1、 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 1 页（共 18 页） 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2021.1 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上 作答无效。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 （1）已知集合 | 13Axx ， |04Bxx，则AB （A）(0,3) （B）( 1,4) （C）(0,4 （D）( 1,4 （2）在复平面内，复数z所对应的点的坐标为
2、(1, 1)，则z z （A）2 （B）2i （C）2 （D）2i （3）已知( )f x为奇函数，其局部图象如图所示，那么 （A）(2)2f （B）(2)2f （C）(2)2f （D）(2)2f （4）已知(4,8)A，(2,4)B，(3, )Cy三点共线，则y的值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （5）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为 （A）3yx （B）2yx （C） 3 3 yx （D） 1 2 yx （6）已知半径为 2 的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120 xy的距离的最小值为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）
3、3 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 2 页（共 18 页） （7）已知函数( )sin2 , , f xx xa b，则“ 2 ba ”是“( )f x的值域为 1,1”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： 2 log (1) S CW N ，其中C为最大数据传 输速率，单位为bit / s；W为信道带宽，单位为 Hz； S N 为信噪比. 香农公式在 5G 技术中发 挥着举足轻重的作用. 当99 S N ，2000HzW 时，最大数据传输速率
4、记为 1 C；当9999 S N ，3000HzW 时，最 大数据传输速率记为 2 C，则 2 1 C C 为 （A）1 （B） 5 2 （C） 15 4 （D）3 （9）设函数( )f x和( )g x的定义域为D，若存在非零实数cD，使得( )( )0f cg c，则称函数 ( )f x和( )g x在 D 上具有性质 P. 现有三组函数： ( )f xx， 2 ( )g xx ( )2 x f x ，( )exg x 2 ( )f xx，( )2xg x 其中具有性质 P 的是 （A） （B） （C） （D） （10）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，,M N分别为
5、 111 ,BD BC的中点，点P在正方体的 表面上运动，且满足MPCN，则下列说法正确的是 （A）点P可以是棱 1 BB的中点 （B）线段MP的最大值为 3 2 （C）点P的轨迹是正方形 （D）点P轨迹的长度为2+ 5 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 5 (2)x的展开式中x的系数是_. （12）数列 n a是公差为2的等差数列，记 n a的前n项 和为 n S，且 134 ,a a a成等比数列，则 1 a _； n S _. （13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的 长度为_. （14） 已知抛物线
6、 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 过点( 1,4)M 作y轴的垂线交抛物线C于点A， 且满足|AFAM，则抛物线C的方程为_；设直线AF交抛物线C于另一点B， 则点B的纵坐标为_. （15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌 6 月份前 6 天每天的供应量和销售量，结果如下表： 6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 6月6日 供应量 90 100 90 100 90 100 销售量 80 90 85 80 90 85 记( )V t为6月t日冰激凌的供应量，( )W t为6月t日冰激凌的销售量，其中1,2,30t . 用销售指数 ( )(
7、1)(1) ( , )100% ( )(1)(1) W tW tW tn P t n V tV tV tn ,(1,)nnN来评价从6月t 日开始连续n天的冰激凌的销售情况. 当1n 时，( ,1)P t表示6月t日的日销售指数. 给出下列四个结论： 在6月1日至6日这6天中，(4,1)P最小，(5,1)P最大； 在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大； (1,3)(4,3)PP； 如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和 销售量对应相等，则对任意1,2,3,4,5,6,7t，都有( ,6)(1,12)P tP. 其中所有正确结
8、论的序号是_. 4 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 13 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，2ABAC， 1 4AA ， ABAC， 1 BEAB交 1 AA于点E，D为 1 CC的中点. （）求证：BE 平面 1 ABC； （）求二面角 1 CABD的余弦值. （17） （本小题 13 分） 已知ABC的面积为4 2，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： （）b和c的值； （）sin( )AB 的值 条件:6a , 1 cos 3 C ；条件:AC, 7 cos 9 B . 注：如果选择条件和条件分
9、别解答，按第一个解答计分 5 （18） （本小题 14 分） 防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又 有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末（10 月 1 日）水库的蓄水量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （）从 2010 年至 2019 年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的 绝对值小于 1 亿立方米
10、的概率； （）从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为蓄水量超过 33 亿立方米 的年份个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） （19） （本小题 15 分）已知函数 3 ( )f xxx. （）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间和极值； （）设函数 ( ) ( )2 sin f x t x xx ，(0, )x，试判断( )t x的零点个数，并证明你的结论. 6 （20） （本小题 15 分）已知椭圆 22 :1 42 xy C. （
11、）求椭圆C的离心率和长轴长； （）已知直线2ykx与椭圆C有两个不同的交点,A B，P为x轴上一点. 是否存在实数k， 使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标； 若不存在，说明理由. （21） （本小题 15 分）对于数列 n a，定义 1* 1 1, 1,. nn n nn aa a aa 设 * n a的前n项和为 * n S. （）设 2 n n n a ，写出 * 1 a， * 2 a， * 3 a， * 4 a； （）证明： “对任意 * nN，有 * 11nn Saa ”的充要条件是“对任意 * nN，有 1 | 1 nn aa ” ； （）已
12、知首项为 0，项数为1(2)mm的数列 n a满足： 对任意1nm且 * nN，有 1 1,0,1 nn aa ； * mm Sa. 求所有满足条件的数列 n a的个数. 7 北京市西城区 20202021 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2021.1 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上 作答无效。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 （1）已知集合 | 13Axx ， |04Bxx，则AB （A）(0,3) （B）( 1,4
13、) （C）(0,4 （D）( 1,4 解析：注意求的是并集，不是交集，选解析：注意求的是并集，不是交集，选 D. （2）在复平面内，复数z所对应的点的坐标为(1, 1)，则z z （A）2 （B）2i （C）2 （D）2i 解析：解析：1zi ， 2 (1) (1)12z ziii ，选，选 A. （3）已知( )f x为奇函数，其局部图象如图所示，那么 （A）(2)2f （B）(2)2f （C）(2)2f （D）(2)2f 解析：解析：1( 2)2f，奇函数，奇函数，2(2)1f ，选，选 C. （4）已知(4,8)A，(2,4)B，(3, )Cy三点共线，则y的值为 （A）4 （B）5 （
14、C）6 （D）7 解析：三点共线，则解析：三点共线，则 ABAC kk，即，即 848 2 4243 y ，解得，解得6y ，选，选 C. 8 （5）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为 （A）3yx （B）2yx （C） 3 3 yx （D） 1 2 yx 解析：解析：22 24caa，即，即2ca，则，则 22 3bcaa，渐近线，渐近线3 b yxx a ，选，选 A. （6）已知半径为 2 的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120 xy的距离的最小值为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 解析：北京高考题改编，距离最小值为点到线的距
15、离减半径，即解析：北京高考题改编，距离最小值为点到线的距离减半径，即 22 3 12 21 3( 4) ，选，选 B. （7）已知函数( )sin2 , , f xx xa b，则“ 2 ba ”是“( )f x的值域为 1,1”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解析：后推前，解析：后推前， 22 T ba ，正确；前推后，例如，正确；前推后，例如0a ， 2 b 时，值域为时，值域为0,1，选，选 B. （8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： 2 log (1) S CW N ，其中C为最大数据传 输速率，单位为b
16、it / s；W为信道带宽，单位为 Hz； S N 为信噪比. 香农公式在 5G 技术中发 挥着举足轻重的作用. 当99 S N ，2000HzW 时，最大数据传输速率记为 1 C；当9999 S N ，3000HzW 时，最 大数据传输速率记为 2 C，则 2 1 C C 为 （A）1 （B） 5 2 （C） 15 4 （D）3 解析：解析： 12 2000log (1 99)C ， 22 3000log (1 9999)C ，则，则 2 100 1 33 log1000023 22 C C ，D. （9）设函数( )f x和( )g x的定义域为D，若存在非零实数cD，使得( )( )0f
17、 cg c，则称函数 ( )f x和( )g x在 D 上具有性质 P. 现有三组函数： ( )f xx， 2 ( )g xx ( )2 x f x ，( )exg x 2 ( )f xx，( )2xg x 其中具有性质 P 的是 （A） （B） （C） （D） 解析：由题，即解析：由题，即( )( )g xf x 有非零解，有非零解， 2 xx ， 2 2xx 有非零解，有非零解， 1 ( ) 2 xx e 没有非零解，选没有非零解，选 B. （10）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，,M N分别为 111 ,BD BC的中点，点P在正方体的 表面上运动，且满足MPCN
18、，则下列说法正确的是 （A）点P可以是棱 1 BB的中点 （B）线段MP的最大值为 3 2 （C）点P的轨迹是正方形 （D）点P轨迹的长度为2+ 5 解析：解析：动点问题不如建系动点问题不如建系. 1 1 1 ( , ) 2 2 2 M， 1 ( ,1,1) 2 N，(0,1,0)C，设，设( , , )P x y z， 则则 111113 ( ,0,1) (,)0 222224 CN MPxyzxz，线段MP的最大值为 3 2 MQMH， 选选 B. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 5 (2)x的展开式中x的系数是_.
19、解析：解析： 414 5 ( 2)80Cxx ，故系数为，故系数为 80. （12）数列 n a是公差为2的等差数列，记 n a的前n项和为 n S，且 134 ,a a a成等比数列，则 1 a _； n S _. 解析：由题，解析：由题， 2 111 (4)(6)aaa，解得，解得 1 8a ； 故故 2 2 1 (1) 8( 2)10 () 22 n n nnn Snadnnn nN . （13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的 长度为_. 解析：画正方体，右后提点即可，最长棱为体对角线，解析：画正方体，右后提点即可，最长棱为体对角线， 222 2222 3. （14） 已
20、知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 过点( 1,4)M 作y轴的垂线交抛物线C于点A， 且满足|AFAM，则抛物线C的方程为_；设直线AF交抛物线C于另一点B， 则点B的纵坐标为_. 解析：解析：北京抛物线大概率考定义北京抛物线大概率考定义. 由定义，由定义，1 2 p ，2p ，则抛物线则抛物线C的方程的方程为为 2 4yx； 焦点弦，焦点弦， 2 12 yyp ，故，故 2 42 B y ，所以，所以1 B y . （15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌 6 月份前 6 天每天的供应量和销售量，结果如下表： 6月1日 6月2日 6月3日
21、 6月4日 6月5日 6月6日 供应量 90 100 90 100 90 100 销售量 80 90 85 80 90 85 记( )V t为6月t日冰激凌的供应量，( )W t为6月t日冰激凌的销售量，其中1,2,30t . 用销售指数 ( )(1)(1) ( , )100% ( )(1)(1) W tW tW tn P t n V tV tV tn ,(1,)nnN来评价从6月t 日开始连续n天的冰激凌的销售情况. 当1n 时，( ,1)P t表示6月t日的日销售指数. 给出下列四个结论： 在6月1日至6日这6天中，(4,1)P最小，(5,1)P最大； 在6月1日至6日这6天中，日销售指数
22、越大，说明该天冰激凌的销售量越大； (1,3)(4,3)PP； 如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和 销售量对应相等，则对任意1,2,3,4,5,6,7t，都有( ,6)(1,12)P tP. 其中所有正确结论的序号是_. 解析：解析：此题送分题，就是计算，没时间的话，填个此题送分题，就是计算，没时间的话，填个，有时间再回头看，有时间再回头看. 对于对于， ( ) ( ,1) ( ) W t P t V t ，最大为，最大为 (5) (5,1)1 (5) W P V ，最小为，最小为 (4)4 (4,1) (4)5 W P V ，正确；，正确； 对于对于
23、，由，由，6月 2 日和 6 月 5 日日销售指数不同，但该天销售量相同，但该天销售量相同，错误；错误； 对于对于， (1)(2)(3)255 (1,3) (1)(2)(3)280 WWW P VVV ， (4)(5)(6)255 (4,3) (4)(5)(6)290 WWW P VVV ，错误；错误； 对于对于， ( )(1)(5) ( ,6) ( )(1)(5) W tW tW t P t V tV tV t ， (1)(2)(12) (1,12) (1)(2)(12) WWW P VVV ， 因为因为( )V t以以 2 为周期，为周期，( )W t以以 3 为周期，又为周期，又62 3
24、，故，故正确；正确； 综上，填综上，填. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 13 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，2ABAC， 1 4AA ， ABAC， 1 BEAB交 1 AA于点E，D为 1 CC的中点. （）求证：BE 平面 1 ABC； （）求二面角 1 CABD的余弦值. 解解： （）因为三棱柱因为三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱，所以为直三棱柱，所以 1 AA 平面平面ABC， 所以所以 1 AAAC. 1 分分 因为因为ACAB， 1 ABAAA，所以，所以AC 平面平面 11 AA B B
25、. 3 分分 因为因为BE 平面平面 11 AA B B，所以，所以A CB E.4 分分 因为因为 1 B EA B， 1 A CA BA， 所以所以BE 平面平面 1 ABC. 5 分分 （）由）由（）知知 1 ,AB AC AA两两垂直，两两垂直， 如图建立空间直角坐如图建立空间直角坐标标系系A xyz 则则 (0 0 0)A ， ，, 1(2,0,4) B ,(0,2,2)D,(2,0,0)B.7 分分 设设(0,0, )Ea，所以，所以， 1 =(0 2, 2)=(2,0, 4)=( 2 0, )ADABBEa,，, 因为因为，所以，所以，即，即. 8 分分 所以所以平面平面的一个法
26、向量为的一个法向量为 9 分分 设平面设平面的法向量为的法向量为， 所以所以 1 0, 0. AD AB n n 所以所以 220, 240. yz xz 即即 , 2 . yz xz 10 分分 令令，则则，所以所以平面平面 1 AB D的的一个一个法向量为法向量为. 11 分分 所以所以. 12 分分 由已知，二面角由已知，二面角 1 CABD为锐角，所以二面角为锐角，所以二面角 1 CABD的余弦值为的余弦值为.13 分分 （17） （本小题 13 分）已知ABC的面积为4 2，再从条件、条件这两个条件中选择一个 作为已知，求： （）b和c的值； （）sin( )AB 的值 条件:6a
27、, 1 cos 3 C ；条件:AC, 7 cos 9 B . 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 若选择条件：若选择条件： 解解： （）在）在中，因为中，因为， 所以所以，. 2 分分 因为因为 1 sin4 2 2 SabC，6a ，所以所以2b . 4 分分 由余弦定理，由余弦定理， 222 2cos48cababC， 5 分分 所以所以4 3c . 6 分分 （）由正弦定理）由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，可得，可得 624 3 sinsin2 2 3 AB . 7 分分 所以所以 6 sin 3 A ， 6 sin 9 B . 9 分分 因为因为,(0
28、,) 2 A B ，所以，所以 3 cos 3 A， 5 3 cos 9 B . 11 分分 1 ABBE440a 1a 1 ABC=( 2 0,1)BE , 1 AB D( , , )x y zn 1z 2,1xy (2,1, 1)n 530 cos,= 6|65 BE BE BE n n n 30 6 ABC 1 cos 3 C (, ) 2 C 2 2 2 sin1cos 3 CC 所以所以sin()sincoscossinABABAB 65 3364 2 39399 .13 分分 若选择条件若选择条件： 解解： （）在）在ABC中，中，因为因为AC，所以，所以ac. 因为因为 7 co
29、s 9 B ，所以，所以(, ) 2 B ， 2 4 2 sin1cos 9 BB. 2 分分 因为因为 2 114 2 sin4 2 229 SacBc， 所以所以3 2ac. 4 分分 由余弦定理，由余弦定理， 222 2cos64bacacB，所以，所以8b . 6 分分 （）由正弦定理得）由正弦定理得 sinsin ab AB ， 所以所以 3 24 21 sinsin 893 a AB b . 8 分分 因为因为(0,) 2 A ，所以，所以 2 2 2 cos1sin 3 AA. 10 分分 所以所以sin()sincoscossinABABAB 1722422 3 () 3939
30、27 . 13 分分 （18） （本小题 14 分）防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之 一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区 2010 年至 2019 年每年汛末（10 月 1 日）水库的蓄水 量数据如下： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 蓄水量（亿立方米） 11.25 13.25 13.58 17.4 12.4 12.1 18.3 26.5 34.3 34.1 （）从 2010 年至 2019 年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的 绝对值小于 1 亿立方米的概率；
31、 （）从 2014 年至 2019 年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为蓄水量超过 33 亿立方米 的年份个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 解解： （）设）设事件事件 A 为为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米” ，亿立方米” ， 从从 2010 年到年到 2019 年的样本数据中年的样本数据中随机选取随机选取连续两年共有连续两年共有 9 种可能，种可能，2 分分 由图表可知，事件由图表可知，事件 A 包含包含“2011 年和年和 2012 年”年” ，
32、“2014 年和年和 2015 年”年” ， “2018 年和年和 2019 年”年”.3 分分 所以所以 31 ( ) 93 P A . 4 分分 （）由由表表可可知，知，2014 到到 2019 年的样本数据中年的样本数据中，蓄水量超过蓄水量超过 33 亿立方米亿立方米有有 2 年，年，蓄水量蓄水量不不超过超过 33 亿立方米亿立方米有有 4 年年.随机变量随机变量X的所有可能取值的所有可能取值为为 0，1，2. 5 分分 02 24 2 6 CC62 (0) C155 P X ， 11 24 2 6 CC8 (1) C15 P X ， 20 24 2 6 CC1 (2) C15 P X
33、. 8 分分 所以随机变量所以随机变量的分布列为：的分布列为： 9 分分 所以所以 2812 ()012 515153 E X . . 11 分分 （）（）从从 2016 年开始连续三年的水库蓄水量方差最大年开始连续三年的水库蓄水量方差最大. 14 分分 三个数两两差距都相对较大 （19） （本小题 15 分） 已知函数 3 ( )f xxx. （）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间和极值； （）设函数 ( ) ( )2 sin f x t x xx ，(0, )x，试判断( )t x的零点个数，并证明你的结论. 解解：含三角问题，朝阳区的最
34、爱含三角问题，朝阳区的最爱. .之前写过一篇文这种类型题的策略，链接在文章顶部之前写过一篇文这种类型题的策略，链接在文章顶部. . （）由由 3 ( )f xxx，得，得 2 ( )31fxx 1 分分 因为因为(1)0f，(1)2 f ， 3 分分 所以曲线所以曲线( )yf x在点在点(1, (1)f处的切线方程为处的切线方程为22yx. 4 分分 X 0 1 2 2 5 8 15 1 15 X P （）令令( )0fx，得得 2 310 x ，解得解得 3 3 x 或或 3 3 x 当当x变化时，变化时，( )f x和和( )fx变化情况如下表：变化情况如下表： x 3 (,) 3 3
35、3 33 (,) 33 3 3 3 (,) 3 ( )fx 0 0 ( )f x 2 3 9 2 3 9 7 分分 所以，所以，( )f x的单调递减区间是的单调递减区间是 33 (,) 33 ，单调递增区间是，单调递增区间是 3 (,) 3 ， 3 (,) 3 ； ( )f x在在 3 3 x 处取得极处取得极大大值值 2 3 9 ，在在 3 3 x 处取得极处取得极小小值值 2 3 9 .9 分分 （）（）(0, )x, ,( )0t x ，即即 2 1 20 sin x x ，等价于，等价于 2 1 2sin0 xx .10 分分 设设,，则，则. 当当时，时，在区间在区间上单调递增上单
36、调递增. 又又 2 ( )30 24 g ， 2 ( )10g ， 所以所以在区间在区间上有一个上有一个零点零点. 11 分分 当当时时, ,设设( )( )22cosh xg xxx. ( )22sin0h xx，所以，所以( )g x在区间在区间(0,) 2 上单调递增上单调递增. 12 分分 又又(0)20 g ，( )0 2 g ，所以存在所以存在 0 (0,) 2 x ，使得使得 0 ()0g x. 所以，当所以，当 0 (0,)xx时，时，( )0g x，( )g x单调递减单调递减； 当当 0 (,) 2 xx 时，时，( )0g x，( )g x单调递增单调递增. 13 分分
37、又又(0)10g ， 2 ( )30 24 g ， 所以所以( )g x在区间在区间(0,) 2 上无上无零点零点. 14 分分 2 ( )1 2sing xxx (0, )x( )22cosg xxx , ) 2 x ( )0g x( )g x, ) 2 ( )g x, ) 2 (0,) 2 x 综上所述，综上所述，函数函数( )t x在定义域内只有在定义域内只有一个零点一个零点. . 15 分分 （20） （本小题 15 分） 已知椭圆 22 :1 42 xy C. （）求椭圆C的离心率和长轴长； （）已知直线2ykx与椭圆C有两个不同的交点,A B，P为x轴上一点. 是否存在实数k， 使
38、得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标； 若不存在，说明理由. 解：圆锥曲线左膀右臂：向量、斜率，说白了就是转化圆锥曲线左膀右臂：向量、斜率，说白了就是转化. . （）由题意：由题意： 2 4a ， 2 2b ，所以，所以2a . 1 分分 因为因为 222 abc，所以，所以 2 2c ，. 2 分分 所以所以 2 2 c e a . 3 分分 所以所以椭圆椭圆C离心率为离心率为 2 2 ，长轴长为，长轴长为4. 4 分分 （）联立）联立 22 2, 1 42 ykx xy 消消整理得：整理得：. 5 分分 因为直线与椭圆交于因为直线与椭圆交于, A B两
39、点，故两点，故，解得，解得. 6 分分 设设，则，则，.8 分分 设设中点中点， 则则 12 0 2 4 221 xxk x k ， 00 2 2 2 21 ykx k ， 故故 22 42 (,) 21 21 k G kk . 9 分分 假设存在假设存在和点和点，使得，使得是以是以为直角顶点的等腰直角三角形，为直角顶点的等腰直角三角形， 则则，故，故， 2c y 22 (21)840kxkx 0 2 1 2 k 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 12 2 8 21 k xx k 12 2 4 21 x x k AB 00 (,)G xy k( ,0)P mPABP PGAB1
40、PGAB kk 所以所以，解得，解得，故，故 2 2 (0) 2+1 k P k ，.10 分分 又因为又因为，所以，所以. 所以所以，即，即 1112 ()()0 xm xmy y. 整理得整理得 . 所以所以， 12 分分 代入代入 2 2 21 k m k ，整理得，整理得 4 1k ，即，即. 14 分分 当当1k 时，时，点坐标为点坐标为 2 ( ,0) 3 ；当当1k 时，时，点坐标为点坐标为. 此时，此时，是以是以为直角顶点的等腰直角三角形为直角顶点的等腰直角三角形. 15 分分 （21） （本小题 15 分）对于数列 n a，定义 1* 1 1, 1,. nn n nn aa
41、a aa 设 * n a的前n项和为 * n S. （）设 2 n n n a ，写出 * 1 a， * 2 a， * 3 a， * 4 a； （）证明： “对任意 * nN，有 * 11nn Saa ”的充要条件是“对任意 * nN，有 1 | 1 nn aa ” ； （）已知首项为 0，项数为1(2)mm的数列 n a满足： 对任意1nm且 * nN，有 1 1,0,1 nn aa ； * mm Sa. 求所有满足条件的数列 n a的个数. 解：2121 题，大部分学生的目标是题，大部分学生的目标是 1010 分分. .第一问第一问 4 4 分必得，二三问放在一起目标分分必得，二三问放在一
42、起目标分 6 6 分分. .不要直接放弃不要直接放弃. . （）因为）因为 1 1 2 a ， 2 1 2 a ， 3 3 8 a ， 4 1 4 a ， 5 5 32 a ， 根据题意可得根据题意可得 * 1 1a ， * 2 1a ， * 3 1a ， * 4 1a . 4 分分 （）必要性：必要性：对对1n ，有，有 * 121 Saa，因此，因此 * 2111 |1aaSa. 5 分分 对任意对任意 * nN且且2n，有，有 * 11nn Saa ， * 11nn Saa ， 两式作差两式作差，得，得 * 11nnnn SSaa ，即即 * 1nnn aaa ， 因此因此 * 1 |
43、1 nnn aaa . 7 分分 2 2 2 21 1 4 21 k k k m k 2 2 21 k m k 2 APB 0PA PB 1122 (,) (,)0 xm yxm y 22 1 212 (1)(2)()40kx xkm xxm 22 22 48 (1)(2)40 2121 k kkmm kk 2 1k PP 2 (,0) 3 PABP 综上，对任意综上，对任意 * nN，有，有 1 | 1 nn aa . 充分性：充分性：若对若对任意任意 * nN，有，有 1 | 1 nn aa ，则则 * 1nnn aaa ， 所以所以 * 122132111 ()()() nnnnn Sa
44、aaaaaaaaaa . 综上， “综上， “对对任意任意 * nN， * 11nn Saa ”的”的充要条件充要条件是“是“对对任意任意 * nN， 1 | 1 nn aa ”. 10 分分 （）构造数列）构造数列：， 则则对对任意任意1nm且且，有，有，. 结合（结合（）可知，）可知，. 又又，因此，因此. 设设中有中有项为项为， 则则 . 即即. 因为因为 1 1, 0 , 1 mm aa ，所以所以0k 或或1. 13 分分 若若0k ，则，则 1 0 mm aa ， 与与 21321 , mm aa aaaa 中有中有0项为项为0，即即0k 矛盾，不符题意矛盾，不符题意. 若若1k
45、，则，则 1 1 mm aa . 所以， 当所以， 当 1 1 mm aa ， 21321 , mm aa aaaa 中有一项为中有一项为0， 其余其余2m 项为项为1 时，数列时，数列 n a满足条件满足条件. 21321 , mm aa aaaa 中中有有一项为一项为0，共，共1m种种取法取法；其余其余项每项项每项 有有 或或两种取法两种取法， 所以，所以，满足条件的数列满足条件的数列 n a的个数为的个数为 2 (1) 2mm . 15 分分 n b 1 0b 11 1 1 ,| 1, 1,0. nnnn nn nn aaaa bb aa * nN * nn ba 1 | 1 nn bb
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