1、三角形三角形（二）（二）讲义讲义 例题讲解一 1、如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AC，AE，若 AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中 的全等三角形有（ ） A0 对 B1 对 C2 对 D3 对 【变式】如图，把两根钢条 AA，BB的中点连在一起，可以做成一个测量内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理利 用了三角形全等判定定理 2、如图，AD 是ABC 的中线，求证：ABAC2AD 3、已知，如图：在ABC 中，B2C，ADBC， 求证：ABCDBD 【变式】已知，如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，并且 AE（ABAD） ，求证：B D1
2、80. 4、如图，公园里有一条“Z 字形道路 ABCD，其中 ABCD，在 AB，BC，CD 三段路旁各有一个小石凳 E，M， F，且 BECF，M 在 BC 的中点.试判断三个石凳 E，M，F 是否恰好在一条直线上？为什么？ 5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等） ，每一个 顶点处都有一个挂钩（连在轴上） ，不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【变式变式】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条那么要使五边形木架不变形，至少要钉 几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使 n 边形木架不变形又至少要钉多
3、少根木条? 1 2 6、如图，ABC 中，BAC=135，点 P、Q 在边 BC 上，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC，并且 AP=8， AQ=6，求 BC 的长 【变式】如图所示，DE 是线段 AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ） AED=CD BDAC=B CC2B DB+ADE=90 例题讲解二 1、已知：如图，E，F 在 AC 上，ADCB 且 ADCB，DB 求证：AECF 【变式】如图，已知 AE=CF，AFD=CEB，ADBC，求证： ADFCBE 2、已知：如图，ABAE，ADAC，EB，DECB 求证：ADAC 【变式】如图，AD 是ABC 的中线，
4、过 C、B 分别作 AD 及 AD 的延长线的垂线 CF、BE. 求证：BECF. 3、已知：如图，AC 与 BD 交于 O 点，ABDC，ABDC （1）求证：AC 与 BD 互相平分； （2）若过 O 点作直线 l，分别交 AB、DC 于 E、F 两点， 求证：OEOF. 4、 如图， 要测量河两岸相对两点 A， B 间的距离， 先在过 B 点的 AB 的垂线 l 上取两点 C、 D， 使 CD=BC， 再在过 D 点的垂线上取点 E，使 A、C、E 在一条直线上，这时，ACBECD，ED=AB，测 ED 的长就得 AB 的长，判定ACBECD 的理由是（ ） A.SAS B.ASA C.
5、SSS D.AAS 【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有 1、2、3、4 的四块） ，你认为将 其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃应该带（ ） A.第 4 块 B. 第 3 块 C. 第 2 块 D.第 1 块 5如图，ACB90,BD 平分ABC 交 AC 于 D，DEAB 于 E，ED 的延长线交 BC 的延长线于 F. 求证： AECF 【变式】如图, ABC 中, C=90, AC=BC, AD 平分CAB, 交 BC 于 D, DEAB 于 E, 且 AB6cm, 则DEB 的周长为( ) A. 4cm B. 6cm C.10
6、cm D. 以上都不对 例题讲解三 1、 如图， G 是线段 AB 上一点， AC 和 DG 相交于点 E.请先作出ABC 的平分线 BF， 交 AC 于点 F； 然后证明： 当 ADBC，ADBC，ABC2ADG 时，DEBF. 【变式】已知：如图，在MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQNQ 求证：HNPM. 2、如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC，过 C 点作直线 l，点 D，E 在直线 l 上，连接 AD，BE， ADC=CEB=90求证：ADCCEB 【变式】如图，给出下列四组条件： AB=DE，BC=EF，AC=DF； AB=DE，B=EBC=EF；
7、 B=E，BC=EF，C=F； AB=DE，AC=DF，B=E 其中，能使ABCDEF 的条件共有（ ） A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 3、平面内有一等腰直角三角板（ACB90）和一直线 MN过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F当点 E 与点 A 重合时（如图 1） ，易证：AFBF2CE当三角板绕点 A 顺时针旋转至图 2 的位置时，上 述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写 出你的猜想，不需证明 【变式】已知 RtABC 中，ACBC，C90，D 为 AB 边的中点，EDF9
8、0，EDF 绕 D 点旋转，它的两 边分别交 AC、CB 于 E、F当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1） ，易证 1 2 DEFCEFABC SSS ； 当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请写出你的猜想，不需证明. 4、小强为了测量一幢高楼高 AB，在旗杆 CD 与楼之间选定一点 P测得旗杆顶 C 视线 PC 与地面夹角 DPC=36，测楼顶 A 视线 PA 与地面夹角APB=54，量得 P 到楼底距离 PB 与旗杆高度相等，等于 10 米， 量得旗杆与楼之间距离为 DB=36 米，
9、小强计算出了楼高，楼高 AB 是多少米？ 5、如图，P 为ABC 的外角平分线上任一点.求证：PBPCABAC. 【变式】如图，DCAB，BAD 和ADC 的平分线相交于 E，过 E 的直线分别交 DC、AB 于 C、B 两点. 求证：AD ABDC. 三角形（二）参考答案三角形（二）参考答案 例题讲解一 1、如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AC，AE，若 AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中 的全等三角形有（ ） A0 对 B1 对 C2 对 D3 对 【思路点拨】【思路点拨】首先证明ABEAEC，再证明AECADC，ABEADC 【答案【答案与解析与解析】
10、解：在ABE 和AEC 中， ， ABEAEC（SSS） ， 在AEC 和ADC 中， ， ABOADO（SSS） ， ABEADC， 故选 D 【总结升华总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含 在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等 三角形的性质和判定. 举一反三：举一反三： 【变式】如图，把两根钢条 AA，BB的中点连在一起，可以做成一个测量内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理利 用了三角形全等判定定理 【答案】【答案】SAS 解：卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理 SAS，理由
11、如下： O 是 AA，BB的中点， AO=AO，BO=BO， 又AOB 与AOB是对顶角， AOB=AOB， 在AOB 和AOB中， ， AOBAOB（SAS） ， AB=AB， 只要量出 AB的长度，就可以知道工作的内径 AB 是否符合标准 类型二、类型二、全等三角形的判定全等三角形的判定 2 2“边角边”“边角边” 2、如图，AD 是ABC 的中线，求证：ABAC2AD 【思路点拨】【思路点拨】延长 AD 到点 E，使 ADDE，连接 CE通过证全等将 AB 转化到CEA 中，同时也构造出了 2AD利 用三角形两边之和大于第三边解决问题. 【答案【答案与解析与解析】 证明：如图，延长 AD
12、 到点 E，使 ADDE，连接 CE 在ABD 和ECD 中，ADDE，ADBEDC，BDCD ABDECD ABCE ACCEAE， ACABAE2AD即 ACAB2AD 【总结升华总结升华】 证明边的大小关系主要有两个思路：（1） 两点之间线段最短；（2） 三角形的两边之和大于第三边 要 证明 ABAC2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形 是转化线段的重要手段 可利用旋转变换， 把ABD 绕点 D 逆时针旋转 180得到CED， 也就把 AB 转化到CEA 中，同时也构造出了 2AD若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种
13、重要方法 3、已知，如图：在ABC 中，B2C，ADBC， 求证：ABCDBD 【思路点拨】【思路点拨】在 DC 上取一点 E，使 BDDE，则ABDAED，所以 ABAE，只要再证出 ECAE 即可 【答案【答案与解析与解析】 证明：在 DC 上取一点 E，使 BDDE ADBC，ADBADE 在ABD 和AED 中， BDDE，ADAD ABDAED（SAS） ABAE，BAED 又B2CAEDCEAC CEACAEEC A E D C B ABAEECCDDECDBD 【总结升华总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中 在基本图形里
14、面，从而使问题加以解决如图，要证明 ABCDBD，把 CDBD 转化为一条线段，可利用翻折 变换，把ABD 沿 AD 翻折，使线段 BD 运动到 DC 上，从而构造出 CDBD，并且也把B 转化为AEB，从而拉 近了与C 的关系. 举一反三：举一反三： 【变式】已知，如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，并且 AE（ABAD） ，求证：B D180. 【答案】【答案】 证明：在线段 AE 上，截取 EFEB，连接 FC， CEAB， CEBCEF90 在CBE 和CFE 中， CBE 和CFE（SAS） BCFE AE（ABAD） ，2AE ABAD AD2AEAB
15、 AEAFEF， AD2（AFEF）AB2AF2EFABAFAFEFEBABAFABAB， 即 ADAF 在AFC 和ADC 中 AFCADC（SAS） AFCD AFCCFE180，BCFE. 1 2 CEBCEF EC =EC EBEF 1 2 ( AFAD FACDAC ACAC 角平分线定义） AFCB180，BD180. 类型三、类型三、全等三角形判定的实际应用全等三角形判定的实际应用 4、如图，公园里有一条“Z 字形道路 ABCD，其中 ABCD，在 AB，BC，CD 三段路旁各有一个小石凳 E，M， F，且 BECF，M 在 BC 的中点.试判断三个石凳 E，M，F 是否恰好在一
16、条直线上？为什么？ 【答案与解析】【答案与解析】三个小石凳在一条直线上 证明：AB 平行 CD（已知） BC（两直线平行，内错角相等） M 在 BC 的中点（已知） BMCM（中点定义） 在BME 和CMF 中 BMECMF（SAS） EMBFMC（全等三角形的对应角相等） EMFEMBBMFFMCBMFBMC180（等式的性质） E，M，F 在同一直线上 【总结升华总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证BME CMF，可得EMBFMC，再由EMFEMBBMFFMCBMFBMC180得到 E，M，F 在同一直线 上. 类型四、三角形的稳定性类型
17、四、三角形的稳定性 5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等） ，每一个 顶点处都有一个挂钩（连在轴上） ，不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案【答案与与解析解析】 解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。它的固定方法是：任选两 个不在同一木条上的顶点固定就行了。 【总结升华【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等. 举一反三举一反三： 【变式变式】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条那么要使五边形木架不变形，至少要钉 BECF BC BMC
18、M 几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使 n 边形木架不变形又至少要钉多少根木条? 【答案】【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉 2 根木条；使七边形木架不变形，至少要钉 4 根木条；使 n 边形木 架不变形，至少要钉(n-3)根木条 类型五、线段垂直平分线性质定理类型五、线段垂直平分线性质定理 6、如图，ABC 中，BAC=135，点 P、Q 在边 BC 上，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC，并且 AP=8， AQ=6，求 BC 的长 【思路点拨】【思路点拨】由 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC，根据线段垂直平分线的性质，可得 PA=PB，QA=Q
19、C，继而可得 BAP+CAQ=B+C=180BAC=90，再利用勾股定理计算出 PQ 的长，进而可求得答案 【答案【答案与解析与解析】 解：MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC， PA=PB，QA=QC， BAP=B，CAQ=C， BAC=135， BAP+CAQ=B+C=180BAC=45， PAQ=BAC（BAP+CAQ）=90 AP=8，AQ=6， PQ=10， BC=20 【总结升华总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质关键是正确计算出PAQ 的度数，掌 握勾股定理 举一反三举一反三 【变式】如图所示，DE 是线段 AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是
20、（ ） AED=CD BDAC=B CC2B DB+ADE=90 【答案】【答案】D. 例题讲解二 1、已知：如图，E，F 在 AC 上，ADCB 且 ADCB，DB 求证：AECF 【答案与解析】【答案与解析】 证明：ADCB AC 在ADF 与CBE 中 AC ADCB DB ADFCBE （ASA） AFCE ，AFEFCEEF 故得：AECF 【总结升华】【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边) 的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等 举一反三：举一反三： 【变式】如图
21、，已知 AE=CF，AFD=CEB，ADBC，求证： ADFCBE 【答案】【答案】 证明：AE=CF， AE+EF=CF+EF， 即 AF=CE； ADBC， A=C； 在 ADF 与 CBE 中， ， ADFCBE（ASA） 类型二、类型二、全等三角形的判定全等三角形的判定 4 4“角角边”“角角边” 【高清课堂：【高清课堂：379110 379110 全等三角形的判定二，例全等三角形的判定二，例 6 6】 2、已知：如图，ABAE，ADAC，EB，DECB 求证：ADAC 【思路点拨】【思路点拨】要证 ACAD，就是证含有这两个线段的三角形BACEAD. 【答案与解析答案与解析】 证明：
22、ABAE，ADAC， CADBAE90 CADDABBAEDAB ，即BACEAD 在BAC 和EAD 中 BACEAD BE CB=DE BACEAD（AAS） ACAD 【总结升华总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等 举一反三：举一反三： 【变式】如图，AD 是ABC 的中线，过 C、B 分别作 AD 及 AD 的延长线的垂线 CF、BE. 求证：BECF. 【答案】【答案】 证明：AD 为ABC 的中线 BDCD BEAD，CFAD， BEDCFD90， 在BED 和CFD 中 BEDCFD BDECDF BDCD （对顶角相等） BEDC
23、FD（AAS） BECF 3、已知：如图，AC 与 BD 交于 O 点，ABDC，ABDC （1）求证：AC 与 BD 互相平分； （2）若过 O 点作直线 l，分别交 AB、DC 于 E、F 两点， 求证：OEOF. 【思路点拨】【思路点拨】 （1）证ABOCDO，得 AOOC，BODO（2）证AEOCFO 或BEODFO 【答案与解析】【答案与解析】 证明：ABDC 在ABO 与CDO 中 AC (AOBCOD 对顶角相等） AB=CD ABOCDO（AAS） AOCO ，BO=DO 在AEO 和CFO 中 AC (AOECOF AO=CO 对顶角相等） AEOCFO（ASA） OEOF.
24、 【总结升华】【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等利用平行线找角等是本题的关键. 类型三、类型三、全等三角形判定的实际应用全等三角形判定的实际应用 4、 如图， 要测量河两岸相对两点 A， B 间的距离， 先在过 B 点的 AB 的垂线 l 上取两点 C、 D， 使 CD=BC， 再在过 D 点的垂线上取点 E，使 A、C、E 在一条直线上，这时，ACBECD，ED=AB，测 ED 的长就得 AB 的长，判定ACBECD 的理由是（ ） A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 【思路点拨】【思路点拨】 利用 “角边角” 证明 ABC 和 EDC 全等， 根据全等三
25、角形对应边相等可得 ED=AB， 从而得解 【答案【答案与解析与解析】 解：ABl，CDl， ABC=EDC=90， 在 ABC 和 EDC 中， ， ABCEDC（ASA） ， AB=DE， 即 ED 的长就是 AB 的长，故选 B 【总结升华总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是借助两个三角形全等，寻找所求线段与已 知线段之间的等量关系. 举一反三：举一反三： 【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有 1、2、3、4 的四块） ，你认为将 其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃应该带（ ） A.第 4 块 B. 第 3
26、块 C. 第 2 块 D.第 1 块 【答案】【答案】C； 类型四、角平分线的性质定理应用类型四、角平分线的性质定理应用 5如图，ACB90,BD 平分ABC 交 AC 于 D，DEAB 于 E，ED 的延长线交 BC 的延长线于 F. 求证： AECF 【答案与解析】【答案与解析】 证明：BD 平分ABC，DEAB,DCBF DEDC（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 在ADE 和FDC 中 DEADCF DEDC ADEFDC ADEFDC(ASA) AECF 【总结升华】【总结升华】利用角平分线的性质可得 DEDC，为证明三角形全等提供了条件. 举一反三：举一反三： 【变式】如图,
27、ABC 中, C=90, AC=BC, AD 平分CAB, 交 BC 于 D, DEAB 于 E, 且 AB6cm, 则DEB 的周长为( ) A. 4cm B. 6cm C.10cm D. 以上都不对 【答案】【答案】B. 例题讲解三 1、 如图， G 是线段 AB 上一点， AC 和 DG 相交于点 E.请先作出ABC 的平分线 BF， 交 AC 于点 F； 然后证明： 当 ADBC，ADBC，ABC2ADG 时，DEBF. 【思路点拨】【思路点拨】通过已知条件证明DACC，CBFADG，则可证DAEBCF 【答案与解析】【答案与解析】 证明： ADBC， DACC BF 平分ABC AB
28、C2CBF ABC2ADG CBFADG 在DAE 与BCF 中 CDAC BCAD CBFADG DAEBCF（ASA） DEBF 【总结升华】【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边) 的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等 举一反三：举一反三： 【高清课堂：【高清课堂：379110 379110 全等三角形判定二，例全等三角形判定二，例 7 7】 【变式】已知：如图，在MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQNQ 求证：HNPM. 【答案】【答案】 证明：MQ
29、 和 NR 是MPN 的高， MQNMRN90， 又132490，34 12 在MPQ 和NHQ 中， 12 MQNQ MQPNQH MPQNHQ（ASA） PMHN 类型二、类型二、全等三角形的判定全等三角形的判定 4 4“角角边”“角角边” 2、如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC，过 C 点作直线 l，点 D，E 在直线 l 上，连接 AD，BE， ADC=CEB=90求证：ADCCEB 【思路点拨】【思路点拨】先证明DAC=ECB，根据 AAS 证ADCCEB 【答案与解析】【答案与解析】 证明：DAC+DCA=ECB+DCA=90， DAC=ECB， 在ADC 和CEB
30、 中， ， ADCCEB（AAS） 【总结升华】【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全 等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 举一反三：举一反三： 【变式】如图，给出下列四组条件： AB=DE，BC=EF，AC=DF； AB=DE，B=EBC=EF； B=E，BC=EF，C=F； AB=DE，AC=DF，B=E 其中，能使ABCDEF 的条件共有（ ） A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 【答案】【答案】C 解：第组满足 SSS，能证明ABCDEF 第组满足 SAS，能证明ABCDEF 第
31、组满足 ASA，能证明ABCDEF 第组只是 SSA，不能证明ABCDEF 所以有 3 组能证明ABCDEF 故符合条件的有 3 组 故选：C 3、平面内有一等腰直角三角板（ACB90）和一直线 MN过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F当点 E 与点 A 重合时（如图 1） ，易证：AFBF2CE当三角板绕点 A 顺时针旋转至图 2 的位置时，上 述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写 出你的猜想，不需证明 【思路点拨】【思路点拨】 过 B 作 BHCE 与点 H， 易证ACECBH， 根据全等三
32、角形的对应边相等， 即可证得 AFBF2CE 【答案与解析】【答案与解析】 解：图 2，AFBF2CE 仍成立， 证明：过 B 作 BHCE 于点 H， CBHBCHACEBCH90 CBHACE 在ACE 与CBH 中， 90 ACHCBH AECCHB ACBC ACECBH （AAS） CHAE，BFHE，CEEF， AFBFAEEFBFCHEFHECEEF2EC 【总结升华】【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三：举一反三： 【变式】已知 RtABC 中，ACBC，C90，D 为 AB 边的中点，EDF90，EDF 绕 D 点旋转，它的两 边分别交 AC、
33、CB 于 E、F当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1） ，易证 1 2 DEFCEFABC SSS ； 当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请写出你的猜想，不需证明. 【答案】【答案】 解：图 2 成立； 证明图 2： 过点作 则 在AMD 和DNB 中， AMD= DNB=90 AB ADBD AMDDNB（AAS） DMDN MDEEDNNDFEDN90， MDENDF 在DME 与DNF 中， 90EMDFDN DMDN MDENDF DMEDNF（ASA） DMEDNF SS D
34、EFCEFDMCNDECF S=S=SS. 四边形四边形 可知 ABCDMCN 1 S=S 2 四边形 ， 1 2 DEFCEFABC SSS 类型三、类型三、全等三角形判定的实际应用全等三角形判定的实际应用 DDMACDNBC， 90DMEDNFMDN 图 2 A D B C E M N F 4、小强为了测量一幢高楼高 AB，在旗杆 CD 与楼之间选定一点 P测得旗杆顶 C 视线 PC 与地面夹角 DPC=36，测楼顶 A 视线 PA 与地面夹角APB=54，量得 P 到楼底距离 PB 与旗杆高度相等，等于 10 米， 量得旗杆与楼之间距离为 DB=36 米，小强计算出了楼高，楼高 AB 是
35、多少米？ 【思路点拨】【思路点拨】根据题意可得CPDPAB（ASA） ，进而利用 AB=DP=DBPB 求出即可 【答案与解析】【答案与解析】 解：CPD=36，APB=54，CDP=ABP=90， DCP=APB=54， 在 CPD 和 PAB 中 ， CPDPAB（ASA） ， DP=AB， DB=36，PB=10， AB=3610=26（m） ， 答：楼高 AB 是 26 米 【总结升华】【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出 CPDPAB 是解题关键 类型四、角平分线的性质定理应用类型四、角平分线的性质定理应用 【高清课堂：角平分线的性质，例【高清课堂：角平分线的性质
36、，例 5 5】 5、如图，P 为ABC 的外角平分线上任一点.求证：PBPCABAC. 【答案与解析】【答案与解析】 证明：当点 P 与点 A 不重合时，在 BA 延长线上取一点 D，使 ADAC，连结 PD. P 为ABC 的外角平分线上一点，12 在PAD 和PAC 中 12 PAPA ADAC PADPAC（SAS） ，PDPC 在PBD 中，PBPDBD，BDABAD PBPCABAC. 当点 P 与点 A 重合时，PBPCABAC. 综上，PBPCABAC. 【总结升华】【总结升华】本题利用角平分线的性质，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的 线段集中到同
37、一个三角形中. 举一反三：举一反三： 【变式】如图，DCAB，BAD 和ADC 的平分线相交于 E，过 E 的直线分别交 DC、AB 于 C、B 两点. 求证：AD ABDC. 【答案】【答案】 证明：在线段 AD 上取 AFAB，连接 EF， AE 是BAD 的角平分线， 12， AFAB AEAE， ABEAFE， BAFE， 由 CDAB 又可得CB180， AFEC180， 又DFEAFE180， CDFE， DE 是ADC 的平分线， 34， 又DEDE， CDEFDE， DFDC， ADDFAF， ADABDC 同步练习一 一、选择题一、选择题 1. 如图，已知 ABAC，D 为
38、BC 的中点，结论：ADBC；AD 平分BAC；BC；ABC 是等边三角 形.其中正确的是（ ） A. B. C. D. 2如图，ABC 中，DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，已知 AE=1cm， ACD 的周长为 12cm，则ABC 的周长是（ ） A13cm B14cm C15cm D16cm 3. AD 为ABC 中 BC 边上的中线, 若 AB2, AC4, 则 AD 的范围是( ) A .AD6 B. AD2 C. 2AD6 D. 1AD3 4 （2015杭州模拟）用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如右，则说明CAD=DAB 的依据是（ ） AS
39、SS B SAS C ASA D AAS 5. 根据下列条件能唯一画出ABC 的是（ ） A.AB3，BC4，AC8 B.AB4，BC3，A30 C.AB5，AC6，A45 D. A30，B60，C90 6.已知：如图，在长方形 ABCD 中，AB=4，AD=6延长 BC 到点 E，使 CE=2，连接 DE，动点 P 从点 B 出发， 以每秒 2 个单位的速度沿 BCCDDA 向终点 A 运动，设点 P 的运动时间为 t 秒，当 t 的值为（ ）秒时， ABP 和DCE 全等 A1 B1 或 3 C1 或 7 D3 或 7 二、填空题二、填空题 7. 如图，ABCD，ACDB，ABD25，AO
40、B82，则DCB_. 8. 如图，ABC 是三边均不等的三角形，DEBC，以 D、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所作的三角形 与ABC 全等，这样的三角形最多可以画 个. 9. 如图，已知 AEAF，ABAC，若用“SAS”证明AECAFB，还需要条件 . 10.如图，四边形 ABCD 中，1=2，请你补充一个条件 ，使ABCCDA 11. 如图所示，BEAC 于点 D，且 ADCD，BDED，若ABC54，则E . 12. .（2015荆州）如图，ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交边 AB 于 D 点，交边 AC 于 E 点，若ABC 与EBC 的周长分别是 40cm，24c
41、m，则 AB= cm 三、解答题三、解答题 13.在ABC 中，AD 是高，在线段 DC 上取一点 E，使 BD=DE，已知 AB+BD=DC， 求证：E 点在线段 AC 的垂直平分线上 14. 如图, BC, BDCE, CDBF. 求证: EDF 90 A 15. 已知：如图，BE、CF 是ABC 的高，且 BPAC，CQAB， 求证：APAQ. 【答案与解析】【答案与解析】 一一. .选择题选择题 1. 【答案】C 【解析】由 SSS 证全等可得是正确的. 2. 【答案】B； 1 2 【解析】DE 是 AB 的垂直平分线，AD=BD，AB=2AE=2 又ACD 的周长 =AC+AD+CD
42、=AC+BD+CD=AC+BC=12,ABC 的周长是 12+2=14cm. 3. 【答案】D； 【解析】用倍长中线法； 4. 【答案】A； 【解析】解：从角平分线的作法得出， AFD 与AED 的三边全部相等， 则AFDAED 故选 A 5. 【答案】C； 【解析】A 不能构成三角形，B 没有 SSA 定理，D 没有 AAA 定理. 6. 【答案】C； 【解析】解：因为 AB=CD，若ABP=DCE=90，BP=CE=2，根据 SAS 证得ABPDCE，由题意得： BP=2t=2，所以 t=1，因为 AB=CD，若BAP=DCE=90，AP=CE=2，根据 SAS 证得BAPDCE，由题 意
43、得：AP=162t=2，解得 t=7所以，当 t 的值为 1 或 7 秒时ABP 和DCE 全等故选 C 二二. .填空题填空题 7. 【答案】66； 【解析】可由 SSS 证明ABCDCB，OBCOCB，所以DCB ABC254166 8. 【答案】4； 【解析】在 DE 的两侧可以各画 2 个. 9. 【答案】EABFAC； 【解析】答案不唯一. 10.【答案】AD=BC； 【解析】由题意知，已知条件是ABC 与CDA 对应角1=2、公共边 AC=CA，所以根据全等三角形的 判定定理 SAS 来证ABCCDA 时，需要添加的条件是 AD=BC. 11.【答案】27； 【解析】可证ADBCD
44、BCDE. 12.【答案】16； 【解析】解：DE 是 AB 的垂直平分线， AE=BE； ABC 的周长=AB+AC+BC，EBC 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC， ABC 的周长EBC 的周长=AB， AB=4024=16（cm） 故答案为：16 三三. .解答题解答题 13.【解析】 证明：AD 是高，ADBC， 又BD=DE， AD 所在的直线是线段 BE 的垂直平分线， AB=AE， AB+BD=AE+DE， 82 41 2 又AB+BD=DC， DC=AE+DE， DE+EC=AE+DE EC=AE， 点 E 在线段 AC 的垂直平分线上 14.【解析】证明
45、：在ABC 中，BC， B 90A 在DBF 和ECD 中 DBFECD（SAS） BFDCDE EDF180BDFCDE180（BDFBFD）B 90A . 15.【解析】证明：BEAC，CFAB（已知） ACFBAC90，ABEBAC90， （三角形内角和定理） ACFABE（等式性质） 在ACQ 和PBA 中 ACQPBA（SAS） QBAP（全等三角形对应角相等） CFAB（已知） QQAF90， （垂直定义） BAPQAF90， （等量代换） APAQ.（垂直定义） 同步练习二 1.如图：AB=AB，A=A，若ABCABC，则还需添加的一个条件有（ ）种 1 2 BDCE BC BF
46、CD 1 2 BPAC ABPACF ABCQ A 1 B 2 C 3 D 4 2. 已知，如图，ABCD，BAC、ACD 的平分线交于点 O，OEAC 于 E，且 OE5，则直线 AB 与 CD 的距 离为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3.如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC DEF 的是（ ） AAB=DE BAC=DF CA=D DBF=EC 4. 下列判断中错误的是（ ） A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D.有一边对应相等的两个等边三角形全等 5. 如图，在 RtABC 中，ACB90，CAB30，ACB 的平分线与ABC 的外角平分线交于 E 点，则 AEB（ ） A.50 B.45 C.40 D .35 6中， AD 是的平分线， 且.若， 则 的大小为 （ ） A B C D
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