1、专题专题 7 最值问题最值问题 最值问题，也就是最大值和最小值问题，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多， 涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度 最值问题一般有三类，一是以几何为背景的最值问题，一般可以看成是运动变化的图形 在特殊位置时，与图形有关的几何量达到最大值或最小值；二是有关函数的最值问题，如一 次函数、反比例函数和二次函数；三是实际背景问题，来求最优化问题 解决最值问题的关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与 转化为相应的数学模型(函数增减性、线段公理、三角形三边关系等)进行分析与突 破 线段之和最值问题 1(2020 河南)如图，在扇形 BOC 中，
2、BOC60，OD 平分BOC 交 BC 于点 D， 点 E 为半径 OB 上一动点若 OB2，求阴影部分周长的最小值 解：如图，作点 D 关于 OB 的对称点 D，连结 DC 交 OB 于点 E，连结 ED，OD， 此时 ECED 最小，即 ECEDCD，由题意得CODDOBBOD30， COD90，CD OC2OD2 2222 2 2 ， CD 的长 l302 180 3 ， 阴影部分周长的最小值为 2 2 3 2如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，将ABD 沿射线 BD 平移，得到EGF，连 结 EC，GC.求 ECGC 的最小值 解：如图，连结 DE，作点 D 关于直线 AE 的
3、对称点 T，连结 AT，ET，CT. 四边形 ABCD 是正方形，ABBCCDAD4，ABC90，ADB45. AEBD， EADADB45， D， T 关于 AE 对称， ADAT4， TAEEAD 45， TAD90.BAD90， B， A， T 共线， CT BT2BC2 4 5 .EG CD，EGCD，四边形 EGCD 是平行四边形，GCED，ECGCECEDEC TE.TEECTC，ECGC4 5 ，ECGC 的最小值为 4 5 3. (2020 南京)如图，要在一条笔直的路边 l 上建一个燃气站，向 l 同侧的 A，B 两个城 镇分别铺设管道输送燃气试确定燃气站的位置，使铺设管道的
4、路线最短 (1)如图，作出点 A 关于 l 的对称点 A，线段 AB 与直线 l 的交点 C 的位置即为所求， 即在点 C 处建燃气站，所得路线 ACB 是最短的 为了证明点 C 的位置即为所求，不妨在直线 l 上另外任取一点 C，连结 AC，BC，证 明 ACCBACCB.请完成这个证明； (2)如果在 A，B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别 给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由). 生态保护区是正方形区域，位置如图所示； 生态保护区是圆形区域，位置如图所示 解：(1)证明：如图，连结 AC，点 A，点 A关于 l 对称，点 C 在 l 上，CACA，
5、 ACBCACBCAB，同理可得 ACCBACBC，ABACCB， ACBCACCB (2)如图，在点 C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是 ACCDDB(其中点 D 是正方 形的顶点)； 如图， 在点 C 处建燃气站， 铺设管道的最短路线是 ACCD DE EB， (其中 CD， BE 都与圆相切) 1 线段和的最小值问题是课本著名原题“饮马问题”的变形与应用， 即为同一平面内线 段和最短问题，其基本图形如图，点 A，B 是直线 l 同旁的两个定点如何在直线 l 上确定一 点 P，使 APBP 的值最小方法是作点 A 关于直线 l 的对称点点 A，转化为两点间的距离 问题，即连结 AB 交直
6、线 l 于点 P，则 PAPBAB 的值最小 2不管在什么背景图中，有关线段之和的最短问题，常化归与转化为线段公理“两点之 间线段最短”，而化归与转化的方法都是借助于“轴对称点”. 然后利用线段垂直平分线的 性质和两点之间线段最短的原理， 构造直角三角形， 并运用勾股定理计算最小值来解决问题 线段之差最值问题 4如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1kxb(k0)的图象与反比例函数 y2m x (m0)的图象相交于第一、三象限内的 A(3，5)，B(a，3)两点，与 x 轴交于点 C. (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在 y 轴上找一点 P，使 PBPC 最大，求 PBPC
7、的最大值及点 P 的坐标 解：(1)把 A(3，5)代入 y2m x (m0)，得 m3515，反比例函数的表达式为 y2 15 x .把点 B(a，3)代入 y215 x ，可得 a5，B(5，3).把 A(3，5)，B(5，3) 代入 y1kxb，得 3kb5， 5kb3， 解得 k1， b2， 一次函数的表达式为 y1x2 (2)令 x0，y1x22，一次函数与 y 轴的交点为(0，2).当点 P 为一次函数与 y 轴 的交点时，PBPCBC 最大，令 y1x20，解得 x2，C(2，0)，PBPC 的 最大值为 （52）232 3 2 ，此时 P(0，2) 5(原创题)如图，在平面直角
8、坐标系 xOy 中，点 A，B，C 分别为坐标轴上的三个点， 且 OA1，OB3，OC4. (1)求经过 A，B，C 三点的抛物线的表达式； (2)当点 P 的坐标为(5，3)时，若点 M 为该抛物线上一动点，请求出当|PMAM|取最大 值时点 M 的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值 解：(1)设抛物线的表达式为 ya(x4)(x1)，将 B(0，3)代入，解得 a3 4 ，y 3 4 (x4)(x1) 3 4 x 29 4 x3 (2)设直线 PA 的表达式为 ymxn(m0)，将 A(1，0)，P(5，3)代入，解得 m3 4 ，n 3 4 ， y 3 4 x 3 4 .当点 M 与点
9、 P， A 不在同一直线上时， 根据三角形的三边关系可知|PM AM|PA， 当点 M 与点 P， A 在同一直线上时， |PMAM|PA， 此时|PMAM|的值最大， 即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点解方程组 y 3 4x 3 4， y3 4x 29 4x3， 得 x11， y10 或 x25， y29 2， 当|PMAM|的值最大时点 M 的坐标为(1，0)或(5，9 2 )，且|PMAM|的 最大值为 5 点 P 为任意一点时，要探究|PAPB|的最大值，可数形结合，将其转化为相关图形(三角 形)，三边关系始终满足两边之差小于第三边(|PAPB0)与 x 轴交于 A，B 两点(点
10、A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，顶点为点 D. (1)当 a6 时，直接写出点 A，B，C，D 的坐标： A_(3，0)_，B_(1，0)_，C_(0，18)_， D_(2，6)_； (2)如图，直线 DC 交 x 轴于点 E，若 tan AED4 3 ，求 a 的值和 CE 的长； (3)如图，在(2)的条件下，若点 N 为 OC 的中点，动点 P 在第三象限的抛物线上，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，交 AN 于点 F；过点 F 作 FHDE，垂足为 H.设点 P 的横坐标 为 t，记 fFPFH. 用含 t 的代数式表示 f； 设5tm(m0)，求 f 的最大值 解
11、：(1)当 a6 时，抛物线的表达式为 y6x224x18，令 y0，则 x1 或3；当 x0 时，y18，函数的对称轴为 x2，故点 A，B，C，D 的坐标分别为(3，0)，(1， 0)，(0，18)，(2，6)；故答案为(3，0)，(1，0)，(0，18)，(2，6) (2)yax24ax4a6，令 x0，则 y4a6，则点 C(0，4a6)，函数的对称轴为 x 2，故点 D 的坐标为(2，6)，由点 C，D 的坐标得直线 CD 的表达式为 y2ax4a 6，令 y0，则 x3 a 2，故点 E( 3 a 2，0)，则 OE 3 a 2，tan AED OC OE 64a 3 a2 4 3
12、 ， 解得 a 2 3 ， 故点 C， E 的坐标分别为(0， 10 3 )， (5 2 ， 0)， 则 CE （10 3 ）2（5 2） 2 25 6 (3)如图，作 PF 与 ED 的延长线交于点 J， 由(2)知， 抛物线的表达式为 y2 3 x 28 3 x 10 3 ， 故点 A， C 的坐标分别为(5， 0)， (0， 10 3 )，则点 N(0， 5 3 )，由点 A， N 的坐标得直线 AN 的表达式为 y 1 3 x 5 3 .设点 P(t， 2 3 t 28 3 t 10 3 )，则点 F(t，1 3 t 5 3 )，FP 2 3 t 23t5 3 ，由点 E( 5 2 ，
13、0)，C 的坐标得 直线 CE 的表达式为 y4 3 x 10 3 ，则点 J(t，4 3 t 10 3 )，故 FJ5 3 t 5 3 ，FHDE，JF y 轴，FHJEOC90，FJHECO，FJHECO，FH OE FJ CE ，FH OE CE FJt1，fFPFH 2 3 t 23t5 3 (t1) 2 3 t 24t8 3 f2 3 t 24t8 3 2 3 (t3) 226 3 (5tm 且 m0)，当5m3 时，fmax 2 3 m 24m8 3 ；当3m0 时，fmax 26 3 有关几何图形面积和线段长的最值问题，关键是要掌握图形面积和线段长的求解，构建 相应的函数关系式，进而根据函数图象的增减性确定其最值，并注意问题的实际意义
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