1、2020-2021 学年湖北省元月高一上学期期末质量检测数学试卷学年湖北省元月高一上学期期末质量检测数学试卷 （满分 150 分 时间 120 分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知集合13A
2、xx ，1,0,1,2,3B ，则AB （ ） A.0,1,2 B. 1,0,1,2,3 C.13xx D.0,1,2,3 2.命题“对任意的常数，函数 f xx是幂函数”的否定是（ ） A.对任意的常数，函数 f xx不是幂函数 B.对任意的常数，函数 f xx是幂函数 C.存在常数，函数 f xx不是幂函数 D.存在常数，函数 f xx是幂函数 3.设 2 log 0.3a ， 0.3 log0.2b ， 0.3 0.2c ，则 a，b，c 之间的大小关系是（ ） A.abc B.bca C.cab D.bac 4.函数tan 4 yx 的单调递增区间为（ ） A., 44 kkk Z B
3、. 3 , 44 kkk Z C. 3 , 44 kkk Z D. 33 , 44 kkk Z 5.已知0acb ，则下列各式一定成立的是（ ） A. 22 ab B. 22 ab C.b cbc D. 11 bc bc 6.某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过 1 个月，其 覆盖面积为 6 平方米，经过 3 个月，其覆盖面积为 13.5 平方米，该植物覆盖面积 y（单位：平方米）与经 过时间 x（xN） （单位：月）的关系有三种函数模型 x ypa（0p ，1a ） 、l o g a y mx（0m， 1a ）和ynx（0n，01）可供选择，则下
4、列说法正确的是（ ） A.应选 x ypa（0p ，1a ） B.应选logaymx（0m，1a ） C.应选ynx（0n，01） D.三种函数模型都可以 7.已知幂函数 22 44 t f xttx 在0,上单调递减，则 4f（ ） A. 1 32 B. 1 64 C.32 D.64 8.函数 1 3 cos3 1 3 x x f xx 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目 要求的.全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.已知函数 log12 a
5、 f xx（0a，且1a ） 的图象过定点, s t， 正数 m，n 满足mnst ， 则（ ） A.4mn B. 22 8mn C.4mn D. 11 1 mn 10.若将函数 sin 12 fxx 的图象先向右平移 12 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短 为原来的 1 2 （纵坐标不变） ，得到函数 g x的图象，则下列关于 g x的说法错误的是（ ） A. g x的最小正周期为2 B. g x图象的一个对称中心坐标为,0 12 C. g x的值域为 1 1 , 2 2 D. g x图象的一条对称轴方程为 4 x 11.已知 3 4cossin 2 42 ，则下列结论正确的是（
6、 ） A. 2 cossin 2 B. 4 kk Z C.tan40 D.tan1 12.已知定义在 R 上的函数 f x满足 0f xfx， 20f xf x，且当0,1x时， 2 21fxx ，若函数 log1 a yf xx在0,上至少有三个不同的零点，则下列结论正确 的是（ ） A. f x的图象关于直线1x对称 B.当4,5x时， 2 25f xx C.当2,3x时， f x单调递减 D.a 的取值范围是 2 0, 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.函数 2021 ln1 x f x x 的定义域为_. 14.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有
7、 75%的学生喜欢足球或游泳，56%的学生喜欢足球，38%的学 生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是_. 15.已知定义域为 R 的函数 f x满足 3 23f xfxx，则 f x _. 16.已知函数 3cosg xx0满足0 4 g ， 3g，且最小正周期 3 T ，则符合条 件的的取值个数为_. 四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.角的终边上有一点2,4M；角的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为 1 3 ；2为锐 角且 22 sin4 2 cos 22sin 2 .在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上
8、，并加以解答. 问题：已知角的顶点在原点 O，始边在 x 轴的非负半轴上，_.求cos 2 3 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分. 18.已知集合 2 20Ax xxm， 3 , x By yxn. （1）若集合 A 为空集，求实数 m 的取值范围： （2）当8m时，若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数 n 的取值范围. 19.体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行 走方式（以下 12 xx）. 方式一：小明一半的时间以 1m/s x的速度行走，剩余一半时间换为以 2m/s x的速度行走，平均速度为 1 v；
9、方式二：小明一半的路程以 1m/s x的速度行走，剩余一半路程换为以 2m/s x的速度行走，平均速度为 2 v. （1）试求两种行走方式的平均速度 1 v， 2 v； （2）比较 1 v， 2 v的大小. 20.已知定义域为 R 的奇函数 f x，当0 x时， 432 xx f xm，其中 m 是常数. （1）当0 x时，求 f x的解析式； （2）用定义法证明： f x在0,上单调递增. 21.已知函数 sinf xAx（0A，0，0 2 ）的部分图象如图所示，其中最高点以 及与 x 轴的一个交点的坐标分别为,1 6 ， 5 ,0 12 . （1）求 f x的解析式； （2）设 M，N 为
10、函数yt的图象与 f x的图象的两个交点（点 M 在点 N 左侧） ，且 3 MN ，求 t 的 值. 22.已知函数 44 loglog3f xxax，其中 a 为常数. （1）当2a时，求函数 f x的值域； （2）若对 1 4 4 4 ,4x ， 127f x恒成立，求实数 a 的取值范围. 数学参考答案数学参考答案 命题单位：铭师堂-上进教育 终审团队：荆门市教研室 方延伟 孝感市教科院 杨田 龙泉中学 崔冬林 孝感高中 周浩 东宝中学 马淑敏 航天高中 甘维勇 1.【答案】A 【解析】因为13Axx ，1,0,1,2,3B ，所以0,1,2AB ，故选 A. 2.【答案】C 【解析】
11、命题“对任意的常数，函数 f xx是幂函数”是全称命题，其否定是特称命题，故其否定 为“存在常数，函数 f xx不是幂函数” ，故选 C. 3.【答案】B 【解析】 22 log 0.3log 10a ， 0.30.3 log0.2log0.31b ， 0.3 00.21c，所以bca，故 选 B. 4.【答案】C 【解析】由 242 kxkk Z，可得 3 44 kxkk Z，所以函数 tan 4 yx 的单调递增区间为 3 , 44 kkk Z，故选 C. 5.【答案】D 【解析】因为0acb ， 2 a， 2 b的大小无法确定，A，B 均不正确；取1.2b，1.1c，得 2.31.32b
12、cbc ，所以 C 不正确；可得 11 0 bc ，所以 11 bc bc ，故 D 正确.故选 D. 6.【答案】A 【解析】 该植物生长蔓延的速度越来越快， 而 x ypa（0p ，1a ） 的增长速度越来越快，logaymx （0m，1a ） 和ynx（0n，01） 的增长速度越来越慢， 故应选择 x ypa（0p ，1a ） . 由题意知 1 3 6 13.5 pa pa ，解得 3 2 4 a p .所以 3 4 2 x y .故选 A. 7.【答案】B 【解析】由 22 44 t f xttx 是幂函数可知 2 441tt，即 2 450tt，解得1t 或5t ， 所以 3 f x
13、x或 3 f xx，又幂函数 f x在0,上单调递减，所以 3 f xx，所以 3 1 44 64 f ，故选 B. 8.【答案】A 【解析】因为 1 331 cos3cos3 1 331 xx xx fxxxf x ，所以函数 f x为奇函数，排除 C， D；又 1 3 cos30 1 3 f ，排除 B，故选 A. 9.【答案】ABD 【解析】由题意得，函数 f x的图象过定点2,2，2st ，所以4mn，所以 A 正确；由重要不 等式 22 2mnmn可得 2 22 216mnmn，故 22 8mn，当且仅当2mn时取等号，所 以 B 正确；由基本不等式可得， 2 4 2 mn mn ，
14、当且仅当，2mn时取等号，故 C 错误；又 11111 4 mn mnmn 11 2221 44 mnm n nmn m ，当且仅当 4 mn nm mn ，即 2mn时取等号，所以 D 正确.故选 ABD. 10.【答案】ACD 【解析】由题意可得 sin 2 6 g xx ，故函数 f x的最小正周期T，所以 A 错误；因为 sin 20 12126 g ，所以 g x的图象关于点,0 12 对称，所以 B 正确；易知 g x的值域为 1,1，所以 C 错误； 3 sin 2 4462 g ，函数取得的不是最值，故 4 x 不是对称轴，所 以 D 错误.故选 ACD. 11.【答案】BCD
15、 【解析】由 3 4cossin 2 42 可得4coscos2 4 ，即 22 2 2 cossincossin ， 即2 2 c o ss i nc o ss i nc o ss i n， 所 以cossin0或cossin2 2，由cossin2cos2 4 可知 cossin2 2不可能成立，故cossin0，即cossin，所以tan1，且 4 kk Z，故tan40.故选 BCD. 12.【答案】AB 【解析】 由 0f xfx知 f x是偶函数， 由 20f xf x知 f x是周期为2的周期函数， 因为当0,1x时， 2 21fxx ，所以 f x图象关于1x对称，所以 A 正
16、确；当4,5x时， 2 425f xf xx ， 所以 B 正确； 当2,3x时， 由周期为 2 可知 f x单调性与0,1x时 f x的单调性相同，易知当2,3x时， f x单调递增，所以 C 错误；设 log1 a g xx，则函数 log1 a yf xx在0,上至少有三个不同的零点，等价于函数 f x与 g x图象在0,上 至少有三个不同的交点，结合图象可知，则有 22gf，即log2 12 a ，解得 3 0 3 a，所 以 D 错误.故选 AB. 13.【答案】12x xx且（或填 1,22,） 【解析】由题意可得 0 10 11 x x x ，解得1x 且2x，即该函数的定义域为
17、12x xx且. 14.【答案】19% 【解析】设有%x的学生既喜欢足球又喜欢游泳，则有56%x只喜欢足球，有38%x只喜欢游泳， 56%38%75%xxx，19x . 15.【答案】 3 x 【解析】 因为 3 23f xfxx， 所以 3 23fxf xx， 同除以2得 3 13 22 fxf xx ， 两式相加可得 3 33 22 f xx，即 3 f xx. 16.【答案】5 【解析】因为 g x满足0 4 g ， 3g，且最小正周期 3 T ，所以 2 3 21 4422 T nTn Tn N ， 得06， 42 3 n ， 所以 42 06 3 n ， 解得04n. 故的取值共有
18、5 个. 17.解：方案一：选条件. 由题意可知 22 221 cos |5 24 OM ， 22 442 sin |5 24 OM . 所以 2 3 cos22cos1 5 ， 4 sin22sincos 5 . 所以cos 2cos2 cossin2 sin 333 3143 5252 34 3 10 . 方案二：选条件. 因为角的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为 1 3 ， 所以 1 cos 3 ， 2 2 2 sin1 cos 3 . 所以 2 7 cos22cos1 9 ， 4 2 sin22sincos 9 . 所以cos 2cos2 cossin2 sin 333 714
19、23 9292 74 6 18 . 方案三：选条件. 22222 sin42sin2 cos22tan2 2 cos 22sin 2cos 22sin 21 2tan 2 ， 结合2为锐角，解得 1 tan2 2 ， 所以 2 cos2 5 ， 1 sin2 5 . 所以cos 2cos2 cossin2 sin 333 2113 2255 2 515 10 . 18.解： （1）因为集合 A 为空集，所以4 40m ， 解得1m，即实数 m 的取值范围是1m m . （2）当8m时， 2 280Ax xx 24xx ， 因为 3 ,03 xn By yxnyy， 因为“xA”是“xB”的必要
20、不充分条件，所以 B 是 A 的真子集， 所以34 n ，解得 3 2log 2n ，故实数 n 的取值范围是 3 2log 2n n . 19.解： （1）易知 12 1 2 xx v . 设方式二中所用时间为 t，路程为 s， 则 12 2 12 12 2 22 x xss v ss txx xx . （2） 1212 12 12 2 2 xxx x vv xx 22 121212 1212 4 22 xxx xxx xxxx . 因为 1 0 x ， 2 0 x ，且 12 xx，所以 2 12 12 0 2 xx xx ，即 12 vv. 20.（1）解：因为 f x是定义在 R 上的
21、奇函数， 所以 00f，即 00 4320m，解得1m. 故当0 x时， 432 xx f x ， 设0 x，则0 x ，所以432 xx fx ， 而 f x是奇函数，所以 432 xx f xfx ， 所以当0 x时， 432 xx f x . （2）证明：由（1）知当0 x时， 432 xx f x ， 任取 12 ,0,x x ，且 12 xx， 则 1122 12 432432 xxxx f xf x 1212 4433 xxxx ， 因为 12 xx，所以 12 33 xx ， 12 44 xx ，所以 1212 33440 xxxx ， 所以 12 0f xf x，即 12 f
22、xf x，所以 f x在0,)上单调递增. 21.解： （1）由题意易知1A，周期 52 4 126 T ，所以2， 所以( )sin(2)f xx. 将最高点,1 6 代入( )sin(2)f xx中可得 1sin 3 ，得2() 32 kk Z，即2() 6 kk Z. 又因为0 2 ，所以 6 . 所以 sin 2 6 fxx . （2）设 0, M x t， 0 , 3 N xt ， 则 00 5 sin 2sin 2 66 xx ， 所以 00 31 sin2cos2 22 xx 00 31 sin2cos2 22 xx ， 所以 0 sin20 x ，所以 0 2()xkkZ， 即
23、 0 () 2 k xk Z， 所以 1 sin 62 tk . 22.解.（1）令 4 logtx，易知tR，于是等价转化为求函数 2 23ytt在 R 上的值域. 因为 2 2 2312yttt，所以 f x的值域为2,. （2）对 1 4 4 4 ,4x ， 127f x恒成立， 即 1 4 4 4 ,4x ， 2 44 1loglog327f xxax恒成立， 设 4 logux，因为 1 4 4 4 ,4x ，所以 4 1 log,4 4 ux . 故等价于 1 ,4 4 u ， 2 1327g uuau 恒成立， 即等价于 242 uau uu 对 1 ,4 4 u 恒成立， 令 24 F uu u ， 1 ,4 4 u ，易知 24 F uu u 在 1 ,4 4 上单调递增，所以 max 24 442 4 F uF . 令 2 G uu u ， 1 ,4 4 u ，由基本不等式可知 22 22 2G uuu uu ，当且仅当2u 时取 等号，所以 min 22 2G uG. 所以22 2a ，即实数 a 的取值范围是2,2 2 .
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