1、 大兴区 20202021 学年度第一学期期末检测试卷 高二数学高二数学 本试卷共4页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）在平面直角坐标系中，斜率为3的直线倾斜角为 （A）30 （B）60 （C）90 （D）120 （2）已知数列 n a满足 1 1a ，
2、 1 1 n n n a a a ，则 6 a的值为 （A） 1 6 （B） 1 4 （C）3 （D）6 （3）经过点(1 0) ，且与直线210 xy 垂直的直线方程为 （A） 210 xy （B）2 20 xy （C）2 20 xy （D）2 10 xy （4）某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率 为 （A）0.24 （B）0.36 （C）0.6 （D）0.84 （5）已知空间向量 (1 2 3)，a ，则向量a在坐标平面Oxy上的投影向量是 （A）(1 2 0) ， （B）(1 0 3)， （C）(0 2 3) ， （D）(1 0
3、0)， （6）已知圆C经过原点，且其圆心在直线 20 xy 上，则圆C半径的最小值为 （A）1 （B）2 （C）2 （D）2 2 （7）我国古代数学名著九章算术中有如下 “两鼠穿墙”问题:有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞 穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍.小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前 一天的一半.如果墙的厚度为10尺,则两鼠穿透此墙至少在第 （A）3天 （B）4天 （C）5天 （D）6天 （8）已知点M在抛物线 2 8yx上，F是抛物线的焦点，直线FM交y轴于点N若M为线段FN的中 点，则FN （A）3 （B）6 （C）6 2 （D）12 （9）已知椭圆 2
4、2 22 :10 xy Cab ab 的左、右顶点分别为 1 A， 2 A，且以线段 12 A A为直径的圆与直线 20bxayab 相切，则椭圆C的离心率为 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 6 3 （10）已知数列 n a的前n项和 1 22 n n S ，若 2 4 nn Sna * N，恒成立，则实数的最大值是 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 第二部分第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 （11）双曲线 22 1xy的渐近线方程为 （12）已知入射光线经
5、过点(0 1)M，被x轴反射，反射光线经过点(2 1)N，则反射光线所在直线的方程为 _ （13）已知数列 n a 的通项公式为 31 n an，则数列 n a 中能构成等比数列的三项可以为 （只需写 出一组） （14）如图，在四面体ABCD中，其棱长均为1，M，N 分别为BC，AD的中点若MNxAByACzAD，则 xyz_；直线MN和CD的夹角为_ （15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以 n P表示没有出现连续3次正面的概率. 给出下列四个结论： 3 7 8 P ； 4 15 16 P ； 当2n时， 1nn PP ； 123 111 (4) 248 nnnn PPPPn 其中，所有正确
6、结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8585 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 从2名男生（记为和）和3名女生（记为，和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生 （）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间； （）在（）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率 （17） （本小题 14 分） 已知前n项和为 n S的数列 n a 中， 1 5a . （）若 n a 是等比数列， 3 35S ，求 n a 的通项公式； （）若 n a 是等差数
7、列， 56 SS ，求 n S的最大值 （18） （本小题 14 分） 如图，在长方体 1111 ABCDABC D 中， 1 1ADAA， 2AB ， E为AB的中点 （）证明： 11 D EAD ； （）求点E到平面 1 ACD的距离； （）求平面 1 ADE与平面 1 ACD夹角的余弦值 （19） （本小题 14 分） 已知直线 1:2 20lxy 与直线 2: 20lxay ，aR. （）若 12 ll，求a的值； 1 B 2 B 1 G 2 G 3 G E D1 B1 C1 A1 A D B C （）求证：直线 2 l与圆 22 4xy恒有公共点； （）若直线 2 l与圆心为C的圆
8、22 ()(1)4xay相交于A，B两点，且ABC为直角三角形，求a的 值 （20） （本小题 14 分） 如图，四棱锥PABCD中，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，/BCAD ，ABAD， 222ADABBC， 2PC ，E为PD的中点. （）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值； （） 设F是BE的中点， 判断点F是否在平面PAC内， 并证明结论 （21） （本小题 15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长是短轴长的2倍，焦距是2 3. （）求椭圆C的方程； （）若直线: 40l xmy 与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段DE为直径的圆经过原点，求
9、实数m 的值； （）设A，B为椭圆C的左、右顶点，H为椭圆C上除A，B外任意一点，线段BH的垂直平分线分别 交直线BH和直线AH于点P和点Q， 分别过点P和Q作x轴的垂线， 垂足分别为M和N， 求证： 线段MN 的长为定值 大兴区大兴区 20202021 学年度第一学期期学年度第一学期期末末检测检测 高二数学参考答案及评分标准 一、一、选择题（共选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D A B B B D C 二、填空题（共二、填空题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5
10、5 分，共分，共 2525 分）分） （11）y x （12） 10 xy （13）2 8 32 ，（答案不唯一） （14） 1 2 ； 4 （15） 注： （14）题第一问 3 分，第二问 2 分.（15）题答案不全 3 分，有错 0 分. 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8 85 5 分）分） （16） （共 14 分） 解： （）设第一次抽取的人记为 1 x，第二次抽取的人记为 2 x，则可用数组 12 ()xx， 表示样本点 .根据 相应的抽样方法可知: 有放回简单随机抽样的样本空间 11112111213 2122212223 1112111213 21222
11、12223 () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () B BB BB GB GB G B BB BB GB GB G G BG BG GG GG G G BG BG GG GG G ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 3132313233 () () () () ()G BG BG GG GG G， ， ， ， ， 4 分 不放回简单随机抽样的样本空间 212111213 21212223 11121213 21222123 31323132 () () (
12、) () () () () () () () () () () () () () () () () ( B BB GB GB G B BB GB GB G G BG BG GG G G BG BG GG G G BG BG GG G ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ) 7 分 （）设事件A “抽到1名男生和1名女生”，则 对于有放回简单随机抽样， 111213212223 111221223132 () () () () () () () () () () () () AB GB GB GB GB GB G G BG BG B
13、G BG BG B ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 2 分 因为抽中样本空间 1 中每一个样本的可能性都相等，所以这是一个古典概型， 因此 12 ( ) 25 P A ； 4 分 对于不放回简单随机抽样， 111213212223 111221223132 () () () () () () () () () () () () AB GB GB GB GB GB G G BG BG BG BG BG B ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 因为抽中样本空间 2 中每一个样本的可能性都相等，所以这是一个古典概型，因此 123 ( ) 205 P
14、 A . 7 分 （17） （共 14 分） 解： （）设等比数列 n a 公比为q，因为 1 5a ， 3 35S 所以 2 123111 35aaaaa qa q 2 分 所以 2 5 5535qq，解得 3q 或 2q 5 分 所以，当 3q 时， 1 5 ( 3)n n a 当 2q 时， 1 5 2n n a 7 分 （）设等差数列 n a 公差为d， 因为 665 0aSS ， 1 5a ， 1 分 所以5 (6 1)0d ，解得10d 2 分 所以 1nn aa ， n a 是递减数列. 3 分 又由 5(1)( 1)6 n ann ， 4 分 可知：当6n 时， 0 n a ；
15、 当6n 时， 0 n a ； 当6n 时， 0 n a ， 5 分 所以 12567 SSSSS. 6 分 所以，当5n 或6时， n S有最大值为15. 7 分 （18） （共 14 分） 解： 在长方体 1111 ABCDABC D 中， 以D为原点， 1 DA DC DD， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则 (1 0 0)A ， 1(1 0 1) A，(0 2 0)C，(0 0 0)D， ， E D1 B1 C1 A1 A D B C x y z 1(0 0 1) D，(1 1 0)E ，. 1 分 （）因为 1 (1 11)D E ， 1 (1 0
16、 1)DA ， 2 分 又由 11 1 1 1 0( 1) 10D E DA ， 3 分 所以 11 D EDA，即 11 D EAD 4 分 （）因为( 1 2 0)AC ， 1 ( 1 0 1)AD ， 1 分 设 ()x y z，n 为平面 1 ACD的法向量，则 ACn， 1 ADn. 所以 1 20 0 ACxy ADxz n n 2 分 令2x ，则 1y ，2z ， 所以 (2 1 2)，n 为平面 1 ACD的一个法向量. 3 分 又因为(0 1 0)AE ， 222 |021 102|1 |3 212 AE n n ， 所以点E到平面 1 ACD的距离为 1 3 . 5 分
17、（）因为长方体 1111 ABCDABC D 中， 1 ADAA ，易证 11 ADAD ， 又由（）得 11 D EAD ， 111 ADD ED ， 所以 1 A D 平面 1 AD E. 所以 1 (1 0 1)DA ，是平面 1 AD E的一个法向量. 2 分 设平面 1 AD E与平面 1 ACD的夹角为，则 1 1 1 2 2 cos|cos| | 3| DA DA DA ， n n n ， 所以平面 1 ADE与平面 1 ACD夹角的余弦值为 2 2 3 . 5 分 （19） （共 14 分） 解： （）由直线方程得 1 l斜率 1 2k . 1 分 因为 12 ll，所以 2
18、l斜率 21 kk . 2 分 所以 2 1 2k a ，解得 1 2 a . 4 分 （）因为圆 22 4xy的圆心为 (0 0)O，半径为 2r ，1 分 所以圆心O到直线 2 l的距离 2 2 1 d a . 2 分 又因为 2 11a，所以 2 2 2 1a ，即rd. 4 分 所以直线 2 l与圆 22 4xy相交或相切，即恒有公共点. 5 分 （）由圆C： 22 ()(1)4xay得，圆心 (1)C a，半径为2.1 分 因为 2 l与圆C相交于A，B两点，且ABC是直角三角形， 所以 22 |2 2ABCACB. 3 分 所以圆心C到直线 2 l的距离 1 2 2 2 1 d a
19、 ， 4 分 解得1a . 5 分 （20） （共 14 分） 解：取AD中点O，连接OC OP ， . 由已知易证OCAD，OPAD，1OC ，1OP . 由2PC ，得 222 PCOPOC，所以OP OC. 以O为原点，OC OD OP ， 所在直线分别为x轴、y轴、 z轴 ， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0 0 1)P， (01 0)A， ，(11 0)B， ，(1 0 0)C ， 1 1 (0) 2 2 E，. 1 分 （）因为(0 1 1)AP ， (1 1 0)AC ， 2 分 设 ()x y z，n 为平面PAC的法向量， 则ACn，APn. 所以 0 0 ACxy A
20、Pyz n n 4 分 令1x ，则 1y ，1z ， 所以 (11 1)， ，n 为平面PAC的一个法向量. 5 分 设直线PB与平面PAC所成角为. 又因为(111)PB ， ， 6 分 F E O P A D B C x y z 所以 1 sin|cos| | 3| PB PB PB ， n n n . 所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 1 3 . 8 分 （）点F在平面PAC内. 1 分 因为F为BE中点，所以 111 () 244 F ， 1 3 1 () 2 4 4 AF ，. 3 分 又因为 131 1( 1)10 244 AF n=， 所以点F在平面PAC内. 6 分
21、（21） （共 15 分） 解： （）已知 222 22 2 22 3 ab c bac ，则 2 1 a b . 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 4 分 （）设 11 ()D xy， ， 22 ()E xy， ， 由 2 2 1 4 40 x y xmy ，得 22 (4)8120mymy， 2 分 当0 时，(2 3)(2 3)m ， 则 12 2 8 4 m yy m ， 12 2 12 4 y y m ， 3 分 又坐标原点O在以线段DE为直径的圆上，则0OD OE， 即 1212 0 x xy y ， 4 分 即 1212 (4)(4)0mymyy y ， 2 1212 4
22、()(1)160m yymy y， 则 2 19m ，即19m或19m，满足0 ， 所以19m或19m. 6 分 （）线段MN的长是 PQ xx . 1 分 设 00 ()H xy， ，由（）得点 ( 2 0)A ，(2 0)B， 又点P是线段BH的中点，则点 00 2 (,) 22 xy P ， 直线BH的斜率为 0 0 2 y x ，直线AH的斜率 为 0 0 2 y x ， 又BH PQ ，则直线PQ的方程为 000 0 22 () 22 yxx yx y ，2 分 又直线AH的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ， 3 分 联立方程 2 000 00 0 0 24 22 (2) 2 xxy yx yy y yx x ， 消去y化简整理，得 22 000 0 0 2 (2)()(2) 222 xyy xxx x ， 又 2 20 0 1 4 x y ，代入消去 2 0 y，得 2 0 00 3(4)1 (2)(2)(2) 84 x x xxx ， 即 0 310 6 x x ，即点Q的横坐标为 0 310 6 x ， 4 分 则 00 23102 263 PQ xx xx . 故线段MN的长为定值 2 3 . 5 分
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