1、三角形三角形（三）（三）讲义讲义 例题讲解一 1、如图，已知线段 a、b，求作一条线段使它等于 2a+b 【变式】已知线段 a、b、c，用直尺和圆规作出一条线段，使它等于 a+c-b 2、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 如图，已知，、 求作AOB，使AOB=+2 【变式】请把下面的直角进行三等分 （要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 ） 3、作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹） 已知：如图，求作点 P，使点 P 到 A、B 两点的距离相等，且 P 到MON 两边的距离也相等 【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题李明准备与 朋
2、友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区 A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把 超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图聪明的 你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！ 请用尺规作图确定超市 P 的位置（作图不写作法， 但要求保留作图痕迹 ） 4、已知 和线段 a 和 b，作一个三角形，使其中一个角等于，且这个角的两边长分别为 a 和 b （要 求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹） 已知： 求作： 【变式】已知 及线段 b，作一个三角形，使得它的两内角分别为 和，且两角的夹边为 b （要求：用 尺规作图
3、，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法） 5、阅读下面材料： 数学课上，老师提出如下问题： 小明解答如图所示： 老师说：“小明作法正确” 请回答： （1）小明的作图依据是 ； （2）他所画的痕迹弧 MN 是以点 为圆心， 为半径的弧 例题讲解二 1在ABC 中，B20+A，CB10，求A 的度数. 【变式】若C=50，B-A=10，那么A=_，B=_ 2.若三角形的两条边长分别为 6cm 和 10cm，则它的第三边长不可能为（ ） A5cm B8cm C10cm D17cm 【变式 1】如果三角形的两边长分别为 2 和 6,则周长 L 的取值范围是( ) A6L15 B6L16 C1
4、1L13 D12L16 【答案】D. 【变式 2】若三角形的两条边长分别为 6cm 和 10cm，则它的第三边不可能为（ ）cm A5 B8 C10 D17 3.如图，AD、AE 分别是ABC 的角平分线和高 （1）若已知ABC 是直角三角形，B=20，C=70，则DAE= ； （2）若已知B=25，C=85，则DAE= ； （3）若已知B=，C=，且，求DAE 的度数（结果用含 、 的代数式表示） 【变式】在ABC 中,B=60,C=40,AD、AE 分别是ABC 的高线和角平分线, 则DAE 的度数为 _. 4.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几
5、何图形，B，C，E 在同 一条直线上，连结 DC (1)请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ； (2)证明：DCBE . 【变式】如图，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求证：BDCE. 5.己知：在ABC 中，AD 为中线.求证：AD 1 2 ABAC 【变式】若三角形的两边长分别为 5 和 7, 则第三边的中线长的取值范围是( ) A.1 6 B.5 7 C.2 12 D.无法确定 6.作图：请你作出一个以线段 a 为底边，以 为底角的等腰三角形（要求：用尺规作图，并写出已知， 求作，保留作图痕迹，不写作法和结论） 已知： 求作： 【变式】
6、作图题： （要求：用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法 ） 已知：线段 a 与线段 b 求作：线段 AB，使 AB=2ab 例题讲解三 1.在ABC 中，ABCC，BD 是 AC 边上的高，ABD30，则C 的度数是多少? 【变式】已知：如图，在 ABC 中，ABC345，BD、CE 分别是边 AC、AB 上的高，BD、CE 相交 于 H，则BHC 的度数为 . x xxx 2.一个三角形的三边长分别是 3，2a-1，6,则整数 a 的值可能是 ( ) A2,3 B3,4 C2,3，4 D3,4，5 【变式】 三角形的三边长为 2， x-3， 4， 且都为整数， 则共能组成 个不同的三角形
7、.当 x 为 时， 所组成的三角形周长最大. 3.四边形 ABCD 是任意四边形，AC 与 BD 交点 O求证：AC+BD （AB+BC+CD+DA） 证明：在 OAB 中有 OA+OBAB 在 OAD 中有 ， 在 ODC 中有 ， 在 中有 ， OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA 即： ， 即：AC+BD （AB+BC+CD+DA） 4.在ABC 中，A+B=C，B=2A， （1）求A、B、C 的度数； （2）ABC 按角分类，属于什么三角形？ 【变式】一个三角形的三个角的度数比是 1：2：3，这个三角形中最小的一个角是 度，按角分类，这 个三角形是 三角
8、形 5. 如图 13，ABC 中，A = 40，B = 72，CE 平分ACB，CDAB 于 D，DFCE，求FCD 的度数. 【变式】如图 14，ABC 中，B34，ACB104，AD 是 BC 边上的高，AE 是BAC 的平分线，求DAE 的度数 6.已知，如图，ABC 中，D 是 BC 中点，DEDF,试判断 BECF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论. 【变式】如图， ABC 中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求证： （1） AEFCEB； （2）AF=2CD 7.已知：线段 a，b 求作：ABC，使 AB=a，BC=b，AC=2a （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
9、 【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 如图，已知，、 求作AOB，使AOB=2+ F E DCB A 三角形三角形（二）参考答案（二）参考答案 例题讲解一 1、 （2014 秋太谷县校级期末）如图，已知线段 a、b，求作一条线段使它等于 2a+b 【思路点拨】【思路点拨】首先画一条射线，再在射线上分别截取 a，b 即可得出等于 2a+b 的线段 【答案【答案与解析与解析】 解：如图所示：AB 即为所求 【总结升华总结升华】此题主要考查了简单作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的作法 举一反三：举一反三： 【变式】已知线段 a、b、c，用直尺和圆规作出一条线段，使它等于 a+
10、c-b 【答案】【答案】解：先在射线上作线段 AB=a，画出线段 BC=c，再在 AC 上截取 AC=b，所以线段 CD=a+c-b如图所示： 2、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 如图，已知，、 求作AOB，使AOB=+2 【思路点拨】【思路点拨】先作BOC=，再以 OC 为一边，在BOC 的外侧作COD=，再以 OB 为一边，在BOD 的外 侧作AOB=，AOD 即是所求 【答案【答案与解析与解析】 解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分 【总结升华总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用 举一反三：举一反三： 【变式】请把下面的直角进行三等分 （要求用
11、尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 ） 【答案】【答案】 解： （1）以点 B 为一顶点作等边三角形； （2）作等边三角形点 B 处的角平分线 3、作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹） 已知：如图，求作点 P，使点 P 到 A、B 两点的距离相等，且 P 到MON 两边的距离也相等 【思路点拨】【思路点拨】作MON 角平分线和线段 AB 的垂直平分线，交点 P 即是所求 【解析】【解析】解：如图， 【总结升华】【总结升华】此题主要考查角平分线和线段的垂直平分线的作法；注意角平分线到角两边的距离相等；线段垂 直平分线上到线段两个端点的距离相等 举一反三：举一反三： 【变式】 （2014上城区校
12、级模拟）数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许 多实际问题李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区 A、B，同时又有相 交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区 和公路的位置图聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市 P 的位置 （作图不写作法，但要求保留作图痕迹 ） 【答案】【答案】解：如图，点 P 就是要找的点. 类型二、作三角形类型二、作三角形 4、已知 和线段 a 和 b，作一个三角形，使其中一个角等于，且这个角的两边长分别为 a 和 b
13、 （要 求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹） 已知： 求作： 【思路点拨思路点拨】先作ACB=，然后以点 C 为圆心，以 a 长为半径画弧，与边 BC 相交于点 B，再以点 C 为圆 心，以 b 的长为半径画弧与 CA 相交于点 A，连接 AB 即可得解 【解析解析】 解：已知：，线段 a，b， 求作：ABC，是C=，BC=a，AC=b， 如图所示，ABC 即为所求作的三角形 【总结升华总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作 图，需熟练掌握 举一反三：举一反三： 【变式】已知 及线段 b，作一个三角形，使得它的两内角分别为 和
14、，且两角的夹边为 b （要求：用 尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法） 已知： 求作： 结论： 【答案】【答案】 解：已知：，线段 b； 求作：ABC，使得B=，C= ，BC=b 结论：如图，ABC 为所求 5、 （2016门头沟区一模）阅读下面材料： 数学课上，老师提出如下问题： 小明解答如图所示： 老师说：“小明作法正确” 请回答： （1）小明的作图依据是 ； （2）他所画的痕迹弧 MN 是以点 为圆心， 为半径的弧 【思路点拨思路点拨】根据作一个角等于已知角的作法解答即可 【答案与解析答案与解析】 解： （1）小明的作图依据是 SSS 定理 故答案为：SSS； （2
15、）他所画的痕迹弧 MN 是以点 E 为圆心，CD 为半径的弧 故答案为：E，CD 【总结升华总结升华】本题考查的是作图基本作图，熟知作一个角等于已知角的作法及依据是解答此题的关键 例题讲解二 1在ABC 中，B20+A，CB10，求A 的度数. 【思路点拨】由三角形的内角和，建立方程解决. 【答案与解析】CB10A+10，由三角形的内角和定理， 得A+B+CA+A+20+A+10180，A50. 【总结升华】本题根据三角形的内角和定理列出以A 为未知数的方程，解方程即可求得A.建立方程求解， 是本章求解角度数的常用方法. 举一反三 【变式】若C=50，B-A=10，那么A=_，B=_ 【答案】
16、60，70. 类型二、三角形的三边关系及分类类型二、三角形的三边关系及分类 2.（2016丰润区二模）若三角形的两条边长分别为 6cm 和 10cm，则它的第三边长不可能为（ ） A5cm B8cm C10cm D17cm 【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案 【答案与解析】解：三角形的两条边长分别为 6cm 和 10cm， 第三边长的取值范围是：4x16， 它的第三边长不可能为：17cm 故选：D 【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键 举一反三 【变式 1】如果三角形的两边长分别为 2 和 6,则周长 L 的取值范围是(
17、 ) A6L15 B6L16 C11L13 D12L16 【答案】D. 【变式 2】 （2015韶关模拟）若三角形的两条边长分别为 6cm 和 10cm，则它的第三边不可能为（ ）cm A5 B8 C10 D17 【答案】D 解析：设第三边的长为 x，则 106x10+6，即 4x16，故第三边不可能为 17故选 D 类型三、三角形的重要线段类型三、三角形的重要线段 3.（2014 秋潘集区校级月考）如图，AD、AE 分别是ABC 的角平分线和高 （1）若已知ABC 是直角三角形，B=20，C=70，则DAE= ； （2）若已知B=25，C=85，则DAE= ； （3）若已知B=，C=，且，求
18、DAE 的度数（结果用含 、 的代数式表示） 【思路点拨】 （1）先根据三角形内角和得到CAB=180BC=90，再根据角平分线与高线的定义得到 CAD= CAB=45，AEC=90，则CAE=90C=20，然后利用DAE=CADCAE 计算即可 （2） 先根据三角形内角和得到CAB=180BC=70，再根据角平分线与高线的定义得到CAD= CAB=35，AEC=90，则CAE=90C=5，然后利用DAE=CADCAE 计算即可 （3）先根据三角 形内角和得到CAB=180， 再根据角平分线与高线的定义得到DAC=90， AEC=90， 则CAE=90C=90，然后利用DAE=CADCAE 计
19、算即可 【答案与解析】 解： （1）B=20，C=70， BAC=90， DAC=45， AE 是ABC 的高 EAC=20， DAE=4520=25； （2）B=25，C=85 BAC=70， AD 是ABC 的角平分线， DAC=35， AE 是ABC 的高 EAC=5， DAE=355=30； （3）在ABC 中，BAC=180， AD 是ABC 的角平分线， DAC=90， AE 是ABC 的高 EAC=90， DAE=DACEAC=9090+= （） ， 故答案为 25，30 【总结升华】本题考查了三角形中的重要线段高线和角平分线以及三角形内角和定理. 举一反三 【变式】在ABC 中
20、,B=60,C=40,AD、AE 分别是ABC 的高线和角平分线, 则DAE 的度数为 _. 【答案】10. 类型四、全等三角形的性质和判定类型四、全等三角形的性质和判定 4.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同 一条直线上，连结 DC (1)请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ； (2)证明：DCBE . 【思路点拨】ABE 与ACD 中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明ABEACD；通过全等 三角形的性质，通过倒角可证垂直. 【答案与解析】 解： （1）ABEACD 证
21、明：BACEAD90 BAC CAEEAD CAE 即 BAECAD 又ABAC，AEAD， ABEACD（SAS） （2）由（1）得BEACDA， 又COEAOD BEACOE CDAAOD90 则有DCE180 9090， 所以 DCBE. 【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待ABE 与ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着 A 点逆时针旋 转 90得到的，对应边的夹角等于旋转的角度 90，即 DCBE. 举一反三 【变式】如图，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求证：BDCE. 【答案】 证明：AEAB，ADAC， EABDAC90 EABDAEDACDAE ，即DABEAC
22、. 在DAB 与EAC 中， DABEAC （ASA） BDCE. 5.己知：在ABC 中，AD 为中线.求证：AD 【答案与解析】 证明：延长 AD 至 E，使 DEAD， AD 为中线， BDCD 在ADC 与EDB 中 ADCEDB（SAS） ACBE 在ABE 中，ABBEAE，即 ABAC2AD AD. 【总结升华】用倍长中线法可将线段 AC，2AD，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法 实际上是绕着中点 D 旋转 180. 举一反三 【变式】若三角形的两边长分别为 5 和 7, 则第三边的中线长的取值范围是( ) A.1 6 B.5 7 C.2 12 D.无
23、法确定 【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7575，所以选 A 选项. 类型五、用尺规作三角形类型五、用尺规作三角形 6.作图：请你作出一个以线段 a 为底边，以 为底角的等腰三角形（要求：用尺规作图，并写出已知， 求作，保留作图痕迹，不写作法和结论） 已知： 求作： DABEAC ABAC BC 1 2 ABAC DCDB ADCBDE ADED 1 2 ABAC x xxx 2x 【思路点拨】可先画线段 BC=a，进而在 BC 的同侧作MBC=，NCB=，MB，CN 交于点 A，ABC 就是所 求的三角形 【答案与解析】 解：已知：线段 a， 求作：ABC，使 BC=a，AB=A
24、C，ABC= ABC 就是所求作的三角形 【总结升华】 考查等腰三角形的画法； 会作一个角等于已知角是解决本题的突破点； 注意画图的顺序为边， 角， 角 举一反三 【变式】作图题： （要求：用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法 ） 已知：线段 a 与线段 b 求作：线段 AB，使 AB=2ab 【答案】 解：如图所示： 作线段 AB 即为所求 例题讲解三 1.在ABC 中，ABCC，BD 是 AC 边上的高，ABD30，则C 的度数是多少? 【思路点拨】按ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论 【答案与解析】 解：分两种情况讨论： （1）当ABC 为锐角三角形时，如图所示，在A
25、BD 中， BD 是 AC 边上的高(已知)， ADB90(垂直定义) 又 ABD30(已知)， A180-ADB-ABD180-90-3060 又 A+ABC+C180(三角形内角和定理)， ABC+C120， 又 ABCC， C60 (2)当ABC 为钝角三角形时，如图所示在直角ABD 中， ABD30(已知)，所以BAD60 BAC120 又 BAC+ABC+C180(三角形内角和定理)， ABC+C60 C30 综上，C 的度数为 60或 30 【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题这就要求解答者必须具备根据 条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其
26、他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应 该注意的一个重要环节 举一反三 【变式】已知：如图，在 ABC 中，ABC345，BD、CE 分别是边 AC、AB 上的高，BD、CE 相交 于 H，则BHC 的度数为 . 【答案】135. 类型二、三角形的三边关系及分类类型二、三角形的三边关系及分类 2. （2016长沙模拟）一个三角形的三边长分别是 3，2a-1，6,则整数 a 的值可能是 ( ) A2,3 B3,4 C2,3，4 D3,4，5 【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出 a 的取值范围. 【答案】B 【解析】解：一个三角形的三条边长分别为 3，2a-1，6, 21 21
27、9 a a 3 解得：2a5， 则整数 a 的值可能是 3,4，故选 B. 【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出 a 的取值范围是解题关键. 举一反三 【变式】 三角形的三边长为 2， x-3， 4， 且都为整数， 则共能组成 个不同的三角形.当 x 为 时， 所组成的三角形周长最大. 【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有 4-2x-34+2，解得 5x9，因为 x 为整数，故 x 可取 6，7，8；当 x=8 时，组成的三角形周长最大为 11). 3.（2015 春盱眙县期中）四边形 ABCD 是任意四边形，AC 与 BD 交点 O求证：AC+BD
28、（AB+BC+CD+DA） 证明：在 OAB 中有 OA+OBAB 在 OAD 中有 ， 在 ODC 中有 ， 在 中有 ， OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA 即： ， 即：AC+BD （AB+BC+CD+DA） 【答案与解析】 证明：在 OAB 中 OA+OBAB 在 OAD 中有 OA+ODAD， 在 ODC 中有 OD+OCCD， 在 OBC 中有 OB+OCBC， OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA 即 2（AC+BD）AB+BC+CD+DA， 即 AC+BD （AB+BC+CD+DA） 故答案为：OA+ODAD；O
29、DOCCD；OBC；OB+OCBC；2（AC+BD）AB+BC+CD+DA 【总结升华】 本题考查的是三角形的三边关系， 即三角形任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边 4.在ABC 中，A+B=C，B=2A， （1）求A、B、C 的度数； （2）ABC 按角分类，属于什么三角形？ 【思路点拨】根据三角形的内角和定理列方程组，直接求A、B、C 的度数即可；有角的度数再根据三角 形按角分类正确给与分类即可. 【答案与解析】 解： （1）根据题意得 （2）ABC 按角分类，属于直角三角形. 【总结升华】几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方
30、程的思想；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180 ”这一隐含的条件 举一反三 【变式】一个三角形的三个角的度数比是 1：2：3，这个三角形中最小的一个角是 度，按角分类，这 个三角形是 三角形 【答案】30；直角. 类型三、三角形的重要线段类型三、三角形的重要线段 5. 如图 13，ABC 中，A = 40，B = 72，CE 平分ACB，CDAB 于 D，DFCE，求FCD 的度数. 【思路点拨】由图可知CDF 是 RtCDF 的一个内角，求CDF 可先求出FCD，CDB 为直角三角形，所以可 以求出BCD，而FCD=BCEBCD. 【答案与解析】 在ABC 中，A = 40，B =
31、 72，由三角形的内角和定理得： BCA=180-72-40=68 又 CE 平分ACB， BCE=BCA=34， 在中，CDAB 于 D，B = 72 BCD= 90- 72= 18 FCD=BCEBCD=34-18=16. 即FCD =16. 【总结升华】 这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用， 直角三角形两个锐角互余， 所以在直角三角形中， 已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数. 举一反三 【变式】如图 14，ABC 中，B34，ACB104，AD 是 BC 边上的高，AE 是BAC 的平分线，求DAE 的度数 【答案】DAE=35 类型四、全等三角形的性质和判定类型四、全
32、等三角形的性质和判定 6.已知，如图，ABC 中，D 是 BC 中点，DEDF,试判断 BECF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论. 【思路点拨】因为 D 是 BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段 DF，使 DGDF,证明EDGEDF， FDCGDB，这样就把 BE、CF 与 EF 线段转化到了BEG 中，利用两边之和大于第三边可证. F E DCB A 【答案与解析】BECFEF； 证明：延长 FD 到 G，使 DGDF,连结 BG、EG D 是 BC 中点 BDCD 又DEDF 在EDG 和EDF 中 EDED EDGEDF DGDF EDGEDF（SAS） EGEF 在FDC
33、 与GDB 中 DGDF BDCD 21 FDCGDB(SAS) CFBG BGBEEG BECFEF 【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）. 举一反三： 【变式】 （2015南充）如图， ABC 中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求证： （1） AEFCEB； （2）AF=2CD 【答案】 证明： （1）ADBC，CEAB， BCE+CFD=90，BCE+B=90， CFD=B， CFD=AFE， AFE=B 在 AEF 与 CEB 中， ， AEFCEB（AAS） ； （2）AB=AC，ADBC， BC=2CD， AEFCEB， AF=BC，
34、AF=2CD 类型五、用尺规作三角形类型五、用尺规作三角形 7.已知：线段 a，b 求作：ABC，使 AB=a，BC=b，AC=2a （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【思路点拨】首先画线段 AC=2a，再以 A 为圆心，a 长为半径画弧，再以 C 为圆心，b 长为半径画弧，两弧交于 点 B，连接 AB、BC 即可 【答案与解析】 解：如图所示： ， ABC 即为所求 【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角形全等判定定理” 边边边”解决本题 举一反三 【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 如图，已知，、 求作AOB，使AOB=2+
35、【答案】 解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分 同步练习一 一一.选择题选择题 1. 如图，ABC 中，C70，若沿图中虚线截去C，则12（ ） A360 B250 C180 D140 2. （2016岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A2cm，3cm，5cm B7cm，4cm，2cm C3cm，4cm，8cm D3cm，3cm，4cm 3. 如图，ACBC，CDAB，DEBC，则下列说法中错误的是 ( ) A在ABC 中，AC 是 BC 边上的高 B在BCD 中，DE 是 BC 边上的高 C在ABE 中，DE 是 BE 边上的高 D在ACD 中，AD 是 CD
36、 边上的高 4. 在下列结论中, 正确的是( ) A.全等三角形的高相等 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C. 一角对应相等的两个直角三角形全等 D.一边对应相等的两个等边三角形全等 5. 图中的尺规作图是作（ ） A. 线段的垂直平分线 B. 一条线段等于已知线段 C. 一个角等于已知角 D. 角的平分线 6如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ） A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C. AB 与 CD 互相垂直平分 D. CD 平分ACB 7. 如图， ABC 中ACB90,CD 是 AB 边上的高， BAC 的角平分线 AF 交 CD 于 E， 则CEF 必为 （
37、 ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8.（2015郑州模拟）如图， ABC 中，BO，CO 分别是ABC，ACB 的平分线，A=50，则BOC 等于 （ ） A110 B115 C120 D130 二二.填空题填空题 9 （2016南京一模）如图，1+2+3+4+5= 10.（2015宝应县校级模拟）命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 . 11. 如图，在ABC 中， ED 垂直平分 BC，EB=3则 CE 长为 12. 若三角形三个外角的度数比为 234，则此三角形内角分别为_ _ 13. 如右图，在ABC 中，C90，BD 平分CBA
38、交 AC 于点 D若 ABa，CDb，则ADB 的面积为 _ 14在ABC 中，B=60，C=40，AD、AE 分别是ABC 的高线和角平分线， 则DAE 的度数为_. 15. 如图，ABC 中，H 是高 AD、BE 的交点，且 BHAC，则ABC_. 16. 如图，ABC 中，BO、CO 分别平分ABC、ACB，OMAB，ONAC，BC10cm，则OMN 的周长 _cm 三.解答题 17. 如图，在ABC 中，BAC60，ACB40，P、Q 分别在 BC、CA 上，并且 AP、BQ 分别为BAC、 ABC 的角平分线，求证：BQAQABBP 18作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹） 已知：在
39、下面的ABC 中，用尺规作出 AB 边上的高（不写作法，保留作图痕迹） 19.（2014 春榆树市期末）如图， ABC 中，ABC=40，C=60，ADBC 于 D，AE 是BAC 的平分线 （1）求DAE 的度数； （2）指出 AD 是哪几个三角形的高 20已知：如图，ABC中，45ACB，ADBC 于 D，CF 交 AD 于点 F，连接 BF 并延长交 AC 于点 E，BADFCD 求证： （1）ABDCFD； （2）BEAC 【答案与解析】 一一.选择题选择题 1. 【答案】B； 【解析】1、2 是CDE 的外角，14C，23C，即12CC3 470180250 2. 【答案】D； 【解
40、析】解：A、因为 2+3=5，所以不能构成三角形，故 A 错误； B、因为 2+46，所以不能构成三角形，故 B 错误； C、因为 3+48，所以不能构成三角形，故 C 错误； D、因为 3+34，所以能构成三角形，故 D 正确 3. 【答案】C； 【解析】三角形高的定义. 4. 【答案】D； 【解析】A 项应为全等三角形对应边上的高相等；B 项如果腰不相等不能证明全等；C 项直角三角形至少要 有一边相等. 5. 【答案】A； 【解析】根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段 的垂直平分线. 6. 【答案】A； 【解析】AC=AD，BC=BD， 点
41、 A，B 在线段 CD 的垂直平分线上 AB 垂直平分 CD 故选 A 7. 【答案】A； 【解析】CFABBAF，CEFECAEAC，而BECA，BAFEAC，故CEF 为等腰 三角形. 8. 【答案】B； 【解析】解：A=50， ABC+ACB=180A=18050=130， BO，CO 分别是ABC，ACB 的平分线， OBC= ABC，OCB= ACB， OBC+OCB= （ABC+ACB）= 130=65， BOC=180（OBC+OCB）=18065=115 故选 B 二二.填空题填空题 9.【答案】540 ； 【解析】连接2 和5，3 和5 的顶点，可得三个三角形，根据三角形的内
42、角和定理，1+2+3+ 4+5=540故答案为 540 10 【答案】同位角相等；两直线平行 【解析】解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，所以“同位角 相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分 故答案为：同位角相等；两直线平行 11.【答案】3； 【解析】ED 垂直平分 BC， 可得BEDCED（SAS） CE=BE=3. 12. 【答案】100，60，20 13.【答案】ab 2 1 ； 【解析】由三角形全等知 D 点到 AB 的距离等于 CDb，所以ADB 的面积为ab 2 1 . 14. 【答案】10 15.【答案】45； 【解析】
43、RtBDHRtADC，BDAD. 16. 【答案】10； 【解析】OMBM，ONCN，OMN 的周长等于 BC. E B A DC F 三.解答题 17 【解析】 证明：延长 AB 至 E，使 BEBP，连接 EP 在ABC 中，BAC60，ACB40， ABC80 EBPE 80 2 40 AP、BQ 分别为BAC、ABC 的角平分线， QBC40，BAPCAP BQQC（等角对等边） 在AEP 与ACP 中， EAPCAP EC APAP AEPACP（AAS） AEAC ABBEAQQC，即 ABBPAQBQ. 18.【解析】 解： 19.【答案与解析】 解： （1）ADBC 于 D，
44、ADB=ADC=90， ABC=40，C=60， BAD=50，CAD=30， BAC=50+30=80， AE 是BAC 的平分线， BAE=40， DAE=5040=10 （2）AD 是 ABE、 ABD、 ABC、 AED、 AEC、 ADC 的高 20 【解析】 证明：(1) ADBC， ADCFDB90. 45ACB， 45ACBDAC ADCD BADFCD， ABDCFD (2)ABDCFD BDFD. FDB90， 45FBDBFD. 45ACB， 90BEC. BEAC 同步练习二 一一.选择题选择题 1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点 D、E 分别是边
45、AB、AC 上，将ABC 沿着 DE 折叠压 平，A 与 A重合，若A75，则12（ ） A150 B210 C105 D75 2. 如图, 在AOB 的两边上截取 AO BO, CO DO, 连结 AD、BC 交于点 P. 则下列结论正确的是( ) AODBOC； APCBPD； 点 P 在AOB 的平分线上 A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 3.（2016琼海校级模拟）如图，AEDF，AE=DF则添加下列条件还不能使EACFDB （ ） AAB=CD BCEBF CCE=BF DE=F 4已知如图，ADBC，ABBC，CDDE，CDED，AD2，BC3，则ADE 的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 5. （2015南漳县模拟） 如图， 在 RtABC 中， BAC=90， AB=AC， 直角EPF 的顶点 P 是 BC 的中点， 将EPF 绕顶点 P 旋转，两边 PE，PF 分别交 AB，AC 于点 E，F下列四个结论：AE=CF；PEF 是等腰直角三角 形；EF=AP；S四边形 AEPF= SABC 在EPF 旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（ ） A B C D 6. 如图，ABBC 于 B，BEAC 于 E，12，D 为 AC 上一点，ADAB，则（ ） A1EFD B FDBC CBFDF
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