1、特殊特殊三角形三角形（三）（三）讲义讲义 例题讲解一 1、如图，A=B=90，E 是 AB 上的一点，且 AE=BC，1=2 （1）RtADE 与 RtBEC 全等吗？并说明理由； （2）CDE 是不是直角三角形？并说明理由 2、已知：如图，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF. 求证：ABDC. 3、如图 ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 相交于 F求证：AF 平分BAC 【变式】如图，在ABC 和DCB 中，A=D=90，AC=BD，AC 与 BD 相交于点 O （1）求证：ABCDCB； （2）OBC 是何种三角形？证明你的结论 4、如图，ABC 中，ACB90
2、，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BD BC 交 CF 的延长线于 D. （1）求证：AECD； （2）若 AC12，求 BD 的长. 5、如图，已知 BE 平分ABC，CE 平分ACD，且交 BE 于 E求证：AE 平分FAC 【变式】如图，点 C 为线段 AB 上任意一点（不与 A、B 重合） ，分别以 AC、BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰ACD 和等腰BCE，CA=CD，CB=CE，ACD 与BCE 都是锐角且ACD=BCE，连接 AE 交 CD 于点 M，连接 BD 交 CE 于 点 N，AE 与 BD 交于点 P，连接 PC （
3、1）求证：ACEDCB； （2）求证：APC=BPC cm 例题讲解二 1、如图，已知 A、B 两点在直线 l 的同一侧，根据题意，尺规作图 （1）在（图 1）直线 l 上找出一点 P，使 PA=PB （2）在（图 2）直线 l 上找出一点 P，使 PA+PB 的值最小 （3）在（图 3）直线 l 上找出一点 P，使 PAPB 的值最大 2.如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=100，点 D 在 BC 边上，ABD、AFD 关于直线 AD 对称，FAC 的 角平分线交 BC 边于点 G，连接 FG （1）求DFG 的度数 （2）设BAD=，当 为何值时，DFG 为等腰三角形？ 举一反三：举
4、一反三： 【变式】如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB=105，BOC=将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得 ADC，连接 OD试判断COD 的形状，并说明理由 3.用圆规和直尺作图，在DEC 中找一点 P，使点 P 到DEC 两边的距离相等，并且到 M、N 两点的距离也 相等（保留作图痕迹） 【变式】尺规作图是指（ ） A . 用量角器和刻度尺作图 B . 用圆规和有刻度的直尺作图 C . 用圆规和无刻度的直尺作图 D . 用量角器和无刻度的直尺作图 4. 如图，平面上的四边形 ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中 AB=AD，CB=CD （1）九年级王云同学观察了这个“风筝”
5、的骨架后，他认为四边形 ABCD 的两条对角线 ACBD，垂足为 E，并 且 BE=ED，你同意王云同学的判断吗？请充分说明理由； （2）设对角线 AC=a，BD=b，请用含 a，b 的式子表示四边形 ABCD 的面积 5、如图所示，A60，CEAB 于 E，BDAC 于 D，BD 与 CE 相交于点 H，HD1，HE2，试求 BD 和 CE 的长 6、已知，如图，AC、BD 相交于 O，ACBD，CD90 . 求证：OCOD. 7、如图所示，在四边形 ABCD 中，AB3，BC4，CD12，AD13，B90，求四边形 ABCD 的面积 【变式】如图，已知 AB=5，BC=12，CD=13，D
6、A=10，ABBC，求四边形 ABCD 的面积 例题讲解三 1、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从 A 处的牧场牵着一只马到草 地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在 N 上任意一点即可牧马，M 上任意一点即可饮马 ） （保留作图痕迹，需要证明） 【变式】如图：A 村和 B 村在公路 l 同侧，且 AB=3 千米，两村距离公路都是 2 千米现决定在公路 l 上建立一 个供水站 P，要求使 PA+PB 最短 （1）用尺规作图，作出点 P； （作图要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）求出 PA+PB 的最小值 2、如图，A、B、C 三点在同一直线上，分别以 AB、
7、BC 为边，在直线 AC 的同侧作等边ABD 和等边BCE， 连接 AE 交 BD 于点 M，连接 CD 交 BE 于点 N，连接 MN 得BMN （1）求证：ABEDBC （2）试判断BMN 的形状，并说明理由 【变式 1】若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为 15cm 和 6cm 的两部分，求该三角形各边的长. 【变式 2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或 150 D60或 120 3.（2016德州）如图，在ABC 中，B=55，C=30，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于AC 的长为 半径画弧，两弧相交于点 M，N，作
8、直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则BAD 的度数为（ ） A65 B60 C55 D45 4、如图所示，在等边ABC 中，AECD，AD、BE 相交于点 P，BQAD 于 Q， 求证：BP2PQ 5、已知：如图，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求证：ABDC. 【变式】如图, ABC 中, ACB=90, ABC=60, AB 的中垂线交 BC 的延长线于 D，交 AC 于 E, 已知 DE=2. 则 AC 的长为_. 6、如图所示，四边形 ABCD 中，ABAD，AB2，AD，CD3，BC5，求ADC 的度数 【变式】如图所示，折叠矩形 ABCD 一边，点 D 落在 BC
9、 边的点 F 处，若 AB8，BC10，求 EC 的长 特殊三角形特殊三角形（三）参考答案（三）参考答案 例题讲解一 1、 （2016 春苏仙区期末）如图，A=B=90，E 是 AB 上的一点，且 AE=BC，1=2 （1）RtADE 与 RtBEC 全等吗？并说明理由； （2）CDE 是不是直角三角形？并说明理由 【思路点拨思路点拨】 （1）根据1=2，得 DE=CE，利用“HL”可证明 RtADERtBEC； （2）是直角三角形，由 RtADERtBEC 得，3=4，从而得出4+5=90，则CDE 是直角三角形 2 3 cmcm 2 1 A D B C E 【答案与答案与解析解析】 解：
10、（1）全等，理由是： 1=2， DE=CE， A=B=90，AE=BC， RtADERtBEC(HL)； （2）是直角三角形，理由是： RtADERtBEC， 3=4， 3+5=90， 4+5=90， DEC=90， CDE 是直角三角形 【总结升华】【总结升华】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件 【高清课堂：【高清课堂：379111 379111 直角三角形全等的判定，巩固练习直角三角形全等的判定，巩固练习 3 3】 2、已知：如图，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF. 求证：ABDC. 【思路点拨】从已知条件只能先证出 RtADERtCBF，从结
11、论又需证 RtCDERtABF. 【答案与解析】 证明：DEAC，BFAC， 在 RtADE 与 RtCBF 中 RtADERtCBF （HL） AECF，DEBF AEEFCFEF，即 AFCE 在 RtCDE 与 RtABF 中， RtCDERtABF（SAS） DCEBAF ABDC. 【总结升华】我们分析已知能推证出什么，再看要证到这个结论，我们还需要哪些条件，这样从已知和结论向 中间推进，从而证出题目. . ADBC DEBF ， DEBF DECBFA ECFA 4 5 3 2 1 A D B C E 3、如图 ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 相交于 F求
12、证：AF 平分BAC 【思路点拨】若能证得 ADAE，由于ADB、AEC 都是直角，可证得 RtADFRtAEF，而要证 ADAE，就 应先考虑 RtABD 与 RtAEC，由题意已知 ABAC，BAC 是公共角，可证得 RtABDRtACE 【答案与解析】 证明： 在 RtABD 与 RtACE 中 RtABDRtACE(AAS) ADAE(全等三角形对应边相等) 在 RtADF 与 RtAEF 中 RtADFRtAEF(HL) DAFEAF(全等三角形对应角相等) AF 平分BAC(角平分线的定义) 【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论. 举一反三：举一
13、反三： 【变式】如图，在ABC 和DCB 中，A=D=90，AC=BD，AC 与 BD 相交于点 O （1）求证：ABCDCB； （2）OBC 是何种三角形？证明你的结论 【答案】证明： （1）在ABC 和DCB 中， A=D=90 AC=BD，BC=BC， RtABCRtDCB（HL） ； （2）OBC 是等腰三角形， RtABCRtDCB， ACB=DCB， OB=OC， OBC 是等腰三角形. 4、如图，ABC 中，ACB90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BD BC 交 CF 的延长线于 D. （1）求证：AECD； （2）若 AC
14、12，求 BD 的长. 【答案与解析】 （1）证明：DBBC，CFAE， DCBDDCBAEC90 DAEC 又DBCECA90， 且 BCCA， DBCECA（AAS） AECD （2）解：由（1）得 AECD，ACBC， CDBAEC（HL） BDECBCAC，且 AC12 BD6（cm） 【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先 根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 类型二、角平分线的第二个性质定理类型二、角平分线的第二个性质定理 5、如图，已知 BE 平分ABC，CE 平
15、分ACD，且交 BE 于 E求证：AE 平分FAC 【思路点拨】 如图过点 E 分别作 EGBD、 EHBA、 EIAC， 垂足分别为 G、 H、 I， 根据角平分线的性质可得 EH=EG， EI=EG，再根据角平分线的第二性质定理可证 AE 平分FAC 【答案与解析】 证明：过点 E 分别作 EGBD、EHBA、EIAC，垂足分别为 G、H、I， BE 平分ABC，EGBD，EHBA， EH=EG CE 平分ACD，EGBD，EIAC， EI=EG， EI=EH（等量代换） ， AE 平分FAC（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上） cm 1 2 1 2 【总结升华】本题主要
16、考查角平分线的性质及其第二性质定理；准确作出辅助线是解答本题的关键 举一反三：举一反三： 【变式】如图，点 C 为线段 AB 上任意一点（不与 A、B 重合） ，分别以 AC、BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰ACD 和等腰BCE，CA=CD，CB=CE，ACD 与BCE 都是锐角且ACD=BCE，连接 AE 交 CD 于点 M，连接 BD 交 CE 于 点 N，AE 与 BD 交于点 P，连接 PC （1）求证：ACEDCB； （2）求证：APC=BPC 【答案】 （1）证明：ACD=BCE， ACD+DCE=BCE+DCE， ACE=DCB， 又CA=CD，CE=CB， ACEDCB （2
17、）证明：分别过 C 作 CHAE 垂足为 H，C 作 CGBD 垂足为 G， ACEDCB AE=BD， SACE=SDCB（全等三角形的面积相等） ， CH=CG， APC=BPC（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 例题讲解二 1、 （2016 秋和平区期中）如图，已知 A、B 两点在直线 l 的同一侧，根据题意，尺规作图 （1）在（图 1）直线 l 上找出一点 P，使 PA=PB （2）在（图 2）直线 l 上找出一点 P，使 PA+PB 的值最小 （3）在（图 3）直线 l 上找出一点 P，使 PAPB 的值最大 【思路点拨】直接利用轴对称的性质去作图 【答案与解析】
18、解： （1）如图 1 所示： 此时：PA=PB， 如图所示： （2） 此时：PA+PB 最小； （3）如图所示： 此时：PAPB 最大 【总结升华】本题考查了轴对称最短路线问题的应用，关键是正确画出图形，题型较好，难度适中 类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理 2.如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=100，点 D 在 BC 边上，ABD、AFD 关于直线 AD 对称，FAC 的 角平分线交 BC 边于点 G，连接 FG （1）求DFG 的度数 （2）设BAD=，当 为何值时，DFG 为等腰三角形？ 【思路点拨】（1）由轴对称
19、可以得出ADBADF，就可以得出B=AFD，AB=AF，在证明AGFAGC 就 可以得出AFG=C，就可以求出DFG 的值； （2）当 GD=GF 时，就可以得出GDF80，根据ADG=40+，就有 40+80+40+=180就可以 求出结论； 当 DF=GF 时， 就可以得出GDF=50， 就有 40+50+40+2=180， 当 DF=DG 时， GDF=20， 就有 40+20+40+2=180，从而求出结论 【答案与解析】解： （1）AB=AC，BAC=100， B=C=40 ABD 和AFD 关于直线 AD 对称， ADBADF， B=AFD=40，AB=AFBAD=FAD=， AF
20、=AC AG 平分FAC， FAG=CAG 在AGF 和AGC 中， ， AGFAGC（SAS） ， AFG=C DFG=AFD+AFG， DFG=B+C=40+40=80 答：DFG 的度数为 80； （2）当 GD=GF 时， GDF=GFD=80 ADG=40+， 40+80+40+=180， =10 当 DF=GF 时， FDG=FGD DFG=80， FDG=FGD=50 40+50+40+2=180， =25 当 DF=DG 时， DFG=DGF=80， GDF=20， 40+20+40+2=180， =40 当 =10，25或 40时，DFG 为等腰三角形 【总结升华】本题考查了
21、轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的 运用，解答时证明三角形的全等是关键 举一反三：举一反三： 【变式】如图，点 O 是等边ABC 内一点，AOB=105，BOC=将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得 ADC，连接 OD试判断COD 的形状，并说明理由 【答案】解：OCD 是等边三角形，理由为： 由旋转可得BCOACD， OC=CD，BCO=ACD， 又ABC 是等边三角形， ACB=60，即BCO+OCA=60， OCD=OCA+ACD=OCA+BCO=60，又 OC=CD， 则OCD 是等边三角形； 类型三、尺规作图，类型三、尺规作图，命题、定
22、理与命题、定理与逆命题、逆命题、逆定理逆定理 3.用圆规和直尺作图，在DEC 中找一点 P，使点 P 到DEC 两边的距离相等，并且到 M、N 两点的距离也 相等（保留作图痕迹） 【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 可知作出DEC 的平分线与线段 MN 的垂直平分线，交点即为所求 【答案与解析】 解：因为点 P 到DEC 两边的距离相等，所以点 P 在DEC 的角平分线上； 又因为点 P 到 M、N 两点的距离，所以点 P 在 MN 的垂直平分线上， 因而点 P 是DEC 的角平分线和 MN 的垂直平分线的交点 所以，点 P 即为所
23、求作的点 【总结升华】本题主要考查了角平分线的作法与线段垂直平分线的作法，都是基本作图，需熟练掌握 举一反三：举一反三： 【变式】尺规作图是指（ ） A . 用量角器和刻度尺作图 B . 用圆规和有刻度的直尺作图 C . 用圆规和无刻度的直尺作图 D . 用量角器和无刻度的直尺作图 【答案】C 4. 如图，平面上的四边形 ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中 AB=AD，CB=CD （1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形 ABCD 的两条对角线 ACBD，垂足为 E，并 且 BE=ED，你同意王云同学的判断吗？请充分说明理由； （2）设对角线 AC=a，BD=b，请用含
24、a，b 的式子表示四边形 ABCD 的面积 【思路点拨】 1、 根据线段垂直平分线的判定定理： 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上来判定 2、把筝形看成两个等底等高的三角形来求面积 【答案与解析】解： （1）王云同学的判断是正确的 理由：根据题设， AB=AD， 点 A 在 BD 的垂直平分线上 CB=CD， 点 C 在 BD 的垂直平分线上 AC 为 BD 的垂直平分线，BE=DE，ACBD （2）由（1）得 ACBD SABCD=SCBD+SABD=BDCE+BDAE=BDAC=ab 【总结升华】本题利用了线段垂直平分线的判定定理和三角形的三角形的面积公式求解 1 2 1 2
25、1 2 1 2 类型四、直角三角形的性质及全等判定类型四、直角三角形的性质及全等判定 5、如图所示，A60，CEAB 于 E，BDAC 于 D，BD 与 CE 相交于点 H，HD1，HE2，试求 BD 和 CE 的长 【答案与解析】 解：BDAC 于 D，A60， ABD906030， 在 RtBEH 中，HEB90，EBH30 BH2EH4 同理可得，CH2HD2， BDBHHD415 CECHHE224 【总结升华】 已知条件中出现 60角与直角三角形并存时， 应考虑到 “在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30， 那么它所对的直角边等于斜边的一半” ， 进而把三角形中角与角的关系转化为边
26、与边之间的关系， 充分 应用转化思想来解决问题 6、已知，如图，AC、BD 相交于 O，ACBD，CD90 . 求证：OCOD. 【思路点拨】根据已知条件 RtABD 和 RtBAC 利用 HL 可以判定全等，之后利用全等三角形的性质，再次证明 三角形全等，从而得到结论. 【答案与解析】CD90 ABD、ACB 为直角三角形 在 RtABD 和 RtBAC 中 RtABDRtBAC(HL) ADBC 在AOD 和BOC 中 ABBA BDAC AODBOC(AAS) ODOC 【总结升华】先由“HL”证 RtABDRtBAC，再利用全等性质为二次证明三角形全等补 充条件，这是全等判定和性质的综
27、合应用题. 类型五、类型五、勾股定理及其逆定理的运用勾股定理及其逆定理的运用 7、如图所示，在四边形 ABCD 中，AB3，BC4，CD12，AD13，B90，求四边形 ABCD 的面积 【答案与解析】 解：连接 AC，在ABC 中， 因为B90，AB3，BC4， 所以 AC 2=AB2+BC2=32+42=52=9+16=25，所以 AC5， 在ACD 中，AD13，DC12，AC5， 所以 DC 2+AC2=52+122=25+144=169=132=AD2， 即 DC 2+AC2=AD2 所以ACD 是直角三角形，且ACD90 所以 S四边形 ABCD=SABC+SACD=ABAC+AC
28、DC =34+512=6+30=36. 【总结升华】 有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解 由 AB3， BC4，B90，应想到连接 AC， 则在 RtABC 中即可求出ABC 的面积，也可求出线段 AC 的长所以在ACD 中，已知 AC，AD，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积而判断ACD 的形状，常考虑能否用 DC AODBOC ADBC 1 2 1 2 1 2 1 2 勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形 举一反三：举一反三： 【变式】如图，已知 AB=5，BC=12，CD=13，DA=10，ABBC，求四边形 ABCD 的面积 【答案】 解：连接 AC
29、，过点 C 作 CEAD 于点 E， ABBC，AB=5，BC=12， AC=13， CD=13， AC=CD=13， AD=10， AE= AD=5， CE=12 S四边形 ABCD=SABC+SACD= ABBC+ ADCE= 512+ 1012=30+60=90 例题讲解三 1、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从 A 处的牧场牵着一只马到草 地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在 N 上任意一点即可牧马，M 上任意一点即可饮马 ） （保留作图痕迹，需要证明） 【思路点拨】作 A 关于 ON 的对称点 E，点 B 关于 OM 的对称点 F，连接 EF 交 O
30、N 于 C，交 OM 于 D，连接 AC、BD， 即可得出答案；根据对称点推出 AC=EC，BD=FD，FR=BR，AT=ET，根据两点之间线段最短即可求出答案 【答案与解析】解：沿 AC-CD-DB 路线走是最短的路线如图（1）所示： 证明：如图（2） ，在 ON 上任意取一点 T，在 OM 上任意取一点 R，连接 FR、BR、RT、ET、AT， A、E 关于 ON 对称， AC=EC， 同理 BD=FD，FR=BR，AT=ET， AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF， AT+TR+BR=ET+TR+FR， ET+TR+FREF， AC+CD+DBAT+TR+BR， 即沿 AC-CD-D
31、B 路线走是最短的路线 【总结升华】本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，能 正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键 举一反三：举一反三： 【变式】如图：A 村和 B 村在公路 l 同侧，且 AB=3 千米，两村距离公路都是 2 千米现决定在公路 l 上建立一 个供水站 P，要求使 PA+PB 最短 （1）用尺规作图，作出点 P； （作图要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）求出 PA+PB 的最小值 【答案】解： （1）作图，如右图， 作出 A 点的对称点 A， 连接 BA，找到交点 P 点； （2）连接 AB，由题意知 AB=3km，A
32、A=4km， 在 RtA AB 中，根据勾股定理得：AB 2=42+32， AB=5km， 即 PA+PB=AB=5km， 答：PA+PB 的最小值是 5km 类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理 2、如图，A、B、C 三点在同一直线上，分别以 AB、BC 为边，在直线 AC 的同侧作等边ABD 和等边BCE， 连接 AE 交 BD 于点 M，连接 CD 交 BE 于点 N，连接 MN 得BMN （1）求证：ABEDBC （2）试判断BMN 的形状，并说明理由 【思路点拨】（1）由三角形 ABD 与三角形 BCE 都为等边三角形，
33、利用等边三角形的性质得到两条边对应相等， 两个角相等都为 60，利用 SAS 即可得到三角形 ABE 与三角形 DBC 全等； （2）三角形 BMN 为等边三角形，理由 为：由第一问三角形 ABE 与三角形 DBC 全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由 ABD=EBC=60，利用平角的定义得到MBE=NBC=60，再由 EB=CB，利用 ASA 可得出三角形 EMB 与三角 形 CNB 全等，利用全等三角形的对应边相等得到 MB=NB，再由MBE=60，利用有一个角为 60的等腰三角形 为等边三角形可得出三角形 BMN 为等边三角形 【答案与解析】解： （1）证明：等边ABD
34、和等边BCE， AB=DB，BE=BC，ABD=EBC=60， ABE=DBC=120， 在ABE 和DBC 中， ， ABEDBC（SAS） ； （2）BMN 为等边三角形，理由为： 证明：ABEDBC， AEB=DCB， 又ABD=EBC=60， MBE=1806060=60， 即MBE=NBC=60， 在MBE 和NBC 中， ， MBENBC（ASA） ， BM=BN，MBE=60， 则BMN 为等边三角形 【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解 本题的关键同时做第二问时注意利用第一问已证的结论 举一反三：举一反三： 【变式 1
35、】若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为 15cm 和 6cm 的两部分，求该三角形各边的长. 【答案】解：设腰长为 xcm，底边长为 ycm，分两种情况: (1) (2) 4413，不能形成三角形，应舍去. 等腰三角形三边长分别为 10cm，10cm，1cm. 【变式 2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或 150 D60或 120 【答案】D. 提示：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进行分类讨 论 类型三、尺规作图，类型三、尺规作图，命题、定理与命题、定理与逆命题、逆命题、逆定理逆定理 3.
36、（2016德州）如图，在ABC 中，B=55，C=30，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于AC 的长为 半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则BAD 的度数为（ ） A65 B60 C55 D45 【思路点拨】 根据线段垂直平分线的性质得到 AD=DC， 根据等腰三角形的性质得到C=DAC， 求得DAC=30， 15 2 6 2 x x x y 10; 1 x y 6 2 , 15 2 x x x y 4 ; 13 x y 根据三角形的内角和得到BAC=95，即可得到结论 【答案与解析】解：由题意可得：MN 是 AC 的垂直平分线， 则 AD=DC，
37、故C=DAC， C=30， DAC=30， B=55， BAC=95， BAD=BACCAD=65， 故选 A 【总结升华】此题中尺规作图的做法恰好是线段垂直平分线的做法，然后根据线段垂直平分线的性质，三角形 的内角和解得此题 类型四、类型四、直角三角形的性质及全等判定直角三角形的性质及全等判定 4、如图所示，在等边ABC 中，AECD，AD、BE 相交于点 P，BQAD 于 Q， 求证：BP2PQ 【思路点拨】等边三角形的三个内角都是 60，如果能在直角三角形中出现 60的角，则就会有 30角，利 用直角三角形的性质可以推得边的 2 倍关系. 【答案与解析】证明： ABC 为等边三角形， A
38、CBCAB，CBAC60 在ACD 和BAE 中， ACDBAE(SAS) CADABE CADBAPBAC60， ABEBAP60， BPQ60 BQAD， BQP90， PBQ906030， BP2PQ 【总结升华】(1)从结论入手，从要证 BP2PQ 联想到要求PBQ30(2)不能盲目地用 , ACAB CBAE CDAE 截长补短法寻找要证的“倍半”关系本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条 件，即 BP2PQPBQ30，另一方面从已知条件找结论，即由条件ACDBAE BPQ60PBQ30，分析时要注意联想与题目有关的性质定理 5、已知：如图，DEAC，BFAC，ADBC，DE
39、BF.求证：ABDC. 【答案与解析】证明：DEAC，BFAC， 在 RtADE 与 RtCBF 中 RtADERtCBF （HL） AECF，DEBF AEEFCFEF，即 AFCE 在 RtCDE 与 RtABF 中， RtCDERtABF（SAS） DCEBAF ABDC. 【总结升华】从已知条件只能先证出 RtADERtCBF，从结论又需证 RtCDERtABF. 我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目. 举一反三：举一反三： 【变式】如图, ABC 中, ACB=90, ABC=60, AB 的中垂线交 BC 的延长线于 D，交 AC 于 E, 已知 DE=2. 则 AC 的长为_
40、. 【答案】3； 提示：连接 AD，证ABD 为等边三角形，则 DE=AE=2，CE=1，所以 AC=3. 类型五、类型五、勾股定理及其逆定理的运用勾股定理及其逆定理的运用 6、如图所示，四边形 ABCD 中，ABAD，AB2，AD，CD3，BC5，求ADC 的度数 . ADBC DEBF ， DEBF DECBFA ECFA 2 3 【答案与解析】解： ABAD， A90， 在 RtABD 中， BD4， ，可知ADB30， 在BDC 中， ， BDC90， ADCADB+BDC30+90120 【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由 边的条件得到角
41、的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，折叠矩形 ABCD 一边，点 D 落在 BC 边的点 F 处，若 AB8，BC10，求 EC 的长 【答案与解析】解：设 CE，则 DE(8) ADE 折叠后的图形为AFE， ADEAFE 即 AFADBC10，EFED(8) 在 RtABF 中，由勾股定理，得 BF6 FC1064 在 RtEFC 中，由勾股定理，得 ， 即 22222 2(2 3)16BDABAD 1 2 ABBD 222 16325BDCD 22 525BC 222 BDCDBC cmcm xcmxcm cmx 22
42、22 108AFAB 222 EFECFC 222 (8)4xx 解得 即 EF 的长为 3 同步练习一 一、选择题一、选择题 1.下列命题中，不正确的是（ ） A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等 B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等 D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 2. 如图，ABC 中，ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD 和 CE 交于点 O，AO 的延长线交 BC 于 F，则图中全 等直角三角形的对数为（ ） A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 3. 如图，在ABC 中
43、ADBC，CEAB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H，已知 EHEB3，AE4，则 CH 的长是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4. 如图，ABAC，BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE、CF 交于点 D，则下列结论中不正确的是（ ） A. ABEACF B. 点 D 在BAC 的平分线上 C. BDFCDE D. 点 D 是 BE 的中点 55. （2016 春泰山区期末）如图所示，C=D=90添加一个条件，可使用“HL”判定 RtABC 与 RtABD 全等以下给出的条件适合的是（ ） 3x cm AAC=AD BAB=AB CABC=ABD DBAC=BAD 6.
44、已知,如图，ADBC，ABBC，CDDE，CDED，AD2，BC3，则ADE 的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 二、填空题二、填空题 7. （2016 秋亭湖区校级月考）如图，AB=AC，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，BE 与 CD 相交于点 O， 图中有 对全等的直角三角形 8. 已知，如图，AOB=60，CDOA 于 D，CEOB 于 E，若 CD=CE，则COD+AOB=_ 度 9. 判定两直角三角形全等的各种条件： （1）一锐角和一边； （2）两边对应相等； （3）两锐角对应相等.其中能 得到两个直角三角形全等的条件是_. 10.如图，AB=12，
45、CAAB 于 A，DBAB 于 B，且 AC=4m，P 点从 B 向 A 运动，每分钟走 1m，Q 点从 B 向 D 运动， 每分钟走 2m，P、Q 两点同时出发，运动 分钟后CAP 与PQB 全等 11. 如图，已知 AD 是ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且 BFAC，FDCD.则 BAD_. 12. 如图所示的网格中（44 的正方形） ，123456_. 三、解答题三、解答题 13用三角板可按下面方法画角平分线：在已知AOB 的两边上，分别取 OMON （如图） ，再分别过点 M、N 作 OA、OB 的垂线，交点为 P，画射线 OP，则 OP 平分AOB，请你
46、说出其中的道理 14. 求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等 15. 如图，A，E，F，C 在一条直线上，AECF，过 E，F 分别作 DEAC，BFAC，若 ABCD，试证明 BD 平分 EF 16.如图，四边形 ABDC 中，D=ABD=90，点 O 为 BD 的中点，且 OA 平分BAC （1）求证：OC 平分ACD； （2）求证：OAOC； （3）求证：AB+CD=AC 【答案与解析】【答案与解析】 一一. .选择题选择题 1. 【答案】C； 【解析】 C 选项如果是一个等腰直角三角形的腰和另一个等腰直角三角形的底边对应相等， 这是肯定不全等. 2. 【答案】D；
47、【解析】RtABDRtACE；RtBEORtCDO；RtAEORtADO； RtABFRtACF；RtBECRtCDB；RtBFORtCFO. 3. 【答案】A； 【解析】本题可先根据 AAS 判定AEHCEB，可得出 AECE，从而得出 CHCEEH431. 4. 【答案】D； 【解析】A 选项：ABAC，BEAC 于 E，CFAB 于 F，AAABEACF（AAS） ，正确；B 选项： ABEACF，ABACBFCE，BC，DFBDEC90DFDE 故点 D 在BAC 的平 分线上，正确；C 选项：ABEACF，ABACBFCE，BC，DFBDEC90 BDFCDE（AAS） ，正确. 5. 【答案】A； 【解析】解：需要添加的条件为 BC=BD 或 AC=AD，理由为： 若添加的条件为 BC=BD，RtABCRtABD（HL） ； 若添加的条件为 AC=AD，Rt
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