1、2020-2021 学年山西省朔州市怀仁市高一(上)期末数学试卷学年山西省朔州市怀仁市高一(上)期末数学试卷 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知全集 Ux|x|2,集合 Px|log2x1,则UP( ) A(2,0 B(2,1 C(0,1) D1,2) 2下列函数中,既是偶函数又在(0,+)上是单调递增的是( ) Aycosx Bye |x| Cyln|x| Dyx3 3非空数集 Aa1,a2,a3,an(nN*)中,所有元素的算术平均数记为 E(A),即 E(A) 若非空数集 B 满足下列两个条件: BA; E(B)E(A),则称 B 为 A 的一个“保均值子集” 据
2、此,集合1,2,3,4,5的“保均值子集”有( ) A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 4以下四个命题中,正确的是( ) A在定义域内,只有终边相同的角的三角函数值才相等 B C若 是第二象限的角,则 sin20 D第四象限的角可表示为 5已知实数 a,b 满足 2a3,3b2,则函数 f(x)ax+xb 的零点所在的区间是( ) A(2,1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 6若 sin(),则 cos( +2)( ) A B C D 7函数 f(x)的图象大致为( ) A B C D 8 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在 (, 0) 上单调递增, 设 a
3、f (log45) , cf(0.20.5),则 a,b,c 的大小关系( ) Acba Bbac Cbca Dabc 9已知 2+5cos2cos,cos(2+),(0,),(,2),则 cos 的值为( ) A B C D 10函数 f(x)Asin(x+) (其中 A0,|)的部分图象如图所示,为得到 的图象,可以将函数 f(x)的图象( ) A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 11已知函数 在区间上是增函数, 且在区间(0,)上恰好取得一次最大值,则 的取值范围是( ) A B C D 12已知函数 f(x)|log3(x1)|()x
4、1 有 2 个不同的零点 x1、x2,则( ) Ax1 x 21 Bx1 x 2x1+x2 Cx1 x 2x1+x2 Dx1 x 2x1+x2 二填空题(共二填空题(共 4 小题)小题). 13已知,(0,),则 sin2 14已知函数,若 f(x)的最小值为 f(2),则实数 a 的取值范围是 15设 x1满足 2x+lnx3,x2满足 ln(1x)2x1,则 x1+x2 16 设 f (x) , 方程 f (x) m 有四个不相等的实根 xi(i1, 2, 3, 4) , 则 x1 2+x 2 2+x 3 2+x 4 2 的取值范围为 三解答题三解答题 17已知函数 h(x)(m25m+1
5、)xm+1为幂函数,且为奇函数 (1)求 m 的值; (2)求函数在的值域 18(1)已知角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点,求 的值; (2)求值 19已知函数 (1)求 f(x)的定义域与最小正周期及对称轴; (2)求函数 f(x)在上的值域; (3)讨论 f(x)在区间上的单调性 20 (1)已知函数 g(x)(a+1) x2+1(a0)的图象恒过定点 A,且点 A 又在函数 (x+a) 的图象上,求不等式 g(x)3 的解集; (2)已知1x1,求函数+2 的最大值和最小值 21已知函数是奇函数 (1)若函数,x(1,1),求; (2)在条件(1)下,若 g
6、(m)g(n),其中 m,n(1,1),试比较 m,n 的大小 (3)当时,不等式 f(x)+t24x+2t 恒成立,求 t 的取值范围 22某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所,现有一块矩形 ABCD 草坪如图所示,已知:AB120 米, 米, 拟在这块草坪内铺设三条小路 OE, EF 和 OF, 要求点 O 是 AB 的中点, 点 E 在边 BC 上, 且EOF90 (1)设BOE,试求OEF 的周长 l 关于 的函数解析式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 300 元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总 费用 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选
7、择题(共 12 小题)小题). 1已知全集 Ux|x|2,集合 Px|log2x1,则UP( ) A(2,0 B(2,1 C(0,1) D1,2) 解:全集 Ux|x|2(2,2),集合 Px|log2x1(0,2) UP(2,0 故选:A 2下列函数中,既是偶函数又在(0,+)上是单调递增的是( ) Aycosx Bye |x| Cyln|x| Dyx3 解:根据余弦函数的性质可知,ycosx 在(0,+)上不单调,不符合题意; 当 x0 时,ye|x|ex在(0,+)上单调递减,不符合题意; 当 x0 时,yln|x|lnx 在(0,+)上单调递增,且 yln|x|为偶函数,符合题意; y
8、x3为奇函数,不符合题意 故选:C 3非空数集 Aa1,a2,a3,an(nN*)中,所有元素的算术平均数记为 E(A),即 E(A) 若非空数集 B 满足下列两个条件: BA; E(B)E(A),则称 B 为 A 的一个“保均值子集” 据此,集合1,2,3,4,5的“保均值子集”有( ) A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 解:非空数集 A1,2,3,4,5中,所有元素的算术平均数 E(A)3, 集合 A 的“保均值子集”有:3,1,5,2,4,3,1,5,3,2,4,1,5,2,4,1,2, 3,4,5共 7 个; 故选:C 4以下四个命题中,正确的是( ) A在定义域内,只有终边相同
9、的角的三角函数值才相等 B C若 是第二象限的角,则 sin20 D第四象限的角可表示为 解:对于 A:在定义域内,终边不相同的角的三角函数值可能相等,故 A 错误; 对于 B:,故 B 错误; 对于 C:若 是第二象限的角,所以 2(4k+,4k+2),则 sin20,故 C 正确; 对于 D 第四象限角可表示为:,故 D 错误; 故选:C 5已知实数 a,b 满足 2a3,3b2,则函数 f(x)ax+xb 的零点所在的区间是( ) A(2,1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 解:实数 a,b 满足 2a3,3b2, alog231,0blog321, 函数 f(x)ax+xb
10、, f(x)(log23)x+xlog32 单调递增, f(0)1log320 f(1)log321log3210, 根据函数的零点判定定理得出函数 f(x)ax+xb 的零点所在的区间(1,0), 故选:B 6若 sin(),则 cos( +2)( ) A B C D 解:cos(+), cos2(+)2cos2(+)121 故选:D 7函数 f(x)的图象大致为( ) A B C D 解:函数的定义域为x|x0 且 x1, f(x)f(x),则函数为奇函数,图象关于原点对称, 当 x1 时,f(x)0,排除 B,C, 当 0 x1 时,ln|x|0,则 f(x)0,排除 A, 故选:D 8
11、 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在 (, 0) 上单调递增, 设 af (log45) , cf(0.20.5),则 a,b,c 的大小关系( ) Acba Bbac Cbca Dabc 解:f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(,0)上单调递增, f(x)在(0,+)上单调递减,且 bf(log23), ,00.20.50.201, , ,即 bac 故选:B 9已知 2+5cos2cos,cos(2+),(0,),(,2),则 cos 的值为( ) A B C D 解:因为 2+5cos22+5(2cos21)cos, 整理可得:10cos2cos30, 解得 cos
12、,或, 又因为, 所以 cos,可得 sin, , 可得 cos22cos21,sin22sincos , 因为, 所以 2+(2,2+), 故 sin(2+), 所以 coscos(2+)2cos(2+)cos2+sin(2+)sin2()+ 故选:B 10函数 f(x)Asin(x+) (其中 A0,|)的部分图象如图所示,为得到 的图象,可以将函数 f(x)的图象( ) A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 解:由函数 f(x)Asin(x+)(其中 A0,|)的图象, 可得 A1,即 求得 2, f()sin(2+)1, 即 sin(+
13、)1, +2k,kZ, 即 +2k,kZ, |, , f(x)2sin(2x+)由图可知, , 所以把 f(x)的图象向右平移个单位得到 g(x)的图象 故选:D 11已知函数 在区间上是增函数, 且在区间(0,)上恰好取得一次最大值,则 的取值范围是( ) A B C D 解:知函数, sinx1+cos(x), sinx(1+sinx)sin2x, sinx, 令(kZ),整理得 x(kZ), 由于在区间(0,)上函数恰好取得一次最大值, 所以, 解得 令(kZ), 解得(kZ), 由于函数在区间上是增函数, 故,解得 综上所述: 故选:A 12已知函数 f(x)|log3(x1)|()x
14、1 有 2 个不同的零点 x1、x2,则( ) Ax1 x 21 Bx1 x 2x1+x2 Cx1 x 2x1+x2 Dx1 x 2x1+x2 解:f(x)|log3(x1)|()x1 有两个零点 x1,x2, 即 y|log3(x1)|与 y3x+1 有两个交点 由题意 x0,分别画 y3x+1 和 y|log3(x1)|的图象, 发现在(1,2)和(2,+)有两个交点 不妨设 x1在(1,2)里 x2在(2,+)里, 那么 在(1,2)上有 1+3x1log3(x11), 即13x1log3(x11) 在(2,+)上有 1+3x2log3(x21) 、相加有 3x23x1log3(x11)
15、(x21), x2x1,3 x2 3 x1,即 3x2 3 x10, log3(x11)(x21)0, 0(x11)(x21)1,x1x2x1+x2, 故选:D 二填空题二填空题 13已知,(0,),则 sin2 解:,两边平方得:sin2+2sincos+cos21+sin2, sin2 故答案为: 14已知函数,若 f(x)的最小值为 f(2),则实数 a 的取值范围是 解:函数, 当 x1 时,则有, 当且仅当 x2 时取等号,此时 f(x)minf(2)4+a, 当 x1 时,f(x)x22ax+9(xa)2+9a2, 因为 f(x)的最小值为 f(2)4+a, 当 a1 时,则有 f
16、(1)122a+94+a,解得 1a2; 当 a1 时,则有 9a24+a,解得; 综上可得,实数 a 的取值范围是 故答案为: 15设 x1满足 2x+lnx3,x2满足 ln(1x)2x1,则 x1+x2 1 解:根据题意,2x1+lnx13,ln(1x2)2x21, 令 1x2t,则 2t+lnt3, f(x)2x+lnx 在(0,+)上单调递增, tx1, x1+x21 故答案为:1 16 设 f (x) , 方程 f (x) m 有四个不相等的实根 xi(i1, 2, 3, 4) , 则 x1 2+x 2 2+x 3 2+x 4 2 的取值范围为 (20,20.5) 解:2x4 时,
17、f(x)f(4x), f(x)在(2,4)与(0,2)上的图象关于 x2 对称 做出图象如右:不防令 x1x2x3x4, 可得 x1+x4x2+x34,lnx1lnx2,x1x21 , x12+x22+x32+x42 ,x2(1,2), 令 则原式化为:, 其对称轴 t2,开口向上,故 h(t)在(2,)递增, 20h(t)20.5, x12+x22+x32+x42的取值范围是(20,20.5) 故答案为:(20,20.5) 三解答题三解答题 17已知函数 h(x)(m25m+1)xm+1为幂函数,且为奇函数 (1)求 m 的值; (2)求函数在的值域 解:(1)函数 h(x)(m25m+1)
18、xm+1为幂函数, m25m+11,解得 m0 或 5, 当 m0 时,h(x)x 是奇函数,符合题意, 当 m5 时,h(x)x6是偶函数,不符合题意, 所以 m 的值为 0 (2)由(1)可得 g(x)x+, 令 t,则 x, ,012x3, 0 , g(t)+t (0), g(t)在0,1上单调递增,在1,上单调递减, g(t)maxg(1)1, 又g(0),g(),g(t)min, 函数在的值域为,1 18(1)已知角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点,求 的值; (2)求值 解:(1)由题意得:, , , , , (2) 19已知函数 (1)求 f(x)的定
19、义域与最小正周期及对称轴; (2)求函数 f(x)在上的值域; (3)讨论 f(x)在区间上的单调性 解:(1), ,即函数的定义域为, 则 , 则函数的周期,对称轴为; (2), 当时, , 函数 f(x)的值域为; (3)由, 得, 即函数的增区间为, 当 k0 时,增区间为, ,此时, 由, 得, 即函数的减区间为, 当 k1 时,减区间为, ,此时, 即在区间上,函数的减区间为,增区间为 20 (1)已知函数 g(x)(a+1) x2+1(a0)的图象恒过定点 A,且点 A 又在函数 (x+a) 的图象上,求不等式 g(x)3 的解集; (2)已知1x1,求函数+2 的最大值和最小值
20、解:(1)由题意知定点 A 的坐标为(2,2) 2,解得 a1 g(x)2x2+1 由 g(x)3 得,2x2+13 2x22, x21, x3 不等式 g(x)3 的解集为(3,+); (2)由11 得x2,令 t,则t, y4t24t+24(t)2+1 当 t,即,x1 时,ymin1, 当 t,即,x2 时,ymax 21已知函数是奇函数 (1)若函数,x(1,1),求; (2)在条件(1)下,若 g(m)g(n),其中 m,n(1,1),试比较 m,n 的大小 (3)当时,不等式 f(x)+t24x+2t 恒成立,求 t 的取值范围 解:(1)f(x)为奇函数,f(x)+f(x)0,
21、, x2(a21)0 在给定定义域上恒成立,a21,a1,a1, 奇函数, , (2)由(1)知, 下面考察函数的单调性 对于在(1,1)单调递增, 故在(1,1)单调递减; 设,则 y在单调递减, 故 y在(1,1)单调递减, ,在 x(1,1)单调递减, g(m)g(n),m,n(1,1),mn (3)不等式 f(x)+t24x+2t 恒成立,只需 , 令 h(x)f(x)4x,则 h(x), 则 h(x)在上单调递减, 32tt2,t3 或 t1, t 的取值范围为(,1)(3,+) 22某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所,现有一块矩形 ABCD 草坪如图所示,已知:AB120 米, 米
22、, 拟在这块草坪内铺设三条小路 OE, EF 和 OF, 要求点 O 是 AB 的中点, 点 E 在边 BC 上, 且EOF90 (1)设BOE,试求OEF 的周长 l 关于 的函数解析式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 300 元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总 费用 解:(1)由题意,在 RtBOE 中,OB60,B90,BOE, OE,RtAOF 中,OA60,A90,AFO,OF 又EOF90,EF, 所以 lOE+OF+EF+, 即 l 当点 F 在点 D 时,这时角 最小,求得此时 ; 当点 E 在 C 点时,这时角 最大,求得此时 故此函数的定义域为 (2)由题意知,要求铺路总费用最低,只需要求OEF 的周长 l 的最小值即可 由(1)得,l, 设 sin+cost,则 sincos, l 由 ,得+,得t, t11, 从而+1+1,当 ,即 BE60 时,lmin120(+1), 答:当 BEAF60 米时,铺路总费用最低,最低总费用为 36 000(+1)元