1、房山区房山区 2020-2021 学年第一学期高三期末学年第一学期高三期末数学数学试题试题 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。 第一部分第一部分 （选择题 共 40 分） 一、一、选择题选择题共共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4 40 0 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。一项。 （1）设集合2, 1,0,1,2M ， 2 20Nx xx，则MN等于 （A）2, 1 （B）1,0 （C）1
2、,2 （D）0,1 （2）命题“0 x ，ln 1xx”的否定是 （A）0 x ，均有ln 1 xx （B）0 x ，均有ln 1 xx （C） 0 0 x，使得 00 ln 1 xx （D） 0 0 x，使得 00 ln 1 xx （3）若复数(1 i)(2i)z ,则在复平面内复数z对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （4）已知函数 2 log,0 21,0 x x x f x x ，则 1 2 ff 的值为 （A） 1 2 （B） 3 2 （C）3 （D）5 （5）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 （A） 3 4 （B）4 （C） 3
3、 8 （D）8 （6）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为0,2，则双曲线 的标准方程为 （A）1 44 22 yx （B）1 44 22 xy （C）1 4 2 2 y x （D）1 4 2 2 x y （7）已知m，n，p，q均为实数，且pq，则“mn”是“mpnq”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）在平行四边形ABCD中，1AD ， 1 2 AB ，60BAD ，E为CD的中点，则AC BE （A）2 （B）1 （C）1 （D）2 （9）对于定义在R上的函数)(xfy ，若存在非零实数 0 x
4、，使函数)(xfy 在),( 0 x和 ), 0 x（上均有零点，则称 0 x为函数)(xfy 的一个“折点” 下列四个函数存在“折点”的是 （A）23)( | 1| x xf （B）( )lg(2021)xf x （C）1 3 )( 3 x x xf （D）12)( 2 mxxxf （10） 众所周知的 “太极图” ， 其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起， 因而也被称为 “阴阳鱼太极图” 下 图是放在平面直角坐标系中的“太极图” ，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部 分的边界为一个半圆，已知直线:2l ya x给出以下命题： 当0a时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分面积记为 1
5、2 ,s s 12 ss,则 12 :3:1ss ； 当 4 3 a 时，直线l与黑色阴影区域有1个公共点； 当0,1a时，直线l与黑色阴影区域有2个公共点 其中所有正确命题的序号是 （A） （B） （C） （D） 第二部分第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、二、 填空题填空题共共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 (11)函数ln(21)2yx的定义域为 (12)在二项式 6 (1) x的展开式中， 2 x的系数为 (13)在ABC中，若4AB ，3BC ， 2 cos 3 B ，则cosC (14)在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线
6、2 4yx的焦点F，且与该抛物线相交于,A B两 点若直线l的倾斜角为 45，则OAB的面积为 (15)复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规格为： 0128 ,.,A A AA所有 规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为:1:2x y ；将 0 A纸 张沿长度方向对开成两等分，便成为 1 A规格； 1 A纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 2 A规 格；如此对开至 8 A规格.现有 0128 ,.,A A AA纸各一张.若 4 A纸的幅宽为2dm，则 0 A纸 的面积为 2 dm，这9张纸的面积之和等于 2 dm 三、解答题三、解答题共共 6 6 小题，
7、共小题，共 8 85 5 分。解答应写出文字说明分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，90BAD，ADBC， PAAD，PAAB， 1 2 2 PAABBCAD. （）求证：BC平面PAD； （）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值 （17）（本小题 14 分） 已知函数 2 sin22cos1f xaxx，再从条件、这三个条件中选择一个作为已 知，求： （） f x的最小正周期； （） f x的单调递增区间 条件： f x图像的对称轴为 8 x ； 条件：1 4 f ； 条件：3a 注：如果选择多个
8、条件分别解答，按第一个解答计分 （18）（本小题 14 分） 2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和 其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的 污染排放，节省造纸能源消耗. 某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可 回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图： （）现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回 收量均超过4.0吨的概率； （）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2
9、个月中回收的废纸可再造好纸 超过3.0吨的月份的个数. 求X的分布列及数学期望； ()假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a吨. 当a为何值时，自2020年 6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证 明） （注：注：方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n ，其中x为 1 x， 2 x， n x的平均数） 0 1 2 3 4 5 6 回 收 量 ( 单 位 ： 吨 ) 月 份 （19）（本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Gab ab 的离心率为 2 2 3 ，且过(0,1)点 （）求椭圆G
10、的方程； （）设不过原点O且斜率为 1 3 的直线l与椭圆G交于不同的两点,C D，线段CD的中点为M， 直线OM与椭圆G交于,E F，证明：MCMDMEMF （20）（本小题 15 分） 已知函数 2 1 2 e 2 x f xxaxax aR. （）当0a时，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程； （）若0a，讨论函数 xf的单调性； （）当2x时， 0f x恒成立，求a的取值范围. (21)(本小题 14 分) 数 列 n a中 ， 给 定 正 整 数m(1)m ， -1 1 1 ( ) m ii i V maa . 定 义 : 数 列 n a满 足 1 (1, 2,1) ii a
11、aim L L，称数列 n a的前m项单调不增. （）若数列 n a通项公式为：( 1)() n n an * N，求(5)V； （）若数列 n a满足： 1 , (1,) m aa abmmab * N，求证( )V mab的充分必要 条件是数列 n a的前m项单调不增； （）给定正整数m(1)m ，若数列 n a满足：0,(1,2,) n anmL L，且数列 n a的前m项 和为 2 m，求()V m的最大值与最小值.(写出答案即可) 房山区房山区 20202020- -20212021 学年第一学期期末试题参考答案学年第一学期期末试题参考答案 高三数学高三数学 一、选择题共一、选择题共
12、 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。一项。 题号 ( ( 1)1) ( ( 2)2) ( ( 3)3) ( ( 4)4) ( ( 5)5) ( ( 6)6) ( ( 7)7) ( ( 8)8) （ 9 9） （ 1010） 答案 ( ( D)D) （ C C） （ A A） （ B B） （ A A） （ B B） （ B B） （ C C） ( ( D)D) ( ( A)A) 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分
13、。分。 （11） 1 (,) 2 （12）15 （13） 1 9 （14）2 2 （15）264，2 4 511 三、解答题三、解答题共共 6 6 小题，共小题，共 8585 分。解答应写出文字说明分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。演算步骤或证明过程。 (16)()证明： 解法 1. 因为/BCAD BC平面PAD AD 平面PAD 所以/ /BC平面PAD 4 分 解法 2. 因为PAAD ，PA AB ，AD AB ，所以 以A为坐标原点，,AB AD AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系 Axyz，则 (0 0 0) , (2,0,0) , (0,4,
14、0) , (0,0,2) ,(2,2,0)ABDPC, , 1 分 ( (此处建系，第（）问不重复给分）此处建系，第（）问不重复给分） 平面PAD的法向量为(1,0,0)t 2 分 (0,2,0)BC 3 分 因为 0 1 2 00 00t BC 4 分 BC平面PAD 5 分 所以/ /BC平面PAD （）解：因为PAAD ，PA ABADAB ，所以 以A为坐标原点，,AB AD AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系 Axyz，则 (0 0 0) , (2,0,0) , (0,4,0) , (0,0,2) ,(2,2,0)ABDPC, , 5 分 所以平面PAB的
15、法向量为 (0,1,0)n 6 分 设平面PCD的法向量为( , , )mx y z (2,2, 2)PC ， (0,4, 2)PD 8 分 所以 02220 4202 0 mPCm PCxyzxy yzzy mPDm PD 10 分 令1(1,1,2)ym得 11 分 16 cos, 616 n m n m n m 13 分 设平面PAB与平面PCD所成角为，为锐角, 所以 6 cos 6 14分 （17）选选 （( )f x图像的一条对称轴为 8 x ） 1 分 解：() 2 sin22cos1f xaxx sin2cos2axx 2 22 1 1(sin2cos2 ) 11 a axx
16、aa 2 1 1sin(2)(tan)ax a 其中 因为( )f x图像的一条对称轴为 8 x 所以 22 ()1sin()1 84 faa 即有, 42 kkZ 所以, 4 kkZ 所以 1 tantan()tan1 44 k a 1a 6 分 故( )2sin(2) 4 f xx 所以( )f x的最小正周期为： 22 |2 T 8 分 （） +22+2, 242 kxkkZ 11 分 3 +22+2, 44 kxkkZ 3 +, 88 kxkkZ 13 分 所以( )f x的递增区间为 3 +,k 88 kZ +k ， 14 分 选选 ()1) 4 f 1分 解：() 2 sin22c
17、os1f xaxx s i n 2c o s 2axx ()sincos1 422 fa 1a ( )sin2cos2f xxx 22 2(sin2cos2 ) 22 xx 2sin(2) 4 x 所以( )f x的最小正周期为： 22 |2 T 8 分 （） +22+2, 242 kxkkZ 11 分 3 +22+2, 44 kxkkZ 3 +, 88 kxkkZ 13 分 所以( )f x的递增区间为 3 +,k 88 kZ +k ， 14 分 选选（a3 ） 1 分 解：（I） 2 3sin22cos1f xxx 3sin2cos2xx 31 2(sin2cos2 ) 22 xx 2si
18、n(2) 6 x 所以( )f x的最小正周期为： 22 |2 T 8 分 （） +22+2, 262 kxkkZ 11 分 2 +22+2, 33 kxkkZ +, 36 kxkkZ 13 分 所以( )f x的递增区间为+,k 36 kZ +k ， 14 分 （18）解：（）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过 4.0 吨”为事件 A 1 分 由题意，只有 8 月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过 4.0 吨 2 分 所以( ) 1 7 P A . 4 分 （）因为回收利用 1 吨废纸可再造出 0.8 吨好纸 所以 6 月至 12 月回收的废纸可再造好纸超过 3.0
19、吨的月份有：7 月、8 月、10 月，共 3 个月. X的所有可能取值为 0，1，2. 5 分 02 34 2 7 (0) 62 217 C P X C C 11 34 2 7 (1) 124 217 CC P X C 20 34 2 7 (2) 31 217 C P X C C 8 分 所以X的分布列为: X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 9 分 1 ()012 246 7777 E X 11 分 ()4.4a 14 分 当添加的新数a等于原几个数的平均值时，方差最小. （19）解:（I）根据题意： 222 2 2 2 33 1 12 2 c aa bacb bc 4 分 所以椭圆
20、G的方程为 2 2 1 9 x y 5 分 (II) 设直线 l 的方程为： 1 (0) 3 yxm m 6 分 由 2 2 1 9 1 3 x y yxm 消去y得： 22 1 9()90 3 xxm 7 分 即 22 26990 xmxm 需 22 =368(99)0mm 即 2 02m 8 分 设 1122 ( ,),(,)C x yD xy,CD中点 00 (,)M xy,则 2 1212 9 3 ,(1) 2 xxm x xm 9 分 12 000 311 , 2232 xx xm yxmm 10 分 那么直线OM的方程为: 0 0 y yx x 即 1 3 yx 11分 由 2 2
21、 3 2 1 29 1 2 = 3 2 x xy yx y 不妨令 3 223 22 (,),(,) 2222 EF 12 分 那么 22 1212 22 2 111 |=|(1)()4 449 59 ( 3 )4(1) 182 5 (2) 2 MC| |MDCDxxx x mm m 13 分 2222 22 222222 33 2233 22 | |()()()() 22222222 55 5 255 25 22 555 (5)(5 2 ) = (5) =(2) 222 mm MEMFmm mmmm mmmm 14 分 所以 |MC| |MD|=|ME| |MF| （20）解：（）当0a 时
22、， 2 x f xxe 0 0022fe， 1 分 1 x fxxe， 0 (0)0 11kfe 3 分 所以切线方程为：2(0)yx 即：2yx 4 分 （）由题 axaxexxf x 2 2 1 2，可得 aexaaxexxf xx 11 5 分 由于0a， 0 xf的解为1ln 21 xax， 6 分 （1）当1lna，即ea时，f x( ) 0,则 xf在 ,上单调递增；7 分 （2）当1lna，即0ae时， 在区间 ,ln, 1,af x上， ( ) 0; 在区间ln ,1a上，f x( ) 0, 所以 xf的单调增区间为 , 1,ln,a；单调减区间为1 ,ln a. 9 分 (3
23、)当1lna，即ea时， 在区间 ,1 , ln , af x上， ( ) 0; 在区间1,lna上，f x( ) 0, 则 xf在 ,ln,1 ,a上单调递增，aln, 1上单调递减. 11 分 （）解法一： 1 x fxxea （1）当0a时，因为2x，所以10 x ，0 x ea，所以 0fx， 则 xf在, 2上单调递增， 20f xf成立 12 分 （2）当 2 0ae时， 0fx ， 所以 xf在, 2上单调递增，所以 20f xf成立. 13 分 （3）当 2 ae时，在区间aln, 2上， 0fx ；在区间,ln a， 0fx， 所以 xf在aln, 2上单调递减，,ln a上
24、单调递增，所以 20f xf，不符合题 意. 14 分 综上所述，a的取值范围是 2 ,e . 15 分 解法二： 当2x时，( )0f x 恒成立，等价于“当2x时， 2 1 (2)0 2 x xeaxax恒成立”. 即 2 1 ()2) 2 x xx axe（在2,上恒成立. 12 分 当2x时，00a ，所以aR. 13 分 当2x时, 2 1 0 2 xx,所以 2 2)2 1 2 xx xee a x xx （ 恒成立. 设 2 ( ) x e g x x ，则 2 (1) ( )2 x xe g x x 因为2x，所以( )0g x，所以( )g x在区间2,上单调递增. 所以 2
25、 ( )(2)g xge,所以 2 ae. 14 分 综上所述，a的取值范围是 2 ,e . 15 分 (21)解: ()(5)=8V. 4 分 ()充分性：若数列 n a的前m项单调不增，即 21m aaaL L 此时有： -1 112231 1 1 ( )()()() . m iimm i m V maaaaaaaa aaab L L 必要性：反证法，若数列 n a的前m项不是单调不增，则存在(11)iim 使得 1ii aa ，那么: -1 1 1 -1 111 11 111 111 11 ( ) () () (). m ii i im iiiiii tt i iiimi miiii i
26、iii V maa aaaaaa aaaaaa aaaaaa abaaaa 由于 1 , ii aaab ，. 11 ()a b iiii abaaaa . 与已知矛盾. 9 分 ()最小值为 0.此时 n a为常数列. 10 分 最大值为 2 42, 22. m mm 当2m时的最大值：此时 1212 4,( ,0)aaa a, 11 分 12 4 04aa. 当2m时的最大值：此时 2 1212 ,( ,0) n aama aaL LL L. 由xyxy易证， n a的值的只有是大小交替出现时，才能让()V m取最大值. 不妨设： 1ii aa ，i为奇数， 1ii aa ，i为偶数. 当m为奇数时有： -1 1 1 123234541 (1)/2 2 11 2 1 ( ) 2 22. m ii i mm mm ii ii m i i V maa aaaaaaaaaa aa am L L 当m为偶数时同理可证. 14 分
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