1、书书书 学年度第一学期期末教学质量抽测 高二数学试题 注意事项： 本试卷满分 分， 考试用时 分钟。答卷前， 考生务必将自己的姓名、 考生号等 填写在答题卡的相应位置上。 回答选择题时， 选出每小题的答案后， 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题 卡上， 写在本试卷上无效。 考试结束后， 只将答题卡交回。 一、 单项选择题（ 本题共小题， 每小题分， 共 分在每小题给出的四个选项中， 只有一 项是符合题目要求的） 直线狓槡 狔的倾斜角为 在数列犪狀 中，犪，犪，犪狀犪狀犪狀（狀犖 ） ， 则犪 年全国脱贫
2、攻坚取得胜利后， 我国建立了防止返贫检测和帮扶机制， 继续巩固脱贫 成果为进一步推进乡村振兴， 某市扶贫办在犃乡镇的个脱贫村与犅乡镇的个脱贫 村中， 随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶， 则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为 下列求导运算正确的是 （ 狓 狓） 狓 狓 （狓 狓） 狓 狓 （ 狓 狓） 狓（ 狓 狓）（ 狓） 狓 某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为 ， 为了用随机模拟的方法估计未 来三天中恰有两天下雪的概率， 用计算机产生之间的随机整数， 当出现随机数， 或时， 表示该天下雪， 其概率为 ， 每个随机数一组， 表示一次模拟的结果， 共产生 了如下的 组随机数 则据此估
3、计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为 ）页 共（页 第题试学数二高 已知圆犆： （狓犪） （ 狔犪） （ 犪） 与圆犆：狓 狔 狓狔没有公共点， 则实 数犪的取值范围为 （，）（，） （，）（，）（，）（，）（，） 设犛狀是等差数列犪狀 的前狀项和， 若犛 犛 ， 则 犛 犛 如图， 在四棱锥犘犃 犅 犆 犇中， 底面犃 犅 犆 犇为平行四边形， 且 犃 犅犃 犘 ，犃犇，犅 犃犇犅 犃 犘犇犃 犘 ，犈，犉 分别为犘 犅， 犘 犆上的点， 且 犘 犈 犈 犅， 犘 犉 犉 犆， 则 犈 犉 槡 槡 二、 多项选择题（ 本题共小题， 每小题分， 共 分在每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题
4、目要求全部选对的得分， 有选错的得分， 部分选对的得分） 已知五个数，狆，犿，狇， 成等比数列， 则曲线狓 狆 狔 犿 的离心率可以是 槡 槡 槡 槡 关于曲线狔 狓狓的以下描述， 正确的是 该曲线的范围为：狔犚，狓 该曲线既关于狓轴对称， 也关于狔轴对称 该曲线与直线狓狔有两个公共点 该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为 以下命题正确的是 若狆是平面的一个法向量， 直线犫上有不同的两点犃，犅， 则犫 的充要条件是 狆 犃 犅 已知犃，犅，犆三点不共线， 对于空间任意一点犗， 若 犗 犘 犗 犃 犗 犅 犗 犆， 则犘， 犃，犅，犆四点共面 已知犪（，） ，犫（，） ， 若犽 犪犫与犪犫垂直
5、， 则犽 已知犃 犅 犆的顶点坐标分别为犃（，） ，犅（，） ，犆（，） ， 则犃 犆边上的 高犅 犇的长为槡 ）页 共（页 第题试学数二高 已知点犘 ，（） ，犗为坐标原点，犃，犅为曲线犆：狔狓 上的两点， 犉为其焦点下列 说法正确的是 点犉的坐标为 ，（） 若犘为线段犃 犅的中点， 则直线犃 犅的斜率为 若直线犃 犅过点犉， 且犘 犗是犃 犉与犅 犉的等比中项， 则犃 犅 若直线犃 犅过点犉， 曲线犆在点犃处的切线为犾， 在点犅处的切线为犾， 则犾犾 三、 填空题（ 本题共小题， 每小题分， 共 分） 曲线狔 狓在狓处的切线方程为 如图， 矩形犃 犅 犆 犇中，犃 犅，犃犇，犈是犅 犆的中
6、点， 将三角形犃 犅 犈沿犃 犈翻折， 使 得平面犃 犅 犈和平面犃 犈 犆 犇垂直， 如图， 连接犅 犇， 则异面直线犅 犇和犃 犈所成角的余 弦值为 下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯在图中个大正方形中， 着色的正方 形的个数依次构成一个数列 犪狀 的前项， 则数列犪狀 的一个通项公式为 已知点犉（，） ， 直线犾：狓， 动圆犘过点犉且与直线犾相切， 其圆心犘的轨迹为曲 线犆， 犆上的动点犙到狔轴的距离为犱， 到直线犾：狓狔的距离为犱， 则犱犱 的最小值为 ）页 共（页 第题试学数二高 四、 解答题（ 本题共小题， 共 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） （ 分） 已
7、知圆犆的圆心在直线狔狓上， 且经过点犕（ ，） 和犖（，） （ ） 求圆犆的标准方程； （ ） 若过点犘（，） 的直线犾与圆犆交于犃，犅两点， 且犃 犅槡 ， 求直线犾的方程 （ 分） 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备， 降低处理成本， 减少土地资源的消耗， 具有社会、 经济、 生态等多方面的效益， 是关乎生态文明建设全局的大事为了普及垃圾分 类知识， 某学校举行了垃圾分类知识考试， 试卷中只有两道题目， 已知甲同学答对每题的概 率都为狆， 乙同学答对每题的概率都为狇（ 狆狇） ， 且在考试中每人各题答题结果互不影响 已知每题甲， 乙同时答对的概率为 ， 恰有一人答对的概率为 （
8、） 求狆和狇的值； （ ） 试求两人共答对道题的概率 （ 分） 已知数列 犪狀 的前狀项和为犛狀， 且犛狀犪狀（狀犖 ） （ ） 求数列犪狀 的通项公式； （ ） 从下面两个条件中选择一个填在横线上， 并完成下面的问题 犫，犫；犫是犫和犫的等比中项，犜 若公差不为的等差数列 犫狀 的前狀项和为犜狀， 且 ， 求数列 犜狀 狀 犪 狀 的前狀项和犃 狀 注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分 （ 分） 如图， 在棱长均为的四棱柱犃 犅 犆 犇犃 犅犆犇中，犇 犇平面犃 犅 犆 犇，犅 犃犇 ， 犈为线段犃犇的中点 （ ） 求平面犅 犇犇与平面犅 犇犈夹角的余弦值； （ ） 在线段犅犆
9、上是否存在点犉， 使得犇 犉平面犅 犇犈？ 若存在， 请确定点犉的位置； 若不存在， 请说明理由 ）页 共（页 第题试学数二高 （ 分） 已知椭圆犆： 狓 犪 狔 犫 （ 犪犫） 的离心率为槡 ， 且经过点 ， 槡 （） （ ） 求椭圆犆的方程； （ ） 经过点犕（，） 的直线犾与椭圆犆交于不同的两点犃，犅，犗为坐标原点， 若犗 犃 犅的 面积为 槡 ， 求直线犾的方程 （ 分） 森林资源是全人类共有的宝贵财富， 其在改善环境， 保护生态可持续发展方面发挥着重 要的作用 年 月 日， 习近平主席在全球气候雄心峰会上通过视频发表题为 继往开来， 开启全球应对气候变化的新征程 的重要讲话， 宣布“
10、 到 年， 我国森 林蓄积量将比 年增加 亿立方米”为了实现这一目标， 某地林业管理部门着 手制定本地的森林蓄积量规划经统计， 本地 年底的森林蓄积量为 万立方米， 森林每年以 的增长率自然生长， 而为了保证森林通风和发展经济的需要， 每年冬天 都要砍伐掉狊万立方米（ 狊 ） 的森林设犪 狀为自 年开始， 第狀年末的森林蓄 积量（ 狀犖 ） （ ） 请写出一个递推公式， 表示犪狀与犪狀之间的关系； （ ） 将（） 中的递推公式表示成犪狀犽狉（犪狀犽） 的形式， 其中狉，犽为常数； （ ） 为了实现本地森林蓄积量到 年底翻两番的目标， 每年的砍伐量狊最大为多少万 立方米？（ 精确到万立方米） （
11、 可能用到的数据： （ ） ， （ ） ， （ ） ） ）页 共（页 第题试学数二高 书书书 学年度第一学期期末质量抽测 高二数学答案及评分标准 一、 单项选择题： ： ： 二、 多项选择题： 三、 填空题： 狔狓 槡 犪狀 狀 槡 四、 解答题： 解： （） 设圆心犆的坐标为（犪，犪） ， 由题意可得，犆犕犆犖， 所以（ 犪） （ 犪）槡 （ 犪） （ 犪）槡 ， 解之得， 犪 分 ? 所以圆心坐标为犆（ ，） ， 半径狉犆犕 分 ? 所以圆犆的标准方程为狓 （ 狔） 分 ? （ ） 若直线犾的斜率不存在， 直线犾的方程为狓 ， 此时犃 犅槡 ， 符合题意分 ? 若直线犾的斜率存在， 设直线
12、犾的方程为狔犽（ 狓） ， 即犽 狓狔犽， 因为犃 犅 槡 ， 所以圆心犆到直线犾的距离犱（槡）槡 ， 即犽犽 犽 槡 ， 解之得， 犽 所以直线犾的方程为 狓狔 分? 综上所述， 直线犾的方程为狓和 狓 狔 分 ? 解： （） 设犃 甲同学答对第一题 ，犅 乙同学答对第一题 ， 则犘（犃）狆，犘（犅）狇 设犆 甲、 乙二人均答对第一题 ， 犇 甲、 乙二人中恰有一人答对第一题 ， 则犆犃 犅， 犇犃犅犃 犅 由于二人答题互不影响， 且每人各题答题结果互不影响， 所以犃与犅相互独立，犃犅与 犃 犅相互互斥， 所以犘（犆）犘（犃 犅）犘（犃）犘（犅） ，犘（犇）犘（犃犅犃 犅） 犘（犃犅）犘（犃
13、 犅）犘（犃）犘（犅）犘（犃）犘（犅）犘（犃） （ 犘（犅） ）（ 犘（犃） ）犘（犅） 由题意可得 狆 狇 ， 狆（狇）狇（狆） 烅 烄 烆 ， 分? 即 狆 狇 ， 狆狇 烅 烄 烆 解得 狆 ， 狇 烅 烄 烆 ， 或 狆 ， 狇 烅 烄 烆 由于狆狇， 所以狆 ， 狇 分? ）页 共（页 第案答考参学数二高 （ ） 设犃犻 甲同学答对了犻道题 ，犅犻 乙同学答对了犻道题 ，犻， 由题意得， 犘（犃） ， 犘（犃） ， 犘（犅） ， 犘（犅） 分? 设犈 甲乙二人共答对道题 ， 则犈犃犅犃犅 由于犃 犻和犅犻相互独立，犃犅与犃犅相互互斥， 所以犘（ 犈）犘（犃犅）犘（犃犅）犘（犃）犘（犅
14、）犘（犃）犘（犅） 所以， 甲乙二人共答对道题的概率为 分 ? 解： （） 当狀时，犪犛犪， 可得犪分 ? 当狀时， 犛狀犪狀， 所以犪狀犛狀犛狀犪狀犪狀， 即犪 狀犪狀（狀）分 ? 因为犪 ， 所以数列犪狀 是以为首项，为公比的等比数列， 所以犪 狀 狀 分 ? （ ） 设数列犫狀 的公差为犱 若选择， 有 犫犱， 犫犱 烅 烄 烆 解得犫 犱 分 ? 所以犜狀狀狀（ 狀） 狀 狀分 ? 若选择， 有犫 犫犫， 即（犫犱） 犫（犫 犱） ， 即犫犱犱 因为犱 ， 所以犫 犱分 ? 所以 犫 犱 犱， 解得犫犱， 所以犜狀狀狀（ 狀） 狀 狀分? 由（ ） 得，犪狀 狀， 所以犜狀 狀 犪狀
15、狀 狀 狀 狀 狀 狀 （狀） 狀， 分 ? 所以犃狀 狀 狀（ 狀） 狀， 犃狀 狀 狀（ 狀） 狀 两式相减， 得犃 狀 （） 狀 （狀） 狀 （ ） 狀 （狀） 狀 狀 狀， 所以犃狀狀 狀 分? ）页 共（页 第案答考参学数二高 解： 连接犃 犆， 与犅 犇交于点犗， 连接犃犆，犅犇， 交于点犗， 连接犗 犗， 因为犇犇平面 犃 犅 犆 犇， 所以犗 犗平面犃 犅 犆 犇由题意得四边形犃 犅 犆 犇为菱形， 所以犗 犃，犗 犅，犗 犗两 两垂直， 以犗为坐标原点， 犗 犃，犗 犅，犗 犗所在直线分别为狓轴、狔轴、狕轴， 建立如图所示 的空间直角坐标系 分 ? （ ） 由题意， 得犅（，
16、） ，犇（，） ，犈（槡，） ， 所以 犈 犅（槡 ，） ，犈 犇 （槡 ，）分 ? 设平面犅 犇犈的法向量为狀（ 狓，狔，狕） ， 则 狀 犈 犅， 狀犈 犇 所以 槡 狓狔， 槡 狓狔狕 烅 烄 烆 令狓 槡 ， 则狔，狕 所以狀（ 槡，） 是平面犅 犇犈的一个法向量 因为犗 犃平面犅 犇犇， 所以平面犅 犇犇的一个法向量为犿（ ，）分 ? 设平面犅 犇犇与平面犅 犇犈夹角为， 则 狀，犿 狀犿 狀 犿 槡 槡 槡 即平面犅 犇犇与平面犅 犇犈夹角的余弦值为槡 分 ? （ ） 假设在线段犅犆上存在点犉， 使得犇 犉平面犅 犇犈， 设 犆 犉 犆 犅 （， ） ， 因为犇（ ， ，） ，犆（
17、槡 ，） ，犅（，） ， 所以 犆 犅（槡 ，） ， 犇 犆（槡 ，） 犆 犉 犆 犅（槡 ，）（槡 ，） 所以 犇 犉 犇 犆 犆 犉（槡 ，）（槡 ，）（槡 （） ，（） ，） 因为犇 犉平面犅 犇犈， 所以 犇 犉狀， 即 犇 犉狀 分? 所以（槡 （） ，（） ，） （槡，）， 即 解得 ， 分? 所以在线段犅犆上存在点犉， 使得犇 犉平面犅 犇犈， 此时点犉为线段犅犆的靠近点犆 的三等分点 分 ? 解： （） 因为椭圆的离心率为槡 ， 所以犫 犪 槡 （ ） 又因为椭圆经过点 ， 槡 （） ， 所以有 犪 犫 分 ? 联立可得， 犪 ， 犫 ， 所以椭圆犆的方程为狓 狔 分? （ ）
18、 由题意可知， 直线犾的斜率犽存在， 设直线犾的方程为狔犽 狓 由 狔犽 狓， 狓 狔 烅 烄 烆 消去狔整理得， （ 犽 ） 狓 犽 狓 因为直线犾与椭圆犆交于不同的两点犃， 犅， 所以（ 犽） （ 犽 ） （犽 ） ， 即犽 ， 所以犽 分? ）页 共（页 第案答考参学数二高 设犃（ 狓，狔） ，犅（狓，狔） ， 则狓狓 犽 犽 ， 狓狓 犽 分? 由题意得，犗 犃 犅的面积犛 犗犕狓狓 狓狓 （ 狓狓） 狓狓 槡 ， 即犛（ 犽 犽 ） 犽槡 槡 犽 槡 犽 分? 因为犗 犃 犅的面积为 槡 ， 所以 槡 犽 槡 犽 槡 ， 即 犽 槡（犽 ） 分 ? 化简得， 犽 犽 ， 即（ 犽 ）
19、 （ 犽 ） ， 解得犽 或犽 ， 均满足 ， 所以犽槡 或犽 槡 所以直线犾的方程为狔槡 狓或狔 槡 狓 分 ? 解： （） 由题意， 得犪 （ ）狊 狊，分? 并且犪 狀犪狀（ ）狊 犪狀狊 分 ? （ ） 将犪狀犽狉（犪狀犽） 化成犪狀狉 犪狀犽狉 犽， 比较的系数， 得 狉 ， 犽狉 犽狊 烅 烄 烆 ， 解得 狉 ， 犽狊 烅 烄 烆 分 ? 所以， （ ） 中的递推公式可以化为犪狀狊 （ 犪狀狊）（狀犖 ） 分? （ ） 因为犪狊 狊， 且狊（ ， ） ， 所以犪狊， 由（） 可知犪狀狊， 所以 犪狀狊 犪狀狊 （ 狀犖 ） ， 即数列 犪狀狊 是以 狊为首项， 为公比的等比数列， 其通项公式为： 犪狀狊（ 狊） （ ） 狀 ， 所以犪 狀狊（ 狊） （ ） 狀 分 ? 到 年底的森林蓄积量为该数列的第 项， 即犪 狊（ 狊） （ ） 分? 由题意， 森林蓄积量到 年底要达到翻两番的目标， 所以犪 ， 即狊（ 狊） （ ） 即狊（ 狊） 狊 狊 解得狊 所以每年的砍伐量最大为 万立方米 分? ）页 共（页 第案答考参学数二高
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