1、2021 年中考数学复习圆综合性压轴题专题突破训练年中考数学复习圆综合性压轴题专题突破训练 1如图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，D 为 BC 延长线一点，且 BCCD，CEAD 于点 E （1）求证：直线 EC 为圆 O 的切线； （2）设 BE 与圆 O 交于点 F，AF 的延长线与 CE 交于点 P， 求证：PC2PFPA 若 PC5，PF4，求 sinPEF 的值 2如图所示，菱形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，点 A 在点 B 的左侧，点 D 在 y 轴的正半轴上，BAD 60，点 A 的坐标为（2，0） （1）求 D 点的坐标 （2）求直线 AC 的函数关
2、系式 （3）动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，按照 ADCBA 的顺序在菱形的边上匀速 运动一周，设运动时间为 t 秒，求 t 为何值时，以点 P 为圆心、以 1 为半径的圆与对角线 AC 相切？ 3已知：ABC 内接于O，弦 BDAC，垂足为 E，连接 OB （1）如图 1，求证：ABDOBC； （2）如图 2，过点 A 作 AGBC，垂足为 G，AG 交 BD 于点 F，求证：DEEF； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CD、EG，且 3DBCABD90，若 CD18，EG15，求 BE 的长 4如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于
3、点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：AD2ABAF； （3）若 BE8，sinB，求 AD 的长， 5如图，O 与 RtABF 的边 BF，AF 分别交于点 C，D，连接 AC，CD，BAF90，点 E 在 CF 上， 且DECBAC （1）试判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由 （2）若 ABAC，CE4，EF6，求O 的直径 6如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC、BD 相交于点 F，AC 是O 的直径，延长 CB 到点 E，连 接 AE，BAEAD
4、B，ANBD，CMBD，垂足分别为点 N、M （1）证明：AE 是O 的切线； （2）试探究 DM 与 BN 的数量关系并证明； （3）若 BDBC，MN2DM，当 AE时，求 OF 的长 7已知，AB、AC 为圆 O 的弦，连接 CO 并延长，交 AB 于点 D，且ADC2C； （1）如图 1，求证：ADCO； （2）如图 2，取弧 BC 上一点 E，连接 EB、EC、ED，且EDAECA，延长 EB 至点 F，连接 FD， 若EDFF60，求BDF 的度数； （3）如图 3，在（2）的条件下，若 CD10，EF6，求 AC 的长度 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，4）
5、 ，点 B 是 x 轴正半轴上一点，连接 AB，过点 A 作 ACAB， 交 x 轴于点 C， 点 D 是点 C 关于点 A 的对称点， 连接 BD， 以 AD 为直径作Q 交 BD 于点 E， 连接并延长 AE 交 x 轴于点 F，连接 DF （1）求线段 AE 的长； （2）若 ABBO2，求 tanAFC 的值； （3）若DEF 与AEB 相似，求 EF 的值 9如图 1，RtABC 中，ABC90，P 是斜边 AC 上一个动点，以 BP 为直径作O 交 BC 于点 D，与 AC 的另一个交点为 E（点 E 在点 P 右侧） ，连结 DE、BE，已知 AB3，BC6 （1）求线段 BE
6、的长； （2）如图 2，若 BP 平分ABC，求BDE 的正切值； （3）是否存在点 P，使得BDE 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 CP 的长；若不存在，请 说明理由 10如图，A，B，C 三点在O 上，ADAB，DEAB 交 BC 于点 E，在 BC 的延长线上取一点 F，使得 EFED （1）求证：DF 是O 的切线； （2）连接 AF 交 DE 于点 M，若 AD4，BF10，求 tanAFD 的值 11如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 BEFG 中，点 E 在 AB 的延长线上，点 G 在 BC 上，点 O 在线段 AB 上，且 AOBO以 OF 为半径的O
7、 与直线 AB 交于点 M，N （1）如图 1，若点 O 为 AB 中点，且点 D，点 C 都在O 上，求正方形 BEFG 的边长 （2）如图 2，若点 C 在O 上，求证：以线段 OE 和 EF 为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值 （3）如图 3，若点 D 在O 上，求证：DOFO 12如图，在ABC 中，C90，点 O 为 AC 上一点，以点 O 为圆心，OC 为半径的O 与 AB 相切于 点 D，AEBO 交 BO 的延长线于点 E （1）求证：AOEBAE； （2）若 BC12，tanBAC，求O 的半径和 AE 的长 13如图，在ABC 中，ABAC，以边 AB 为直径的O 交
8、边 BC 于点 D，交边 AC 于点 E过 D 点作 DF AC 于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）求证：CFEF； （3）延长 FD 交边 AB 的延长线于点 G，若 EF3，BG9 时，求O 的半径及 CD 的长 14如图，在ABC 中，ACAB，点 E 在 BC 上，以 BE 为直径的O 经过点 A，点 D 是直径 BE 下方半 圆的中点，AD 交 BC 于点 F，且B2D （1）求B 的度数； （2）求证：AC 为O 的切线； （3）连接 DE，若 OD3，求的值 15如图O 的半径 OA弦 BC 于点 D，E 为优弧上一点，弦 EA 与 BC 交于点 G，F 为 EA
9、 延长线上 一点，连结 BF，FBC2BEA （1）求证：BF 为O 的切线 （2）若 OA25，DG6，GC18 请探究EBF 与EGB 的数量关系； 求 BF 的长 16如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 H，连接 AC，过弧 BD 上一点 E 作 EGAC 交 CD 的延长 线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 F，且 EGFG，连接 CE （1）求证：ECFGCE； （2）求证：EG 是O 的切线； （3）延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若，求 EM 的值 17如图 1 所示，以点 M（1，0）为圆心的圆与 y 轴，x 轴分别交于点 A，B，C，D，与M 相切于点
10、H 的直线 EF 交 x 轴于点 E（5，0） ，交 y 轴于点 F（0，） （1）求M 的半径 r； （2）如图 2 所示，连接 CH，弦 HQ 交 x 轴于点 P，若 cosQHC，求的值； （3）如图 3 所示，点 P 为M 上的一个动点，连接 PE，PF，求 PF+PE 的最小值 参考答案参考答案 1证明： （1）CEAD 于点 E， DEC90， BCCD， C 是 BD 的中点， 又O 是 AB 的中点， OC 是BDA 的中位线， OCAD， OCECED90， OCCE， 又点 C 在圆上， CE 是圆 O 的切线； （2）连接 AC， OCCE， ECO90， AB 是直径，
11、 ACB90ECO， ECAOCB， OCOB， OCBOBCACE， ABFACF， OBCABFACEACF， EBCECF，且EBCCAP， ECFCAP，且CPFCPA， PCFPAC， PC2PFPA AB 是直径，点 F 在圆上， AFBPFE90CEA， EPFEPA， PEFPAE， PE2PFPA PEPC 在直角PEF 中，sinPEF 2解： （1）点 A 的坐标为（2，0） ，BAD60，AOD90， ODOAtan6022， 点 D 的坐标为（0，2） ； （2）设直线 AC 的函数表达式为 ykx+b（k0） ， A（2，0） ，C（4，2） ， ， ， 故直线 A
12、C 的解析式为：y+； （3）四边形 ABCD 是菱形， DCBBAD60， 123430， ADDCCBBA4， 如图所示： 点 P 在 AD 上与 AC 相切时， 连接 P1E，则 P1EAC，P1Er， 130， AP12r2， t12 点 P 在 DC 上与 AC 相切时， CP22r2， AD+DP26， t26 点 P 在 BC 上与 AC 相切时， CP32r2， AD+DC+CP310， t310 点 P 在 AB 上与 AC 相切时， AP42r2， AD+DC+CB+BP414， t414， 当 t2、6、10、14 时，以点 P 为圆心、以 1 为半径的圆与对角线 AC
13、相切 3解： （1）证明：延长 BO 交O 于 M连接 MC BM 是直径， BCM90， ， BACBMC， BDAC， AEB90 ABD+BAC90， CBO+BMC90， ABDOBC； （2）连接 AD， ， ADBACB， ADAC 于，AGBC， AFEACB90GAC， AFEADE， AFAD， EFED； （3）延长 AG 交O 于 N，连接 BN，DN，过点 D 作 DHBC 于 H 由（2）同理可得 FGGN，BFBN，FBGNBG， 由（2）知 EFDE， EG 为FND 的中位线， DN2EG30， 设ABDOBCACD3， DBC30+，ACB60， DCB60+
14、2， DCB2DBC， DBNDNBDCB60+2， DBDN30 在 2 倍角DBC 中， DHBC， BHCD+CH， 设 CHx，则 BHx+18， DB2BH2DC2CH2， 302（x+18）2182x2， 解得 x7， BH25，BC32 cosDBC， ， BE 4解： （1）如图 1，连接 OD，则 OAOD， ODAOAD， AD 是BAC 的平分线， OADCAD， ODACAD， ODAC， ODBC90， 点 D 在O 上， BC 是O 的切线； （2）如图 2， 连接 OD，DF，EF， AE 是O 的直径， AFE90C， EFBC， BAEF， AEFADF， B
15、ADF， 由（1）知，BADDAF， ABDADF， ， AD2ABAF； （3）如图 3， 连接 OD，由（1）知，ODBC， BDO90， 设O 的半径为 R，则 OAODOER， BE8， OBBE+OE8+R， 在 RtBDO 中，sinB， sinB， R5， AE2OE10，ABBE+2OE18， 连接 EF，由（2）知，AEFB，AFEC90， sinAEFsinB， 在 RtAFE 中，sinAEF， AF 由（2）知，AD2ABAF18， AD 5解： （1）如图，连接 BD， BAD90， 点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径， BCD90， DEC+CDE90， DE
16、CBAC， BAC+CDE90， BACBDC， BDC+CDE90， BDE90，即：BDDE， 点 D 在O 上， DE 是O 的切线； （2）BAFBDE90， F+ABCFDE+ADB90， ABAC， ABCACB， ADBACB， FEDF， DEEF6， CE4，BCD90， DCE90， CD2， BDE90，CDBE， CDECBD， ， BD3， O 的直径3 6 （1）证明：AC 是O 的直径， ADC90， ADB+BDC90， BACBDC，BAEADB， BAE+BAC90，即CAE90， AEAC， AE 是O 的切线； （2）解：DMBN，理由如下： ANBD，
17、CMBD，ADC90， ANDANBDMCADC90， ADN+MDCMCD+MDC90， ADNMCD， DMCAND， ， ABNACD，ANBADC90， ADCANB， ，即， ， DMBN； （3）解：由（2）知 DMBN，则 BMDN， 设 DMBNa， MN2DM，BDBC， MN2a，BMDN3a，BDBC4a， BMC90， CMa， AC 是O 的直径，ANBD， ABCAND90， ADBACB， ADNACB， ， 设 AN3b，AB4b（b0） ， ANBABC90，BNa， AN2+BN2AB2，即（3b）2+a2（4b）2， 解得：ba， ANa，ABa， BC4
18、a， ACa， cosACBcosADBcosEAB， AE， ABAEcosEABa， a， AC， OCAC， ANFCMF90，AFMMFC， ANFCMF， ， CFAC， OFCFOC 7解： （1）如图 1，连接 AO，则DCAOAC， DOADCA+OAC2C，而ADC2C， ADCDOA， ADAOCO； （2）设Fx，则EDF60+x， FED180 x（60+x）1202x， EDAECA， EBDEDB（180120+2x）30+x， BDFEDFEDB60+x30 x30； （3）延长 ED 交圆于点 G，连接 OG、OA、AG、BG，作 AMOD 于点 M，作 ONB
19、G 于点 N， BEGBAG1202x，ADGEDBEBDAGD30+x， AGADOGOA， OGA 为等边三角形， 则ABGAOG30BDF， EBED，FEDGEB， FEDGEB（AAS） ， EGEF6， NGNE3， OADOAGDAG60（1202x）2x60，ADAO， ADOAOD120 x， NDO180ADOADG180（120 x）（30 x）30， ONODDMOMa， OCOG102a， 在 RtNOG 中，由勾股定理得： （102a）2+a2+（3）2， 解得：a1 或（舍去，此时 OC102a0） ， CM1019，AM3， 则 AC12 8解： （1）点 A（
20、0，4） ， AO4， AD 是Q 的直径， AEBAED90， AEBAOB90， BA 垂直平分 CD， BCBD ABOABE 在ABE 和ABO 中， ABEABO（AAS） AEAO4； （2）设 BOx，则 ABx+2， 在 RtABO 中，由 AO2+OB2AB2得：42+x2（x+2）2， 解得：x3， OBBE3，AB5， EAB+ABE90，ACB+ABC90， EABACB， BFAAFC， BFAAFC ， 设 EFx，则 AF4+x，BF（4+x） ， 在 RtBEF 中，BE2+EF2BF2， 32+x2（4+x）2， 解得：x，即 EF， tanAFC； （3）当
21、DEFAEB 时，BAEFDE， ADEFDE， BD 垂直平分 AF， EFAE4； 当DEFBEA 时，ABEFDE， ABDF， ADFCAB90， DF 相切Q， DAEFDE， 设Q 交 y 轴于点 G，连接 DG，作 FHDG 于 H，如图所示： 则FDHDAG，四边形 OGHF 是矩形， OGFH， ABEABO， OABEAB， ABAD， DAECAO， CAODAE， DAEDAE， DAEDAGFDEFDH， AGAE4， EFFHOGAO+AG4+48， 综上所述，若DEF 与AEB 相似，EF 的值为 4 或 8 9解： （1）ABC90，AB3，BC6， AC3，
22、BP 为O 的直径， BEP90， BEAC， SABCABAC， BE； （2）BP 平分ABC， DBPABC45， 连接 DP，如图 1， BP 为O 的直径， DBPDPB45， 可设 DPBDx， CDPABC90 PDAB， CPDCAB， 2， CD2x， CB3x6， x2， DPBD2，CD4， CP2， CE， tanBDEtanBPE3 （3）解：存在这样的点 P 由DCPBCA，得， CPCD， 若BDE 是等腰三角形，可分三种情况： 当 BDBE 时，BDBE， CDBCBD6， CP33 当 BDDE 时，此时点 D 是 RtCBE 斜边的中点， CDBC3， CP
23、； 当 DEBE 时，作 EHBC 于点 H，则 H 是 BD 的中点， ABCEHC90， EHAB， ， 又AEACCE3， BHDH， CD6， CP 综上所述，BDE 是等腰三角形，符合条件的 CP 的长为 33 或或 10 （1）证明：连接 BD， ADAB， BD 是O 的直径， ， BD 平分ABC， ABDCBD DEAB， ABDBDE CBDBDE EDEF， EDFEFD EDF+EFD+EDB+EBD180， BDFBDE+EDF90 ODDF OD 是半径， DF 是O 的切线 （2）解：连接 DC， BD 是O 的直径， BADBCD90 ABDCBD，BDBD，
24、ABDCBD（AAS） CDAD4，ABBC DEAB， ABDBDE， DBEBDE， DEBE， DEEFEBBF5， EC3，EFDE5 BCBE+EC8， BD4， 连接 AC 交 BD 于 H，设 BD 与 AF 交于 N， ， ACBD， AHCH， DH， DCFBDF90， DBF+DFBDFC+CDF90， DBCCDF， BDFDCF， ， DF2， DFBD，ACBD， ACDF， CAFAFD， AHNFDN， ， ， DN， tanAFD 11解： （1）如图 1，连接 OC， 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 为正方形， ABBC1，BEEF，OEFABC90，
25、 点 O 为 AB 中点， OBAB， 设 BEEFx，则 OEx+， 在 RtOEF 中，OE2+EF2OF2， ， 在 RtOBC 中，OB2+BC2OC2， OC2， OC，OF 为O 的半径， OCOF， ， 解得：x， 正方形 BEFG 的边长为； （2）证明：如图 2，连接 OC， 设 OBy，BEEFx， 同（1）可得，OE2+EF2OF2，OB2+BC2OC2， OF2x2+（x+y）2，OC2y2+12 OC，OF 为O 的半径， OCOF， x2+（x+y）2y2+12， 2x2+2xy1， x2+xy， 即 x（x+y）， EFOE， 以线段 OE 和 EF 为邻边的矩形
26、的面积为定值，这个定值为 （3）证明：连接 OD，设 OAa，BEEFb，则 OB1a，则 OE1a+b， DAOOEF90， DA2+OA2OD2，OE2+EF2OF2， 12+a2OD2， （1a+b）2+b2OF2， ODOF， 12+a2（1a+b）2+b2， （b+1） （ab）0， b+10， ab0， ab， OAEF， 在 RtAOD 和 RtEFO 中， ， RtAODRtEFO（HL） ， FOEODA， DAO90， ODA+AOD90， FOE+AOD90， DOF90， DOFO 12 （1）证明：连接 OD， O 与 AB 相切于点 D， ABOD， C90， BC
27、OC， OCOD， BO 为ABC 的角平分线， ABEOBC， AEBO， E90， BAE+ABE90，AOE+OAE90， C90， BOC+OBC90， AOEBOC， OBCOAE， ABEOAE， BAE+ABE90，AOE+OAE90， AOEBAE； （2）解：ABC+BAC90，DOA+BAC90， DOAABC， tanBAC，BC12， AC16， AB20， sinBAC， sinBAC， OD6， BC12，OCOD6， BO6， BC12，OCOD6，AC16， AO10， AOEBOC，EC90， AOEBOC， ，即， AE4 13 （1）证明：如图 1，连接
28、OD， ABAC， ABCC， OBOD， ABCODB， CODB， ODAC， DFAC， DFOD， DF 是O 的切线； （2）证明：如图 2，连接 DE， 四边形 AEDB 为圆内接四边形， CEDABC， ABCC， CEDC， CDDE， DFCE， CFEF； （3）解：如图 3，连接 AD， AB 为O 的直径， ADB90， ABAC， CDBD， ODAC， GODGAF， ， 设O 的半径是 r，则 ABAC2r， AF2r3，OG9+r，AG9+2r， ， r， 即O 的半径是 ACAB9， CEDABC，ECDACB， CEDCBA， ， ， CD3 14解： （1
29、）如图 1，连接 OA， 点 D 是直径 BE 下方半圆的中点， ， BODEOD90， BADBOD45， BAO+DAO45， OAOBOD， DAOD，BAOB， B+D45， B2D， B30； （2）由（1）知，B30， ACAB， CB30， AOC2B60， CAO180CAOC90， OA 为O 的半径， AC 为O 的切线； （3）如图 2，连接 OA，AE，则BAE90， 在 RtACO 中，CAO90，C30，AOOEDO3， ，OC2AO6， CEOCOE3， CEOE3， 由（2）知，CAO90， AEOC3， CAOCOD90，OADODAB15， CAFOFD75
30、， CFAOFD， CAFCFA， CFAC3， ， 连接 DE， DEFBAD45， DAEBAEBAD45， DEFDAE， EDFADE， EDFADE， 15解： （1）证明：如图 1，连接 BO， OABC， ODB90， OBD+BOD90， BOD2BEA，FBC2BEA， BODFBC， OBD+FBC90， 即OBF90， BFOB， BF 为O 的切线； （2）EBFEGB， 理由如下： 如图 2，连接 BO，AB，OE，过点 B 作 BHAG 于点 H， OABC， BDCDDG+CG6+1824， 在 RtOBD 中，OBOA25，BD24， OD7， ADOAOD25
31、718 在 RtBDA 中，由勾股定理可得，AB30， BGBD+DG30， ABBG， BAGBGA， BHAG， BGA+GBH90， BAG+GBH90， BOE+2EBO180，BOE2BAG， 2（BAG+EBO）180， BAG+EBO90， EBOGBH， EBO+OBFGBH+BHG， 即EBFEGB 如图 2，在 RtDAG 中，由勾股定理得，AG6， OABC， ， BEAGBA， BAEGAB， ABEAGB， ， ， AEBE15， EGAEAG9， EBFEGB，BEFGEB， EBFEGB， ， ， BF50 16 （1）证明：如图 1 中， ACEG， GACG，
32、 ABCD， ， CEFACD， GCEF， ECFECG， ECFGCE； （2）证明：如图 2 中，连接 OE， GFGE， GFEGEFAFH， OAOE， OAEOEA， AFH+FAH90， GEF+AEO90， GEO90， GEOE， EG 是O 的切线 （3）解：如图 3 中，连接 OC设O 的半径为 r 在 RtAHC 中，tanACHtanG， AH3， HC4， 在 RtHOC 中，OCr，OHr3，HC4， （r3）2+（4）2r2， r， GMAC， CAHM， OEMAHC， AHCMEO， ， ， EM 17解： （1）如图 1，连接 MH， E（5，0） ，F（
33、0，） ，M（1，0） ， OE5，OF，EM4， 在 RtOEF 中，tanOEF， OEF30， EF 是M 的切线， EHM90， sinMEHsin30， MHME2， 即 r2； （2）如图 2，连接 DQ、CQ，MH QHCQDC，CPHQPD， PCHPQD， ， 由（1）可知，HEM30， EMH60， MCMH2， CMH 为等边三角形， CH2， CD 是M 的直径， CQD90，CD4， 在 RtCDQ 中，cosQHCcosQDC， QDCD3， ； （3）连 MP，取 CM 的点 G，连接 PG，则 MP2，G（2，0） ， MGCM1， ， 又PMGEMP， MPGMEP， ， PGPE， PF+PEPF+PG， 当 F，P，G 三点共线时，PF+PG 最小，连接 FG，即 PF+PE 有最小值FG， 在 RtOGF 中，OG2，OF， FG PF+PE 的最小值为
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