1、专题专题 6 折叠问题折叠问题 折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折 180， 使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重 叠或不重叠，其中“折”是过程， “叠”是结果折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对 称知识的应用 折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查的较多，无论是选择题、填空题，还是解答题都有 以折叠为背景的试题常常把矩形、正方形的纸片放置于直角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等 知识结合，贯穿其他几何、代数知识来设题 根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等图形的对称轴； 互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平
2、分； 对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相 等；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三 角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题 折叠后图形判断 1如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE1 3 AB，将矩形沿直线 EF 折 叠，点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连结 BP 交 EF 于点 Q，对于下列结论：EF2BE；PF2PE； FQ4EQ；PBF 是等边三角形其中正确的有 D A B C D 2如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在ABC 外的点
3、 A处，折痕为 DE.如果A ，CEA，BDA，那么下列式子中正确的是 A A2 B2 C D180 第2题图 第3题图 3如图，在正方形 ABCD 中，E，F 两点分别为 BC，CD 的中点，连结 AE，BF 交于点 G，将BCF 沿直线 BF 对折， 得到BPF， 延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q， 则下列结论： AEBF； AEBF； BQF 是等腰三角形；SBCF5SBGE.其中正确的有 D A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解析】 可证 RtABERtBCF(SAS)， 则BAECBF， AEBF， 故正确； 又BAEBEA 90， CBFBEA90， BGE90， A
4、EBF， 故正确； CDAB， ABFCFB PFB，QFQB，故正确；BGEBCF，GBECBF，BGEBCF，BEBF 1 2 BC 5 2 BC1 5 ，SBCFSBGEBF2BE251，故正确 对折叠图形的判断，可以通过空间想象，找出相等的边与角，转化为角度进行判断 折叠后求角的度数 4 如图， 将矩形 ABCD 沿 GH 折叠， 点 C 落在点 Q 处， 点 D 落在 AB 边上的点 E 处， 若AGE32， 求GHC 度数 解：AGE32，DGE148.由折叠的性质可得DGH1 2 DGE74.ADBC， GHC180DGH106 5 如图， 在ABC 中， A60， 将ABC 沿
5、 DE 翻折后， 点 A 落在 BC 边上的点 A处 如果AEC 70，求ADE 的度数 解：由折叠的性质可知ADEADE，AEDAED，AEC70，AED1 2 (180 AEC)55，ADEADE180AAED65 6如图，将矩形纸条 ABCD 折叠，折痕为 EF，折叠后点 C，D 分别落在点 C，D处，DE 与 BF 交于点 G.已知BGD30，求 的度数 解：矩形纸条 ABCD 中，ADBC，AEGBGD30，DEG18030150， 由折叠可得，1 2 DEG 1 2 15075 在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角和边 折叠后求线段的长度 7在矩形 ABCD 中，AB1，BCa，
6、点 E 在边 BC 上，且 BE3 5 a，连结 AE，将ABE 沿 AE 折 叠若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上，求折痕的长 解：分两种情况：当点 B落在 AD 边上时，如图所示四边形 ABCD 是矩形，BADB 90， 将ABE沿AE折叠， 点B的对应点B落在矩形ABCD的AD边上， BAEBAE1 2 BAD 45，ABE 是等腰直角三角形，ABBE1，AE 2 AB 2 ； 当点B落在CD边上时， 如图所示 四边形ABCD是矩形， BADBCD90， ADBCa， 将ABE沿AE折叠， 点B的对应点B落在矩形ABCD的CD边上， BABE90， ABAB1，BEBE3
7、5 a，CEBCBEa 3 5 a 2 5 a，BD AB2AD2 1a2 ，在 ADB和BCE 中，BADEBC90ABD，DC90，ADBBCE， BD EC AB BE ，即 1a2 2 5a 1 3 5a ，解得 a 5 3 ，或 a 5 3 (舍去)，BE3 5 a 5 5 ，AE AB2BE2 12（ 5 5 ）2 30 5 .综上所述，折痕的长为 2 或 30 5 8(2020 内江)如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE，BF 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结 EF.已知 AB3，BC4，
8、求 EF 的长 解：四边形 ABCD 是矩形，ABCD3，ADBC4，ACEDF90，BD AB2AD2 3242 5.将矩形 ABCD 沿 BE 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处，AE EM，ABME90，EMD90.EDMADB，EDMBDA，ED BD EM AB .设 DEx，则 AEEM4x，x 5 4x 3 ，解得 x5 2 ，DE 5 2 ，同理DNFDCB， DF BD NF BC ， 设DFy， 则CFNF3y， y 5 3y 4 ， 解得y5 3 .DF 5 3 .EF DE 2DF2 （5 2） 2（5 3） 2 5 13 6 9如图，平行四边形纸片 A
9、BCD 的边 AB，BC 的长分别是 10 cm 和 7.5 cm，将其四个角向内对折后， 点 B 与点 C 重合于点 C，点 A 与点 D 重合于点 A，四条折痕围成一个“信封四边形”EHFG，其顶点分别 在平行四边形 ABCD 的四条边上，求 EF 的长 解：由翻折的性质可知CHFFHC，BHEEHC，FHEFHCEHC 1 2 (CHCBHC)90.同法可证HFGGEH90，四边形 EHFG 是矩形，FHEG， FHEG， HFCFEG.又CFHHFC， AEGGEA， CFHAEG.又四边形 ABCD 是平行四边形，CA，HCFGAE(AAS)，CFAE，EFFCECAEBEAB10
10、cm 10矩形 ABCD 中，AB8，AD12.将矩形折叠，使点 A 落在点 P 处，折痕为 DE. (1)如图，若点 P 恰好在边 BC 上，连结 AP，求AP DE 的值； (2)如图，若 E 是 AB 的中点，EP 的延长线交 BC 于点 F，求 BF 的长 解：(1)如图中，取 DE 的中点 M，连结 PM.四边形 ABCD 是矩形，BADC90，由翻 折可知，AOOP，APDE，23，DAEDPE90，在 RtEPD 中，EMMD，PM EMDM，3MPD，13MPD23.ADP23，1ADP.ADBC， ADPDPC，1DPC.sin 1sin DPC，即PO PM CD PD 8
11、 12 2 3 ， AP DE 2PO 2PM 2 3 (2)如图中，过点 P 作 GHBC 交 AB 于点 G，交 CD 于点 H，则四边形 AGHD 是矩形设 EGx， 则 DHAG4x.AEPD90，EGPDHP90，EPGDPH90，DPH PDH90，EPGPDH，EGPPHD，EG PH PG DH EP PD 4 12 1 3 ，PH3EG3x， PGDH 3 4x 3 ， PGPHGHAD， 4x 3 3x12， 解得 x16 5 ， PG4x 3 12 5 .GHBC， EGPEBF，EG EB GP BF ， 16 5 4 12 5 BF ，BF3 在折叠问题中，利用对称性
12、可得到相等的线段，并通过三角形相似、勾股定理列出方程求解与要求线 段有关未知线段的长 折叠后求周长、面积 11如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，AC2，BD2 3 ，将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点 O 重合，折痕为 EF，求五边形 AEFCD 的周长 解： 四边形 ABCD 是菱形， AC2， BD2 3 ，ABOCBO， ACBD， AO1， BO 3 ， tan ABOAO BO 3 3 ，ABO30，AB2，ABC60.由折叠的性质可知 EFBO，设 BO 与 EF 交于点 P，则 BPOP.又BDAC，EFAC，BEAE，BFFC，AE1 2 AB1，CF 1 2 BC
13、1，EF 是ABC 的中位线，EF 1 2 AC1，五边形 AEFCD 的周长为 111227 12(2019 衢州改编)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，将AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点 B 恰好 为 OE 的中点，DE 与 BC 交于点 F.若 y 24 x 的图象经过点 C，求BEF 的面积 解：过点 F 作 HGBE 于点 G，交 CD 于点 H，则 HGCD.设 A(2a，0)，D(0，4b), 由折叠的性质 可知ADOEDO，OAOE，E(2a，0).
14、又B 为 OE 的中点，BEa.又四边形 ABCD 是平行 四边形，AECD， ABCD3a， C(3a，4b)， BEFCDF，BE CD FG FH a 3a 1 3 .又D(0， 4b)， OD4b，FGb.又C(3a，4b)在反比例函数 y 24 x 的图象上，3a4b12ab24，ab2，S BEF1 2 BE FG 1 2 ab1 在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角和线段、全等的图形和相等的面积 折叠后结论探究 13如图，在正方形 ABCD 中，AB6，E 为 AB 的中点，将ADE 沿 DE 翻折得到FDE，延长 EF 交BC于点G， FHBC， 垂足为H， 连结BF， DG
15、.以下结论： BFED； DFGDCG； FHBEAD； tan GEB4 3 ；SBFG2.6，其中正确的有 C A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【解析】在正方形 ABCD 中，AB6，E 为 AB 的中点，ADDCBCAB6，AEBE3， ACABC90.ADE 沿 DE 翻折得到FDE， AEDFED， ADFD6， AEEF3， ADFE90，BEEF3，DFGC90，EBFEFB.AEDFEDEBF EFB，DEFEFB，BFED，故结论正确；ADDFDC6，DFGC90，DG DG，RtDFGRtDCG，结论正确；FHBC，ABC90，ABFH，EBFBFH AED.又FH
16、BA90，FHBEAD，结论正确；RtDFGRtDCG，FG CG.设 FGCGx，则 BG6x，EG3x，在 RtBEG 中，由勾股定理，得 32(6x)2(3x)2， 解得 x2，BG4，tan GEBBG BE 4 3 ，故结论正确；FHBEAD，且 AE AD 1 2 ，BH 2FH.设 FHa，则 HG42a，在 RtFHG 中，由勾股定理，得 a2(42a)222，解得 a2(舍去) 或 a6 5 ，SBFG 1 2 4 6 5 2.4，故结论错误 14如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 E 处，过点 E 作 EGCD 交 AF 于点 G，连结
17、DG. (1)求证：四边形 EFDG 是菱形； (2)试探究线段 EG，GF，AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若 AG6，EG2 5 ，求 BE 的长 解：(1)证明：GEDF，EGFDFG.由翻折的性质可知 GDGE，DFEF，DGFEGF， DGFDFG，GDDF，DGGEDFEF，四边形 EFDG 为菱形 (2)EG21 2 GF AF，理由如下：连结 DE，交 AF 于点 O，四边形 EFDG 为菱形，GFDE，OG OF1 2 GF.DOFADF90，OFDDFA，DOFADF， DF AF FO DF ，即 DF 2 FO AF.FO1 2 GF，DFEG，EG 21 2
18、 GF AF (3)过点 G 作 GHDC，垂足为 H，EG21 2 GF AF，AG6，EG2 5 ，20 1 2 GF(GF6)，解 得 FG4 或10(不合题意，舍去).DFGE2 5 ，AFFGAG10，ADAF2DF2 4 5 .GHDC，ADDC，GHAD，FGHFAD.GH AD FG AF ，即 GH 4 5 4 10 ，GH 8 5 5 ， BEADGH4 5 8 5 5 12 5 5 15 【初步尝试】 (1)如图，在三角形纸片 ABC 中，ACB90，将ABC 折叠，使点 B 与点 C 重合，折痕为 MN， 则 AM 与 BM 的数量关系为_AMBM_； 【思考说理】 (
19、2)如图，在三角形纸片 ABC 中，ACBC6，AB10，将ABC 折叠，使点 B 与点 C 重合，折 痕为 MN，求AM BM 的值； 【拓展延伸】 (3)如图，在三角形纸片 ABC 中，AB9，BC6，ACB2A，将ABC 沿过顶点 C 的直线折 叠，使点 B 落在边 AC 上的点 B处，折痕为 CM. 求线段 AC 的长； 若点 O 是边 AC 的中点，点 P 为线段 OB上的一个动点，将APM 沿 PM 折叠得到APM，点 A 的对应点为点 A，AM 与 CP 交于点 F，求 PF MF 的取值范围 解：(1)如图中，ABC 折叠，使点 B 与点 C 重合，折痕为 MN，MN 垂直平分
20、线段 BC，CN BN.MNBACB90，MNAC.CNBN，AMBM.故答案为 AMBM (2)如图中， CACB6， AB， 由题意 MN 垂直平分线段 BC， BMCM， BBCM， BCMA.BB，BCMBAC，BC BA BM BC ， 6 10 BM 6 ，BM18 5 ，AM ABBM1018 5 32 5 ，AM BM 32 5 18 5 16 9 (3)如图中，由折叠的性质可知，CBCB6，BCMACM，ACB2A，BCM A.BB，BCMBAC，BC AB BM BC CM AC ， 6 9 BM 6 ，BM4，AMCM5， 6 9 5 AC ，AC 15 2 如图1 中，AAMCF，PFAMFC，PAPA，PFAMFC， PF FM PA CM .CM5， PF FM PA 5 .点 P 在线段 OB上运动，OAOC15 4 ，AB15 2 63 2 ， 3 2 PA15 4 ， 3 10 PF FM 3 4 解决折叠问题时，一是要对图形折叠有准确定位，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三 个方面入手，发现其中变化的量和不变的量，发现图形中的数量关系；二是要把握折叠的变化规律，充分 挖掘图形的几何性质，将其中基本的数量关系用方程的形式表达出来
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