1、 辽阳市辽阳市 2021 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试数学试卷数学试卷 考生注意：考生注意： 1本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：高考全部内容 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合0Ax x， 2 log1Bxx，则AB A 02xx B 02xx C 01xxD 01xx 2已知复数
2、 2 22 12 i z ii ，则 z 的共轭复数z A2i B2i C2i D2i 3已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab的一条渐近线的斜率为 4 3 ，则双曲线 C 的离心率是 A 3 2 B 5 4 C 5 3 D2 4 “养国子以道，乃教之六艺”出自周礼保氏 ，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝 时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力、经济 等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养已知某商贾觉得“君子不学礼无以 立” ，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己能力，只能为每个孩童
3、择四艺进行培养若 令商贾和两个孩童都满意，其余两艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为 A 1 2 B 3 4 C 5 9 D 4 5 5 “( 1 , 4 )a”是“直线0 xya与圆 22 :(1)(2)2Cxy相交”的 A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6在三棱锥ABCD中，AB 平面 BCD，2AB ，4BC ，3CD ，5BD ，点 E 在棱 AD 上， 且2AEED，则异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 A 6 4 B 3 5 C 3 17 17 D 3 26 26 7已知函数( )f x的定义域为R，(4)f x 是偶函
4、数，(6)3f，( )f x在(,4上单调递减，则不等 式(24)3fx 的解集为 A(4,6) B(,4)(6,) C(,3)(5,) D(3,5) 8已知函数( ) x f xa（0a ,且1a ）的图象在(0,1)处的切线方程为21yx，若( )f xmxx恒 成立，则 m 的取值范围为 A 1,2e1 B(,2e1 C 1,e1 D(,e1 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3
5、 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知1x ，则 25 1 x x 的值可以为 A9 B10 C11 D12 10下列函数中是奇函数，且值域为R的有 A 3 ( )f xx B 1 ( )f xx x C( )sinf xxx D 5 ( )f xx 11已知函数 2 ( )3sin22cos1f xxx，则 A( )f x图象的一条对称轴方程为 2 3 x B( )f x图象的一个对称中心为,0 12 C将曲线2sin 6 yx 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再向下平移 2 个单位长 度，可得到( )yf x的图象 D将( )f x的图象向右平移 6 个单位
6、长度，得到的曲线关于 y 轴对称 12 设椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 点 P 在椭圆上， 且 112 PFFF， 1 4 3 PF ， 2 14 3 PF 过点( 2,1)M 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，且 A，B 关于点 M 对称，则下列结论正确的 有 A椭圆的方程为 22 1 94 xy B椭圆的焦距为5 C椭圆上存在 4 个点 Q，使得 12 0QF QF D直线 l 的方程为89250 xy 第卷第卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横
7、线上分把答案填在答题卡中的横线上 13已知向量( ,3)am，(1, 2)b ，且()abb，则m_ 14在 6 (2)x 的展开式中，含 4 x项的系数为_ 15函数( )sincos2f xxx的最大值是_ 16已知底面为矩形的四棱锥PABCD的每个顶点都在球 O 的球面上，PAAD，PAAB， 2PBAB，且2 2BC 若球 O 的体积为 32 3 ，则AB _，棱 PB 的中点到平面 PCD 的距离为_ （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演
8、算步骤 17 （10 分） 在递增的等比数列 n a中， 3 9a ， 24 30aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 32 log nn ba，求数列 n b的前 n 项和 n S 18 （12 分） 在(cossin)cAAb，sincos2cBbCb，sintancos2sinBCBA这三个条件 中任选一个，补充在下面的问题中，并作答 问题： 在ABC中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 3 cos 5 B ，ABC的面积是 56， 且_， 求ABC的周长 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19 （12 分） 为了解生猪市场与当地居民人
9、均收人水平的关系，农业农村部随机对 160 个城镇当月的猪肉价格（元/ 千克）与居民人均收人（元/月）进行了调研，得到如下表格： 猪肉价格（元/千克） 人均收入（元/月） (0,40 (40,50 (50,60 (0,3000 6 15 0 (3000,4000 2 27 5 (4000,5000 9 45 16 (5000,6000 0 16 19 （1）估计全国各地猪肉价格在(50,60（元/千克）内的概率； （2）估计这 160 个城镇的居民人均收入（元/月）的中位数（计算结果保留整数） ； （3）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价
10、格与当地居民人均收入水平有关 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 2 P Kk 0.05 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 猪肉价格（元/千克） 人均收入（元/月） (0,50 (50,60 合计 (0,4000 (4000,6000 合计 20如图，已知四边形 ABCD 为菱形，对角线 AC 与 BD 相交于 O，60BAD，点 E 不在平面 ABCD 内，平面ADEF 平面BCEFEF，OF 平面 ABCD，22BCCEDEEF （1）证明：EFAD （2）求平面 ADEF 与平面 BCEF 所成锐二
11、面角的余弦值 21 （12 分） 已知函数 22 31 ( )ln 22 f xaxxax，其中0a （1） 若函数( )f x的图象在点(2,(2)f处的切线与直线340 xy垂直， 求函数( )f x的单调区间； （2）设函数( )f x的最小值为( )g a，求函数( )g a的最大值 22 （12 分） 已知 11 ,A x y， 22 ,B xy是抛物线 2 :4C yx上两个不同的点，C 的焦点为 F （1）若直线 AB 过焦点 F，且 22 12 32yy，求AB的值； （2） 已知点( 2,2)P ， 记直线 PA， PB 的斜率分别为 PA k， PB k， 且1 P AP
12、B kk ， 当直线 AB 过定点， 且定点在 x 轴上时，点 D 在直线 AB 上，满足0PD AB，求点 D 的轨迹方程 高三考试数学试卷参考答案高三考试数学试卷参考答案 1A 2 log1 02Bxxxx， 02ABxx 2B 2( 2)(12 )5 2222 12(12 )(12 )5 iiii zi iii ，则2zi 3C 因为 4 3 b a ，所以 C 的离心率 2 5 1 3 b e a 4B 依题意可知， “礼” “数”为必选，因此两个孩童都不选“御”的概率为 22 33 22 44 1 4 C C C C ， 故两个孩童至少有一个选到“御”的概率为 13 1 44 5A
13、由 |12| 2 2 a ，得(1,5)a， 因为(1,4)(1,5)，所以选 A 6D 建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz， 得(0,0,2)A，(0,0,0)B，(0,4,0)C，( 3,4,0)D ， 由2AEED，得 284 2, , 333 AEAD ， 所以 8 2 2, , 3 3 BEBAAE ，( 3,0,0)CD 设异面直线 CD 与 BE 所成角为， 所以 63 26 cos 26|68 34 9 BE CD BE CD 7D 因为(4)f x 是偶函数，所以函数( )f x的图象关于直线4x 对称， 则(6)(2)3ff 因为( )f x在(,4上单调递减，所以( )
14、f x在4,)上单调递增， 故(24)3fx 等价于2246x， 解得35x 8A 因为( ) x f xa，所以( )ln x fxaa， 又函数( )f x的图象在(0,1)处的切线方程为21yx， 所以 0 (0)ln2faa， 解得 2 ea ，所以 2 ( )e x f x ， 因为( )f xmxx恒成立，所以 2 e x mxx恒成立 当0 x 时， 0 e0成立 当0 x 时，令 2 e ( )1 x g x x ，则 2 2 e (21) ( ) x x g x x 当 1 (,0)0, 2 x 时，( )0g x， ( )g x在(,0)和 1 0, 2 上单调递减 当 1
15、 , 2 x 时，( )0g x，( )g x单调递增， 当0 x 时， e 1 x m x 恒成立， 所以 2 min e1 12e1 2 x mg x ； 当0 x 时， 2 e 1 x m x 恒成立， 而 2 e ( )11 x g x x ，所以1m 综上，12e 1m一，所以 m 的取值范围为 1,2e1 9CD 因为1x ，所以10 x ，所以 2525 112 25111 11 xx xx ， 当且仅当 25 1 1 x x ，即6x 时，等号成立，故 25 11 1 x x 10AC 由题意可得 3 ( )f xx和( )sinf xxx都是奇函数，且值域为R， 1 ( )f
16、 xx x 是奇函数，但值域为(, 22,) ， 5 ( )f xx是奇函数，但值域为(,0)(0,) 11CD 2 ( )3sin22cos12sin 22 6 f xxxx ， 令2 62 xk ，kZ，则 32 k x ，kZ，故 A 错误； 令2 6 xk ，kZ，则 122 k x ，kZ， 所以( )f x图象的对称中心为, 2 122 k ，kZ故 B 错误； 将曲线2sin 6 yx 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ， 得到曲线2sin 2 6 yx 的图象， 再向下平移 2 个单位长度得到曲线( )yf x的图象，故 C 正确； 将( )f x的图象向右平
17、移 6 个单位长度， 得到的曲线方程为2sin 222cos22 66 yxx ，其为偶函数，故 D 正确 12ACD 由椭圆的定义知 12 26aPFPF，故3a 因为 112 PFFF，所以 22 1221 2 52FFPFPFc， 故5c ，2b，可知椭圆的方程为 22 1 94 xy ， 椭圆的焦距为22 5c ，故 A 对，B 错； 由 12 0QF QF知 12 90FQF， 故点 Q 在以线段 12 FF为直径的圆上， 由cb知圆与椭圆有 4 个交点，故 C 对； 依题意知点( 2,1)M 为弦 AB 的中点， 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 22 11 1 94
18、 xy ， 22 22 1 94 xy ， 两式相减得 12121212 0 94 xxxxyyyy 因为 12 4xx ， 12 2yy， 所以 12 12 2 94 xxyy ，故 12 12 8 9 AB yy k xx ， 故 8 :1(2) 9 l yx ，即89250 xy，故 D 对 131 由题意可得(1,1)abm 因为()abb，所以1 20m ，解得1m 1460 6 (2)x 的展开式的通项为 66 166 C( 2)( 2) C rrrrrr r Txx 令64r，解得2r ， 则 2244 36 ( 2)60TC xx 15 9 8 2 ( )sincos22sin
19、sin1f xxxxx 设sin 1,1tx ， 则 2 2 199 212 488 yttt 162， 6 3 PAAB，2PBAB，PAAB， 又PAAD，ADABA， PA 平面 ABCD 底面 ABCD 为矩形，侧棱 PC 为球 O 的直径 设球 O 的半径为 R，则 3 432 33 R ，即2R ， 又 2222 82 22 ABADAPAB R ，解得2AB 过 A 作AGPD于 G，取棱 PA 的中点 F，PB 的中点 E，连接 EF 易证CD平面 APD，则CDAG，从而AG 平面 PCD 由等面积法可得 22 22 6 32 3 AG ， 则 F 到平面 PCD 的距离为
20、16 23 AG ， EFABCD，EFCD， 则 E 到平面 PCD 的距离等于 F 到平面 PCD 的距离， 故棱 PB 的中点到平面 PCD 的距离为 6 3 17解： （1）由题意可得 2 31 3 2411 9, 30, 1, aa q aaa qa q q 解得 1 1a ，3q 故 11 1 3 nn n aa q （2）由（1）可得 21 2 3 n n a ，则 32 log21 nn ban， 故 2 (121) 13521 2 n nn Snn 18解：若选， 因为(cossin)cAAb，所以sin(cossin)sinCAAB， 又ABC，所以sinsin()BAC，
21、 所以sincossinsinsincoscossinCACAACAC， 即sinsinsincosCAAC 因为sin0A，所以sincosCC，即tan1C ， 因为0C，所以 4 C 因为 3 cos 5 B ，所以 4 sin 5 B ， 所以 42327 2 sinsin() 525210 ABC， 所以: :sin:sin:sin7:4 2:5a b cABC， 不妨设7at，4 2bt，5ct， 则ABC的面积为 12 74 256 22 tt，解得2t ， 从而14a ，8 2b ，10c 故ABC的周长为148 210248 2abc 若选， 因为sincos2cBbCb，
22、所以sinsinsincos2sinCBBCB， 因为0B，所以sin0B ，所以sincos2CC， 所以2sin2 4 C ，即sin1 4 C 因为0C，所以 5 444 C ，所以 4 C 以下步骤同 若选， 因为sintancos2sinBCBA， 所以sincossincos2sincosBCCBAC， 所以sin()2sincosBCAC 因为ABC，所以BCA， 所以sin()sin2sincosBCAAC 因为0A，所以sin0A，所以 2 cos 2 C 因为0C，所以 4 C 以下步骤同 19解： （1）因为这 160 个城镇的猪肉价格在(50,60（元/千克）内的频率为
23、 516191 1604 ， 所以据此得全国各地猪肉价格在(50,60（元/千克）内的概率约为 1 4 （2）因为居民人均收入（元/月）在(0,4000的频率为 6152275111 160322 ， 居民人均收入（元/月）在(0,5000的频率为 5594516251 160322 ， 所以居民人均收入（元/月）的中位数在(4000,5000之间 因为 111 30500 232 400010004357 2511 7 3232 ， 所以中位数约为 4357 （3）列联表如下 猪肉价格（元/千克） 人均收入（元/月） (0,50 (50,60 合计 (0,4000 50 5 55 (4000
24、,6000 70 35 105 合计 120 40 160 因为 2 2 160(503570 5)1120 11.3137.879 55 105 1204099 K ， 所以有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关 20 （1）证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以ADBC， 因为AD平面 BCEF，BC 平面 BCEF， 所以AD平面 BCEF 因为ADEF 平面BCEFEF，AD 平面 ADEF， 所以EFAD （2）解：因为四边形 ABCD 为菱形，所以ACBD 因为OF 平面 ABCD，所以以 O 为坐标原点， 直线 OA，OB，OF 分别为 x，y，z 轴建
25、立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 取 CD 的中点 M，连接 EM，OM， 因为60BAD，2BC ， 所以3OAOC，1OBOD 因为2BCCDCEDE， 所以CDE为正三角形，3EM 因为OMBC， 1 2 OMBC，EFBC， 1 2 EFBC， 所以EFOM，EFOM，所以OFEM，OFEM 从而( 3,0,0)A，(0,1,0)B，(3,0,0)C ，(0, 1,0)D， 31 , 3 22 E ， (3, 1,0)AD ， 31 ,3 22 ED ，(3, 1,0)BC ， 3 1 ,3 22 EC 设平面 ADEF 一个法向量为( , , )mx y z， 所以 0, 0,
26、m AD m ED 所以 30, 31 30, 22 xy xyz 令1x ，所以3y ，1z ，(1,3,1)m 设平面 BCEF 一个法向量为( , , )na b c， 所以 0, 0, n BC n EC 所以 30, 31 30, 22 ab abc 令1a ，所以3b ，1c ，(1,3, 1)n ， 所以 3 cos, 5 m n m n m n 因此平面 ADEF 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 3 5 21解： （1）依题意得( )f x的定义域为(0,)， 且 2 3(2)(2 ) ( ) 22 axaxa fxax xx 因为( )f x的图象在点(2,(2)f
27、处的切线与直线340 xy垂直， 所以 2 3 (2)32 22 a fa ， 即 2 3100aa，解得5a 或2a ， 又因为0a ，所以5a ， 此时 (25)(10) ( ) 2 xx fx x ， 令( )0fx，得 5 2 x ；令( )0fx，得 5 0 2 x 所以函数( )f x的单调递增区间为 5 , 2 ，单调递减区间为 5 0, 2 （2）由（1）知 (2)(2 ) ( ) 2 xaxa fx x ， 令( )0fx，得 2 a x ；令( )0fx，得0 2 a x 所以( )f x在0, 2 a 上单调递减，在, 2 a 上单调递增， 所以 22 min 7 ( )
28、ln 282 aa f xfaa ， 所以 22 7 ( )ln 82 a g aaa， 又 3 ( )2ln 42 a g aa ，令( )0g a，得 3 8 2ea 所以( )g a在 3 8 0,2e 上单调递增，在 3 8 2e , 上单调递减， 所以当 3 8 2ea 时， 33 84 max ( )2e2eg ag 22解： （1）由抛物线的定义可知(1,0)F，准线方程为1x 因为 2 1 1 11 4 y AFx ， 2 2 2 11 4 y BFx ， 所以 22 12 210 4 yy ABAFBF （也可以先求直线 AB 的斜率，再求出ABAFBF的值） （2）依题意可
29、设直线:AB xtym， 2 2 4 , 440, , yx ytym xtym 则 2 16160tm ， 12 4yyt， 12 4y ym 因为 1212 1212 2222 1 2222 PAPB yyyy kk xxtymtym ， 所以 121212 22 1212 2(2)24(2) 1 (2)(2) ty ymyyt yym t y yt myym 由化简整理可得 2 8440tmm， 则有(24 )(2)0mt m，即2m或42mt 当42mt时， 22 16643216(2)960ttt ， 解得26t 或26t ， 此时:42AB xtyt过定点( 2, 4)，不符合题意； 当2m时， 2 16320t 对于t R恒成立， 所以2m，直线:2AB xty过定点(2,0)E 因为0PD AB，所以PDAB，且 A，B，D，E 四点共线， 所以PDDE，点 D 的轨迹是以 PE 为直径的圆 设( , )D x y，PE 的中点坐标为(0,1)，2 5PE ， 则 D 点的轨迹方程为 22 (1)5xy 验证，当 D 的坐标为( 2,0)时， 因为PDAB，AB 的方程为0y ，不符合题意， 所以点 D 的轨迹方程为 22 (1)5xy（除掉点( 2,0)
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