1、淮北市淮北市 2021 届高三第一次模拟考试理科数学试题届高三第一次模拟考试理科数学试题 一一 选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 已知集合2, 1,0,1,2,3U ， 1,0,1A ，1,2B ，则() U AB（ ） A. 2,3 B. 2,2,3 C. 2, 1,0,3 D. 2, 1,0,2,3 【答案】A 2. 若数列 n a为等差数列，且 1 6 a ， 3 2 a ，则 20 cosa（ ） A. 1 2 B.
2、3 2 C. 1 2 D. 3 2 【答案】C 3. 函数 2 1 sin 1 x f xx e 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4. 已知平面，直线 l，m，且有l，m ，给出下列命题：若/ ，则lm；若/l m， 则；若，则/l m；若lm，则/ .其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 5. 在ABC中，点 D 是线段BC(不包括端点)上的动点，若AB xACyAD，则（ ） A. 1x B. 1y C. 1xy D. 1xy 【答案】B 6. 某地气象局把当地某月(共 30 天)每一天的最低气温作了统计， 并绘制了如下图所
3、示的统计图.记这组数据 的众数为 M，中位数为 N，平均数为 P，则（ ） A. MNP B. NMP C. PMN D. PNM 【答案】A 7. 若 i为虚数单位，复数 z 满足33zi ，则2zi的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 3 3 【答案】D 8. 甲乙丙三人从红，黄蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽 的人年龄大， 丙和戴红帽的人年龄不同， 戴红帽的人比甲年龄小， 则甲乙丙所戴帽子的颜色分别为 （ ） A. 红黄蓝 B. 黄红蓝 C. 蓝红黄 D. 蓝黄红 【答案】B 9. 过圆 22 16xy上的动点作圆 22 :4C
4、xy的两条切线， 两个切点之间的线段称为切点弦， 则圆C内 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ） A. B. 3 2 C. 2 D. 3 【答案】A 10. 已知函数 1, 0 ( ) ln ,0 x xex f x exx x ，则函数( ) |( )| 1g xf x零点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 11. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为 F，左顶点为 A，直线y kx 交双曲线于 PQ两点(P 在第 一象限)，直线PA与线段FQ交于点 B，若2FBBQ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C.
5、4 D. 5 【答案】D 12. 函数 ( )2sincos2 4 f xxx 的最大值为（ ） A. 1 2 B. 3 3 2 C. 2 2 D. 3 【答案】B 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置. 13. 若 x，y 满足约束条件 0 260 20 xy xy y ，则3zxy的最大值为_. 【答案】8 14. 二项式 83 2 ()x x 的展开式中的常数项为 【答案】112 15. 已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且 2 11 22 n Snn，若 1 21
6、 ( 1)n n nn n b a a ，则数列 n b的前2n项和 为_. 【答案】 2 21 n n 16. 在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，E是CD的中点，F是 1 CC上的动点， 则三棱锥A DEF 外接球表面积的最小值为_. 【答案】13 三三 解答题： 共解答题： 共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题， 每个试题为必考题， 每个试 题考生都必须作答题考生都必须作答.第第 22 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17. 在ABC中，内角 A，B，C所对
7、的边分别为 a，b，c，且 sincos 6 bAaB . （1）求角 B的大小； （2）若1b，2c ，求ABC的面积 【答案】 （1） 6 ； （2） 3 2 18. 如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为3的正方形，/EG AD，/DC FG，且 EGAD，3DCFG，DG 面ABCD，2DG，N 为EG中点. （1）若M是CF中点，求证：/MN面CDE； （2）求二面角NBCF的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 26 26 . 19. 甲乙两人进行乒乓球比赛， 规定比赛进行到有一人比对方多赢 2 局或打满 6 局时比赛结束.设甲乙在每 局比赛中获胜概率均为
8、 1 2 ，各局比赛相互独立，用 X表示比赛结束时的比赛局数 （1）求比赛结束时甲只获胜一局概率； （2）求 X分布列和数学期望. 【答案】 （1） 1 8 ； （2）分布列见解析， 7 2 E X . 20. 已知函数 2x f xexmx ，0,x. （1）若 f x是增函数，求实数 m 的取值范围； （2）当1m时，求证： 1 ( ) 4 f x . 【答案】 （1） 1 2 m ； （2）证明见解析. 21. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，左顶点为 A，右焦点 F，3AF .过 F 且斜率存在 的直线交椭圆于 P，N 两点，P 关于原点的对
9、称点为 M. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线AM，AN的斜率分别为 1 k， 2 k，是否存在常数，使得 12 kk恒成立？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 22 1 43 xy ， （2）3 22. 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3cos sin x y (为参数).以原点 O 为极点，以 x 轴正半 轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin2 4 . （1）求曲线 1 C的普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程； （2）设 P 为曲线 1 C上的动点，求点 P 到 2 C的距离的最大值，并求此时点 P 的坐标. 【答案】 （1） 2 2 1 3 x y； 20 xy ； （2）2 2； 31 , 22 P 23. 已知不等式14xxx 的解集为 ,m n. （1）求 m，n 的值； （2）若0 x，0y ，10nxym，求证：9xyxy 【答案】 （1）1,5mn ； （2）证明见详解.
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