1、高二数学试题（第 1 页 共 16 页） 20202021 学年度第一学期福州市高二期末质量抽测 数 学 试 题 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第 卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40
2、分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1. 若命题 2 00 :11pxx ， ，则p为 A 2 11xx ， B 2 11xx ， C 2 00 11xx ， D 2 00 11xx ， 【答案】A 2. 某校共有1 500名学生， 现用系统抽样的方法从中等距抽取50名学生参加志愿者活动， 将这 1 500 名学生依次编号为1 2 31500， ，已知第一位被抽到的学生编号为 4， 则下列编号被抽到的是 A324 B184 C104 D24 【答案】B 【解答】根据系统抽样方法，将 1 500 名学生等分为 50 组，每组 30 人，第一位抽到 为 4，则被抽到的号码为43
3、0k（0,1,2,3,49k ） ，所以 184 会被抽到 3. 下列求导运算正确的是 Asincoscossinxxxx B 1 lnxx x 高二数学试题（第 2 页 共 16 页） C 22 ee xx D 1 ee xx xx 【答案】D 【解答】对于 A 选项，sincoscossinxxxx ，故 A 错误； 对于 B 选项，lnlnlnln1xxxxxxx ，故 B 错误； 对于 C 选项， 22 e2e xx ，故 C 错误； 对于 D 选项， 2 ee1 ee e xx xx x xxx ，故 D 正确 4. 已知1,0,13,21,2ab，其中 R，若ab，则 A0 B1
4、C2 D3 【答案】B 【解答】 由于ab， 所以t R，tab =， 则 13 210 12 t t ， ， ， 解得 1 2 1 2 ， ， 所以1 5. “0 x”是“ 1 2x x ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】 当“0 x”时， 由基本不等式可得“ 1 2x x ”； 若 1 2x x ， 则 2 21 0 xx x ， 即 2 1 0 x x ，故0 x所以“0 x”是“ 1 2x x ”的充要条件 6. 已知,A B是平面内两个定点， 平面内满足PAPBa（a为大于 0 的常数） 的点P的 轨迹称为卡西尼卵形线，
5、它是以发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼的名字命 名当,A B坐标分别为 1,0 , 1,0，且1a 时，卡西尼卵形线大致为 高二数学试题（第 3 页 共 16 页） 【答案】A 【解答】设点P坐标为, x y，由1PAPB可得 22 22 111xyxy 若 00 ,xy是曲线上任意一点，由方程可知， 00 ,xy， 00 ,xy， 00 ,xy也在曲 线上， 则该曲线关于x轴，y轴对称， 关于原点中心对称， 排除 B、 D 选项， 又因为0,0 点满足该方程，所以曲线过原点，淘汰选项 C，故选 A 7. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方 盒若该方盒
6、的体积为 2，则a的最小值为 A1 B2 C3 D 3 3 2 【答案】C 【解答】依题意得，设方盒的底面边长为x，高为h，则 2 2Vx h，且2axh 所以边长 2 4 a xx x ，0 x 3 8 1a x x ，当02x 时， 0a x ；当2x 时， 0a x所以 min 23a xa 8. 已知椭圆 22 22 :1 xy E ab （0ab ）的左、右焦点分别为 12 ,F F，M为E上一点若 12 6 MFF， 21212 F FF MFF，则E的离心率为 A 21 2 B 31 2 C21 D31 【答案】B 【解答】如图所示，设Q为线段 1 F M的中点，则 2122 2
7、F FF MF Q， 因为 21212 F FF MFF，则 212 1 2 F QFFc，在 12 QF F中， 12 6 MFF， 122 2 ,FFc F Qc， 可 得 21 F QFM， 所 以 A B C D 高二数学试题（第 4 页 共 16 页） 212 2F MFFc， 112 32 3FMFFc， 由 于M为E上 一 点 ， 由 定 义 得 12 2FMF Ma，即2 322cca，所以 231 22 32 c e a 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
8、错的得 0 分 9. 已知曲线E的方程为 22 1mxny（0mn ） ，则E可能是 A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【答案】ABC 【解答】当0mn时，E为圆；当 0 0 m n mn ， ，时，E为椭圆；当0mn时，E为双 曲线 10. 下图为我国 2020 年 2 月至 10 月的同城快递量与异地快递量的月统计图： 根据统计图，下列结论正确的是 A异地快递量逐月递增 B同城快递量，9 月份多于 10 月份 C同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同 D同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同 【答案】BD 50260.2 102068.8 107652.7 117452 11785
9、3.5 105191.1 106930.7 113215.1 97454.2 218272.8 483238 527715.3 606125.9 613818.6 572812.9 599604.6 679556.6 708642.6 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 我国我国 同城快递量（单位：万件） 异地快递量（单位：万件） 高二数学试题（第 5 页 共 16 页） 11. 如图，在正方体 1111 ABCDA B C D中，M N P Q， ，分别 是所在棱的中点，则下列结论正确的是 A点 11 C D，到平面PMN的距离相等 BPN与QM为异面直线 C90PNM
10、D平面PMN截该正方体的截面为正六边形 【答案】ACD 【解答】因为点M是线段 11 C D的中点，则选项 A 正确； 1 D MAP且 1 D MAP，则四边形 1 D MPA为平行四边形，所以 1 D AMP，又 1 D AQN，可得MPQN，则PN与QM为共面直线，故选项 B 不正确；不妨设正 方体边长为 1， 在P N M中， 2 2 PN ， 6 2 MN ，2PM ， 则 222 PNMNPM，则选项 C 正确；如图所示，,E F分别为 棱 1 ,BC CC的中点，平面PMN截正方体的截面为正六边形 QNPEFM，则选项 D 正确 12. 已知函数 esin1 x f xx，则 A
11、 f x的周期为2 B f x的图象关于点0 1，对称 C f x在 3 0 4 ，上为增函数 D f x在区间5,5上所有的极值之和为 10 【答案】BCD 【解答】依题意， 5 2 2e1 2 f ， 2 e1 2 f ，故 2 22 ff ，选项 A 不正确； 设 1esin x g xf xx ， 则 gxg x， 所以 g x是奇函数， 图象关于0,0 对称，从而 1f xg x图象关于0,1对称，选项 B 正确； AB C D 1 A 1 B 1 C 1 D Q M N P 高二数学试题（第 6 页 共 16 页） 当0 x 时， esinecos2e sin 4 xxx fxxx
12、x ， 当 3 0 , 4 x 时，2e0 x ， sin0 4 x ，则 2e sin0 4 x fxx ， f x为增函数，选项 C 正确； 当0,5x时，令 0fx，得 4 xk，可得极值点为 4 xk ，其中 1,2,3,4,5k ， 将它们依次记为 12345 ,x xx xx， 又 f x图象关于0 1，对称， 所以 f x 在5 0，的极值点分别为 54321 xxxxx，且 2 ii f xfx，其中 1,2,3,4,5i ， 所以 f x在区间5,5上所有的极值之和为2510， 选项D正确 第卷 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 三
13、、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13. 双曲线 22 1 43 xy 的渐近线方程为 【答案】 3 2 yx 14. 在区间3 1 ，上随机取一个数x， 若事件:A xm的概率为 3 4 ， 则m的值为 【答案】0 【解答】 由题意可知31m ，3,1(, 3,mm ， 所以 33 134 m P A ， 解得0m 15. 某次数学竞赛有 100 位同学参加，如图为这 100 位同学此次竞赛成绩的频率分布直方 图，则a ，这 100 位同学此次竞赛成绩的中位数约为 （中位数精确 到0.01本题第一空 2 分，第二空 3 分） 高二数学试题（第
14、7 页 共 16 页） 【答案】0.015；73.33 【解答】依题意得，21010.030.0250.01 0.00510a ，可得0.015a ；设 中位数为x， 则0.01 0.0150.015100.03700.5x， 解得 1 7373.33 3 x 16. 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DEAB，8DC ，6DE 沿 着DE将ADE折起，使A到达点 A 的位置，且平面A DE平面BCDE设P为 A DE内的动点，若EPBDPC ，则P的轨迹的长度为 【答案】 4 3 【解答】 依题意得，6DE ，4A E， 因为平面ADE平 面BCDE，且平面ADE平面BCDED
15、E，BEDE， CDDE，所以BE 平面ADE，CD 平面ADE，则 BEPE，CDPD，由于EPBDPC ，则RtEPB RtDPC，所以 41 82 PEBE PDCD 如图所示，建立直 角坐标系yEz，如图，0,0E，6,0D，设,P y z，则 22 2 yz2 2 6yz， 整理得2 2 216yz， 则P 的轨迹是圆心为2,0， 半径为 4， 圆心角为60的圆弧MN， 弧长为 4 3 40 50 60 70 80 90 100 0.005 0.010 0.025 0.030 a 分数 频率 组距 高二数学试题（第 8 页 共 16 页） 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分
16、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 10 分） 已知函数 32 3 2 2 3 f xxx （1）求曲线 yf x在1x 处的切线方程； （2）求 f x在2,1上的最大值和最小值 【解答】 （1） 2 24fxxx， 1 分 所以所求切线的斜率 12k f ， 3 分 又 25 123 33 f， 所以所求切线的方程为 5 21 3 yx ，即63110 xy 5 分 （2）由（1）知， 22fxx x， 令 0fx，得0 x 或2x （舍去） 6 分 当x在区间2,1上变化时， ,fxf x的变化情况如下表： x 2 2 0 ， 0 0 1， 1 fx 0 f x
17、 31 3 极大值 3 5 3 8 分 由上表可知， f x的最大值为 3； 9 分 f x的最小值为 31 3 10 分 解法二： （1）同解法一 5 分 （2）由（1）知， 22fxx x21x 剟， 令 0fx，得0 x 或2x （舍去） 6 分 又 315 0321 33 fff ， 8 分 所以 f x的最大值为 3； 9 分 高二数学试题（第 9 页 共 16 页） f x的最小值为 31 3 10 分 18. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :2E ypx的焦点为F，1 1P，为E上一点 （1）求E的方程及F的坐标； （2）设斜率为 1 的直线l与E交于A B，两点，若
18、2PA PB ，求l的方程 【解答】 （1）因为1 1P，为E上一点， 所以12p，故 1 2 p ， 2 分 所以E的方程为 2 yx， 3 分 F的坐标为0 2 p ，即 1 0 4 ， 5 分 （2）设直线l的方程为yxm， 由 2 yxm yx ， 得 2 0yym， 6 分 设 22 1122 A yyB yy， ，则 140m ， 1212 1yyy ym， 7 分 所以 22 1122 1111PA PByyyy， 8 分 2 22 12121212 11y yyyy yyy 22 12121212 32y yyyy yyy 9 分 22 1312mm 2 3mm 又因为2PA
19、PB ， 所以 2 3mm2 10 分 解得1m ，或2m ， 11 分 所以l的方程为1yx，或2yx 12 分 19. （本小题满分 12 分） 高二数学试题（第 10 页 共 16 页） 在PDAB， PCAPCB ， 平面PCD 平面ABC这三个条件中任选一个， 补充在下面问题的横线上，并解答 问题：已知在三棱锥PABC中，D为AB的中点，_，2ACBC （1）证明：PCAB； （2）若2PC ，90PCBACB ，E为线段PB上一点，且3EBPE，求二面 角DCEB的余弦值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】 （1）若选，则 ACBC ADBD， ABCD， 2
20、 分 PDAB PDCDD，且PD CD ，平面PCD， AB 平面PCD， 4 分 PC 平面PCD， PCAB 6 分 若选，则 PCPC，PCAPCB ，ACBC， PCAPCB， PAPB， ADBD， ABCD， 2 分 PDAB PDCDD，且PD CD ，平面PCD， AB 平面PCD， 4 分 PC 平面PCD， PCAB 6 分 高二数学试题（第 11 页 共 16 页） 若选，则 ACBC ADBD， ABCD， 2 分 平面PCD 平面ABC，交于CD，AB 平面ABC， AB 平面PCD， 4 分 PC 平面PCD， PCAB 6 分 （2）PCBC，PCAB，BCAB
21、B，AB BC ，平面ABC， PC 平面ABC 又90ACB，,CA CB CP两两垂直，如图，以C为原点，分别以CA CB CP， 的方向为x y z，轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz， 7 分 则(0,0,0)C，(0,2,0)B，(0,0,2)P，(1,1,0)D，由于 3EBPE，可知 1 3 (0, ) 2 2 E， 8 分 1 3 (0, ) 2 2 CE ，(1,1,0)CD ， 设, ,x y zn为平面DCE的法向量， 则 CE CD n n ， ， 即 13 0 22 0 CEyz CDxy n n ， ， 取1z ，则33yx ，故33 1n， ， 9 分 由x轴
22、平面CEB可知，1 0 0m，为平面CEB的法向量 10 分 33 19 cos 1919 1 n m n m n m ， 11 分 设二面角DCEB的平面角为，为锐角， 3 19 cos 19 12 分 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy E ab （0ab ）的离心率为 6 3 ，0 1A，为E的上顶点 高二数学试题（第 12 页 共 16 页） （1）求E的方程； （2）以A为直角顶点的RtABC的另两个顶点均在E上运动，求证：直线BC过定 点 【解答】解法一： （1）设半焦距为c，依题意，1b ， 2 分 离心率 6 3 c e a ， 3 分 又因为
23、222 abc， 所以 2 3a ， 4 分 所以E的方程为 2 2 1 3 x y. 5 分 （2）依题意，直线AB AC ， 的斜率均存在且不为零， 设直线AB的方程为 1ykx， 则由ABAC可得直线AC的方程为 1 1yx k 6 分 由 22 1 33 ykx xy ， 得 22 1 360kxkx，解得0 x ，或 2 6 13 k x k ， 7 分 设 1122 B xyC xy， ， ，则 22 11 222 661 3 1 131313 kkk xy kkk ， 8 分 同理可得 2 2 22 2222 11 613 63 33 11 1313 kkkk xy kk kk
24、， ， 9 分 所以直线BC的斜率 12 12 yy k xx 22 22 22 133 133 66 133 kk kk kk kk 4 2 61 241 k k k 2 1 4 k k ， 10 分 所以直线BC的方程为 22 22 1316 13413 kkk yx kkk ，即 2 11 42 k yx k ， 11 分 所以直线BC过定点 1 0 2 ， 12 分 解法二： （1）同解法一 5 分 （2）因为直线BC不垂直于x轴，可设直线BC方程为y kxm ， 高二数学试题（第 13 页 共 16 页） 由 22 33 ykxm xy ， 得 222 1 36330kxkmxm ，
25、 设 1122 B xyC xy， ， ，则 2 22 3612 1 310kmkm , 12 2 6 13 km xx k ， 2 12 2 33 1 3 m x x k ， 6 分 由ABAC得1 ABAC kk ，即 12 12 11 1 yy xx ， 7 分 所以 12121 2 1y yyyx x ， 所以 12121 2 1kxmkxmkxmkxmx x ， 即 2 2 1 212 1110kx xk mxxm， 8 分 所以 2 2 2 22 336 1110 1313 mkm kk mm kk ， 整理可得 1 210mm ， 9 分 解得1m （舍去）或 1 2 m ， 1
26、0 分 所以直线BC方程为 1 2 ykx，过定点 1 0, 2 12 分 21. （本小题满分 12 分） 为了研究某班男生身高和体重的关系，从该班男生中随机选取 6名，得到他们的身高 和体重的数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 身高 x（cm） 165 171 167 173 179 171 体重 y（kg） 62 m 64 74 74 66 在收集数据时，2 号男生的体重数值因字迹模糊看不清，故利用其余 5 位男生的数据 得到身高与体重的线性回归方程为 11 yb xa后来得到 2 号男生的体重精准数值m后再 次计算得到线性回归方程为 22 yb xa （1）求回归方程 11
27、 yb xa； （2）若分别按照 11 yb xa和 22 yb xa来预测身高为 180cm 的男生的体重，得到 高二数学试题（第 14 页 共 16 页） 的估计值分别为 12 w w，且 21 2ww，求m的值； （3）BMI 指数是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其 中 BMI 指数在 24 到 27.9 之间的定义为超重通过计算可知这 6 人的 BMI 指数分别为： 22.8，27.4，22.9，24.7，23.1，22.6，现从这 6 人中任选 2 人，求恰有 1 人体重为超重的概 率 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 n ii
28、 i n i i xxyy baybx xx ， 【解答】 （1）依题意，17168xy， 1 分 5 1 6644268602112 ii i xxyy ， 2 分 5 222 222 1 64280120 i i xx ， 3 分 所以 5 1 1 5 2 1 11214 12015 ii i i i xxyy b xx ， 4 分 11 14458 68171 155 ayb x ， 所以数据恢复前的线性回归方程 14458 155 yx 5 分 （2）因为第二位同学的身高171x， 所以数据恢复后，6 位同学身高的平均数171xx ， 根据公式 1 2 1 n ii i n i i x
29、xyy b xx 可知 21 14 15 bb， 6 分 因为 21 2ww，可得 221121 1801802babaaa， 7 分 所以数据恢复后，6 位同学的体重平均数 2211 2268270yb xab xay ， 所以70668 580m 8 分 高二数学试题（第 15 页 共 16 页） （3）依题意得，编号为 2，4 的同学的体重为超重， 从 6 人中任选两人， 记两人编号分别为x y， 用x y，表示基本事件： 抽到编号为x y， 的两位同学，则所有可能的结果如下： 1 21 31 41 51 62 32 42 5， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
30、 2 63 43 5， ， ， ， ， ，3 6， ， 4 54 65 6， ， ， ， ，共 15 种 10 分 其中 “恰有 1 人体重为超重” 的事件包含基本事件： 1 21 42 32 5， ， ， ， ， ， ， ，2 6， 3 44 54 6， ， ， ， ，共 8 种 11 分 根据古典概型概率计算公式可知，所求概率 8 15 P 12 分 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ln a f xx x （1）讨论函数 f x的单调性； （2）证明：当 1 2 a时， 1 e 2 x f x 参考数据：e2.7183 【解答】 （1）依题意， f x的定义域为0,， 1
31、分 22 122axa fx xxx ， 2 分 若0a，则 0fx， f x在0,上为增函数； 3 分 若0a， 当2xa时， 0fx， f x为增函数； 当02xa 时， 0fx， f x为减函数 4 分 综上，当0a时， f x在0 ，为增函数；当0a时， f x在区间0 2a，上为 减函数，在区间2a ，上为增函数 5 分 （2）要证 1 e 2 x f x ，只要证 21 lne 2 x a x x ，即证ln2e 2 x x xxax ， 7 分 下证ln2e 2 x x xxax ， 高二数学试题（第 16 页 共 16 页） 令 ln2 2 x g xxxa， 11 ln1ln
32、 22 gxxx ，令 0g x得 1 e x ， 当 1 0 e x ，时， 0g x， g x为减函数； 当 1 e x ，时， 0g x， g x 为增函数， 8 分 所以 min 11111 22 2ee2 ee g xgaa ， 9 分 又 1 2 a，所以 11 21 ee g xa 10 分 令 e x h xx ，则 ee1e xxx h xxx ， 所以当(0,1)x时， 0h x， h x为增函数；当(1,)x时， 0h x， h x为 减函数， 所以 max 1 1 e h xh 11 分 由参考数据可知 11ee1 10 eee ，即 11 1 ee ， 所以 g xh x，即ln2e 2 x x xxax ， 所以 1 e 2 x f x 12 分
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