1、1 人教版八年级人教版八年级下下数学数学全册全册知识点知识点 二次根式 1 二次根式：一般地，式子)0a (,a叫做二次根式. 注意： （1）若0a 这个条件不成立，则 a不是二次根式； （2）a是一个重要的非负数，即；a 0. 2重要公式： （1）)0a (a)a( 2 ,（2） )0a (a )0a (a aa2 ；注意使用)0a ()a(a 2 . 3积的算术平方根：)0b,0a (baab，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本 章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4二次根式的乘法法则： )0b,0a (abba. 5二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比
2、大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6商的算术平方根：)0b,0a ( b a b a ，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7二次根式的除法法则： （1）)0b,0a ( b a b a ； （2）)0b, 0a (baba； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使 分母变为整式. 8常用分母有理化因式： aa 与，baba与， bnambnam与，它们也叫互为有理化 因式. 9最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 被开
3、方数的因数是整数，因式是整式， 被开方数中 不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于 2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10二次根式化简题的几种类型： （1）明显条件题； （2）隐含条件题； （3）讨论条件题. 11同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公 式
4、和运算律在二次根式的混合运算中都适用； 2 （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为 分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 勾股定理勾股定理 勾股定理勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 222 abc 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角 边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学 家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现 并证明了直
5、角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下常见方法如下： 方法一：4 EFGH SSS 正方形正方形ABCD， 22 1 4() 2 abbac，化简可证 222 abc 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 22 1 42 2 Sabcabc 大正方形面积为 222 ()2
6、Sabaabb 所以 222 abc 方法三： 1 () () 2 Sabab 梯形 ， 2 11 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 ，化简得证： 222 abc .勾股定理的适用范围勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长， 求第三边在ABC中，90C， 则 22 cab， 22 bca， 22 acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决
7、一些实际问题 .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足 222 abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的 可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 22 ab与较长边的平方 2 c作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；若，时，以， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若，时， 以，为三边的三角形是锐角三角形； 定理中， ， 及只是一种表现形式， 不可认为是唯一的， 如若三角形三边长， ， 满足， 那么以，为三边的三角形是直角三角形，但
8、是为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角 三角形 .勾股数勾股数 222 abcabc 222 abc abc abc 222 abcabc 222 acb abcb b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D CB A 3 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中， ， ， 为正整数时，称， ， 为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等 勾股定理的应用勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定
9、 理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算， 应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程 中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到 错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定 一
10、个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形： 1010、互逆命题的概念互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个 叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 四边形 1四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于 360； （2）四边形的外角和等于 360. 2多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180； （2）任意多边形的外角和等于 360. 3平行四边形的性质： 因为 ABCD 是平行四边形 .5 4 3 2 1 ）邻角互补（ ）对角线互相
11、平分；（ ）两组对角分别相等；（ ）两组对边分别相等；（ ）两组对边分别平行；（ 222 abcabcabc 3,4,56,8,105,12,137,24,25 A B C 30 D C BA A DB C A BC D 12 3 4 A BC D A B D O C 4 4.平行四边形的判定： 是平行四边形 ）对角线互相平分（ ）一组对边平行且相等（ ）两组对角分别相等（ ）两组对边分别相等（ ）两组对边分别平行（ ABCD 5 4 3 2 1 . 5.矩形的性质： 因为 ABCD 是矩形 .3 ;2 ;1 ）对角线相等（ ）四个角都是直角（ 有通性）具有平行四边形的所（ 6. 矩形的判定：
12、 边形）对角线相等的平行四（ ）三个角都是直角（ 一个直角）平行四边形（ 3 2 1 四边形 ABCD 是矩形. 7菱形的性质： 因为 ABCD 是菱形 .3 2 1 角）对角线垂直且平分对（ ）四个边都相等；（ 有通性；）具有平行四边形的所（ 8菱形的判定： 边形）对角线垂直的平行四（ ）四个边都相等（ 一组邻边等）平行四边形（ 3 2 1 四边形四边形 ABCD 是菱形. 9正方形的性质： 因为 ABCD 是正方形 .3 2 1 分对角）对角线相等垂直且平（ 角都是直角；）四个边都相等，四个（ 有通性；）具有平行四边形的所（ A B D O C A D B C A D B C A D B
13、C O A D B C O 5 （1） （2） 10正方形的判定： 一组邻边等矩形）（ 一个直角）菱形（ 一个直角一组邻边等）平行四边形（ 3 2 1 四边形 ABCD 是正方形. (3)ABCD 是矩形 又AD=AB 四边形 ABCD 是正方形 11等腰梯形的性质： 因为 ABCD 是等腰梯形 .3 2 1 ）对角线相等（ ；）同一底上的底角相等（ 两底平行，两腰相等；）（ 12等腰梯形的判定： 对角线相等）梯形（ 底角相等）梯形（ 两腰相等）梯形（ 3 2 1 四边形 ABCD 是等腰梯形 (3)ABCD 是梯形且 ADBC AC=BD ABCD 四边形是等腰梯形 13三角形中位线定理：
14、三角形的中位线平行第三边，并且等于它 的一半. 14梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底 和的一半. 一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正 CD A BAB CD O A BC D O A BC D O CD A B E D CB A EF D A B C 6 方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线. 二 定理：中心对称的有关定理 1关于中心对称的两个图形是全等形. 2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3如果两个图形的对应点连线都经过
15、某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三 公式： 1S 菱形 = 2 1 ab=ch.（a、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为 c 边上的高） 2S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为 a 上的高） 3S 梯形 = 2 1 （a+b）h=Lh.（a、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 四 常识： 1若 n 是多边形的边数，则对角线条数公式是： 2 )3n(n . 2规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”. 3如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系. 4常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边
16、形、等腰梯形 ；仅是中心对称 图形的有：平行四边形 ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 .注意：线 段有两条对称轴. 5梯形中常见的辅助线： 平移与旋转 平移与旋转平移与旋转 旋转旋转 1.旋转的定义定义： 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 2.旋转的性质性质： 旋转后得到的图形与原图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。 中心对称中心对称 A BE F D E C A B D C A B D C A B D C 中点 中点 E F FA B D C A B D C A B D C A B D C 中点 中点 G
17、 FE E E E 平行四边形 矩 形 菱 形 正 方 形 7 1.中心对称的定义定义： 如果一个图形绕某一点旋转 180 度后能与另一个图形重合，那么这两个图形叫做中心对称。 2.中心对称图形的定义定义： 如果一个图形绕一点旋转 180 度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。 3.中心对称的性质性质： 在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 轴对称轴对称 1.轴对称的定义定义： 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对 称图形，这 条直线叫做对称轴。 2.轴对称图形的性质性质： 角的平分线上的点到这个角的两边的
18、距离相等。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 等腰三角形的“三线合一” 。 3.轴对称的性质性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。 图形变换图形变换 图形变换的定义定义：图形的平移、旋转、和轴对称统称为图形变换。 函数及其相关概念函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就 说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式
19、。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系， 有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示， 这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 正比例函数和
20、一次函数正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果bkxy（k，b 是常数，k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，kxy （k 为常数，k0）这时，y 叫做 x 的正比例函数。 2、一次函数的图像 8 所有一次函数的图像都是一条直线。 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy 的图像是经过原点（0，0）的直线。 （如下 图） 4. 正比例函数的性质 一般地，正比例函数kxy 有下列性质： （1）当 k0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大
21、； （2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而 增大。 b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而 增大。 K0 图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增 大而减小 9 y 0 x b0 y 0 x 图像经过二、三、四象限，y 随 x 的增 大而减小。 注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 方差与频数分布 知识框架图知识框架图 极差 方差 用计算器计算 标准差 比较事物的有关性质 用样本估计总体的有关特征 频数 频率 频数分布表 频数分布图 数据的波动 一、
22、极差一、极差 1、一组数据中的最大值减去最小值所得的差，叫做这组数据的极差； 2、极差=数据中的最大值数据中的最小值。 二、方差二、方差 1、 在一组数据 n xxxx, 3, 21 中， 各数据与他们的平均数x的差的平方的平均数， 叫做这组数据的方差， 常用 2 s来 方 差 与 频 数 分 布 数 据 的 波 动 数 据 的 分 布 10 表示，即：;)()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 2、方差的三种公式： 基本公式：;)()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 化简公式：)( 1 2 22 2 2 1 2 xnxxx n s n 化简公
23、式的变形公式： 2 22 2 2 1 2 )( 1 xxxx n s n 3、设化简后的新数据组 2 1 , n xxx的方差为, 2 s设 n xxxx, 3, 21 的方差为 2 s（其中 为常数aniaxx ii , 2 , 1, ） ，则 2 2 ss； 4、方差的作用：用于表述一组数据波动的大小，方差越小，该数据波动越小，越稳定。 三、标准差三、标准差 1、方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，即： 22 2 2 1 1 xxxxxx n n ； 2、标准差用于描述一组数据波动的大小； 3、标准差的单位与原数据的单位相同。 四、方差与标准差的关系四、方差与标准差的关系 1、 2 s； 2、与 2 s的作用相同、单位不同。 五、频数分布与频数分布图五、频数分布与频数分布图 1、数据的分组整理 组限、组距和组数： 把一套数据分成若干个小组，累计各小组的数据个数。期中每个分数段是一个“组区间” ，分数段两端 的数值是“组限” ，分数段的最大值与最小值的差是“组距” ，分数段的个数是组数”. 2、频数、频率与频数分布表、频数分布图 每个小组的数据的个称为这组数据的频数； 频率：每个小组的频数与数据总个数的比值称为这组的频率； 频率的计算公式： 每组的频率=这组的频数/数据的总个数 各小组的频数之和等于数据总数；各小组的频数之和等于 1.
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