1、2020-2021 学年山东省聊城市冠县九年级（上）期末数学试卷学年山东省聊城市冠县九年级（上）期末数学试卷 一、 选择题 （本题共一、 选择题 （本题共 12 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 36 分分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求）在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求） 1如图，矩形 EFGO 的两边在坐标轴上，点 O 为平面直角坐标系的原点，以 y 轴上的某一点为位似中心， 作位似图形 ABCD，且点 B，F 的坐标分别为（4，4） ， （2，1） ，则位似中心的坐标为（ ） A （0，3） B （0，2.5） C （0，2） D （0
2、，1.5） 2ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为 1） ，ADBC 于 D，下列四个选项中，错误的是 （ ） Asincos BtanC2 Csincos Dtan1 3若关于 x 的方程 kx23x0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 4如图，O 的半径为 5，AB 为弦，点 C 为的中点，若ABC30，则弦 AB 的长为（ ） A B5 C D5 5若抛物线 yax2+2ax+4（a0）上有 A（，y1） ，B（，y2） ，C（，y3）三点，则 y1，y2，y3 的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1
3、y2 Dy2y3y1 6如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F， 则 DF：FC（ ） A1：4 B1：3 C1：2 D1：1 7如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i1：1.5，则坝 底 AD 的长度为（ ） A26 米 B28 米 C30 米 D46 米 8如图，在 RtABC 中，A90，BC2，以 BC 的中点 O 为圆心O 分别与 AB，AC 相切于 D， E 两点，则的长为（ ） A B C D2 9已知二次函数 yax2+bx+c 的图象
4、如下，则一次函数 yax2b 与反比例函数 y在同一平面直角坐标 系中的图象大致是（ ） A B C D 10若 a，b 是方程 x2+2x20160 的两根，则 a2+3a+b（ ） A2016 B2015 C2014 D2012 11如图，直线 lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1（x0）及 y2（x0）的图象分别交于点 A， B，连接 OA，OB，已知OAB 的面积为 2，则 k1k2的值为（ ） A2 B3 C4 D4 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线 x1，下列结论： ab0；b24ac；a+b+2c0；3a+c0 其中正确的是（ ） A B C
5、 D 二二.填空题（本题共填空题（本题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，只要求写出最后结果）分，只要求写出最后结果） 13如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，那么 cosEFC 的值是 14如图，AB 是O 的弦，AB5，点 C 是O 上的一个动点，且ACB45，若点 M、N 分别是 AB、 AC 的中点，则 MN 长的最大值是 15如图，矩形 ABCD 中，BC4，CD2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影 部分的面积为
6、 （结果保留 ） 16如图，已知P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 yx21 上运动，当P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标 为 17 已知等腰三角形的一边长为 9， 另一边长为方程 x28x+150 的根， 则该等腰三角形的周长为 18如图，在AOB 中，AOB90，点 A 的坐标为（2，1） ，BO2，反比例函数 y的图象经过 点 B，则 k 的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 66 分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ）分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 19 （6 分）根据要求解下列一元二次方程： （1）x
7、2+2x30（配方法） ； （2） （x+1） （x2）4（公式法） 20 （8 分）已知：如图，ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，ADE60 （1）求证：ABDDCE； （2）如果 AB3，EC，求 DC 的长 21 （10 分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，已知山坡 AB 的坡度 i1：，AB 10 米，AE15 米 （i1：是指坡面的铅直高度 BH 与水平宽度 AH 的比） （1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH； （2）求
8、广告牌 CD 的高度 （测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米参考数据：1.414，1.732） 22 （10 分）如图，已知ABC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 为弧的中点，连接 CE 交 AB 于点 F，且 BFBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 2，cosB，求 CE 的长 23 （10 分）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利 5 元，每天可售出 200 千克，经市场调查发 现，在进价不变的情况下，若每千克涨价 0.1 元，销售量将减少 1 千克 （1）现该商场保证每天盈利 1500 元，同时又要照顾顾客，那么每千克应涨价多少
9、元？ （2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，使该商场获利最大？ 24 （10 分）如图，直线 ymx+n 与双曲线 y相交于 A（1，2） 、B（2，b）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求 m，n 的值； （2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积； （3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，使得 SPABSDAB？若存在，直接写出 P 点坐标；若不存 在，说明理由 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4） 三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 （1）求这个二
10、次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请 说明理由； （3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 2020-2021 学年山东省聊城市冠县九年级（上）期末数学试卷学年山东省聊城市冠县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 （本题共一、 选择题 （本题共 12 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 36 分分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求）在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求） 1如图
11、，矩形 EFGO 的两边在坐标轴上，点 O 为平面直角坐标系的原点，以 y 轴上的某一点为位似中心， 作位似图形 ABCD，且点 B，F 的坐标分别为（4，4） ， （2，1） ，则位似中心的坐标为（ ） A （0，3） B （0，2.5） C （0，2） D （0，1.5） 【分析】连接 BF 交 y 轴于 P，根据题意求出 CG，根据相似三角形的性质求出 GP，求出点 P 的坐标 【解答】解：如图，连接 BF 交 y 轴于 P， 四边形 ABCD 和四边形 EFGO 是矩形，点 B，F 的坐标分别为（4，4） ， （2，1） ， 点 C 的坐标为（0，4） ，点 G 的坐标为（0，1） ，
12、 CG3， BCGF， ， GP1，PC2， 点 P 的坐标为（0，2） ， 故选：C 2ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为 1） ，ADBC 于 D，下列四个选项中，错误的是 （ ） Asincos BtanC2 Csincos Dtan1 【分析】 观察图形可知， ADB 是等腰直角三角形， BDAD2， AB2， AD2， CD1， AC， 利用锐角三角函数一一计算即可判断 【解答】解：观察图象可知，ADB 是等腰直角三角形，BDAD2，AB2，AD2，CD1，AC ， sincos，故 A 正确， tanC2，故 B 正确， tan1，故 D 正确， sin，cos，
13、sincos，故 C 错误 故选：C 3若关于 x 的方程 kx23x0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 【分析】 讨论： 当 k0 时， 方程化为3x0， 方程有一个实数解； 当 k0 时， （3） 24k （ ）0，然后求出两个种情况下的 k 的公共部分即可 【解答】解：当 k0 时，方程化为3x0，解得 x； 当 k0 时，（3）24k （）0，解得 k1， 所以 k 的范围为 k1 故选：C 4如图，O 的半径为 5，AB 为弦，点 C 为的中点，若ABC30，则弦 AB 的长为（ ） A B5 C D5 【分析】连接 OC、OA，利
14、用圆周角定理得出AOC60，再利用垂径定理得出 AB 即可 【解答】解：连接 OC、OA， ABC30， AOC60， AB 为弦，点 C 为的中点， OCAB， 在 RtOAE 中，AE， AB， 故选：D 5若抛物线 yax2+2ax+4（a0）上有 A（，y1） ，B（，y2） ，C（，y3）三点，则 y1，y2，y3 的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y3y1 【分析】根据抛物线 yax2+2ax+4（a0）可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为 抛物线具有对称性，从而可以解答本题 【解答】解：抛物线 yax2+2ax+4（a0）
15、， 对称轴为：x， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小， A（，y1） ，B（，y2） ，C（，y3）在抛物线上， y3y1y2， 故选：C 6如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F， 则 DF：FC（ ） A1：4 B1：3 C1：2 D1：1 【分析】首先证明DFEBAE，然后利用对应边成比例，E 为 OD 的中点，求出 DF：AB 的值，又 知 ABDC，即可得出 DF：FC 的值 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，ABDC， 则DFEBAE， ， O 为
16、对角线的交点， DOBO， 又E 为 OD 的中点， DEDB， 则 DE：EB1：3， DF：AB1：3， DCAB， DF：DC1：3， DF：FC1：2； 故选：C 7如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i1：1.5，则坝 底 AD 的长度为（ ） A26 米 B28 米 C30 米 D46 米 【分析】先根据坡比求得 AE 的长，已知 CB10m，即可求得 AD 【解答】解：坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i1：1.5， AE1.5BE18 米， BC10 米， AD2AE+BC218+1046 米， 故选：D 8如图，在
17、 RtABC 中，A90，BC2，以 BC 的中点 O 为圆心O 分别与 AB，AC 相切于 D， E 两点，则的长为（ ） A B C D2 【分析】连接 OE、OD，由切线的性质可知 OEAC，ODAB，由于 O 是 BC 的中点，从而可知 OD 是 中位线，所以可知B45，从而可知半径 r 的值，最后利用弧长公式即可求出答案 【解答】解：连接 OE、OD， 设半径为 r， O 分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点， OEAC，ODAB， O 是 BC 的中点， OD 是中位线， ODAEAC， AC2r， 同理可知：AB2r， ABAC， B45， BC2 由勾股定理可知 AB2，
18、r1， 故选：B 9已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如下，则一次函数 yax2b 与反比例函数 y在同一平面直角坐标 系中的图象大致是（ ） A B C D 【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知 a0，再由函数图象经过 y 轴正半轴可知 c0，利用排除 法即可得出正确答案 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向下可知 a0，对称轴位于 y 轴左侧，a、b 同号，即 b 0图象经过 y 轴正半可知 c0，根据对称轴和一个交点坐标用 a 表示出 b，c，b2a，c3a， 确定一次函数和反比例函数有 2 个交点， 由 a0，b0 可知，直线 yax2b 经过一、二、四象限
19、， 由 c0 可知，反比例函数 y的图象经过第一、三象限， 故选：C 10若 a，b 是方程 x2+2x20160 的两根，则 a2+3a+b（ ） A2016 B2015 C2014 D2012 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到 a2+2a20160，即 a22a+2016，则 a2+3a+b 可化简 为 a+b+2016，再根据根与系数的关系得 a+b2，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：a 是方程 x2+2x20160 的实数根， a2+2a20160， a22a+2016， a2+3a+b2a+2016+3a+ba+b+2016， a、b 是方程 x2+2x20160 的
20、两个实数根， a+b2， a2+3a+b2+20162014 故选：C 11如图，直线 lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1（x0）及 y2（x0）的图象分别交于点 A， B，连接 OA，OB，已知OAB 的面积为 2，则 k1k2的值为（ ） A2 B3 C4 D4 【分析】根据反比例函数 k 的几何意义可知：AOP 的面积为，BOP 的面积为，由题意可知 AOB 的面积为 【解答】解：根据反比例函数 k 的几何意义可知：AOP 的面积为，BOP 的面积为， AOB 的面积为， 2， k1k24， 故选：C 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线 x1，下列结
21、论： ab0；b24ac；a+b+2c0；3a+c0 其中正确的是（ ） A B C D 【分析】由抛物线开口方向得到 a0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到 b 的符合，则可对进行判 断；利用判别式的意义和抛物线与 x 轴有 2 个交点可对进行判断；利用 x1 时，y0 和 c0 可对 进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到 b2a，加上 x1 时，y0，即 ab+c0，则可对进 行判断 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a0， ab0，所以正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以正确； x1 时，y0， a+b+c0， 而 c0， a
22、+b+2c0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a， 而 x1 时，y0，即 ab+c0， a+2a+c0，所以错误 故选：C 二二.填空题（本题共填空题（本题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，只要求写出最后结果）分，只要求写出最后结果） 13如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，那么 cosEFC 的值是 【分析】 根据翻折变换的性质得到AFED90， AFAD5， 根据矩形的性质得到EFCBAF， 根据余弦的概念计算即可 【解答】解：由翻折变换
23、的性质可知，AFED90，AFAD5， EFC+AFB90， B90， BAF+AFB90， EFCBAF， cosBAF， cosEFC， 故答案为： 14如图，AB 是O 的弦，AB5，点 C 是O 上的一个动点，且ACB45，若点 M、N 分别是 AB、 AC 的中点，则 MN 长的最大值是 【分析】根据中位线定理得到 MN 的长最大时，BC 最大，当 BC 最大时是直径，从而求得直径后就可以 求得最大值 【解答】解：如图，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点， MNBC， 当 BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当 BC 是直径时，BC 最大， 连接 BO 并延长交O 于点 C，
24、连接 AC， BC是O 的直径， BAC90 ACB45，AB5， ACB45， BC5， MN最大 故答案为： 15如图，矩形 ABCD 中，BC4，CD2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影 部分的面积为 （结果保留 ） 【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用 扇形面积公式，利用 S正方形OECDS扇形EOD计算由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积，然后利用三角形 的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积 【解答】解：连接 OE，如图， 以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于
25、点 E， OD2，OEBC， 易得四边形 OECD 为正方形， 由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积S正方形OECDS扇形EOD224， 阴影部分的面积24（4） 故答案为 16如图，已知P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 yx21 上运动，当P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标 为 （，2）或（，2） 【分析】当P 与 x 轴相切时，点 P 的纵坐标是 2 或2，把点 P 的坐标坐标代入函数解析式，即可求得 相应的横坐标 【解答】解：依题意，可设 P（x，2）或 P（x，2） 当 P 的坐标是（x，2）时，将其代入 yx21，得 2x21， 解得 x， 此时 P（，2）或（，2）
26、； 当 P 的坐标是（x，2）时，将其代入 yx21，得 2x21，即1x2 无解 综上所述，符合条件的点 P 的坐标是（，2）或（，2） ； 故答案是： （，2）或（，2） 17已知等腰三角形的一边长为 9，另一边长为方程 x28x+150 的根，则该等腰三角形的周长为 19 或 21 或 23 【分析】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可 【解答】解：由方程 x28x+150 得： （x3） （x5）0， x30 或 x50， 解得：x3 或 x5， 当等腰三角形的三边长为 9、9、3 时，其周长为 21； 当等腰三角形的三边长为 9、9、5 时，其周长为
27、23； 当等腰三角形的三边长为 9、3、3 时，3+39，不符合三角形三边关系定理，舍去； 当等腰三角形的三边长为 9、5、5 时，其周长为 19； 综上，该等腰三角形的周长为 19 或 21 或 23， 故答案为：19 或 21 或 23 18如图，在AOB 中，AOB90，点 A 的坐标为（2，1） ，BO2，反比例函数 y的图象经过 点 B，则 k 的值为 8 【分析】根据AOB90，先过点 A 作 ACx 轴，过点 B 作 BDx 轴，构造相似三角形，再利用相 似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点 B 的坐标，进而得出 k 的值 【解答】解：过点 A 作 ACx 轴，过点
28、 B 作 BDx 轴，垂足分别为 C、D，则OCABDO90， DBO+BOD90， AOB90， AOC+BOD90， DBOAOC， DBOCOA， ， 点 A 的坐标为（2，1） ， AC1，OC2， AO， ，即 BD4，DO2， B（2，4） ， 反比例函数 y的图象经过点 B， k 的值为248 故答案为：8 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 66 分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ）分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 19 （6 分）根据要求解下列一元二次方程： （1）x2+2x30（配方法） ； （2） （
29、x+1） （x2）4（公式法） 【分析】 （1）利用配方法解出方程； （2）利用公式法解出方程 【解答】解： （1）x2+2x30， 移项，得 x2+2x3， 配方，得 x2+2x+13+1， 则（x+1）24， x+12， x21， x11，x23； （2） （x+1） （x2）4， 整理得，x2x60， a1，b1，c6， b24ac（1）241（6）250， 方程有两个不相等的实数根， x， x13，x22 20 （8 分）已知：如图，ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，ADE60 （1）求证：ABDDCE； （2）如果 AB3，EC，求 DC 的长 【分析】 （
30、1）ABC 是等边三角形，得到BC60，ABAC，推出BADCDE，得到ABD DCE； （2）由ABDDCE，得到，然后代入数值求得结果 【解答】 （1）证明：ABC 是等边三角形， BC60，ABAC， B+BADADE+CDE，BADE60， BADCDE ABDDCE； （2）解：由（1）证得ABDDCE， ， 设 CDx，则 BD3x， ， x1 或 x2， DC1 或 DC2 21 （10 分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，已知山坡 AB 的坡度 i
31、1：，AB 10 米，AE15 米 （i1：是指坡面的铅直高度 BH 与水平宽度 AH 的比） （1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH； （2）求广告牌 CD 的高度 （测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米参考数据：1.414，1.732） 【分析】 （1）过 B 作 DE 的垂线，设垂足为 G分别在 RtABH 中，通过解直角三角形求出 BH、AH； （2） 在ADE 解直角三角形求出 DE 的长， 进而可求出 EH 即 BG 的长， 在 RtCBG 中， CBG45， 则 CGBG，由此可求出 CG 的长然后根据 CDCG+GEDE 即可求出宣传牌的高度 【解答】解： （1）
32、过 B 作 BGDE 于 G， RtABH 中，itanBAH， BAH30， BHAB5； （2）BHHE，GEHE，BGDE， 四边形 BHEG 是矩形 由（1）得：BH5，AH5， BGAH+AE5+15， RtBGC 中，CBG45， CGBG5+15 RtADE 中，DAE60，AE15， DEAE15 CDCG+GEDE5+15+51520102.7m 答：宣传牌 CD 高约 2.7 米 22 （10 分）如图，已知ABC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 为弧的中点，连接 CE 交 AB 于点 F，且 BFBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径
33、为 2，cosB，求 CE 的长 【分析】 （1）连接 AE，求出EAD+AFE90，推出BCEBFC，EADACE，求出BCE+ ACE90，根据切线的判定推出即可 （2）根据 AC4，cosB求出 BC3，AB5，BF3，AF2，根据EADACE，E E 证AEFCEA，推出 EC2EA，设 EAx，EC2x，由勾股定理得出 x2+4x216，求出即可 【解答】 （1）答：BC 与O 相切 证明：连接 AE， AC 是O 的直径 E90， EAD+AFE90， BFBC， BCEBFC， E 为弧 AD 中点， EADACE， BCE+ACE90， ACBC， AC 为直径， BC 是O
34、的切线 （2）解：O 的半为 2， AC4， cosB， BC3，AB5， BF3，AF532， EADACE，EE， AEFCEA， ， EC2EA， 设 EAx，EC2x， 由勾股定理得：x2+4x216， x（负数舍去） ， 即 CE 23 （10 分）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利 5 元，每天可售出 200 千克，经市场调查发 现，在进价不变的情况下，若每千克涨价 0.1 元，销售量将减少 1 千克 （1）现该商场保证每天盈利 1500 元，同时又要照顾顾客，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，使该商场获利最大？ 【
35、分析】 （1）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值； （2）根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值即可 【解答】解： （1）设每千克应涨价 x 元，由题意列方程得： （5+x） （200）1500 解得：x5 或 x10， 答：为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 5 元； （2）设涨价 x 元时总利润为 y， 则 y（5+x） （200） 10 x2+150 x+1000 10（x215x）+1000 10（x7.5）2+1562.5， 答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价 7.5 元，能使商场获利最多 24 （10 分）如图，直线 y
36、mx+n 与双曲线 y相交于 A（1，2） 、B（2，b）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求 m，n 的值； （2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积； （3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，使得 SPABSDAB？若存在，直接写出 P 点坐标；若不存 在，说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法求出 m，n 的值； （2）根据关于 x 轴对称的点的坐标特征求出点 D 的坐标，利用三角形面积公式计算即可； （3）分点 P 在 x 轴上和点 P 在 y 轴上两种情况，利用三角形面积公式计算即可 【解答】解： （1）点 A（1，2）在双曲线 y上， 2， 解得，k2
37、， 反比例函数解析式为：y， b1， 则点 B 的坐标为（2，1） ， ， 解得，m1，n1； （2）对于 yx+1，当 x0 时，y1， 点 C 的坐标为（0，1） ， 点 D 与点 C 关于 x 轴对称， 点 D 的坐标为（0，1） ， ABD 的面积233； （3）对于 yx+1，当 y0 时，x1， 直线 yx+1 与 x 轴的交点坐标为（0，1） ， 当点 P 在 x 轴上时，设点 P 的坐标为（a，0） ， SPAB|1a|2+|1a|13， 解得，a1 或 3， 当点 P 在 y 轴上时，设点 P 的坐标为（0，b） ， SPAB|1b|2+|1b|13， 解得，b1 或 3，
38、P 点坐标为（1，0）或（3，0）或（0，3） 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4） 三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请 说明理由； （3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 【分析】 （1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点 P 在线段 OC 的垂直平分线上，则可求得 P
39、 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P 点坐标； （3）过 P 作 PEx 轴，交 x 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，用 P 点坐标可表示出 PF 的长，则可表示出 PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得PBC 面积的最大值及 P 点的坐标 【解答】解： （1）设抛物线解析式为 yax2+bx+c， 把 A、B、C 三点坐标代入可得，解得， 抛物线解析式为 yx23x4； （2）作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P，如图 1， POPC，此时 P 点即为满足条件的点， C（0，4） ， D（0，2） ， P 点纵坐标为2， 代入抛物线解析式可得 x23x42，解得 x（小于 0，舍去）或 x， 存在满足条件的 P 点，其坐标为（，2） ； （3）点 P 在抛物线上， 可设 P（t，t23t4） ， 过 P 作 PEx 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图 2， B（4，0） ，C（0，4） ， 直线 BC 解析式为 yx4， F（t，t4） ， PF（t4）（t23t4）t2+4t， SPBCSPFC+SPFBPFOE+PFBEPF （OE+BE）PFOB（t2+4t）42（t 2）2+8， 当 t2 时，SPBC最大值为 8，此时 t23t46， 当 P 点坐标为（2，6）时，PBC 的最大面积为 8
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