2， 解得 3m3.5， 故答案为：3m3.5 【点评】本题主要考查的是
28、不等式的解集，由不等式组有 4 个整数解得出关于 m 的不等式组是解题的关 键 20 （3 分）如果有一种新的运算定义为： “T（a，b），其中 a、b 为实数，且 a+b0” ， 比如：T（4，3），T（3，4），若 T（2m，32m）4， 则 m 的值是 9 【分析】分类讨论 2m 与 32m 的大小，利用题中的新定义计算即可求出 m 的值 【解答】解：当 2m32m，即 m时， 已知等式化简得：4，即4， 去分母得：10m912， 解得：m，不符合题意，舍去； 当 2m32m，即 m时， 已知等式化简得：4，即4， 去分母得：2m+612， 解得：m9， 综上，m 的值是9 故答案为：9
29、 【点评】此题考查了解分式方程，利用了分类讨论的思想，弄清题中的新定义是解本题的关键 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，其中第小题，其中第 21.22.2324.25 题每题题每题 6 分，分，26 题题 8 分，分，27 题题 10 分，分，28 题题 12 分，分， 共共 60 分）分） 21 （6 分） （1）计算： （2）2+|1|； （2）解方程组： 【分析】 （1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值； （2）方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解： （1）原式4+13 ； （2）， +2 得：7x14， 解得：x2， 把 x2
30、代入得：y1， 则方程组的解为 【点评】 此题考查了解二元一次方程组， 利用了消元的思想， 消元的方法有： 代入消元法与加减消元法 22 （6 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】解：解不等式 x3（x2）4，得：x1， 解不等式x1，得：x4， 则不等式组的解集为 x1， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小 找不到”的原则是解答此题的关键 23 （6 分）在下列网格中建立平面直角坐标系如图，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度已知
31、A（1， 1） 、B（3，4）和 C（4，2） （1）在图中标出点 A、B、C （2）将点 C 向下平移 3 个单位到 D 点，将点 A 先向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位到 E 点，在 图中标出 D 点和 E 点 （3）求EBD 的面积 SEBD 【分析】 （1）直接利用 A，B，C 点的坐标在坐标系中得出各点位置； （2）利用平移的性质得出各对应点位置； （3）利用EBD 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示：A、B、C 即为所求； （2）如图所示：点 D，E 即为所求； （3）SEBD5645151614.5 【点评】此题主要考查了平移变换
32、以及三角形面积求法，正确掌握平移的规律是解题关键 24 （6 分）在ABC 中，A50，B70，ACB 的平分线交 AB 于 D，DEBC 交 AC 于 E，求 BDC、EDC 的度数 【分析】利用三角形的内角和定理求出ACB，再根据角平分线的定义求出BCD，然后利用三角形的 内角和等于 180列式计算即可求出BDC，再根据两直线平行，内错角相等可得EDCBCD 【解答】解：ACB180AB180507060， CD 平分ACB， BCDACB6030， BDC180BBCD180703080， DEBC， EDCBCD30 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，
33、熟记性质与定理并准确识 图理清图中各角度之间的关系是解题的关键 25 （6 分）某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生 对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项） ，并将调查结果绘制成如图两幅统计图，请 你结合图中信息解答问题 （1）将条形统计图补充完整； （2）本次抽样调查的样本容量是 100 ； （3）已知该校有 1200 名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数 【分析】 （1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占 20%，利用条形图中喜欢武术的女生有 10 人，即 可求出女生总人数，即可得出喜欢舞蹈的人数； （2）根据（1
34、）的计算结果再利用条形图即可得出样本容量； （3）用全校学生数喜欢剪纸的学生在样本中所占百分比即可求出 【解答】解： （1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占 20%， 利用条形图中喜欢武术的女生有 10 人， 女生总人数为：1020%50（人） ， 女生中喜欢舞蹈的人数为：50101624（人） ， 如图所示： （2）本次抽样调查的样本容量是：30+6+14+50100； （3）样本中喜欢剪纸的人数为 30 人，样本容量为 100， 估计全校学生中喜欢剪纸的人数1200360 人 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的
35、关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小 26 （8 分）某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球 的价格相同，每个篮球的价格相同） ，若购买 3 个足球和 2 个篮球共需 490 元，购买 2 个足球和 5 个篮球 共需 730 元 （1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元？ （2）根据该中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共 80 个，要求购买足球和 篮球的总费用不超过 7810 元这所中学最多可以购买多少个篮球？ 【分析】 （1）设购买一个足球需要 x 元，购买一个篮球需要 y 元
36、，根据：3 个足球费用+2 个篮球费用 490 元，2 个足球费用+5 个篮球费用730 元，据此列方程组求解即可； （2）设购买 a 个篮球，则购买（80a）个足球，根据购买足球和篮球的总费用不超过 7810 元建立不等 式求出其解即可 【解答】 （1）解：设购买一个足球需要 x 元，购买一个篮球需要 y 元 根据题意，列方程组得， 解这个方程组，得 答：购买一个足球需要 90 元，购买一个篮球需要 110 元 （2）解：设购买 a 个篮球，则购买（80a）个足球 根据题意列不等式，得 110a+90（80a）7810， 解这个不等式，得 a30， a 为整数， a 最多是 30 答：这所中
37、学最多可以购买 30 个篮球 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答 本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键 27 （10 分）规定符号 f（x） （x 是正整数）满足下列性质： 当 x 为质数时，f（x）1（质数：是指除了本身和 1 之外，再没有其他因数的数） 对于任意两个正整数 m 和 n，f（mn）mf（n）+nf（m） 例如：f（6）（23）2f（3）+3f（2）21+315 （1）直接写出 f（3） 1 ，f（4） 4 （2）求 f（12）和 f（24）的值； （3）求不等式 f（12x）12f（x）4x
38、+f（24）的最小正整数解 【分析】 （1）根据规定符号 f（x） （x 是正整数）的性质即可求解； （2）f（12）4f（3）+3f（4） ，代入（1）的结果即可求解；f（24）2f（12）+12f（2） ，代入 f（12） 的结果即可求解； （3）根据规定符号 f（x） （x 是正整数）的性质将 f（12x）12f（x）4x+f（24）变形为 16x4x+44， 解不等式即可求解 【解答】解： （1）f（3）1， f（4）f（22）2f（2）+2f（2）21+214 故答案为 1，4； （2）f（12）f（34）4f（3）+3f（4）41+3416； f（24）f（122）2f（12）+1
39、2f（2）216+12144； （3）f（12x）12f（x）4x+f（24） ， xf（12）+12f（x）12f（x）4x+f（24） ， 16x4x+44， 解得 x， 故不等式 f（12x）12f（x）4x+f（24）的最小正整数解是 4 【点评】考查了质数与合数，关键是理解规定符号 f（x） （x 是正整数）的性质 28 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，ABx 轴，A（a，b） ，B（a，0） ，过 B 作 CBAO 交 y 轴于点 C，C（0，b） ，且满（a+b3）2+0 （1）ABO 的面积为 1 （2）如图 1，分别作OAB 与OBC 的角平分线交于点 D，求D 的
40、度数 （3）如图 2，将OBC 沿 x 轴向左平移 （记为OBC） ，分别作OAB 与BBC的角平分线交于点 D， 则OBC”在平移过程中，D 的度数是否会变化？若不变，请求出度数，若变化，请说明理由 （4）如图 3，在OBC 向左平移过程中（记为OBC） ，连接 AB，AC，若构成ABC面积等于 AOB 面积的一半，直接写出移动距离 BB的长 【分析】 （1）求出 a2，b1，得出 A（2，1） ，B（2，0） ，C（0，1） ，则 OB2，ABOC1，由 三角形面积公式即可得出答案； （2） 由平行线的性质得出OBCAOB， 则OAB+OBC90， 由角平分线定义得出BAD OAB，OBD
41、OBC，则ABDABO+OBD90+OBC，求出BAD+ABD135， 即可得出答案； （3）设 AD 交 BB于点 E，由平移的性质得OBCOBCAOB，CBAO，由平行线的性质得出 BBCAOB，则BBC+AOBAOB+AOB180，由角平分线得出OADOAB， BBDBBC，求出DEB+BBD135，即可得出答案； （4）分两种情况，设 OBx，由三角形面积公式得出方程，解方程即可 【解答】解： （1）（a+b3）2+0， a+b30，且 ab10， a2，b1， A（2，1） ，B（2，0） ，C（0，1） ， ABx 轴， OB2，ABOC1， ABO 的面积OBAB211； 故答案
42、为：1； （2）ABx 轴， ABO90， OAB+AOB90， CBAO， OBCAOB， OAB+OBC90， OAB 与OBC 的角平分线交于点 D， BADOAB，OBDOBC， ABDABO+OBD90+OBC， BAD+ABDOAB+90+OBC90+90135， D180（BAD+ABD）18013545； （3）D 的度数不会变化，D45，理由如下： 设 AD 交 BB于点 E，如图 2 所示： 由平移的性质得：OBCOBCAOB，CBAO， BBCAOB， BBC+AOBAOB+AOB180， OAB 与BBC的角平分线交于点 D， OADOAB，BBDBBC， AOB+OA
43、B90，DEBOAD+AOB， DEB+BBDOAD+AOB+BBCOAB+AOB+BBC （OAB+AOB） + （ BBC+AOB） 90+180135， D180（DEB+BBD）18013545； （4）分两种情况： 当点 B在 x 轴负半轴时，连接 OA，如图 3 所示： 设 OBx， 由题意得：ABC的面积AOC 的面积AOB的面积OBC的面积AOB 的面积1， 即（2+x+2）12121， 解得：x1， OB1， BBOB+OB1+23； 当点 B在 x 轴坐标轴时，连接 OA，如图 4 所示： 设 OBx， 由题意得：ABC的面积AOB的面积+OBC的面积AOC的面积AOB 的面积1， 即21+211（2+x）， 解得：x1， OB1， BBOBOB211； 综上所述，构成ABC面积等于AOB 面积的一半，移动距离 BB的长为 3 或 1 【点评】本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形面积公 式、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平移的性质和三角形面积 公式是解题的关键
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