1、2020-2021学年度学年度高二数学高二数学第一学期期末学业水平诊断第一学期期末学业水平诊断 一、单项选择题一、单项选择题 1数列2，4，6，8，的通项公式可能是（ ） A1 2 n n an B 1 12 n n an C1 2 n n n a D 1 12 n n n a 2若抛物线 2 xmy过点1, 4，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A 1 0, 16 B 1 ,0 16 C1,0 D0, 1 3与双曲线 22 1 4915 xy 有公共焦点且离心率为 4 5 的椭圆的标准方程为（ ） A 22 1 8016 yx B 22 1 8016 xy C 22 1 10036 yx D 2
2、2 1 10036 xy 4传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分 成许多类，如：三角形数1，3，6，10，；正方形数1，4，9，16，；等等如图所示为五边形数，将 五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为（ ） A35 B51 C70 D92 5设 1 F， 2 F是椭圆 22 :1 93 xy C mm 的焦点，若椭圆C上存在一点P满足 12 90FPF，则m的取 值范围是（ ） A,3 B3,3 C3, D3,3 6己知数列 n a满足 1 2a ， 1 1,1 1 ,01 nn n n n aa an a a N，则 20
3、21 a（ ） A2 1 B2 C2 1 D2 7如图是一水平放置的青花瓷它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的 曲面，且其外形上下对称花瓶的最小直径为12cm，瓶口直径为20cm，瓶高为30cm，则该双曲线的虚 轴长为（ ） A 45 8 B 45 4 C 45 2 D45 8 已知数列 n a的通项公式为 41 n ann N， 将数列 n a中的整数从小到大排列得到新数列 n b， 则 n b的前100项和为（ ） A9900 B10200 C10000 D11000 二、多二、多项项选择题选择题 9下列命题中正确的是（ ） A双曲线 22 1xy与直线20 x
4、y有且只有一个公共点 B平面内满足20PAPBa a的动点P的轨迹为双曲线 C若方程 22 1 41 xy tt 表示焦点在y轴上的双曲线，则4t D过给定圆上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆 10若数列 n F满足 1 1F ， 2 1F ， 12 3, nnn FFFnn N，则称 n F为斐波那契数列记数 列 n F的前n项和为 n S，则（ ） A 2 657 1FF F B 68 1SF C 135910 FFFFF D 2222 123678 FFFFF F 11如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A， 1 B， 2 B为椭圆的顶点，F为右焦点，延长 2
5、B F与 1 AB交于点P，若 12 B PB为钝角，则该椭圆的离心率可能为（ ） A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 4 12己知数列1， 1 2 ，1， 1 3 ， 2 3 ，1， 1 4 ， 2 4 ， 3 4 ，1，则（ ） A数列的第 1 2 n n 项均为1 B12 13 是数列的第90项 C数列前50项和为28 D数列前50项和为 57 2 三、填空题三、填空题 13己知等差数列 n a的前n项和为 n Sn N， 4 4a ， 7 2a ，则 n S的最大值为_ 14己知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的一个焦点与抛物线 2 4yx的焦点重合，过点1,1M
6、 且斜率 为 1 2 的直线交椭圆C于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的方程为_ 15己知 n S为等比数列 n a的前n项和， 5 5S ， 10 15S，则 1617181920 aaaaa的值为_ 16汽车前照灯的反射镜为一个抛物面它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成通常前照灯主要是由灯 泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形 成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果如图，从灯泡发出的光线FP经抛物线 2 2ypx反射后，沿PN平行射出，FPN的角平分线PM所在的直线方程为2120 xy，则抛物 线方程为_ 四、解答
7、四、解答题题 17从条件 22 1ba， 41 2ba， 22 ba任选一个补充在下面问题中，并解答 问题：己知数列 n a的各项均为正数， n b为等比数列， 22 11 22 nnnn aaaa ， 11 1ab，_， 求数列 n n a b的前n项和 n S如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18动点,M x y与定点 1 5,0F的距离和M到定直线 9 : 5 l x 的距离的比是常数 5 3 （1）求动点M的轨迹方程； （2）设 2 5,0F ，点P为M轨迹上一点，且 12 60FPF，求 12 FPF的面积 19在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能
8、力，贷款消费不失为一种可行 的选择，但是也要量入为出，理智消费某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷 款时间为18个月该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还 款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同 （注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息） （1）分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额为多少万元？（结果精确到小数点后三位，参 考数据： 18 1.0041.0745， 6 1.0121.0742） （2）从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选
9、择哪种方案？说明理由 20己知抛物线C的方程为 2 8xy，点0,4M，过点M的直线交抛物线于A，B两点 （1） 22 11 AMBM 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （2）若点Q是直线:4l y 上的动点，且OQAB，求ABQ面积的最小值 21己知F是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的一个焦点，点M在椭圆上，MFx轴，2MF ，椭 圆的短轴长等于4 （1）求椭圆的标准方程； （2）设P为直线:3 2l x 上一点，Q为椭圆C上一点，且以PQ为直径的圆过坐标原点O，求 22 16OPOQ的取值范围 22 己知等比数列 n a的前n项和为 n S， 42 6aa，
10、 534 23SSS 数列 n b的前n项和为 n T， 且 1 2b ， 1 11 nn nTnTn n （1）分别求数列 n a和 n b的通项公式； （2） 若 1 12 nn n Sb c nn ， n M为数列 n c的前n项和， 是否存在不同的正整数p，q，r（其中p，q， r成等差数列），使得2 p M ，2 q M ，2 r M 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的p，q，r 的值；若不存在，说明理由 20202020- -20212021学年度第一学期期末学业水平诊断学年度第一学期期末学业水平诊断 高二数学参考答案及评分标准高二数学参考答案及评分标准 一、单选题一、单选题
11、1B 2A 3D 4C 5B 6A 7C 8B 二、多选题二、多选题 9AC 10BC 11BCD 12ABD 三、填空题三、填空题 1330 14 2 2 1 2 x y 1540 16 2 4yx 四、解答题四、解答题 17解：由 22 11 22 nnnn aaaa 可得， 11 20 nnnn aaaa ， 又 1 0 nn aa ，所以 1 20 nn aa ，即 1 2 nn aa 故1 2121 n ann 若选， 22 12ba ， 2 1 2 b q b ，故 11 1 22 nn n b ， 此时 21 1 3 2 5 2212n n Sn ， 22 21 2 3 25 2
12、212n n Sn 两式相减得， 231 1 222222123223 nnn n Snn ， 所以2323 n n Sn 若选， 41 21ba ， 3 4 1 1 b q b ，所以1q ，故 11 111 nn n b ， 此时 21 1 3151211 n n Sn ， 23 1 3151211 n n Sn ， 两式相减得 231 21 21111211 nn n Sn 121121 nnn nn ，所以 1 1 n n Sn 若选， 22 3ba， 2 1 3 b q b ，故 11 1 33 nn n b ， 此时 21 1 3 3 5 3213n n Sn ， 23 31 3
13、3 35 3213n n Sn 两式相减得 231 21 233332132232 nnn n Snn ， 所以131 n n Sn 18解：（1）设d是点M到直线l的距离，则 5 3 MF d ，即 2 2 5 5 39 5 xy x ， 化简得 22 169144xy，所以动点M的轨迹方程为 22 1 916 xy （2）由（1）知，动点M的轨迹是以 1 F， 2 F为焦点的双曲线，所以 12 6PFPF， 在 12 PFF中，由余弦定理得 222 121212 2cos60PFPFPF PFFF， 所以 2 2 121212 PFPFPF PFFF，整理得 12 64PF PF ， 所以
14、 1 2 12 113 sin606416 3 222 PF F SPF PF 19解：（1）若选择方案一，设该家庭每月应还款a万元，则 21718 1 0.0041 0.0041 0.004101 0.004aaaa， 即 18 18 1 0.004 10 1.004 1 1.004 a ，解得 18 18 0.04 1.004 0.577 1.0041 a （万元）， 若选择方案二，设该家庭每季度应还款b万元，则有 256 1 0.0121 0,0121 0.012101 0.012bbbb， 即 6 6 1 1.012 10 1.012 1 1.012 b ，解得 6 6 0.12 1.
15、012 1.737 1.0121 b （万元）， （2）因为0.577 3 1.731 1.737 ，所以该家庭应选择第一种方案 20解：（1）由题意知，直线AB斜率k存在，不妨设其方程为4ykx， 联立抛物线C的方程可得 2 8320 xkx， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 8xxk， 12 32x x ，所以 2 1 1AMkx， 2 2 1BMkx， 所以 2 2 1212 222 222222 2 12 12 641 2 11111 16 111321 k xxx x kxkxkkx xAMBM ， 所以 22 11 AMBM 是定值 1 16 （2） 当直线
16、AB的斜率为0时，0, 4Q， 又 4 2 , 4 A， B 4 2,4B ， 此时 1 8 2832 2 2 ABQ S 当直线AB的斜率不力0时， 2 2222 12121 2 1148 12ABkxxkxxx xkk， 又因为OQAB，且直线AB的斜率不为0，所以 1 :OQ yx k ，即4 , 4Qk ， 所以点Q到直线AB的距离 2 2 42 1 k d k ， 此时 2 3 222 2 42 11 8 12162 22 1 ABQ k SAB OQkkk k ， 因为 3 2 28k ，所以 3 2 16232 2k ， 综上，ABQ面积的最小值为32 2 21解：（1）由已知
17、2 2 b a ，24b，解得2b，2 2a 故椭圆的标准方程为 22 1 84 xy （2）设 3 2, Pt， 11 ,Q x y，因为以PQ为直径的圆过坐标原点O， 所以0OP OQ，即 11 3 20 xty， 联立 11 22 11 3 20 28 xty xy ，得 2 2 1 2 8 36 t x t ， 2 1 2 144 36 y t 于是 2 22 22222 11 22 81442304 1618161816110 3636 t OPOQtxytt tt 2 2 2304 3614696 14650 36 t t ， 当且仅当 2 3648t ，即2 3t 时等号成立，
18、综上， 22 1650OPOQ 22解：（1）由己知得 5443 2SSSS，即 54 2aa，2q ，又 3 42111 66aaa qa qa， 所以 1 1a ，故 11 1 22 nn n a ， 将 1 11 nn nTnTn n 两边同除以1n n，可得 1 1 1 nn TT nn ，即 1 1 1 nn TT nn ， 所以数列 n T n 是首项为 1 2 1 n Tb n 、 公差为1的等差数列， 所以211 n T nn n ， 即1 n Tnn 当2n时， 1 112 nnn bTTn nnnn ， 当1n 时， 1 2b ，满足上式，故2 n bn （2）由（1）可知
19、， 1 2 21 1 2 n n n S ， 121 1 222 211212 nnn nn n Sb n c nnnnnn 所以 3243212 2222222 2 3243212 nnn n M nnn ，故 2 2 2 2 n n M n 假设存在不同的正整数p，q，r，使得2 p M ，2 q M ，2 r M 成等比数列， 则有 2 222 qrp MMM，即 2 222 222 222 qpr qpr ，即 244 2 22 22 2 qp r pr q 因为p，q，r成等差数列，所以2qpr，代入上式可得， 2 qpr 联立 2 2qpr qpr ，可得pqr，与p，q，r为不同整数矛盾， 故不存在满足条件的p，q，r使得2 p M ，2 q M ，2 r M 成等比数列
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