1、特殊特殊三角形三角形（二）（二）讲义讲义 例题讲解一 1、已知：如图，在ABC 中，A=30，ACB=90，M、D 分别为 AB、MB 的中点 求证：CDAB 【变式】在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的 4 倍，求这个直角三角形各个角的度数 2、在 RtABC 中，C=90，CDAB，垂足为点 D （1）如果A=60，求证：BD=3AD； （2）如果 BD=3AD，求证：A=60 【变式】如图，在ABC 中，BA=BC，B=120，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，求证：AD= DC 1 2 3、如图，在ABC 中，已知 AB=AC=2a，ABC=15，CD 是腰 AB 上的高
2、,求 CD 的长 【变式】已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BAD=BAC，过点 D 作 DEAB，DE 恰好是 ADB 的平分线，求证：CD=DB 4、如图，ABC 中，AD 是边 BC 上的高，CF 是边 AB 上的中线，且 DC=BF，DECF 于 E （1）E 是 CF 的中点吗？试说明理由； （2）试说明：B=2BCF 5、如图，ABC 中，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，M、N 分别是线段 BC、DE 的中点 （1）求证：MNDE； （2）连结 DM，ME，猜想A 与DME 之间的关系，并写出推理过程； （3）若将锐角ABC 变为钝角ABC，如图，上述（1） （2
3、）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不 需证明；若结论不成立，说明理由 1 2 1 2 【变式】已知：如图，ABC 中，M 为 BC 中点，DMME，MD 交 AB 于 D，ME 交 AC 于 E求证：BD+CE DE 例题讲解二 1、如图所示，在多边形 ABCD 中，AB2，CD1，A45，BD90，求多边形 ABCD 的面积 【变式】已知：如图，在ABC，BC=2，SABC=3，ABC=135，求 AC、AB 的长 2、已知直角三角形斜边长为 2，周长为，求此三角形的面积 26 3、长方形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点 B 与点 D 重合，折
4、痕为 EF，求 DE 的 长 4、如图所示，在一棵树的 10高的 B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树 20处的池塘 A 处，另外一 只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ 【变式】如图，有一个圆柱，它的高等于 12，底面半径等于 3，在圆柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想 吃到上底面上与 A 点相对的 B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取 3) 5、 （2016贵阳模拟）一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了 4 米到 A，那么梯子的底端在
5、水平方向滑动了几米？ mm cmcm 例题讲解三 1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）如果，那么； （3）等腰三角形两底角相等； （4）全等三角形的对应角相等 （5）对顶角相等 （6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（ ） 有两边相等的三角形是等腰三角形；若三角形三边满足，则该三角形是直角三 角形；全等三角形对应角相等；若，则 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2、如图所示，四边形 ABCD 中，ABAD，AB2，AD，CD3，BC5，求ADC 的度数 【变式 1】ABC 三边满足，则ABC
6、是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 【变式 2】如图所示，在ABC 中，已知ACB90，ACBC，P 是ABC 内一点，且 PA3，PB1，PCCD 2，CDCP，求BPC 的度数 2x 2 4x ab c， ， 222 abc ab 22 ab 2 3 ab c， ， 222 338102426abcabc 3、 （2016 春咸丰县月考）如图所示，在ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为 36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 1cm 的速度移动；点 Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动，如果
7、同 时出发，则过 3 秒时，BPQ 的面积为多少 cm2. 4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午 9 时 50 分我国缉私艇 A 发现在其正东方向有一走 私艇 C 并以每小时 13 海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其 5 海里，并在 MN 线上巡逻的缉私艇 B 密切注意， 并告知 A 和 C 两艇的距离是 13 海里， 缉私艇 B 测得 C 与其距离为 12 海里， 若走私艇 C 的速度不变， 最早在什么时间进入我国海域？ 特殊三角形特殊三角形（二）参考答案（二）参考答案 例题讲解一 1、已知：如图，在ABC 中，A=30，ACB=90，M、D 分别为 AB、MB 的
8、中点 求证：CDAB 【思路点拨】由ACB=90，M 为 AB 的中点根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半得到 CM=AB=BM，再根据在直角三角形中，30所对的边等于斜边的一半得到 CB= 1 2 1 2 AB=BM，则 CM=CB，而 D 为 MB 的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论 【答案与解析】 证明：ACB=90，M 为 AB 中点， CM=AB=BM， ACB=90，A=30， CB=AB=BM， CM=CB， D 为 MB 的中点， CDBM，即 CDAB 【总结升华】本题考查了含 30的直角三角形的性质：30所对的边等于斜边的一半；也 考查了直角三角形斜边上的中线等
9、于斜边的一半以及等腰三角形的性质 举一反三： 【变式】在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的 4 倍，求这个直角三角形各个角的度数 【答案】解：设设一个锐角为 x 度，则另一个锐角为 4x 度， 那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为 180， 所以 x+4x+90=180， x=18，4x=72， 答：三角分别为 18，72，90 类型二、含有类型二、含有 3030的直角三角形的直角三角形 2、在 RtABC 中，C=90，CDAB，垂足为点 D （1）如果A=60，求证：BD=3AD； （2）如果 BD=3AD，求证：A=60 【思路点拨】（1） 根据三角形的内角和定理求出ACD=B
10、=30， 根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2AC， AC=2AD 即可； （2）取 AB 的中点 O，连接 CO，设 AD=x，则 BD=3x，AB=4x，根据直角三角形斜边上中线求出 AO=CO，AD=DO， 证COA 是等边三角形即可求出答案 【答案与解析】 证明： （1）C=90，CDAB，A=60， ACD=B=30， C=90，CDAB， AB=2AC，AC=2AD， AB=4AD， BD=3AD （2）取 AB 的中点 O，连接 CO， BD=3AD， 1 2 1 2 设 AD=x，则 BD=3x，AB=4x， C=90，O 是 AB 的中点， OC=OA=2x， ODxC
11、O， CDAB， OCD=30， COD=60， OA=OC， ACO 是等边三角形， A=60 【总结升华】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含 30 度角的直角三角形，等边三 角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 举一反三： 【变式】如图，在ABC 中，BA=BC，B=120，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，求证：AD= DC 【答案】解：如图，连接 DB MN 是 AB 的垂直平分线， AD=DB， A=ABD， BA=BC，B=120， A=C=（180-120）=30， ABD=30， 又ABC=120， DBC=120-30=
12、90， BD=DC， AD=DC 3、如图，在ABC 中，已知 AB=AC=2a，ABC=15，CD 是腰 AB 上的高,求 CD 的长 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 【思路点拨】过点 C 作 CDAB 于 D，根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到 DAC=30在直角ACD 中，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半解得 CD 的长 【答案与解析】 解：AB=AC， C=ABC=15， DAC=30， AB=AC=2a， 在直角ACD 中 CD= AC=a 【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角三角形的内角与外角的关系以及直 角三角形中 30 度所对的直
13、角边等于斜边的一半 举一反三： 【变式】已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BAD=BAC，过点 D 作 DEAB，DE 恰好是 ADB 的平分线，求证：CD=DB 【答案】 解：DEAB， AED=BED=90， DE 是ADB 的平分线， 3=4，又DE=DE， BEDAED（ASA）， AD=BD，2=B， BAD=2=BAC， 1=2=B， AD=BD， 又1+2+B=90， B=1=2=30， 在直角三角形 ACD 中，1=30， CD=AD=BD 类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、如图，ABC 中，AD 是边 BC
14、上的高，CF 是边 AB 上的中线，且 DC=BF，DECF 于 E （1）E 是 CF 的中点吗？试说明理由； （2）试说明：B=2BCF 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 【思路点拨】 （1）连接 DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DF=BF= AB，然后求出 CD=DF， 再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据等边对等角可得DCF=DFC，B=BDF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 解答即可 【答案与解析】 （1）解：如图，连接 DF，AD 是边 BC 上的高，CF 是边 AB 上的中线， DF=BF= AB， DC=BF
15、， CD=DF， DECF， E 是 CF 的中点； （2）证明：由（1）的结论 DF=BF 得FDB=FBD， DC=BF， DCF=DFC， 由外角的性质得FDB=DCF+DFC=2DCF， FBD=2DCF， 即B=2BCF 【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边 对等角的性质，熟记各性质是解题的关键 5、 （2016 春广饶县期末）如图，ABC 中，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，M、N 分别是线段 BC、DE 的 中点 （1）求证：MNDE； （2）连结 DM，ME，猜想A 与DME 之间的关系，并写出推理过程； （
16、3）若将锐角ABC 变为钝角ABC，如图，上述（1） （2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不 需证明；若结论不成立，说明理由 【思路点拨】 （1）连接 DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DM=BC，ME=BC，从而得 到 DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明； （2） 根据三角形的内角和定理可得ABC+ACB=180A， 再根据等腰三角形两底角相等表示出BMD+CME， 然后根据平角等于 180表示出DME，整理即可得解； （3） 根据三角形的内角和定理可得ABC+ACB=180A， 再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外 角等于与它不相邻的两
17、个内角的和表示出BME+CME， 然后根据平角等于 180表示出DME， 整理即可得解 【答案与解析】 解： （1）如图，连接 DM，ME， CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，M 是 BC 的中点， DM=BC，ME=BC， DM=ME 又N 为 DE 中点， MNDE； （2）在ABC 中，ABC+ACB=180A， DM=ME=BM=MC， BMD+CME=（1802ABC）+（1802ACB） ， =3602（ABC+ACB） ， =3602（180A） ， =2A， DME=1802A； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：在ABC 中，ABC+ACB=180A
18、， DM=ME=BM=MC， BME+CMD=2ACB+2ABC=2（180A）=3602A， DME=180（3602A）=2A180 【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三 角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键 举一反三： 【变式】已知：如图，ABC 中，M 为 BC 中点，DMME，MD 交 AB 于 D，ME 交 AC 于 E求证：BD+CE DE 【答案】 证明：如图，延长 DM 到 F，使 MF=DM，连接 EF、CF， BM=CM，BMD=CMF， BDMCFM（SAS） ， BD=CF， DMME，DM=FM，M
19、E 是公共边， DEMFEM（SAS） ， DE=FE， 在ECF 中，EC+FCEF， BD+ECDE 例题讲解二 1、如图所示，在多边形 ABCD 中，AB2，CD1，A45，BD90，求多边形 ABCD 的面积 【答案【答案与解析与解析】 解：延长 AD、BC 相交于点 E B90，A45 E45， ABBE2 ADC90， DCE45， CDDE1 ， 【总结升华总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等） ， 转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题 举一反三：举一反三： 【变式】已知：如图，在ABC，BC
20、=2，SABC=3，ABC=135，求 AC、AB 的长 【答案】【答案】 解：如图，过点 A 作 ADBC 交 CB 的延长线于 D， 在ABC 中，SABC=3，BC=2， AD=3， ABC=135， ABD=180135=45， AB=AD=3， BD=AD=3， 在 RtADC 中，CD=2+3=5， 由勾股定理得，AC= 2、已知直角三角形斜边长为 2，周长为，求此三角形的面积 【思路点拨】【思路点拨】欲求 Rt的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为，结合勾股定理又得其 平方和为 4，于是可转化为用方程求解 【答案【答案与解析与解析】 解：设这个直角三角形的两直角边长
21、分别为，则 即 将两边平方，得 1 2 22 2 ABE S 11 1 1 22 DCE S 13 2 22 ABEDCEABCD SSS 四边形 26 6 ab、 222 226 2 ab ab 22 6 4 ab ab 22 26aabb ，得，所以 因此这个直角三角形的面积为 【总结升华总结升华】此题通过设间接未知数，通过变形直接得出的值，而不需要分别求出 的值本 题运用了方程思想解决问题 3、长方形纸片 ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，求 DE 的 长 【思路点拨】【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE从而设 BE 即
22、可表示 AE在直角三角形 ADE 中，根据勾股定理列方程即 可求解 【答案【答案与解析与解析】 解：设 DE=xcm，则 BE=DE=x，AE=ABBE=10 x， ADE 中，DE 2=AE2+AD2，即 x2=（10 x）2+16 x=（cm） 答：DE 的长为cm. 【总结升华总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等 类型二、利用勾股定理解决实际问题类型二、利用勾股定理解决实际问题 4、如图所示，在一棵树的 10高的 B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树 20处的池塘 A 处，另外一 只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树
23、有多高？ 【思路点拨】【思路点拨】其中一只猴子从 BCA 共走了(10+20)=30，另一只猴子从 BDA 也共走了 30，并且树 垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决 【答案【答案与解析与解析】 解：设树高 CD 为，则 BD10，AD30(10)40， 在 RtACD 中， 22ab 11 22 ab 1 2 ab、 1 2 abab、 mm mm xxxx 222 20(40)xx 解得：15 答：这棵树高 15 【总结升华总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出 DC 和 DA，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解 举一反三：举一反三： 【变式】如图，有一个圆
24、柱，它的高等于 12，底面半径等于 3，在圆柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想 吃到上底面上与 A 点相对的 B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取 3) 【答案】【答案】 解：如图所示，由题意可得： ， 在 RtAAB 中，根据勾股定理得： 则 AB15 所以需要爬行的最短路程是 15 5、 （2016贵阳模拟）一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了 4 米到 A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【思路点拨】【思路点拨】 （1）利用勾股定理直接得出 AB 的长即可； （2）利用勾股定理直接得出 B
25、C的长，进而得出答案 【答案【答案与解析与解析】 解： （1）由题意得：AC=25 米，BC=7 米， AB=24（米） ， 答：这个梯子的顶端距地面有 24 米； （2）由题意得：BA=20 米， BC=15（米） ， 则：CC=157=8（米） ， 答：梯子的底端在水平方向滑动了 8 米 x m cmcm 12AA 1 239 2 A B 22222 129225ABAAA B cm cm 【总结升华总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键 例题讲解三 1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）如果，那么； （3）等腰三角形两
26、底角相等； （4）全等三角形的对应角相等 （5）对顶角相等 （6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 【思路点拨】【思路点拨】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题 要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可 【答案【答案与解析与解析】 解： （1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题 （2）逆命题是：如果，那么，它是假命题 （3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题 （4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题 （5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题 （6）逆命题是：到线段两
27、个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题 【总结升华总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命 题，可以借助“如果那么”分清题设和结论每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题 举一反三：举一反三： 【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（ ） 有两边相等的三角形是等腰三角形；若三角形三边满足，则该三角形是直角三 角形；全等三角形对应角相等；若，则 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】【答案】B； 提示：的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满 足（为斜边） ；但对应角
28、相等的两个三角形不一定全等；若，与不一定相等，所 以、的逆命题是假命题，不可能是定理 类型二、勾股定理逆定理的应用类型二、勾股定理逆定理的应用 2、如图所示，四边形 ABCD 中，ABAD，AB2，AD，CD3，BC5，求ADC 的度数 2x 2 4x 2 4x 2x ab c， ， 222 abc ab 22 ab 222 abcc 22 abab 2 3 【答案【答案与解析与解析】 解： ABAD， A90， 在 RtABD 中， BD4， ，可知ADB30， 在BDC 中， ， BDC90， ADCADB+BDC30+90120 【总结升华总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的
29、三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的 结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理 举一反三：举一反三： 【高清课堂【高清课堂 勾股定理逆定理勾股定理逆定理 例例 4 4】 【变式 1】ABC 三边满足，则ABC 是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 【答案】【答案】D； 提示：由题意， 因为，所以ABC 为直角三角形. 【变式 2】如图所示，在ABC 中，已知ACB90，ACBC，P 是ABC 内一点，且 PA3，PB1，PCCD 2，CDCP，求BPC 的度数 【答案】【答案】 22222 2(2 3)16BDABAD 1 2
30、 ABBD 222 16325BDCD 22 525BC 222 BDCDBC ab c， ， 222 338102426abcabc 222 512130abc51213abc， 222 abc 解：连接 BD CDCP，且 CDCP2， CPD 为等腰直角三角形，即CPD45 ACP+BCPBCP+BCD90， ACPBCD CACB， CAPCBD(SAS)， DBPA3 在 RtCPD 中， 又 PB1，则 ， 222 8 19DBDPPB ， DPB 为直角三角形，且DPB90， CPBCPD+DPB45+90135 3、 （2016 春咸丰县月考）如图所示，在ABC 中，AB：BC
31、：CA=3：4：5，且周长为 36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 1cm 的速度移动；点 Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动，如果同 时出发，则过 3 秒时，BPQ 的面积为多少 cm2. 【思路点拨思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形再求出 3 秒后的 BP，BQ 的长，利用三角形的面积公式计算求解 【答案与解析】【答案与解析】 解：设 AB 为 3xcm，BC 为 4xcm，AC 为 5xcm， 周长为 36cm， AB+BC+AC=36cm， 3x+4x+5x=36， 得 x=3， A
32、B=9cm，BC=12cm，AC=15cm， AB2+BC2=AC2， ABC 是直角三角形， 过 3 秒时，BP=931=6（cm） ，BQ=23=6（cm） ， SPBQ= BPBQ= （93）6=18（cm2） 故过 3 秒时，BPQ 的面积为 18cm2 22222 228DPCPCD 2 1PB 2 9DB 【总结升华总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解由勾股 定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键隐含了整体的数学思想和正确运算的能力 类型三、类型三、勾股定理逆定理的实际应用勾股定理逆定理的实际应用 4、如图所示，MN 以左
33、为我国领海，以右为公海，上午 9 时 50 分我国缉私艇 A 发现在其正东方向有一走 私艇 C 并以每小时 13 海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其 5 海里，并在 MN 线上巡逻的缉私艇 B 密切注意， 并告知 A 和 C 两艇的距离是 13 海里， 缉私艇 B 测得 C 与其距离为 12 海里， 若走私艇 C 的速度不变， 最早在什么时间进入我国海域？ 【答案与解析】【答案与解析】 解： ， ABC 为直角三角形 ABC90 又 BDAC，可设 CD， 得， 解得 0.85(h)51(分) 所以走私艇最早在 10 时 41 分进入我国领海 【总结升华总结升华】 （1）本题用勾股定
34、理作相等关系列方程解决问题， （2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为 勾股定理的运用提供了条件 222222 51216913ABBCAC x 222 222 12 , (13)5 , xBD xBD 22 16926119xxx 144 13 x 144144 13 13169 同步练习一 一一. .选择题选择题 1如图，数轴上点 A 所表示的数为，则的值是（ ） A B C D 2如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则 S=（ ） A25 B31 C32 D40 3. 如图所示，折叠矩形 ABCD 一边，点 D 落在 B
35、C 边的点 F 处，若 AB8，BC10，EC 的长为（ ） cm A3 B4 C5 D6 4如图，长方形 AOBC 中，点 A 的坐标为（0，8)，点 D 的纵坐标为 3，若将矩形沿直线 AD 折叠，则顶点 C 恰 好落在边 OB 上 E 处，那么图中阴影部分的面积为（ ） A. 30 B32 C34 D16 5如图，已知ABC 中，ABC90,ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，上，且，之 间的距离为 2 , ，之间的距离为 3 ,则 AC 的长是（ ） A B C D7 aa 5151515 cmcm 1 l 2 l 3 l 1 l 2 l 2 l 3 l 1725224 6.（
36、2016漳州）如图，ABC 中，AB=AC=5,BC=8，D 是线段 BC 上的动点（不含端点 B、C）.若线段 AD 长为正 整数，则点 D 的个数共有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 二二. .填空题填空题 7若一个直角三角形的两边长分别为 12 和 5，则此三角形的第三边长为_ 8. 如图，将长 8，宽 4的长方形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与 C 重合，则折痕 EF 的长为_. 9.在ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为 12cm，则ABC 的面积为 cm 2 10 （2016黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方
37、形拼成的一个大正方 形如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边长为 a，较长的直角边长 为 b，那么（a+b）2的值是 _ 11. 已知长方形 ABCD，AB3，AD4，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于 点 E、F，则 AE 的长为_. 12在直线上依次摆着 7 个正方形(如图)，已知倾斜放置的 3 个正方形的面积分别为 1，2，3，水平放置的 4 cmcmcm cmcm 个正方形的面积是则_ 三三. .解答题解答题 13.如图所示，一架长为 2.5 米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底 0.7 米，求
38、梯子顶端离地多 少米？如果梯子顶端沿墙下滑 0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少 m？ 14. 现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求： 在左 下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为 1）中用实线画出 拼接成的新正方形. 15. 将一副三角尺如图拼接：含 30角的三角尺（ABC）的长直角边与含 45角的三角尺（ACD）的斜边恰 好重合已知 AB2，P 是 AC 上的一个动点 （1）当点 P 在ABC 的平分线上时，求 DP 的长； （2）当点 PDBC 时，求此时PDA 的度数. 【答案与解析】【答
39、案与解析】 一一. .选择题选择题 1.【答案】A； 【解析】1 所表示的点到点 A 的距离为，OA 的距离为. 1234 SSSS， ， ， ， 1234 SSSS 551 2.【答案】B； 【解析】解：如图，由题意得： AB 2=S 1+S2=13， AC 2=S 3+S4=18， BC 2=AB2+AC2=31， S=BC 2=31， 故选 B 3.【答案】A； 【解析】 设 CE， 则 DE(8) 在 RtABF 中， 由勾股定理， 得 BF 6 FC1064()在 RtEFC 中，由勾股定理，得，即 解得即 EC 的长为 3 4.【答案】A； 【解析】由题意 CDDE5，BE4，设
40、OE，AEAC，所以，阴影部 分面积为. 5.【答案】A； 【解析】如图，分别作 CD交于点 E，作 AF，则可证AFBBDC，则 AF3BD, BFCD23 5，DF538AE，在直角AEC 中，勾股定理得 AC. 6. 【答案】C 【解析】过点 A 作 AEBC,则由勾股定理得 AE=3，点 D 是线段 BC 上的动点（不含端点 B、C）.所以 3AD 5，AD=3 或 4，共有 3 个符合条件的点. 二二. .填空题填空题 xcmxcm 2222 108AFAB cmcm 222 EFECFC 222 (8)4xx3x cm x4x 2 22 84xx6x 11 6 84 330 22
41、3 l 2 l 3 l 7. 【答案】13 或； 【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12 也可能是斜边. 8. 【答案】； 【解析】设 AEEC，EB，则，解得，过 E 点作 EHDC 于 H，EH4，FH 532，EF. 9. 【答案】126 或 66； 【解析】解：当B 为锐角时（如图 1） ， 在 RtABD 中， BD=5cm， 在 RtADC 中， CD=16cm， BC=21， SABC= 2112=126cm 2； 当B 为钝角时（如图 2） ， 在 RtABD 中， BD=5cm， 在 RtADC 中， CD=16cm， BC=CDBD=165=11cm， SAB
42、C= 1112=66cm 2， 故答案为：126 或 66 119 2 5 x8x 2 22 84xx5x 22 422 5 10 【答案】25； 【解析】根据题意，结合勾股定理 a2+b2=13，四个三角形的面积=4 ab=131， 2ab=12，联立解得： （a+b）2=13+12=25 11.【答案】； 【解析】连接 BE，设 AE，BEDE，则，. 12 【答案】4； 【解析】，故. 三三. .解答题解答题 13.【解析】 解：由题意可得：AB=2.5m，AO=0.7m， 故 BO=2.4（m） ， 梯子顶端沿墙下滑 0.4m， DO=2m，CD=2.5m， 由勾股定理得 CO=1.5
43、m， AC=COAO=1.50.7=0.8（m） 答：梯子底端将向左滑动 0.8m 14.【解析】 解：如图所示： 15.【解析】 解： （1）连接 DP，作 DHAC， 在 RtABC 中，AB2，CAB30，BC，AC. BP 是ABC 的角平分线， 7 8 cm x4x 2 22 34xx 7 8 x 1234 13SSSS 1234 4SSSS 3 CBP30，CP. 在 RtADC 中，DHAHHCAC， HP， DP. （2）当 PDBC1 时，P 点的位置可能有两处，分别为， 在 Rt中， 所以30，304575； 同理，453015. 所以PDA 的度数为 15或 75. 同步
44、练习二 一一. .选择题选择题 1 （2016 春平武县校级月考）下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ） A13，16，19 B， C18，24，36 D12，35，37 2. 下列三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角之比为 561 B. 一边上的中线等于这一边的一半 C.三边之长为 20、21、29 D. 三边之比为 1.5 : 2 : 3 3. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 三个角的度数之比为 1:3:4 的三角形是直角三角形； B. 三边之比为 1: :2 的三角形是直角三角形； C. 三个角的度数之比为 1:2:2 的三角形是直角三角形； 3 3 1 2 3 2 33
45、3 236 2222 3330 ()() 266 DHHP 1 P 2 P 1 DHP 22 1 31 1() 22 HP 1 HDP 1 PDA 2 PDA 3 D. 三边之比为:2 的三角形是直角三角形. 4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线 段是（ ） ACD、EF、GH BAB、EF、GH CAB、CF、EF DGH、AB、CD 5五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 6. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法： 能组成一个三角形 能
46、组成三角形 能组成直角三角形 能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二二. .填空题填空题 7若ABC 中，则B_. 8如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的ABC 是_三角形 9（2016 春罗定市期中） 若ABC 的三边长分别为 x+1， x+2， x+3， 要使此三角形成为直角三角形， 则 x= 10ABC 的两边分别为 5，12，另一边为奇数，且是 3 的倍数，则应为_，此三角形 为_ 11如果三角形的三边 a，b，c 满足 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为 三角形 12. 如果线段能组成一个直角三角形，那么_组
47、成直角三角形.(填“能”或“不能”). 22 cba,c h 222 ,cbacba, hbahc, hba 1 , 1 , 1 2 babac ab，ca b c c ab c， ， 2 , 2 , 2 cba 三三. .解答题解答题 13已知是ABC 的三边，且，试判断三角形的形状 14如图所示， 在正方形 ABCD 中，M 为 AB 的中点， N 为 AD 上的一点，且 AN= AD，试猜测CMN 是什么三角形， 请证明你的结论 （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 15.在等边ABC 内有一点 P，已知 PA=3，PB=4，PC=5.现将APB 绕 A 点逆时针旋转 60，使 P 点到达 Q 点， 连 PQ，猜想PQC 的形状，并论证你的猜想. 【答案
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