1、专题专题 5 新定义问题新定义问题 所谓“新定义”型问题， 主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、 新运算、 新符号， 其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、 新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进 行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型“新定义”型问题成为近年来中考数学试题的新 亮点. 解题关键要把握两点： 一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化， 通过认真思考，合理进行思想方法的迁移 定义新数 1(2021 预测)道德经中的“道生
2、一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征在数的 学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、 质数、合数等现在我们来研究另一种特殊的自然数“纯数” 定义： 对于自然数n， 在计算n(n1)(n2)时， 各数位都不产生进位， 则称这个自然数n为“纯数” 例如：32 是“纯数”，因为计算 323334 时，各数位都不产生进位；23 不是“纯数”，因为计算 232425 时，个位产生了进位 (1)判断 2 019 和 2 020 是否是“纯数”，请说明理由； (2)求不大于 100 的“纯数”的个数 解：(1)2 019 不是“纯数”，2 02
3、0 是“纯数”，理由如下：在计算 2 0192 0202 021 时，个位产 生了进位，而在计算 2 0202 0212 022 时，各数位都不产生进位，2 019 不是“纯数”，2 020 是“纯 数” (2)分三种情况讨论如下： 当这个数为一位自然数时，只能是 0，1，2，共 3 个； 当这个数为两位自然数时，十位只能为 1，2，3，个位只能为 0，1，2，即共有 10，11，12，20，21， 22，30，31，32 这 9 个； 当这个数为 100 时，易知 100 是“纯数” 综上所述，不大于 100 的“纯数”的个数为 39113 2定义：形如 abi 的数称为复数(其中 a 和
4、b 为实数，i 为虚数单位，规定 i21)，a 称为复数的实 部，b 称为复数的虚部复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数例如(13i)212213i (3i)216i9i216i986i，因此，(13i)2的实部是8，虚部是 6.已知复数(3mi)2的虚部是 12，则实部是 C A6 B6 C5 D5 3 (2020 重庆)在数的学习过程中， 我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇， 如学习自然数时， 我们发现一种特殊的自然数 “好数” 定义：对于三位自然数 n，各位数字都不为 0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则 称这个自然数 n 为“好数” 例如：426 是“好
5、数”，因为 4，2，6 都不为 0，且 426，6 能被 6 整除； 643 不是“好数” ，因为 6410，10 不能被 3 整除 (1)判断 312，675 是否是“好数”？并说明理由； (2)求出百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”的个数，并说明理由 解：(1)312 是“好数”，因为 3，1，2 都不为 0，且 314，6 能被 2 整除， 675 不是“好数”，因为 6713，13 不能被 5 整除 (2)611，617，721，723，729，831，941 共 7 个，理由： 设十位数数字为 a，则百位数字为 a5(02， 4 2a 2，1a0.ac0，0c1，综上所述，1a
6、0，b4，0c0 时，过点 F 作 FH直线 l 于点 H，交F 于点 E， N.由题意，EN2 2 ，EN NH4 5 ，NH 10 .N(1，0)，M(1，4)，MN 2242 2 5 ， HM MN2NH2 2010 10 ，MNH 是等腰直角三角形MN 的中点 K(0，2)，KN HKKM 5 ， H(2， 3)， 把 H(2， 3)， M(1， 4)代入 ykxb， 可得直线 l 的表达式为 y1 3 x 11 3 ， 当 k0 时，同法可知直线 l经过 H(2，1)，可得直线 l的表达式为 y3x7. 综上所述，满足条件的直线 l 的表达式为 y1 3 x 11 3 或 y3x7
7、解题的关键是理解新定义，再结合已学知识解答 定义新图形 10(2019 宁波)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线 (1)如图，在ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，E，F 分别是 BD，AD 上的点求证： 四边形 ABEF 是邻余四边形； (2)如图，在 54 的方格纸中，A，B 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF，使 AB 是 邻余线，E，F 在格点上； (3)如图，在(1)的条件下，取 EF 的中点 M，连结 DM 并延长交 AB 于点 Q，延长 EF 交 AC 于点 N. 若 N 为 AC 的中点，DE2BE，QB3，求
8、邻余线 AB 的长 解：(1)证明：ABAC，AD 是ABC 的角平分线， ADBC，ADB90，DABB 90，FAB 与B 互余，四边形 ABEF 是邻余四边形 (2)如图所示(答案不唯一) (3)ABAC，AD 是ABC 的角平分线，BDCD.又DE2BE，BDCD3BE，CECD DE5BE.EDF90，M 为线段 EF 的中点，DMME，MDEMED.又ABAC，B C，DBQECN，QB NC BD CE 3 5 .又QB3，NC5.又ANNC，AC2NC10.AB AC10 11定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形 (1)下面四边形是垂等四边形的是_；(填序号) 平行
9、四边形；矩形；菱形；正方形 (2)图形判定：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ACBD，过点 D 作 BD 垂线交 BC 的延长线于 点 E，且DBC45，求证：四边形 ABCD 是垂等四边形； (3)由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半应用：在图中，面积 为 24 的垂等四边形 ABCD 内接于O 中，BCD60.求O 的半径 解：(1) (2)证明：ACBD，EDBD，ACDE.又ADBC，四边形 ADEC 是平行四边形，ACDE. 又DBC45，BDE 是等腰直角三角形，BDDE，BDAC.又BDAC，四边形 ABCD 是垂等四边形 (3)过点 O 作
10、OEBD，连结 OD，四边形 ABCD 是垂等四边形，ACBD.又垂等四边形的面积 是 24，1 2 AC BD24，解得 ACBD4 3 .又BCD60，DOE60，设半径为 r，根据垂 径定理可得：在ODE 中，ODr，DE2 3 ，r DE sin 60 2 3 3 2 4，O 的半径为 4 12 (2020 南通)有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形， 连结这两个角的顶点的线段称为对余线 (1)如图，对余四边形 ABCD 中，AB5，BC6，CD4，连结 AC.若 ACAB，求 sin CAD 的值； (2)如图，凸四边形 ABCD 中，ADBD，ADBD，当 2CD2CB2CA2时
11、，判断四边形 ABCD 是否 为对余四边形证明你的结论； (3)在平面直角坐标系中，点 A(1，0)，B(3，0)，C(1，2)，四边形 ABCD 是对余四边形，点 E 在对余 线 BD 上，且位于ABC 内部，AEC90ABC.设AE BE u，点 D 的纵坐标为 t，请直接写出 u 关于 t 的函数表达式 解：(1)如图中，过点 A 作 AEBC 于点 E，过点 C 作 CFAD 于点 F.ACAB，BECE3， 在 RtAEB 中，AE AB2BE2 5232 4.CFAD，DDCF90.BD90， BDCF.AEBCFD90，AEBDFC，EB CF AB CD ， 3 CF 5 4
12、，CF 12 5 ， sin CADCF AC 12 5 5 12 25 (2)如图中，结论：四边形 ABCD 是对余四边形 理由：过点 D 作 DMDC，使得 DMDC，连结 CM，BM. CDMADB90，ADCBDM.ADDB，CDDM，ADCBDM(SAS)，AC BM.2CD2CB2CA2，CM2DM2CD22CD2，CM2CB2BM2，BCM90，DCM DAB45，DABDCB90，四边形 ABCD 是对余四边形 (3)如图中，过点 D 作 DHx 轴于点 H.A(1，0)，B(3，0)，C(1，2)，OA1，OB3，AB4， ACBC2 2 ，AC2BC2AB2，ACB90，C
13、BACAB45.四边形 ABCD 是对余四 边形，ADCABC90，ADC45.AEC90ABC135，ADCAEC 180，A，D，C，E 四点共圆，ACEADE.CAEACECAEEAB45，EAB ACE， EABADB.ABEDBA， ABEDBA， BE AB AE AD ， AE BE AD AB ， u AD 4 . 设 D(x，t)，由(2)可知，BD22CD2AD2，(x3)2t22(x1)2(t2)2(x1)2t2，整理得(x1)2 4tt2， 在 RtADH 中， AD AH2DH2 （x1）2t2 2 t ， uAD 4 t 2 (0t4)， 即 u t 2 (0t4) 正确理解新定义的图形，寻找形与数的对应关系
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