1、南京市南京市 20202021 学年度第一学期学年度第一学期期末学情调研试卷期末学情调研试卷 高一数学高一数学 2021.01 注意事项：注意事项： 1 本试卷包括单项选择题 （第 1 题第 8 题） 、 多项选择题 （第 9 题第 12 题） 、 填空题 （第 13 题第 16 题） 、 解答题（第 17 题第 22 题）四部分。本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。 2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。 3作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案
2、不能答在试卷上。 4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 一、一、单项单项选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1若角 的终边经过点 P(3，a)(a0)，则 Asin0 Bsin0 Ccos0 Dcos0 2记函数 y 4x2的定义域为 A，函数
3、yln(x1)的定义域为 B，则 AB A(1，2) B(1，2 C(2，1) D2，1) 3设实数 x 满足 x0，函数 y23x 4 x1的最小值为 A4 31 B4 32 C4 21 D6 4已知 a，b，m 都是负数，且 ab，则 A1 a 1 b B a b b a Cambm D bm am b a 5有一组实验数据如下表所示： t 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1 v 1.5 4.0 7.5 12.0 18.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 Av2t2 Bvt 21 2 Cvlog0.5t Dvlog3t 6若函数 f(x)sin
4、2x 与 g(x)2cosx 都在区间(a，b)上单调递减，则 ba 的最大值是 A 4 B 3 C 2 D 2 3 7函数 f(x) sinxx cosxx2 在，上的图象大致为 8若函数 f(x)同时满足：定义域内存在实数 x，使得 f(x) f(x)0；对于定义域内任意 x1，x2，当 x1 x2时，恒有(x1x2) f(x1)f(x2)0；则称函数 f(x)为“DM 函数”下列函数中是“DM 函数”的为 Af(x)x3 Bf(x)sinx Cf(x)ex1 Df(x)lnx 二、多项二、多项选择题：本大题共选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 202
5、0 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求， 请把答案填涂在要求， 请把答案填涂在答题卡相应位置答题卡相应位置 上 全部选对得上 全部选对得 5 5 分， 部分选对得分， 部分选对得 3 3 分， 不选或有选错的得分， 不选或有选错的得 0 0 分分 9关于函数 f(x)tan2x，下列说法中正确的是 A最小正周期是 2 B图象关于点( 2，0)对称 C图象关于直线 x 4对称 D在区间( 2， 2)上单调递增 10已知曲线 C1：ysinx，C2：ysin(2x 3)，下列说法中正确的是 A把 C1向左平移 3个单位长度，再将所有点的横坐标
6、变为原来的 2 倍，得到 C2 B把 C1向左平移 3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 1 2倍，得到 C2 C把 C1上所有点的横坐标变为原来的1 2倍，再向左平移 3个单位长度，得到 C2 D把 C1上所有点的横坐标变为原来的1 2倍，再向左平移 6个单位长度，得到 C2 11 我们知道， 如果集合 A S， 那么 S 的子集 A 的补集为 sAx|xS， 且 xA 类似地， 对于集合 A， B，我们把集合x|xA，且 xB叫作集合 A 与 B 的差集，记作 AB据此，下列说法中正确的是 A若 A B，则 AB B若 BA，则 ABA C若 AB，则 ABA D若 ABC，则 AB
7、AC B 1 y x O A x 1 y O D 1 O x y x C 1 y O 12高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设 xR，用x表示不超 过 x 的最大整数，yx也被称为“高斯函数” ，例如：3.54，2.12已知函数 f(x)x1 x，下列说法中正确的是 Af(x)是周期函数 Bf(x)的值域是(0，1 Cf(x)在(0，1)上是增函数 D xR，f(x)0 三三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 上上 13已知幂函数 yx
8、的图象过点(2， 2)，则 的值为 14已知函数 f(x) 2x1， x1， x2ax，x1， 若 f(f(0)3a，则 a 的值为 15已知 sin( 6) 1 3，则 sin( 5 6 )sin2( 3)的值为 16地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级(M)是用据震中 100 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级的计算公式为 MlgA lgA0，其中 A 是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪 距实际震中的距离造成的偏差) 根据该公式可知， 7.5 级地震的最大振幅是 6 级地震的最大振
9、幅的 倍(精确到 1) 四四、解答题解答题：本大题共：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分请在分请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答，解答时应写出必要的文字说明，证作答，解答时应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 已知集合 Ax|2x1 x1 1，Bx|2x2(m2)xm0 （1）当 m1 时，求 AB； （2）已知“xA”是“xB”的必要条件，求实数 m 的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 已知 sin()cos()1 8，且 0 4 （1）求 coscos( 2)的值； （2）求 tan 的值 19 （本小题满
10、分 12 分） （1）计算：2log25(0.125) 2 3log 39； （2）已知 alog0.43，blog43，求证：abab0 20(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)x|xa|为 R 上的奇函数 （1）求实数 a 的值； （2）若不等式 f(sin2x)f(t2cosx)0 对任意 x 3， 7 6 恒成立，求实数 t 的最小值 21 （本小题满分 12 分） 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在 t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度 h(单位： cm)由关系式 hAsin(t 4)确定，其中 A0，0，t0，)在一次振动中，小球从最高点运动至 最低点所用
11、时间为 1 s且最高点与最低点间的距离为 10 cm （1）求小球相对平衡位置的高度 h(单位：cm)和时间 t(单位：s)之间的函数关系； （2）小球在 t0 s 内经过最高点的次数恰为 50 次，求 t0的取值范围 22 （本小题满分 12 分） 对于定义在 D 上的函数 f(x)，如果存在实数 x0，使得 f(x0)x0，那么称 x0是函数 f(x)的一个不动点已 知 f(x)ax21 （1）当 a2 时，求 f(x)的不动点； （第 21 题图） （2）若函数 f(x)有两个不动点 x1，x2，且 x12x2 求实数 a 的取值范围； 设 g(x)logaf(x)x，求证：g(x)在(
12、a，)上至少有两个不动点 南京市南京市 20202021 学年度第一学期学年度第一学期期末学情调研试卷期末学情调研试卷 高高 一一 数学数学 2021.01 注意事项：注意事项： 1 本试卷包括单项选择题 （第 1 题第 8 题） 、 多项选择题 （第 9 题第 12 题） 、 填空题 （第 13 题第 16 题） 、 解答题（第 17 题第 22 题）四部分。本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。 2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。 3作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮
13、擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 一、一、单项单项选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1若角 的终边经过点 P(3，a)(a0)，则 Asin0 Bsin0 Ccos0 Dcos0 【答案】C
14、【考点】三角函数的定义、在各象限的符号 【解析】由三角函数的定义可知，sin 22 3a a 符号不确定，cos0 3 3 22 a ，故答案选 C. 2记函数 y 4x2的定义域为 A，函数 yln(x1)的定义域为 B，则 AB A(1，2) B(1，2 C(2，1) D2，1) 【答案】B 【考点】定义域的求解、集合的交集 【解析】由题意22，A， ，1B，所以 AB(1，2，故答案选 B. 3设实数 x 满足 x0，函数 y23x 4 x1的最小值为 A4 31 B4 32 C4 21 D6 【答案】A 【考点】利用基本不等式求最值 【解析】由题意 x0，所以 x+10，所以 y23x
15、 4 x1 1 4 3132 x x 1341 1 4 1321 1 4 13 x x x x，当且仅当 1 4 13 x x，即01 3 32 x时等 号成立，所以函数 y23x 4 x1的最小值为 4 31，故答案选 A. 4已知 a，b，m 都是负数，且 ab，则 A1 a 1 b B a b b a Cambm D bm am b a 【答案】D 【考点】不等式的基本性质 【解析】法一法一：可取特殊值 a2，b1 验证可得 D 选项正确； 法二：法二：由题意 ab0，则1 a 1 b，选项 A 错误；由 ab，不等式两边同除 ab，可得 ab b ab a ，即b a a b，选 项
16、B 错误；由不等式的可加性可知，由 ab，可得 ambm，选项 C 错误；由 0 maa bam maa mab maa mba a b ma mb ，所以bm am b a，选项 D 正确；故答案选 D. 5有一组实验数据如下表所示： t 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1 v 1.5 4.0 7.5 12.0 18.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 Av2t2 Bvt 21 2 Cvlog0.5t Dvlog3t 【答案】B 【考点】函数的基本性质与解析式 【解析】法一：法一：从图表数据可知，随着 t 的变大，v 变大，则函数为单调递增，且增
17、加速度越来越快，故排 除选项 A、C、D（A 选项为线性增加的函数，C 选项为递减函数，D 选项为比线性增加较为缓慢的函数） ， 故答案选 B. 法二：取 t4，可得：对于 A 选项，v242=6，故选项 A 错误；对于 B 选项，vt 21 2 7.5，故选项 B 可能正确；对于 C 选项，vlog0.5t2，故选项 C 错误；对于 D 选项，vlog3tlog34，故选项 D 错误； 以上只有 B 选项最接近，故答案选 B. 6若函数 f(x)sin2x 与 g(x)2cosx 都在区间(a，b)上单调递减，则 ba 的最大值是 A 4 B 3 C 2 D 2 3 【答案】C 【考点】三角
18、函数的图象与性质：单调性 【解析】 由题意函数 f(x)sin2x 在( 4 ，4 3 )上单调递减， 函数 g(x)2cosx 在(0，)上单调递减， 则 4 3 max b， 4 min a，所以 ba 的最大值为 244 3 ，故答案选 C. 7函数 f(x) sinxx cosxx2 在，上的图象大致为 【答案】D 【考点】利用函数的基本性质对函数图象的识别与判断 【解析】由题意该函数 f(x) sinxx cosxx2在，上为奇函数，且 f() 10 1 2 ， ，故答案排除 A、B、 C，故答案选 D. 8若函数 f(x)同时满足：定义域内存在实数 x，使得 f(x) f(x)0；
19、对于定义域内任意 x1，x2，当 x1 x2时，恒有(x1x2) f(x1)f(x2)0；则称函数 f(x)为“DM 函数”下列函数中是“DM 函数”的为 Af(x)x3 Bf(x)sinx Cf(x)ex1 Df(x)lnx 【答案】A 【考点】新定义函数的性质 B 1 y x O A x 1 y O D 1 O x y x C 1 y O 【解析】由题意“DM 函数”为单调递增的奇函数，故只有 A 选项满足，所以答案选 A. 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目分在每小
20、题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求， 请把答案填涂在要求， 请把答案填涂在答题卡相应位置答题卡相应位置 上 全部选对得上 全部选对得 5 5 分， 部分选对得分， 部分选对得 3 3 分， 不选或有选错的得分， 不选或有选错的得 0 0 分分 9关于函数 f(x)tan2x，下列说法中正确的是 A最小正周期是 2 B图象关于点( 2，0)对称 C图象关于直线 x 4对称 D在区间( 2， 2)上单调递增 【答案】AB 【考点】正切函数的图象与性质 【解析】由题意函数 f(x)tan2x 的最小正周期为 2 T，故选项 A 正确；由 f( 2)0，故选项 B 正确；因为 函数 f(x)ta
21、n2x 不存在对称轴，故选项 C 错误；因为 x( 2， 2)，所以 2x ，此区间不是函数 y tanx 的单调递增区间，故选项 D 错误；故答案选 AB. 10已知曲线 C1：ysinx，C2：ysin(2x 3)，下列说法中正确的是 A把 C1向左平移 3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 2 倍，得到 C2 B把 C1向左平移 3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 1 2倍，得到 C 2 C把 C1上所有点的横坐标变为原来的1 2倍，再向左平移 3个单位长度，得到 C2 D把 C1上所有点的横坐标变为原来的1 2倍，再向左平移 6个单位长度，得到 C2 【答案】BD 【考点
22、】函数xAysin的图象变换 【解析】 变换方式一：变换方式一： 由函数 ysinx 的图象可向左平移 3个单位长度， 再将所有点的横坐标变为原来的 1 2倍， 得到 ysin(2x 3)；变换方式二： 变换方式二：因为 6 2sin 3 2sin xxy，所以由函数 ysinx 的图象可 讲其图象上所有点的横坐标变为原来的1 2倍，再向左平移 6个单位长度，得到 ysin(2x 3)；故答案选 BD. 11 我们知道， 如果集合 A S， 那么 S 的子集 A 的补集为 sAx|xS， 且 xA 类似地， 对于集合 A， B ， 我 们 把 集 合 x | x A ， 且x B 叫 作 集
23、合A与B的 差 集 ， 记作 AB据此，下列说法中正确的是 A若 A B，则 AB B若 BA，则 ABA C若 AB，则 ABA D若 ABC，则 ABAC 【答案】ACD 【考点】新定义集合的应用 【解析】由差集的定义可知，对于选项 A，若 A B，则 A 中的元素均在 B 中，则 AB ，故选项 A 正确；对于选项 B，若 B A，则 B 中的元素均在 A 中，则 ABABA，故选项 B 错误；对于选项 C， 若 AB，则 A、B 无公共元素，则 ABA，故选项 C 正确；对于选项 D，若 ABC，则 AB ACAC，故选项 D 正确；故答案选 ACD. 12高斯是德国著名的数学家，近代
24、数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设 xR，用x表示不超 过x的 最 大 整 数 ， y x 也 被 称 为 “ 高 斯 函 数 ”， 例 如 ： 3 . 5 4 ， 2.12已知函数 f(x)x1x，下列说法中正确的是 Af(x)是周期函数 Bf(x)的值域是(0，1 Cf(x)在(0，1)上是增函数 D xR，f(x)0 【答案】AB 【考点】新定义函数的基本性质及应用 【解析】由题意x1 212 101 010 121 x x x x ， ， ， ， ，所以 f(x)x1x 212 101 01 121 xx xx xx xx ， ， ， ， ，可画出图象（图 略） ，可得到函数 f
25、(x)是周期为 1 的函数，且值域为(0，1，在(0，1)上单调递减，故选项 A、B 正确，C 错 误；对于选项 D，f(x)1，所以选项 D 错误，故答案选 AB. 三三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 上上 13已知幂函数 yx的图象过点(2， 2)，则 的值为 【答案】1 2 【考点】幂函数的概念 【解析】由题意可知 22 ，即 222 1 ，解得 2 1 ，故答案为1 2 . 14已知函数 f(x) 2x1， x1， x2ax，x1， 若 f(f(0)3a，
26、则 a 的值为 【答案】4 【考点】分段函数求参数 【解析】由题意可知 2120 0 f， aaf3222 2 ，解得 a4，故答案为 4. 15已知 sin( 6) 1 3，则 sin( 5 6 )sin2( 3)的值为 【答案】11 9 【考点】三角函数中同角的三角函数关系式与诱导公式综合应用（给值求值） 【解析】因为 6 5 6 ， 236 ，所以 sin(5 6 ) 3 1 6 sin 6 sin ， 3 1 6 sin 62 cos 3 cos ， 所以 sin(5 6 )sin2( 3) 9 11 3 1 3 4 3 cos1 3 1 2 2 .故答案为11 9 . 16地震震级是
27、根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级(M)是用据震中 100 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级的计算公式为 MlgA lgA0，其中 A 是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪 距实际震中的距离造成的偏差) 根据该公式可知， 7.5 级地震的最大振幅是 6 级地震的最大振幅的 倍(精确到 1) 【答案】32 【考点】文化题：指对数的运算 【解析】由题意 MlgAlgA0 0 lg A A ，即 M A A 10 0 ，则 M AA10 0 ，当 M=7.5 时，地震的最大振幅为 7.5 01 10
28、 AA；当 M=6 时，地震的最大振幅为 6 02 10 AA，所以 2 1 A A 3210101010 10 10 3 2 3 1.56-7.5 6 7.5 ，故答案为 32. 四四、解答题解答题：本大题共：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分请在分请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答，解答时应写出必要的文字说明，证作答，解答时应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 已知集合 Ax|2x1 x1 1，Bx|2x2(m2)xm0 （1）当 m1 时，求 AB； （2）已知“xA”是“xB”的必要条件，求实数 m 的取值范围
29、 【考点】集合与逻辑用语（含分式不等式、一元二次不等式的解法） 【解析】 解解： （1）由 2x1 x1 1，得 x2 x10，所以 Ax|2x1 Bx|2x2(m2)xm0 x|(x1)(2xm)0 当 m1 时，Bx|1 2x1 3 分 所以 ABx|2x1 4 分 （2）因为“xA”是“xB”的必要条件，所以 B A 6 分 若m 21，不符合题意； 7 分 若m 21 即 m2 时，B，符合题意； 8 分 若m 21，则 Bx| m 2x1， 所以2m 21，解得2m4 9 分 综上，m2，4 10 分 18 （本小题满分 12 分） 已知 sin()cos()1 8，且 0 4 （1
30、）求 coscos( 2)的值； （2）求 tan 的值 【考点】同角的三角函数公式、诱导公式 【解析】 解：解： （1）因为 sin()cos()sincos，且 sin()cos()1 8， 所以 sincos1 8 2 分 故 (cossin)2cos22sincossin2 12sincos121 8 3 4 4 分 又因为 0 4，所以 cossin，即 cossin0， 所以 cossin 3 2 所以 coscos( 2)cossin 3 2 6 分 （2）法一：法一：由（1）知 sincos1 8，又因为 sin 2cos21， 所以 sincos sin2cos2 1 8 因
31、为 0 4，cos0， 所以 tan tan21 1 8，即 tan 28tan10， 9 分 解得 tan4 15或 tan4 15 10 分 因为 0 4，所以 0tan1， 所以 tan4 15 12 分 法二：法二： 由（1）知 cossin 3 2 ， sincos1 8 因为 0 4，所以 cossin0， 故 cos 3 5 4 ， sin 3 5 4 ， 10 分 所以 tansin cos4 15 12 分 19 （本小题满分 12 分） （1）计算：2log25(0.125) 2 3log 39； （2）已知 alog0.43，blog43，求证：abab0 【考点】指对数
32、的运算、指对数的应用：比较大小 【解析】 解：解：（1）原式5(2) 3 2 3log 3( 3)4 544 13 4 分 （2）法一：法一：因为 ylog0.4x 在(0，)上递减，ylog4x 在(0，)上递增， 所以 alog0.43log0.410，blog43log410， 故 ab0 6 分 因为1 a 1 blog30.4log34log3(0.44)log31.6， 且 ylog3x 在(0，)递增， 所以 0log31log31.6log331，即 01 a 1 b1 10 分 所以 0ab(1 a 1 b)ab，即 abab0 12 分 法二：法二：因为 alog0.43，
33、blog43， 所以 ablog0.43log43 lg3 lg0.4 lg3 lg4lg3 lg4lg0.4 lg0.4 lg4 lg3 lg1.6 lg0.4 lg4， 因为 lg30，lg40，lg1.60，lg0.40， 所以 ab0 6 分 (ab)ablg3 lg1.6 lg0.4 lg4 lg3 lg0.4 lg3 lg4lg3 lg1.6lg3 lg0.4 lg4 lg3 lg1.6 3 lg0.4 lg4lg3 lg 8 15 lg0.4 lg4 10 分 因为 lg30，lg40，lg 8 150，lg0.40， 所以(ab)ab0，即 abab， 综上，abab0 12
34、分 20(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)x|xa|为 R 上的奇函数 （1）求实数 a 的值； （2）若不等式 f(sin2x)f(t2cosx)0 对任意 x 3， 7 6 恒成立，求实数 t 的最小值 【考点】函数的基本性质：奇偶性、单调性，及其应用：恒成立问题 【解析】 解：解： （1）因为函数 f(x)x|xa|为 R 上的奇函数， 所以 f(x)f(x) 对任意 xR 成立， 即(x) |xa|x |xa|对任意 xR 成立， 2 分 所以|xa|xa|，所以 a0 4 分 （2）由 f(sin2x)f(t2cosx)0 得 f(sin2x)f(t2cosx)， 因为函数
35、 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 f(sin2x)f(2cosxt) 6 分 由（1）得，f(x)x|x| x2，x0， x2，x0，是 R 上的单调增函数， 故 sin2x2cosxt 对任意 x 3， 7 6 恒成立 8 分 所以 t2cosxsin2x 对任意 x 3， 7 6 恒成立 因为 2cosxsin2xcos2x2cosx1(cosx1)22， 令 mcosx，由 x 3， 7 6 ，得 cosx1，1 2，即 m1， 1 2 10 分 所以 y(m1)22 的最大值为1 4，故 t 1 4， 即 t 的最小值为1 4 12 分 21 （本小题满分 12 分） 如图，弹簧挂
36、着的小球做上下振动，它在 t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度 h(单位： cm)由关系式 hAsin(t 4)确定，其中 A0，0，t0，)在一次振动中，小球从最高点运动至 最低点所用时间为 1 s且最高点与最低点间的距离为 10 cm （1）求小球相对平衡位置的高度 h(单位：cm)和时间 t(单位：s)之间的函数关系； （2）小球在 t0 s 内经过最高点的次数恰为 50 次，求 t0的取值范围 【考点】三角函数在物理中的应用 【解析】 解：解： （1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为 10 cm，所以 A10 2 5 2 分 （第 21 题图） 因为在一次振动中
37、，小球从最高点运动至最低点所用时间为 1 s，所以周期为 2， 即 T22 ，所以 4 分 所以 h5sin(t 4)，t0 5 分 （2）由题意，当 t1 4时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点， 7 分 因为小球在 t0 s 内经过最高点的次数恰为 50 次， 所以1 449Tt0 1 450T 9 分 因为 T2，所以 981 4t100 1 4， 所以 t0的取值范围为981 4，100 1 4) 12 分 （注：t0的取值范围不考虑开闭） 22 （本小题满分 12 分） 对于定义在 D 上的函数 f(x)，如果存在实数 x0，使得 f(x0)x0，那么称 x0
38、是函数 f(x)的一个不动点已 知 f(x)ax21 （1）当 a2 时，求 f(x)的不动点； （2）若函数 f(x)有两个不动点 x1，x2，且 x12x2 求实数 a 的取值范围； 设 g(x)logaf(x)x，求证：g(x)在(a，)上至少有两个不动点 【考点】新定义函数的零点、三个“二次”的转化、利用构造新函数解决零点问题 【解析】 解：解：（1）当 a2 时，f(x)2x21 方程 f(x)x 可化为 2x2x10，解得 x1 或 x1 2， 所以 f(x)的不动点为1 和 1 2 2 分 （2）因为函数 f(x)有两个不动点 x1，x2， 所以方程 f(x)x，即 ax2x10
39、 的两个实数根为 x1，x2， 记 p(x)ax2x1，则 p(x)的零点为 x1和 x2， 因为 x12x2，所以 a p(2)0， 即 a(4a1)0，解得 0a1 4 所以实数 a 的取值范围为(0，1 4) 6 分 因为 g(x)logaf(x)xloga(ax2x1) 方程 g(x)x 可化为 loga(ax2x1)x，即 axax2x1， ax2x10 因为 0a1 4，14a0，所以 p(x)0 有两个不相等的实数根 设 p(x)ax2x10 的两个实数根为 m，n，不妨设 mn 因为函数 p(x)ax2x1 图象的对称轴为直线 x 1 2a，p(1)a0， 1 2a1，p( 1 a)10， 所以 1m 1 2an 1 a 记 h(x)ax(ax2x1)， 因为 h(1)0，且 p(1)a0，所以 x1 是方程 g(x)x 的实数根， 所以 1 是 g(x)的一个不动点 8 分 h(n)an(an2n1)an0， 因为 0a1 4，所以 1 a4，h( 1 a)a 1 a1a410， 且 h(x)的图象在n，1 a上的图象是不间断曲线， 所以x0(n，1 a)，使得 h(x0)0， 10 分 又因为 p(x)
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