1、1 连云港市连云港市 2021 届高三适应性演练模拟考试届高三适应性演练模拟考试数学试题数学试题 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效写在本试卷上无效.
2、3考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1已知集合 2 |60Ax xx， |10Bx x ，则AB （ ） A. (,3 B. (,2 C. (,1) D. 2,1) 2复数 2 (1 i) 1+i （ ） A1i B1i C1i D1i 3如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径 6cm，高 8cm（不含杯脚），已知水的高度是 4cm， 现往杯子中放入一种直径为 1cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水 不溢出，则最多可
3、以放入珍珠（ ） A98 颗 B106 颗 C120 颗 D126 颗 42020 年 11 月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连 线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业 CEO 或海外负责人某新闻机构安排 4 名记者和 3 名摄影师对本次进博会进行采访，其中 2 名记者和 1 名摄影师负责“云采访”区域的采访，另 外 2 名记者和 2 名摄影师分两组（每组记者和摄影师各 1 人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区” 的现场采访如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ） A36 种 B48 种
4、 C72 种 D144 种 5平行四边形ABCD中,M为CD的中点,点N满足2BNNC ,若ABAMAN,则的 值是（ ） 2 A4 B2 C 1 4 D 1 2 6 国防部新闻发言人在 2020 年 9 月 24 日举行的例行记者会上指出： “台湾是中国不可分割的一部分， 解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机 在海面上空绕台巡航已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强p（单位：mmHg）和高度h（单 位：m）之间的关系为760e hk p （e是自然对数的底数，k是常数），根据实验知500m高空处的大气 压强是700mmHg，则我
5、战机在1000m高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ） A. 645 mmHg B. 646 mmHg C.647 mmHg D. 648 mmHg 7 已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右焦点为F， 两渐近线分别为 1: b lyx a ，2: b lyx a ， 过F作 1 l的垂线，垂足为M，该垂线交 2 l于点N，O为坐标原点，若OFFN，则双曲线C的离心率 是（ ） A2 B 3 2 2 C 3 D 2 3 3 8 已知 f xx x， 对任意的xR， 2 430f axfx 恒成立， 则实数a的最小值是 （ ） A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1
6、 8 二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目 要求全选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普通人最伟大,同时让 我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下： 3 已知：利润收入支出,根据该折线图,下列说法正确的是（ ） A. 该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润 B. 该企业2019年第一季度的利润约是60万元 C. 该企业2019年4月至7月的月利润持续增长 D.
7、 该企业2019年11月份的月利润最大 10下列命题为真命题的是( ) A若 22 acbc，则a b B若ab，则 1 2 2 a b C若0 0ab，则 2ab ab ab D若0ab，则 lg 1 lg a b 11设等比数列 n a的公比为q，前n项和为 n S，前n项积为 n T，并满足条件 120202021 1,1,aaa 20202021 (1) (1)0aa.则下列结论中正确的是( ) A 1q B 20212020 SS C 20202022 1aa D 2020 T是数列 n T中的最大值 12如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点
8、 E，F，且 EF1，则下列说 法中正确的是( ) A存在点 E，F 使得 AEBF B异面直线 EF 与 C1D 所成的角为 60 4 C三棱锥 BAEF 的体积为定值 2 12 DA1到平面 AEF 的距离为 3 3 三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知抛物线 2 :20C ypx p的交点为F，过F作斜率为 3的直线l交抛物线C与A、B两 点，若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是_ 14已知sin 3cos 36 ，则tan2的值是_ 15经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是一种利用三度空 间的球面来定义地
9、球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置，经度是个二面角，是两 个经线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线 平面间的夹角.纬度是个线面角，某一点的纬度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角.城市 A位置东经120，北纬48，城市B位置为东经120，北纬18，若地球的半径为R，则过A，B两点 和地心的平面截球所得的截面圆的劣弧AB的长是_ 16已知0a ，若lnlnaxxa恒成立，则 a 的值是_ 四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分） 在 2
10、22 2bacac ,cossinaBbA,sin cos2BB 这三个条件中任选一个,补充在 下面的问题中,并解决该问题. 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c_, 3 A , 2b ,求ABC的面 积. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 18（本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 123 231 22 n n aaanan （n N）. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 log 2 n na b ，则在数列 n b中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成 等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由. 5
11、 19（本小题满分 12 分） 截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世 界第一.与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点.如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因 分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素.研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距 离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（v表示行车速度，单位：/km h； 1 d， 2 d分别表示反应距离和制动距离，单位：m） 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 1 d 13.4 15.
12、2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5 （1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的 概率（用频率代替概率）； （2）已知 2 d与v的平方成正比，且当行车速度为100/km h时，制动距离为65m. （i）由表中数据可知， 1 d与v之间具有线性相关关系，请建立 1 d与v之间的回归方程，并估计车速为 110/km h时的停车距离； （ii）我国道路交通安全法规定：车速超过100/km h时，应该与同车道前车保持100m以上的距 离，请解释一下上述规定的合理性. 参考数据： 10 1 1004 i i
13、v ， 10 1 1 210 i i d ， 10 1 1 22187.3 i i i v d ， 10 2 1 106054 i i v ，110330.21 52524 ； 6 参考公式： 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx. 20（本小题满分 12 分） 如图， 已知四棱锥 S-ABCD 的底面为直角梯形， 且满足 ABCD， BCAB， AB=9， BC=CD=SD=6， SB=12， 平面 SCD平面 SBC. M 为线段 SC 的中点，N 为线段 AB 上的动点. （1）求证：平面 SCD平面 ABCD； （2）设 AN=NB(0)，当二面角
14、C-DM-N 的 大小为 60时，求的值. 21（本小题满分 12 分） 已知函数 ( )ln1f xxax （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）对任意0 x ， 2 e( ) x xf x恒成立，求实数a的最大值 22（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率 3 3 ，点3, 2在椭圆C上A、B分别为椭圆C的 上、下顶点，动直线l交椭圆C于P、Q两点，满足APAQ，AHPQ，垂足为H （1）求椭圆C的标准方程； （2）求ABH面积的最大值 7 连云港市连云港市 2021 届高三适应性演练模拟考试届高三适应性演练模拟考试数学试题数学试题 注意事
15、项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效写在本试卷上无效. 3考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5
16、分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1已知集合 2 |60Ax xx， |10Bx x ，则AB （ ） A( ,3 B(,2 C(,1) D 2,1) 答案：A 解析：因为 2 |60Ax xx2，3， |10Bx x (，1)， 所以AB ( ,3 ，选 A 2复数 2 (1 i) 1+i （ ） A1i B1i C1i D1i 答案：C 解析： 2 (1 i)2i2i(1 i) 1 i 1+i1+i2 ，选 C 3如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径 6cm，高 8cm（不含杯脚），已知水的高度是 4cm，现往 杯子中放入一种直径为 1cm 的珍
17、珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢 出，则最多可以放入珍珠（ ） A98 颗 B106 颗 C120 颗 D126 颗 答案：D 解析：设可以放入珍珠 x 颗， 32 4171 ( )38 3283 x ，解得126x ，选 D 8 42020 年 11 月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线， 帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业 CEO 或海外负责人某新闻机构安排 4 名记 者和 3 名摄影师对本次进博会进行采访，其中 2 名记者和 1 名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外 2 名记者和 2 名摄影
18、师分两组（每组记者和摄影师各 1 人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的 现场采访如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ） A36 种 B48 种 C72 种 D144 种 答案：A 解析： 211 432 36C C C ，选 A 5平行四边形ABCD中,M为CD的中点,点N满足2BNNC ,若ABAMAN,则的值是 （ ） A4 B2 C 1 4 D 1 2 答案：D 解析： 1 2 AMADAB ， 2 3 ANABAD ， 2 3 得： 22 33 AMANAB ，所以 3 2 ABAMAN ， 故 31 1 22 ，选 D 6国防部新闻
19、发言人在 2020 年 9 月 24 日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解 放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在 海面上空绕台巡航 已知海面上的大气压强是760mmHg， 大气压强p（单位：mmHg） 和高度h（单位： m）之间的关系为 760e hk p （e是自然对数的底数，k是常数），根据实验知500m高空处的大气压强 是700mmHg，则我战机在1000m高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ） A. 645 mmHg B. 646 mmHg C.647 mmHg D. 648 mmHg 答案：A 9 解析
20、： 500500 700760e 5 e 3 38 kk ， 当 h1000 时， 100050220 35 760 ()760760ee()645 38 kk p ，选 A 7已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右焦点为F，两渐近线分别为 1: b lyx a ， 2: b lyx a ， 过F作 1 l的垂线，垂足为M，该垂线交 2 l于点N，O为坐标原点，若OFFN，则双曲线C的离心率 是（ ） A2 B 3 2 2 C 3 D 2 3 3 答案：D 解析：根据题意可知MOFFONN30，则OFN120， 故 ON3OF3c，所以 12 3 sin30 233 OM
21、a e ONc ，选 D 8已知 f xx x，对任意的xR， 2 430f axfx 恒成立，则实数a的最小值是（ ） A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1 8 答案：C 解析：注意到函数 ( )f x是单调递增的奇函数， 222 ()4( 3)0() 2 ( 3) () 2 ( 3) f a xfxf a xfxf a xfx 2 2 ( 3)a xx ，当 x0 时，显然不等式成立； 当 x0 时， 2 max 111 6( )2 6 a xx ，选 C 二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目 要求全选对的得 5
22、分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普通人最伟大,同时让我感 到幸福都是奋斗出来的”.某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下： 10 已知：利润收入支出,根据该折线图,下列说法正确的是（ ） A. 该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润 B. 该企业2019年第一季度的利润约是60万元 C. 该企业2019年4月至7月的月利润持续增长 D. 该企业2019年11月份的月利润最大 答案：AC 解析：该企业 2019 年第一季度的利润约是 50 万元，故 B 错误；该企业
23、2019 年 7 月份的月利润最大，故 D 错误故本题选 AC 10下列命题为真命题的是( ) A若 22 acbc，则a b B若ab，则 1 2 2 a b C若0 0ab，则 2ab ab ab D若0ab，则 lg 1 lg a b 答案：ABC 解析：选项 D，当 a 1 10 ，b 1 100 时， lg11 1 lg22 a b ，故 D 错误，本题选 ABC 11设等比数列 n a的公比为q，前n项和为 n S，前n项积为 n T，并满足条件 120202021 1,1,aaa 20202021 (1) (1)0aa.则下列结论中正确的是( ) A 1q B 20212020
24、SS C 20202022 1aa D 2020 T是数列 n T中的最大值 答案：BCD 解析：根据题意知 2020 1a， 2021 01a，故 0q1，A 错误； 11 因为 2021 01a，所以 20212020 SS，B 正确； 2 2 0 2 02 0 2 22 0 2 1 1aaa，C 正确； 由 2020 1a， 2021 01a，可知 2020 T确实是数列 n T中的最大值综上选 BCD 12如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF1，则下列说法中 正确的是( ) A存在点 E，F 使得 AEBF B异面直线 EF
25、与 C1D 所成的角为 60 C三棱锥 BAEF 的体积为定值 2 12 DA1到平面 AEF 的距离为 3 3 答案：BCD 解析：EF 与 AB 异面，故 A 错误；BDC1是等边三角形，而 EFBD，故BDC1就是异面直线 EF 与 C1D 所成的角，确实是 60，故 B 正确；可以根据等积法求得 B 到平面 AB1D1的距离为 3 3 ，故 VBAEF 11632 1 322312 ，故 C 正确；可以利用等积法求得点 A1到平面 AB1D1的距离为 3 3 ，即 A1到平面 AEF 的距离为 3 3 ，D 正确 综上选 BCD 三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 2
26、0 分） 13已知抛物线 2 :20C ypx p的交点为F，过F作斜率为 3的直线l交抛物线C与A、B两点， 若线段AB中点的纵坐标为3，则抛物线C的方程是_ 答案： 2 6yx 解析：333 AB pky 中 ，故抛物线方程为 2 6yx 14已知sin 3cos 36 ，则tan2的值是_ 答案：4 3 12 解析： 133 333 sin()3cos()sincoscossintan 3622222 ， 2 2 t a n3 t a n 243 3 1t a n 1 4 15经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是一种利用三度空间的 球面来定义地球上的空间
27、的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置，经度是个二面角，是两个经 线平面（经线与地轴所成的半平面）的夹角，某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面 间的夹角.纬度是个线面角， 某一点的纬度是指该点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角.城市A位 置东经120，北纬48，城市B位置为东经120，北纬18，若地球的半径为R，则过A，B两点和地 心的平面截球所得的截面圆的劣弧AB的长是_ 答案： 6 R 解析：由题意知弧 AB 在以 30为圆心角 R 为半径的圆上，故弧长为 6 R 16已知0a ，若lnlnaxxa恒成立，则 a 的值是_ 答案：e 解析：两边同时除以 ax 得
28、， lnlnxa xa ，要使该不等式恒成立，即 xa 时， ln x x 取最大值， 故 ae 四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分） 在 222 2bacac ,cossinaBbA,sin cos2BB 这三个条件中任选一个,补充在 下面的问题中,并解决该问题. 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c_, 3 A , 2b ,求ABC的面 积. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 解：选择： 222 2bacac , 由余弦定理 222 22 cos 222 acbac B acac ,
29、 因为(0, )B,所以 4 B ; 13 由正弦定理 sinsin ab AB ,得 2 sin sin 3 3 sin2 2 bA a B , 因为 3 A , 4 B ,所以 5 3412 C , 所以 562 sinsinsinsincoscossin 124646464 C , 所以 116233 sin32 2244 ABC SabC . 若选择：cossinaBbA,则sincossinsinABBA, 因为sin0A,所以sincosBB,因为(0, )B,所以 4 B ; 由正弦定理 sinsin ab AB ,得 2 sin sin 3 3 sin2 2 bA a B ,
30、因为 3 A , 4 B ,所以 5 3412 C , 所以 562 sinsinsinsincoscossin 124646464 C , 所以 116233 sin32 2244 ABC SabC . 若选择：sin cos2BB ,则2sin2 4 B ,所以sin1 4 B , 因为(0, )B,所以 5 , 444 B ,所以 42 B ,所以 4 B ; 由正弦定理 sinsin ab AB ,得 2 sin sin 3 3 sin2 2 bA a B , 因为 3 A , 4 B ,所以 5 3412 C , 14 所以 562 sinsinsinsincoscossin 124
31、646464 C , 所以 116233 sin32 2244 ABC SabC . 18（本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 123 231 22 n n aaanan （n N）. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 log 2 n na b ，则在数列 n b中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成 等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意，得 1 123 231 22 n n aaanan ， 当2n时， 1231 231222 n n aaanan ， 两式相减，得 1 1 222 nn n nann
32、 ，即2n n a . 当1n 时， 1 2a ，也满足上式， 所以数列 n a的通项公式2n n a . （2） 22 111 log2 loglog 2 n na n n b an ， 法一： 1 1b ， 2 1 2 b ，显然不适合； 2 1 2 b ， 3 1 3 b 适合，即 2 1 2 b ， 3 1 3 b ， 6 1 6 b 构成公差为 1 6 的等差数列； 3 1 3 b ， 4 1 4 b 适合，即 3 1 3 b ， 4 1 4 b ， 6 1 6 b 构成公差为 1 12 的等差数列； 当4n时，假设 n b， 1n b ， n k b （2k ）成等差数列，则 1
33、2 nnn k bbb ， 即 1 2 2111 2 2 1 2 1 n knn n bbb nnnn n n ， 而当4n时， 2 1n N，所以 n k b 不是数列 n b中的项，所以当4n时，不存在连续两项，使之与数 列后面某一项依原顺序成等差数列. 综上， 2 b， 3 b和 3 b， 4 b适合条件. 15 法二： 1 1b ， 2 1 2 b 显然不适合； 当2n时，设 n b， 1n b ， n k b （2k ）成等差数列，则 1 2 nnn k bbb ， 即 211 1nnnk ，解得 2 2 1 k n . 当2n时，4k ，则 2 1 2 b ， 3 1 3 b ，
34、6 1 6 b 构成公差为 1 6 的等差数列； 当3n时，3k ，则 3 1 3 b ， 4 1 4 b ， 6 1 6 b 构成公差为 1 12 的等差数列； 当4n时， 2 1n N，则k N，所以 n k b 不是数列 n b中的项，所以当4n时，不存在连续两项， 使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列. 综上， 2 b， 3 b和 3 b， 4 b适合条件. 19（本小题满分 12 分） 截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世 界第一.与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点.如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因
35、 分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素.研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距 离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（v表示行车速度，单位：/km h； 1 d， 2 d分别表示反应距离和制动距离，单位：m） 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 1 d 13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5 （1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的 概率（用频率代替概率）； （2）已知 2 d与v的平方
36、成正比，且当行车速度为100/km h时，制动距离为65m. 16 （i）由表中数据可知， 1 d与v之间具有线性相关关系，请建立 1 d与v之间的回归方程，并估计车速为 110/km h时的停车距离； （ii）我国道路交通安全法规定：车速超过100/km h时，应该与同车道前车保持100m以上的距 离，请解释一下上述规定的合理性. 参考数据： 10 1 1004 i i v ， 10 1 1 210 i i d ， 10 1 1 22187.3 i i i v d ， 10 2 1 106054 i i v ，110330.21 52524 ； 参考公式： 1 2 1 n ii i n i
37、i xxyy b xx ， a ybx. 解：（1）由题意可知从一年内发生的交通事故中随机抽出一起事故,则该起事故是恰好是超速驾驶的概率 为0.2,设“恰好有一起事故属于超速驾驶”为事件A, 则 2 1 3 11 ( )1 55 P AC 48 125 （2）由题意,设 2 2 dk v,因为当行车速度为100/km h时,制动距离为65m, 所以0.0065k ,即 2 2 0.0065dv, （i）因为 1 d与v之间具有线性相关关系,故设 1 dbva, 因为 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx 所以 10 11 1 102
38、 22 1 22187.3 10 100.4 211103.3 0.21 106054 10 100.45252.4 i i i i i v dnvd b vnv 故 1 0.21dva,把(100.4,21)代入上式,解得0.084a , 则 1 d与v之间的回归方程为： 1 0.210.084dv： 设停车距离为d,则 12 ddd,则 2 0.00650.210.084dvv, 当110/vkm h时,101.666d ,即车速为110/km h时的停车距离为101.666m 17 （ii）易知当车速为100/km h时,停车距离为85.916m,该距离小于100m, 又因为当车速为11
39、0/km h时的停车距离为101.666m,该距离大于100m, 由以上两个数据可知,当车速超过100/km h时,必须与同车道前车保持100米以上的距离才能保证行驶安 全. 20（本小题满分 12 分） 如图， 已知四棱锥 S-ABCD 的底面为直角梯形， 且满足 ABCD， BCAB， AB=9， BC=CD=SD=6， SB=12， 平面 SCD平面 SBC. M 为线段 SC 的中点，N 为线段 AB 上的动点. （1）求证：平面 SCD平面 ABCD； （2）设 AN=NB(0)，当二面角 C-DM-N 的 大小为 60时，求的值. 解：（1）证明：SDCD，即SDC 为等腰三角形，
40、又 M 为 SC 中点 DMSC， 又平面 SCD平面 SBC，平面 SCD平面 SBCSC，DM平面 SCD， DM平面 SBC， 又BC平面 SBC，DMBC， 又 BCCD，DMDCD，DM平面 SCD，CD平面 SCD， BC平面 SCD， BC平面 ABCD，平面 SCD平面 ABCD， （2）由（1）可知，在 RtSCB 中， 在SDC 中，由余弦定理可知， SDC 过点 N 作 NGCD 于点 G，G 为垂足，则 NGBC，BC平面 SCD NG平面 SCD，DM平面 SCD，DMNG，过点 G 作 GKDM 于点 K， 连接 NK，DMGK，DMNG，NGGKG，DM平面 NG
41、K， 18 又NK平面 NGK，DMNK，GKN 即为二面角 CDMN 的平面角 在 RtNGK 中，NKG60， 在 RtDKG 中，KDG60， 21（本小题满分 12 分） 已知函数 ( )ln1f xxax （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）对任意0 x ， 2 e( ) x xf x恒成立，求实数a的最大值 解：（1） 11 ( )(0) ax fxax xx 当 0a时，(0,)x， 1 ( )0 ax fx x ，所以 ( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时， 1 (0,)x a ， 1 ( )0 ax fx x ，所以 ( )f x在 1 (0,) a 上单调递
42、增； 1 (+ )x a ， 1 ( )0 ax fx x ，所以 ( )f x在 1 (+ ) a ，上单调递减； 综上：当 0a时，( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时， ( )f x在 1 (0,) a 上单调递增，在 1 (+ ) a ，上单调递减. （2）任意0 x ， 2 e( ) x xf x，即 2 eln10 x xxax 恒成立, 即 ln2 eln10 xx xax 恒成立； 令 ln2 g( ) =eln1 xx xxax ,则任意0 x ， ln2 g( ) =eln1 0 xx xxax , 因为，存在正实数 0 x，满足： 00 ln20 xx,且 00
43、 ln2 000 g()=eln1 0 xx xxax ， 所以 00 20 xax，所以2a. 下证：当2a 时成立：即证： ln2 eln210 xx xx , 19 因为Re1 x xx ， , 所以： ln2 eln21ln21 ln210 xx xxxxxx 显然成立； 所以实数a的最大值为2. 22（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率 3 3 ，点3, 2在椭圆C上A、B分别为椭圆C的 上、下顶点，动直线l交椭圆C于P、Q两点，满足APAQ，AHPQ，垂足为H （1）求椭圆C的标准方程； （2）求ABH面积的最大值 解：（1）由题意知
44、 22 222 3 3 32 1 c a ab abc ，解 6 2 2 a b c ，所以椭圆C的标准方程为 22 1 64 xy （2）由题意知PQ的斜率存在，设直线PQ方程为ykxm，其中2m 由 22 1 64 ykxm xy 得 222 3263120kxkmxm ， 222222 3612 32424 64k mkmkm ， 设 11 ,P x y， 22 ,Q x y，则 12 2 6 32 km xx k ， 2 12 2 312 32 m x x k ，因为APAQ， 所以 12121212 2222AP AQx xyyx xkxmkxm 2 2 1 212 1(2)20kx
45、 xk mxxm， 所以 2 2 2 22 3126 1220 3232 mkm kk mm kk ， 即 2 2222 1 312622320kmk m mmk 20 因为2m，所以 222 1 (36)62320kmk mmk 所以 22222 3636632640k mkmk mk mmk， 所以 2 5 m ， 满足0 所以直线PQ的 方程为 2 5 ykx，即直线PQ的定点 2 0, 5 （解法一）因为ABH存在，所以0k ，所以AH的斜率为 1 k ，方程为 1 2yx k ， 联立 2 5 1 2 ykx yx k ，解得 12 1 5 H x k k ，（ H x为H点的横坐标）， 所以 11122412 4 225 11 55 ABHH SABx kk kk ， 当且仅当 1 k k 即1k 时等号取得，即ABH面积的最大值为12 5 （解法二）设PQ所过定点为D，因为AHPQ，所以点H在以AD为直径的圆上， 所以 max 2 2 11125 4 22225 H AD SAB ，即ABH面积的最大值为12 5
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