2020-2021学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级上期末数学试卷（含答案详解）

1、2020-2021 学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级上上期期末数学试卷期期末数学试卷 一、选择题 1（2 分）用配方法解方程 x24x40 时，原方程应变形为（ ） A（x2）20 B（x2）28 C（x+2）20 D（x+2）28 2（2 分）ABC 中，A、B 都是锐角，且 sinA，cosB，则ABC 的形状是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定 3（2 分）将抛物线 y2x2向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得抛物线解析式为（ ） Ay2（x3） 2+4 By2（x+3） 2+4 Cy2（x+3） 24 Dy2（x3）

2、24 4（2 分）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，AC6，则 sinB 等于（ ） A B C D 5（2 分）若 2a3b（a0），则的值为（ ） A B C2 D3 6（2 分）如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比为 1：，坝高 BC3m，则 AB 的长度为（ ） A6m B3m C9m D6m 7（2 分）若反比例函数 y的图象位于第二、四象限，则 k 的取值可能是（ ） A4 B3 C2 D0 8 （2 分）如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G若 AD2，DF4，BC3，则 BE 的长为（ ） A B C12 D9 9（2 分）如图ABCD，F 为 BC 中点，

3、延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连结 EF 交 DC 于点 G，则 S DEG：SCFG（ ） A2：3 B3：2 C9：4 D4：9 10（2 分）已知反比例函数 y的图象如图所示，则二次函数 y2kx2x+k2的图象大致为（ ） A B C D 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11（3 分）方程 x（3x2）4（3x2）的根为 12（3 分）菱形 ABCD 中，对角线 AC 长为 10cm，BD6cm，则菱形 ABCD 的面积为 cm2 13（3 分）如图，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的标为（2，3），则点 C 的坐标为 14（3 分）抛物线 y

4、2x23x5 与 x 轴两个交点之间的距离是 15（3 分）如图，点 A 在反比例函数 y（x0）图象上，过点 A 作 ACX 轴，垂足为 C，OA 的 垂直平分线交 x 轴于点 B，当 AC1 时，ABC 的周长为 16 （3 分） 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为 200m2的矩形试验田， 用来种植蔬菜 如图， 试验田一面靠墙， 墙长 35m， 另外三面用 49m 长的篱围成， 其中一边开有一扇 1m 宽的门 （不包括篱笆） 设 试验田垂直于墙的一边 AB 的长为 xm，则所列方程为 三、解答题 17（6 分）计算：2sin304cos45+|1tan60| 18 （6 分）

5、如图， ABC 中， ACBC， CDAB 于点 D， 四边形 DBCE 是平行四边形 求证： 四边形 ADCE 是矩形 19（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AEBC 于 E，AFCD 于 F，BD 与 AE、AF 交于 G、H （1）求证：ABEADF； （2）若 AGAH，求证：四边形 ABCD 是菱形 20 （8 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，P 为 DC 延长线上一点，AP 分别交 BD，BC 于点 M， N （1）证明：AM2MN MP； （2）若 AD6，DC：CP2：1，求 BN 的长 21（8 分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小

6、楼 DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍 物边缘点 C 的俯角为 30，测得大楼顶端 A 的仰角为 45（点 B，C，E 在同一水平直线上）已知 AB 80m，DE10m，求障碍物 B，C 两点间的距离（结果保留根号） 22 （10 分）某超市准备进一批每个进价为 40 元的小家电，经市场调查预测，售价定为 50 元时可售出 400 个；定价每增加 1 元，销售量将减少 10 个 （1）设每个定价增加 x 元，此时的销售量是多少？（用含 x 的代数式表示） （2）超市若准备获得利润 6000 元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？ （3）超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大

7、利润是多少？ 23（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+3（k0）与 x 轴交于点 A，与双曲线 y（m 0）的一个交点为 B（1，4） （1）求直线与双曲线的表达式； （2）过点 B 作 BCx 轴于点 C，若点 P 在双曲线 y上，且PAC 的面积为 4，求点 P 的坐标 24（12 分）已知正方形 ABCD，E 为平面内任意一点，连接 AE，BE，将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 得到BFC （1）如图 1，求证： AECF； AECF （2）若 BE2， 如图 2，点 E 在正方形内，连接 EC，若AEB135，EC5，求 AE 的长； 如图 3，点 E 在

8、正方形外，连接 EF，若 AB6，当 C、E、F 在一条直线时，求 AE 的长 25（12 分）已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，点 P 为第二 象限内抛物线上的动点 （1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ； （2）如图 1，连接 OP 交 BC 于点 D，当 SCPD：SBPD1：2 时，请求出点 D 的坐标； （3）如图 2，点 E 的坐标为（0，1），点 G 为 x 轴负半轴上的一点，OGE15，连接 PE，若 PEG2OGE，请求出点 P 的坐标； （4）如图 3，是否存在点 P，使四边形 BOCP 的面积为 8？若存

9、在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由 参考答案 一、选择题（每题 2 分，共 20 分） 1（2 分）用配方法解方程 x24x40 时，原方程应变形为（ ） A（x2）20 B（x2）28 C（x+2）20 D（x+2）28 解：x24x40， x24x+48， （x2）28， 故选：B 2（2 分）ABC 中，A、B 都是锐角，且 sinA，cosB，则ABC 的形状是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定 解：ABC 中，A、B 都是锐角，sinA，cosB， AB30 C180AB1803030120 故选：B 3（2 分）将抛物线 y2x2向右平移 3

10、 个单位，再向下平移 4 个单位，所得抛物线解析式为（ ） Ay2（x3） 2+4 By2（x+3） 2+4 Cy2（x+3） 24 Dy2（x3） 24 解：抛物线 y2x2的顶点坐标为（0，0）， 向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后的图象的顶点坐标为（3，4）， 所以，所得图象的解析式为 y2（x3）24， 故选：D 4（2 分）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，AC6，则 sinB 等于（ ） A B C D 解：在 RtABC 中， sinB， 故选：C 5（2 分）若 2a3b（a0），则的值为（ ） A B C2 D3 解：2a3b（a0）， ab， 2； 故

11、选：C 6（2 分）如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比为 1：，坝高 BC3m，则 AB 的长度为（ ） A6m B3m C9m D6m 解：迎水坡 AB 的坡比为 1：， ，即， 解得，AC3， 由勾股定理得，AB6（m）， 故选：A 7（2 分）若反比例函数 y的图象位于第二、四象限，则 k 的取值可能是（ ） A4 B3 C2 D0 解：反比例函数 y的图象位于第二、四象限， k10， 解得：k1 故选：D 8 （2 分）如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G若 AD2，DF4，BC3，则 BE 的长为（ ） A B C12 D9 解：ABCDEF， ， ， AD2，DF4，

12、BC3， ， BE9， 故选：D 9（2 分）如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连结 EF 交 DC 于点 G，则 S DEG：SCFG（ ） A2：3 B3：2 C9：4 D4：9 解：设 DEx， DE：AD1：3， AD3x， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，BCAD3x， 点 F 是 BC 的中点， CFBCx， ADBC， DEGCFG， （）2（）2， 故选：D 10（2 分）已知反比例函数 y的图象如图所示，则二次函数 y2kx2x+k2的图象大致为（ ） A B C D 解：函数 y的图象经过二、四象限，k0， 抛物线开口向

13、下，对称轴 x0， 即对称轴在 y 轴的左边 故选：D 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11（3 分）方程 x（3x2）4（3x2）的根为 x1，x24 解：方程移项得：x（3x2）4（3x2）0， 分解因式得：（3x2）（x4）0， 可得 3x20 或 x40， 解得：x1，x24 故答案为：x1，x24 12（3 分）菱形 ABCD 中，对角线 AC 长为 10cm，BD6cm，则菱形 ABCD 的面积为 30 cm2 解：菱形的面积等于两对角线的积的一半，则这个菱形的面积是 61030cm2 故答案为 30 13 （3 分） 如图， 在菱形 OABC 中， 点 B 在 x 轴上

14、， 点 A 的标为 （2， 3） ， 则点 C 的坐标为 （2， 3） 解：四边形 OABC 是菱形， A、C 关于直线 OB 对称， A（2，3）， C（2，3）， 故答案为（2，3） 14（3 分）抛物线 y2x23x5 与 x 轴两个交点之间的距离是 解：当 y0 时，2x23x50， 解得，x1，x21， （1）， 抛物线 y2x23x5 与 x 轴两个交点之间的距离是 ， 故答案为： 15（3 分）如图，点 A 在反比例函数 y（x0）图象上，过点 A 作 ACX 轴，垂足为 C，OA 的 垂直平分线交 x 轴于点 B，当 AC1 时，ABC 的周长为 1+ 解：ACx 轴，AC1，

15、 A 点的纵坐标为 1， 当 y1 时，1，解得 x， A（，1）， OC， OA 的垂直平分线交 x 轴于点 B， BABO， ABC 的周长AC+BC+ABAC+BC+BOAC+CO1+ 故答案为 1+ 16 （3 分） 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为 200m2的矩形试验田， 用来种植蔬菜 如图， 试验田一面靠墙， 墙长 35m， 另外三面用 49m 长的篱围成， 其中一边开有一扇 1m 宽的门 （不包括篱笆） 设 试验田垂直于墙的一边 AB 的长为 xm，则所列方程为 x（49+12x）200 解：设当试验田垂直于墙的一边长为 xm 时，则另一边的长度为（49+12x）m

16、， 依题意得：x（49+12x）200， 故答案是：x（49+12x）200 三、解答题 17（6 分）计算：2sin304cos45+|1tan60| 解：原式24+1 12+1 2+ 18 （6 分） 如图， ABC 中， ACBC， CDAB 于点 D， 四边形 DBCE 是平行四边形 求证： 四边形 ADCE 是矩形 【解答】证明：ACBC，CDAB， ADC90，ADBD 在DBCE 中，ECBD，ECBD， ECAD，ECAD 四边形 ADCE 是平行四边形 又ADC90， 四边形 ADCE 是矩形 19（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AEBC 于 E，AFCD 于

17、F，BD 与 AE、AF 交于 G、H （1）求证：ABEADF； （2）若 AGAH，求证：四边形 ABCD 是菱形 解：（1）AEBC，AFCD， AEBAFD90， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABEADF， ABEADF； （2）ABEADF， BAGDAH， AGAH， AGHAHG， AGBAHD， ABGADH， ABAD 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形 20 （8 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，P 为 DC 延长线上一点，AP 分别交 BD，BC 于点 M， N （1）证明：AM2MN MP； （2）若 AD6，DC：CP2：1

18、，求 BN 的长 【解答】证明：（1）ADBC， ADMNBM，DAMBNM， ADMNBM， ， ABDC， PBAM，MDPABM， PDMABM， ， ， AM2MN MP； （2）ADBC， PCNPDA，PP， PCNPDA， ， DC：CP2：1， ， 又AD6， NC2， BN4 21（8 分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍 物边缘点 C 的俯角为 30，测得大楼顶端 A 的仰角为 45（点 B，C，E 在同一水平直线上）已知 AB 80m，DE10m，求障碍物 B，C 两点间的距离（结果保留根号） 解：过点 D 作 DF

19、AB 于点 F，过点 C 作 CHDF 于点 H 则 DEBFCH10m， 在 RtADF 中，AFABBF70m，ADF45， DFAF70m 在 RtCDE 中，DE10m，DCE30， CE10（m）， BCBECE（7010）m 答：障碍物 B，C 两点间的距离为（7010）m 22 （10 分）某超市准备进一批每个进价为 40 元的小家电，经市场调查预测，售价定为 50 元时可售出 400 个；定价每增加 1 元，销售量将减少 10 个 （1）设每个定价增加 x 元，此时的销售量是多少？（用含 x 的代数式表示） （2）超市若准备获得利润 6000 元，并且使进货量较少，则每个应定价

20、为多少元？ （3）超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 解：（1）根据题意得出：40010 x； （2）（10+x）（40010 x）6000 整理得：x230 x+2000， 解得 x120，x210（舍去）， 每个定价 70 元； （3）设最大利润为 y 元，则 y10 x2+300 x+4000， 当时，y最大， 所以每个定价为 65 元时，获得的最大利润为 6250 元 23（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+3（k0）与 x 轴交于点 A，与双曲线 y（m 0）的一个交点为 B（1，4） （1）求直线与双曲线的表达式； （2）过点

21、 B 作 BCx 轴于点 C，若点 P 在双曲线 y上，且PAC 的面积为 4，求点 P 的坐标 解：（1）直线 ykx+3（k0）与双曲线 y（m0）都经过点 B（1，4）， k+34，m14 k1，m4 直线的表达式为 yx+3，双曲线的表达式为 （2）由题意，得点 C 的坐标为 C（1，0）， 直线 yx+3 与 x 轴交于点 A（3，0） AC4 ， yP2 点 P 在双曲线上， 点 P 的坐标为 P1（2，2）或 P2（2，2） 24（12 分）已知正方形 ABCD，E 为平面内任意一点，连接 AE，BE，将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 得到BFC （1）如图 1，求证： AE

22、CF； AECF （2）若 BE2， 如图 2，点 E 在正方形内，连接 EC，若AEB135，EC5，求 AE 的长； 如图 3，点 E 在正方形外，连接 EF，若 AB6，当 C、E、F 在一条直线时，求 AE 的长 解：（1）ABE 绕点 B 顺时针旋转 90得到BFC， AEBCFB， AECF； 如图 1， 延长 AE 交 CF 于 M， 由知，AEBCFB， FAEB，BAECBF， AEB+BAE+ABE180， F+CBF+BAM180 四边形 ABCD 是正方形， ABC90， AMF360ABCFBAM90， AECF； （2）如图 2， 连接 EF，由旋转知，BEBF 且

23、 BEBF， BFE45， 在 RtBEF 中，BEBF2， EF28， BEF45，AEB135， AEB+BEF180， 点 A，E，F 在同一条直线上， 由（1）知，AECF， 在 RtECF 中，CE5，利用勾股定理得，FC， AECF 如图 3，四边形 ABCD 是正方形， BCAB6， 在 RtBEF 中，BFBE2， EF2， 过点 B 作 BGFC 于点 G， BGFGEF， 在 RtBCG 中，利用勾股定理得，GC， 故 FCCG+FG+， AECF+ 25（12 分）已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，点 P 为第二

24、 象限内抛物线上的动点 （1）抛物线的解析式为 yx22x+3 ，抛物线的顶点坐标为 （1，4） ； （2）如图 1，连接 OP 交 BC 于点 D，当 SCPD：SBPD1：2 时，请求出点 D 的坐标； （3）如图 2，点 E 的坐标为（0，1），点 G 为 x 轴负半轴上的一点，OGE15，连接 PE，若 PEG2OGE，请求出点 P 的坐标； （4）如图 3，是否存在点 P，使四边形 BOCP 的面积为 8？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由 解：（1）函数的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3）， 即：3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x

25、+3， 顶点坐标为（1，4）； （2）OBOC， CBO45， SCPD：SBPD1：2， BDBC2， yDBDsinCBO2， 则点 D（1，2）； （3）如图 2，设直线 PE 交 x 轴于点 H， OGE15，PEG2OGE30， OHE45， OHOE1， 则直线 HE 的表达式为：yx1， 联立并解得：x（舍去正值）， 故点 P（，）； （4）不存在，理由： 连接 BC，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 直线 BC 的表达式为：yx+3， 设点 P（x，x22x+3），点 H（x，x+3）， 则 S四边形BOCPSOBC+SPBC 33+（x22x+3x3）38， 整理得：3x2+9x+70， 解得：0，故方程无解， 则不存在满足条件的点 P