1、2021 年中考数学复习二次函数综合性压轴题专项提升训练年中考数学复习二次函数综合性压轴题专项提升训练 1如图，直线 y1x+3 与 x 轴于交于点 B，与 y 轴交于点 C抛物线 y2x2+bx+c 经过 B、C 两点，并 与 x 轴另一个交点为 A （1）求抛物线 y2的解析式； （2）若点 M 在抛物线上，且 SMOC4SAOC，求点 M 的坐标； （3）设点 P 是线段 BC 上一动点，过 P 作 PQx 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 长度的最大值 2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx+与 x 轴交于 A（5，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C （）
2、求抛物线的解析式； （）若点 M 是抛物线的顶点，连接 AM，CM，求ACM 的面积； （）若点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 作 PE 垂直 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴 的垂线，垂足为点 F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标 3如图，已知二次函数 yax2+bx+6 的图象与 x 轴交于 A（2，0） ，B（6，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）请求出该二次函数的表达式； （2）请求出图象的对称轴和顶点坐标； （3）在二次函数图象的对称轴上是否存在点 P，使APC 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明
3、理由 4如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx2 经过点 A（2，0）和 B（1，1） ，与 y 轴交 于点 C （1）求这个抛物线的表达式； （2）如果点 P 是抛物线位于第二象限上一点，PC 交 x 轴于点 D， 求 P 点坐标； 点 Q 在 x 轴上，如果QCAPCB，求点 Q 的坐标 5已知抛物线 yax2+bx（a0）经过 A（4，0） ，B（1，3）两点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C，点 D 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，联结 BC、BD （1）求该抛物线的表达式以及对称轴； （2）点 E 在线段 BC 上，当CEDOBD 时，求点 E 的坐标； （3
4、）点 M 在对称轴上，点 N 在抛物线上，当以点 O、A、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这 个平行四边形的面积 6如图，抛物线 yax2+3ax+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 左侧点 B 的坐标为（1，0） ，且 OC3OB （1）求抛物线的解析式； （2）求点 A 的坐标； （3）若点 D 是在第三象限抛物线上的动点，连结 AD、OD设点 D 的横坐标为 m，ADO 面积为 s， 求 s 关于 m 的函数解析式，并直接写出自变量 m 的取值范围；请问当 m 为何值时，s 有最大值？最大值 是多少 7如图，二次函数 yax2+bx+c
5、（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，D 为抛物线的顶点 （1）求此二次函数的表达式； （2）求CDB 的面积 （3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点 P，使PDC 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 8如图，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（4，0） ，C（1，0）两点，与 y 轴交于点 B，P 为第一象限抛物线 上的动点，连接 AB，BC，PA，PC，PC 与 AB 相交于点 Q （1）求抛物线的解析式； （2）设APQ 的面积为 S1，BCQ 的面积为 S2，当 S1S25 时，求点 P
6、 的坐标； （3）是否存在点 P，使PAQ 为直角三角形，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 9如图，抛物线 yax2+4ax+c 与 x 轴负半轴交于点 A（6，0） ，与 x 轴正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C （0，2） ，直线 l 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 D，点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点 （1）求抛物线的函数表达式及抛物线顶点坐标； （2）直线以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴的负方向平移，平移 t（t0）秒后，直线 l 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F，点 B 关于直线 l 的对称点为 B 请直接写出点 E 的横坐标为 （用含
7、字母 t 的代数式表示） ； 当点 B落在抛物线上时，请直接写出此时 t 为 秒，点 B的坐标为 ； （3）点 G 是第二象限内一点，当四边形 EGAB为矩形时，过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面 积相等的两部分，请直接写出此时 t 为 秒，这条过抛物线顶点的直线表达式为 10如图，抛物线 yx2+2x+与 x 轴相交于 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，与 y 轴相交于点 C （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成
8、的四边形为平行 四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 11如图，抛物线 yx22x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C， 点 D 为抛物线的顶点 （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）点 M（m，0）为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、B 重合） ，过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交 于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQAB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QNx 轴于点 N，可得矩形 PQNM如图，点 P 在点 Q 左边，试用含 m 的式子表示矩形 PQNM 的周长； （3）当矩形 PQN
9、M 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的AEM 的面积 12如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C， 直线 yx+2 与 y 轴交于点 D，交抛物线于 E，F 两点，点 P 为线段 EF 上一个动点（与 E，F 不重合） ， PQy 轴与抛物线交于点 Q （1）求抛物线的解析式； （2）当 P 在什么位置时，四边形 PDCQ 为平行四边形？求出此时点 P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由 13在平面直角坐标系 xOy
10、 中，抛物线 yx24x+3 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴的 正半轴交于点 C （1）直接写出点 B、C 的坐标，并求直线 BC 的解析式； （2）若点 P 是线段 BC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线与抛物线在 x 轴下方交于点 Q试问线段 PQ 的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线 PQ 上是否存在点 M，满足OMB45，若存在，请求点 M 的坐标；若 不存在，请说明理由 14如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴负半轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，与 y 轴负半轴
11、交于点 C，A （4，0） ，B（1，0） ，ACB90 （1）求点 C 的坐标和抛物线的函数关系式； （2）点 D 是 OA 上一点（不与点 A、O 重合） ，过点 D 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 E，交 AC 于点 F， 当 DFEF 时，求点 E 的坐标； （3）设抛物线的对称轴 l 交 x 轴于点 G，在（2）的条件下，点 M 是抛物线对称轴上一点，点 N 是坐标 平面内一点，是否存在点 M、N，使以 A、E、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐 标；若不存在，请说明理由 15我们把方程（xm）2+（yn）2r2称为圆心为（m，n） 、半径长为 r 的圆的标准方
12、程例如，圆心 为（1，2） 、半径长为 3 的圆的标准方程是（x1）2+（y+2）29在平面直角坐标系中，C 与 x 轴交于点 A，B，且点 B 的坐标为（8，0） ，与 y 轴相切于点 D（0，4） ，过点 A，B，D 的抛物线的顶点 为 E （1）求C 的标准方程； （2）求抛物线的解析式； （3）试判断直线 AE 与C 的位置关系，并说明理由 16已知抛物线 yax2+bx+c 过点 M 和坐标原点 O，一次函数 ymx4m 与 x 轴交于点 M （1）求出抛物线的对称轴； （2）如图 1，以线段 OM 为直径作C，在第一象限内的圆上存在一点 B，使得OBC 为等边三角形， 求C 过点
13、B 的切线 l 的函数解析式； （3）如图 2，在（2）的条件下，当 a0 时，若抛物线上有且只存在三点 D1、D2、D3，使得OD1M OD2MOD3M60，过点 B 的切线与抛物线交于 P、Q 两点，试问：在直线 PQ 下方的抛物线上 是否存在一点 N，使得PNQ 的面积最大？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 1解： （1）由直线 y1x+3 得：B（3，0） ，C（0，3） ， 将其代入 y2x2+bx+c，得 解得 故抛物线 y2的解析式是：y2x2+2x+3； （2）抛物线 y2的解析式 y2x2+2x+3（x3） （x+1）知，A（1，0） OA1
14、 又C（0，3） ， OC3 设点 M 的坐标为（x，x2+2x+3） ， SMOC4SAOC， 3|x|431， |x|4， x4， 当 x4 时，x2+2x+316+8+35； 当 x4 时，x2+2x+3168+321， 点 M 的坐标为（4，5）或（4，21） ； （3）设 P（a，a+3） ，此时 Q（a，a2+2a+3） ， PQa2+2a+3（a+3）a2+3a（a）2+ 该抛物线顶点坐标是（，） ，且开口向下， 当 a时，PQ 取最大值 2解： （）令 x0，则 y，即 C（0，） 设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2）a（x5） （x+1） ， 将点 C 的坐标代入上
15、式得：a（05） （0+1） ， 解得 a， 故抛物线的表达式为 y（x5） （x+1）x2+2x+； （）由抛物线的表达式得顶点 M（2，） ， 过点 M 作 MHy 轴交 AC 于点 H， 设直线 AC 的表达式为 ykx+t，则， 解得， 故直线 AC 的表达式为 yx+， 当 x2 时，y，则 MH3， 则AMC 的面积SMHC+SMHAMHOA35； （）点 D 在直线 AC 上，设点 D（m，m+） ， 由题意得，四边形 OEDF 为矩形，故 EFOD，即当线段 EF 的长度最短时，只需要 OD 最短即可， 则 EF2OD2m2+（m+）2m2m+， 0，故 EF2存在最小值（即
16、EF 最小） ，此时 m1， 故点 D（1，2） ， 点 P、D 的纵坐标相同， 故 2x2+2x+，解得 x2， 故点 P 的坐标为（2+，2）或（2，2） 3解： （1）将 A，B 两点的坐标代入 yax2+bx+6，得 解得 二次函数的表达式为 yx2+2x+6 （2）yx2+2x+6（x2）2+8， 二次函数图象的对称轴为直线 x2，顶点坐标为（2，8） （3）存在，理由如下： 如图，作点 C 关于二次函数图象的对称轴的对称点 C，连接 AC，交二次函数图象的对称轴于点 P， 此时APC 的周长最小 C（0，6） ， C（4，6） 设直线 AC的表达式为 ykx+n，则 解得 直线 A
17、C的表达式为 yx+2 当 x2 时，y4，即 P（2，4） 4解： （1）抛物线 yax2+bx2 经过点 A（2，0）和 B（1，1） ， ， 解得：， 抛物线解析式为：yx2x2； （2）如图 1，过点 P 作 PEx 轴于 E， 抛物线 yax2+bx2 与 y 轴交于点 C， 点 C（0，2） ， OC2， PEOC， ， PE， x2x2， x2 或 x（不合题意舍去） ， 点 P（2，） ； 如图 2，过点 B 作 BHCO 于 H， 由可知 DO， B（1，1） ，点 C（0，2） ，A（2，0） OAOC2，BHCH1， BCH45OCA， BCA90， 当点 Q 在线段 A
18、O 上时， QCAPCB， DCOQCO， 又COCO，DOCQOC90， DOCQOC（ASA） ， DOQO， 点 Q 坐标为（，0） ， 当点 Q在射线 OA 上时， QCAPCB， DCQ90， CDO+DQC90，DCO+CDO90， DQCDCO， 又DOCQOC90， DOCCOQ， ， 4QO， QO， 点 Q（，0） ， 综上所述：点 Q 坐标为（，0）或（，0） 5解： （1）抛物线 yax2+bx（a0）经过 A（4，0） ，B（1，3）两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2x， 对称轴为直线 x2； （2）点 D 与点 B 关于抛物线的对称轴对称， 点 D（5，
19、3） ， BD6， 点 C（2，0） ，点 B（1，3） ， BC3，直线 BC 解析式为 yx+2， 如图，连接 BO， BDOC， DBEBCO， CEDOBD，CEDEBD+BDE，OBDOBC+DBE， OBCBDE， OBCEDB， ， ， BE2， 设点 E（x，x+2） ， 2， x1 或 x2（舍去） ， 点 E（1，1） ； （3）当 OA 为边时， 以点 O、A、M、N 为顶点的四边形是平行四边形， OAMN4，OAMN， 点 N 横坐标为 6 或2， 点 N 的纵坐标为， 平行四边形的面积4， 当 OA 为对角线， 以点 O、A、M、N 为顶点的四边形是平行四边形， MN
20、 与 OA 互相平分， ， Nx2， 点 N（2，） ， 平行四边形的面积4， 综上所述：平行四边形的面积为或 6解： （1）B 的坐标为（1，0） ， OB1 OC3OB3，点 C 在 x 轴下方， C（0，3） 将 B（1，0） ，C（0，3）代入抛物线的解析式得：， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2+x3 （2）由抛物线 yax2+3ax+c 的对称轴是直线 x和 B（1，0）知，抛物线与 x 轴的另一交 点坐标 A（4，0） ； （3）设点 D 的横坐标为 m，则点 D 的纵坐标为（0，m2+m3） A（4，0） ， OA4 sOA|yD|m2+m3|m2m+6（m+）2+ 即：s（
21、m+）2+（4m0） 当 m时，s 的最大值是 7解： （1）设解析式为：ya（xx1） （xx2） （a0） ，即 ya（x+1） （x3） 把点 C（0，3）代入，得 a（0+1） （03）3 a1 故该抛物线解析式是 y（x+1） （x3）或 yx2+2x+3 （2）由 yx2+2x+3（x1）2+4 知，顶点坐标 D 为（1，4） B（3，0） ，C（0，3） ， BC218，BD2（31）2+（04）220，CD2（01）2+（34）22， BD2BC2+CD2 BCD 是直角三角形，且BCD90 SBCDCDBC33，即CDB 的面积是 3 （3）存在，由 yx2+2x+3 得，D
22、 点坐标为（1，4） ，对称轴为 x1， 若以 CD 为底边，则 PDPC，设 P 点坐标为（x，y） ， 根据勾股定理得：x2+（3y）2（x1）2+（4y）2，即 y4x， 又P 点（x，y）在抛物线上， 4xx2+2x+3，即 x23x+10， 解得 x1，x21 （舍去） ， x， y4x， 即点 P 坐标为（，） 若以 CD 为一腰，因为点 P 在对称轴右侧的抛物线上， 由抛物线对称性知，点 P 与点 C 关于直线 x1 对称，此时点 P 坐标为（2，3） ， 符合条件的点 P 坐标为（，） 或（2，3） 8解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（4，0） ，C（1，0）两点
23、， 解得 抛物线的解析式是 yx2+3x+4； （2）设 P（x，y） ，对于抛物线 yx2+3x+4令 x0，则 y4， B（0，4） S1S25， S1S2+5 S1+SAQCS2+SAQC+5，即 SAPCSABC+5 +5 y6 x2+3x+46 解得 x11，x22 点 P 的坐标是（1，6）或（2，6） （3）存在，点 P 的坐标是（3，4）或（，1） 理由： 若AQP90时，即 ABCP 由 A（4，0） ，B（0，4）知，OAOB， OABOBA45 PCA45 设直线 PC 解析式为：yx+t 把 C（1，0）代入，得1+t0 解得 t1 故直线 PC 的解析式为 yx+1
24、联立， 解得（舍去）或 P（3，4） ； 若APQ90时，APC 是直角三角形， 设 P（m，n） ，则 nm2+3m+4 则由 AP2+CP2AC2，即（m+1）2+n2+（m4）2+n2（4+1）2 整理，得 m23m4+n20 n+n20 解得 n10，n21 当 n0 时，m2+3m+40，即（m4） （m+1）0 解得 m11，m24 当 n1 时，m2+3m+41，即 m23m30， 解得 m1，m2（舍去） 此时点 P 的坐标分别是（1，0） （舍去） ， （4，0） （舍去） ， （，1） 若QAP90时，该种情况不存在 综上所述，符合条件的点 P 的坐标是（3，4）或（，1）
25、 9解： （1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为 yx2+x2； 函数的对称轴为 x2，当 x2 时，yx2+x2， 故顶点的坐标为（2，） ； （2）令 yx2+x20，解得 x6 或 2， 故点 B（2，0） ， 点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点，故点 D（0，2） ， 由点 B、D 的坐标得，直线 BD 的表达式为 y（x2）x+2， 则 t 秒后直线的表达式为 y（x+2t）+2， 令 y（x+2t）+20，解得 x22t， 故点 E 的横坐标为 22t； 如图，由直线 BD 的表达式知，tanDBO，故DBO60， 则OBB906030， 故
26、设 BB的表达式为 yx+r，将点 B（2，0）的坐标代入上式并解得：r， 故直线 BB的表达式为 y（x2）， 设 BB的中点为点 F， 联立并解得，即点 F（，t） ， 点 F 是 BB的中点，由中点公式得：点 B（23t，t） ， 将点 B的坐标代入抛物线表达式并解得 t2， 故点 B（4，2） ； （3）设 AE 的中点为 H， 由点 A、E 的坐标得，点 H（2t，0） ，AE22t（6）82t， 四边形 EGAB为矩形，故ABE 为直角三角形， 故 BHAE，即 BH2AE2， 则 4（23t+2+t）2+（t）2（82t）2， 解得 t0（舍去）或， 故 t， 则点 H（，0）
27、， 过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分， 则该直线过点 H， 由顶点坐标（2，）和点 H 的坐标得，该直线的表达式为 y2x； 故答案为（22t，0） ；2， （4，2） ； （3），y2x 10解： （1）当 x0 时，则 y， C（0，） ， 当 y0 时，x2+2x+0， 化简，得 x24x50， 解得，x1 或 x5， A（1，0） ，B（5，0） ； （2）如图，连接 BC，交对称轴于点 P，连接 AP 点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称， APPB， 要使 PA+PC 的值最小，则应使 PB+PC 的值最小， BC 与对称轴的交点，使得 PA+PC 的值最小
28、 设 BC 的解析式为 ykx+b 将 B（5，0） ，C（0，）代入 ykx+b， 得， ， 直线 BC 的解析式为 yx+ 抛物线的对称轴为直线 x2 当 x2 时，y2+， P（2，） ； （3）设点 M（m，0） ，N（n，n2+2n+） ， 由（1）知，A（1，0） ，C（0，） ， 当 AC 与 MN 是对角线时， AC 与 MN 互相平分， （0+）（n2+2n+） ， 解得，n0（舍）或 n4， N（4，） ， 当 AM 与 CN 是对角线时，AM 与 AN 互相平分， （m1）n，0（n2+2n+） ， 解得，n2， N（2+，）或（2，） ， 当 AN 与 CM 是对角线时
29、，AN 与 CM 互相平分， （n2+2n+）（0+） ， 解得，n0（舍）或 n4， N（4，） ， 即：以点 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点 N 的坐标为（4，）或（2+，） 或（2，） ， 11解： （1）由抛物线 yx22x+3 可知，C（0，3） 令 y0，则 0 x22x+3， 解得，x3 或 x1， A（3，0） ，B（1，0） （2）由抛物线 yx22x+3 可知，对称轴为直线 x1 M（m，0） ， PMm22m+3，MN（m1）22m2， 矩形 PMNQ 的周长2（PM+MN）（m22m+32m2）22m28m+2 （3）2m28m+22（m+2）2+10
30、， 矩形的周长最大时，m2 A（3，0） ，C（0，3） ， 设直线 AC 的解析式 ykx+b， ，解得 k1，b3， 直线 AC 的解析式 yx+3， 令 x2，则 y1， E（2，1） ， EM1，AM1， SAEMAMEM 12解： （1）根据题意，得， 解得， 所求抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）如图 1， PQy 轴， 当 PQCD 时，四边形 PDCQ 是平行四边形， 当 x0 时，yx2+2x+33，yx+22， C（0，3） ，D（0，2） ， CD1， 设 Q（m，m2+2m+3） ，则 P（m，m+2） PQ（m2+2m+3）（m+2）1， 解得 m10，m2
31、1， 当 m0 时，点 P 与点 D 重合，不能构成平行四边形， m1，m+23， P 点坐标为（1，3） ； （3）存在，理由如下： 由抛物线 yx2+2x+3（x1）2+4 知，该抛物线的对称轴是直线 x1 如图 2，设 M（1，y） 设点 M（1，y） ， A（1，0） ，M（1，y） ，C（0，3） ， AC210，CM2y26y+10，AM24+y2 当 ACCM 时，10y26y+10， 解得：y0 或 y6（舍去） ， 当 ACAM 时，104+y2， 解得：y或 y， 当 CMAM 时，y26y+104+y2，解得：m1， 检验：当 y6 时，M、A、C 三点共线，不合题意，故
32、舍去； 综上可知，符合条件的点 M 坐标为（1，0） 、 （1，） 、 （1，） 、 （1，1） 13解： （1）针对于抛物线 yx24x+3， 令 x0，则 y3， C（0，3） ， 令 y0，则 x24x+30， x11，x23， A（1，0） ，B（3，0） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， ， ， 直线 BC 的解析式为 yx+3； （2）存在，如图 1， 由（1）知，直线 BC 的解析式为 yx+3， 设点 P（m，m+3） ，则 Q（m，m24m+3） ， PQ（m+3）（m24m+3）m2+3m（m）2+， 当 m时，PQ 最大，最大值为； （3）当点 M 在 x 轴上
33、方时，如图 2， 由（2）知，点 P 的横坐标为， PQy 轴， PQ 是 OB 的中垂线， 点 M 在 PQ 上， OMOB， OMB45， BMQOMB22.5， 由（1）知，B（3，0） ，C（0，3） ， OBOC， OBC45， PBMBPQOBC22.5BMQ， BPMP， 由（2）知，P（，） ， BP， PM， HMHP+PM+， M（，+） ； 当点 M 在 x 轴下方时，由对称性得，M（，） ， 即满足条件的点 M（，+）或（，） 14解： （1）由题意，OA4，OB1，OCAB， ACB90， AOCCOB，OCA+OAC90，OCAOCB90， OACOCB， OACO
34、CB， ， ， C（0，2） ， 分别把 A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，2）代入 yax2+bx+c 得解得， ； （2）设直线 AC 函数关系式为 ykx+b， 代入 A（4，0） ，C（0，2）得， 解得，b2， ， 设 D（m，0） ， ， ， 由题意m+2（m22m） ， 解得，m3 或4（舍去） 将 m3 代入，得， E（3，2） ； （3）存在，理由： 当以 A、E、M、N 为顶点的四边形是菱形时，AEM 是等腰三角形 由题意，AD1，DE2， 在 RtADE 中，由勾股定理的， 当 AE 是边时， 当时， 点 A 到直线 l 的距离是， 此时点 M 不存在 当时，如图，
35、此时菱形为 AEMN， 过点 E 作 EHl 于点 H， yHyE2， 在 RtEHM 中，由勾股定理得 MH， 或， ，； 当点 M 为（，2+）时， 由 EMAN 知，xMxExNxA，即（3）xN（4） ，解得 xN， 同理可得，yN，故点 N1的坐标为（，） ； 同理可得 N2的坐标为（，） ； 当 AE 是对角线时， 此时 MAME，即 MA2ME2，此时菱形为 AM3EN， 即 MG2+AG2MH2+EH2， 设， 解得 n0， ，即点 M3在 x 轴上， 则 ENAM3+4xNxE3xN， 解得 xN； 综上， 15解： （1）如图，连接 CD，CB，过点 C 作 CMAB 于
36、M设C 的半径为 r 与 y 轴相切于点 D（0，4） ， CDOD， CDOCMODOM90， 四边形 ODCM 是矩形， CMOD4，CDOMr， B（8，0） ， OB8， BM8r， 在 RtCMB 中，BC2CM2+BM2， r242+（8r）2， 解得 r5， C（5，4） ， C 的标准方程为（x5）2+（y4）225 （2）点 C 的坐标为（5，4） ，则抛物线的对称轴为 x5， 点 B（8，0） ，根据函数的对称性，点 A（2，0） ， 则抛物线的表达式为 ya（x2） （x8） ， 将点 D 的坐标代入上式得：4a（2） （8） ，解得 a， 故抛物线的表达式为 y（x2）
37、 （x8）x2x+4 （3）结论：AE 是C 的切线 理由：连接 AC，CE 由抛物线的表达式知，顶点 E（5，） ， AE，CE4+，AC5， EC2AC2+AE2， CAE90， CAAE， AE 是C 的切线 16解： （1）令 ymx4m0，解得 x4，故点 M（4，0） ， 抛物线 yax2+bx+c 过原点 O，则 c0， 故抛物线的表达式为 yax2+bx， 将点 M 的坐标代入上式得：16a+4b0，即 b4a， 故抛物线的表达式为 yax24ax， 则抛物线的对称轴为 x2； （2）由（1）知，OC2，则OBC 为边长为 2 的等边三角形， 则该三角形的高为 2sin60，故
38、点 B 的坐标为（1，） ， 在 RtEBC 中，EBC90ECB906030， 故 OE2BC4，则点 E 的坐标为（2，0） ， 设切线 l 的表达式为 ykx+b，则，解得， 故直线 l 的表达式为 yx+， （3）存在，理由： 抛物线上有且只存在三点 D1、D2、D3，使得OD1MOD2MOD3M60， 则有一个点 D 为抛物线的顶点，如下图， 根据函数的对称轴，则OMD 为边长为 4 的等边三角形， 同理可得，点 D（2，2） ，即抛物线的顶点为 D， 将点 D 的坐标代入得：24ax8a，解得 a， 则抛物线的表达式为 yx22x， 联立并整理得：3x214x40， 解得 x，则 xQxP， 过点 N 作 NHy 轴交 PQ 于点 H， 设点 N（x，x22x） ，则点 H（x，x+） ， 则 SPQNSHNP+SHNQHN（xQxP） （x+x2+2x） （x2+ x+） ， a0， 故抛物线开口向下，PNQ 的面积存在最大值， 此时 x，则点 N 的坐标为（，）
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