1、2020-2021 学年安徽省宣城市高一（上）期末数学试卷学年安徽省宣城市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A1，0，1，2，3，Bx|x22x30，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1，2，3 D1，0，1，2，3 2下列图形中可以表示以 Mx|0 x1为定义域，以 Ny|0y1为值域的函数的图象是（ ） A B C D 3设 aln，b20.3，c（）2，则（ ） Aacb Bcab Cabc Dbac 4下列命题中，正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 ab，cd，则 a+cb+d C若 ab，则 D若
2、ab，cd，则 5f（x）lnx+x2 的零点在下列哪个区间内（ ） A（0，1） B（1，2） C（2，3） D（3，4） 6已知函数，若 f（0）2，则 f（f（3）（ ） A0 B1 C2 D3 7“”是“cos”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8已知 a0，b0，若不等式+恒成立，则 k 的最大值等于（ ） A10 B9 C8 D7 9已知一扇形的周长为 20cm，当这个扇形的面积最大时，半径 R 的值为（ ） A4 cm B5cm C6cm D7cm 10若函数 f（x）是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A4，
3、8） B（1，8） C（4，8） D（1，+） 11若函数 的图象为 E，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 2 B对任意的 xR，都有 Cf（x）在上是减函数 D由 y2sin2x 的图象向左平移个单位长度可以得到图象 E 12定义在（0，+）上的函数 f（x）满足 f（xy）f（x）+f（y），当 0 xy 时，都有 f（x）f（y）， 且 f（）1，则不等式 f（x）+f（3x）2 的解集为（ ） A1，0） B4，0） C（3，4 D1，0）（3，4 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13函数 f（x）的定义域是 14若命题“xR，x22x+a0”是假命
4、题，则实数 a 的取值范围是 15已知 3x6yM，且，则 M 的值是 16已知偶函数 f（x）满足 f（x+1）f（x1），当 x1，0时，f（x）x2，若在区间1，3内，函 数 g（x）f（x）loga（x+2）有三个零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题三、解答题. 17化简求值 （1）； （2）设 是第二象限角，且 tan（）2，求的值 18已知函数 f（x）2x，x0，3，其值域为集合 A，集合 Bx|（xa）（x（a+1）0 （1）若全集 UR，a2，求 AUB； （2）若“xB”是“xA”的充分条件，求 a 的取值范围 19已知函数 f（x）loga（2x）+loga（x+4
5、），其中 a1 （1）求函数 f（x）的定义域； （2）求函数 f（x）图象所经过的定点； （3）若函数 f（x）的最大值为 2，求 a 的值 20某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体该博 物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：罩内该种液体的体积比保护罩的容积少 0.5 立方 米，且每立方米液体费用为 2000 元；需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反 比，当容积为 4 立方米时，支付的保险费用为 18000 元（长方体保护罩最大容积为 10 立方米） （1）求该博物馆需支付保护这件文物的总费用 y 与保护罩容积 x 之间
6、的函数关系式； （2）求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积 21已知函数 （1）求 f（x）的单调递增区间及对称轴方程； （2）若，且，求的值 22已知二次函数 g（x）x24x+a 在1，2上的最小值为 0，设 （1）求 a 的值； （2）当 x3，9时，求函数 f（log3x）的值域； （3）若函数 h（x）（|2x1|）f（|2x1|）3k（|2x1|）+2k 有三个零点，求实数 k 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A1，0，1，2，3，Bx|x22x30，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2
7、C0，1，2，3 D1，0，1，2，3 解：A1，0，1，2，3，Bx|x22x30 x|1x3， AB0，1，2， 故选：B 2下列图形中可以表示以 Mx|0 x1为定义域，以 Ny|0y1为值域的函数的图象是（ ） A B C D 解：A 选项，函数定义域为 M，但值域不是 N； B 选项，函数定义域不是 M，值域为 N； D 选项，集合 M 中存在 x 与集合 N 中的两个 y 对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系 故选：C 3设 aln，b20.3，c（）2，则（ ） Aacb Bcab Cabc Dbac 解：alnln10， b20.3201， 0c（）2（）01， acb 故
8、选：A 4下列命题中，正确的是（ ） A若 acbc，则 ab B若 ab，cd，则 a+cb+d C若 ab，则 D若 ab，cd，则 解：对于 A，若 acbc，c0，则 ab，故 A 错误； 对于 B，若 ab，cd，则 a+cb+d 显然成立，故 B 正确； 对于 C，若 a0b，则，故 C 错误； 对于 D，若 ab，cd，取 a2，b1，c2，d1，则，故 D 错误 故选：B 5f（x）lnx+x2 的零点在下列哪个区间内（ ） A（0，1） B（1，2） C（2，3） D（3，4） 解：因为 f（1）ln1+1210，f（2）ln2+220， 所以函数 f（x）lnx+x2 的零
9、点所在的区间为（1，2） 故选：B 6已知函数，若 f（0）2，则 f（f（3）（ ） A0 B1 C2 D3 解：根据题意，函数， 若 f（0）2，则 f（0）b2，即 b2， 则 f（3）（3）+25， 故 f（f（3）f（5）log551， 故选：B 7“”是“cos”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：因为 cos，所以， “”是不能推出“cos”， “cos”也不能推出“”， 所以 ”是“cos”的既不充分也不必要条件 故选：D 8已知 a0，b0，若不等式+恒成立，则 k 的最大值等于（ ） A10 B9 C8 D7 解：由于 a0
10、，b0，所以 2a+b0， 故不等式+等价于 k（2a+b）（+）， 不等式式+恒成立，等价于 k（2a+b）（+）min， 由于（2a+b）（+）4+4+28， （当且仅当 2ab 时“”成立）， 故 k8 故选：C 9已知一扇形的周长为 20cm，当这个扇形的面积最大时，半径 R 的值为（ ） A4 cm B5cm C6cm D7cm 解：l202R， SlR （202R）RR2+10R （R5）2+25 当半径 R5cm 时，扇形的面积最大为 25cm2 故选：B 10若函数 f（x）是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A4，8） B（1，8） C（4，8） D（1
11、，+） 解：因为函数 f（x）是 R 上的增函数， 所以有4a8， 故选：A 11若函数 的图象为 E，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 2 B对任意的 xR，都有 Cf（x）在上是减函数 D由 y2sin2x 的图象向左平移个单位长度可以得到图象 E 解：f（x）sin2x+cos2x2sin（2x+）， 则 f（x）的最小正周期为，故 A 错误， 若，则函数关于 x对称， f（）2sin（2 +）2sin2，即函数关于 x不对称，故 B 错误， 当x时，2x，即2x+，此时函数 f（x）为减函数，故 C 正确， 由 y2sin2x 的图象向左平移个单位长度得到 y2sin
12、2（x+）2sin（2x+），则不成立，故 D 错误， 故选：C 12定义在（0，+）上的函数 f（x）满足 f（xy）f（x）+f（y），当 0 xy 时，都有 f（x）f（y）， 且 f（）1，则不等式 f（x）+f（3x）2 的解集为（ ） A1，0） B4，0） C（3，4 D1，0）（3，4 解：因为 f（xy）f（x）+f（y）， 所以令 xy1，则有 f（1）f（1）+f（1），解得 f（1）0， 所以， 又 f（）1，所以 f（2）1， 所以 f（4）f（22）f（2）+f（2）2， 不等式 f（x）+f（3x）2，即为 fx（3x）f（4）， 因为当 0 xy 时，都有 f（
13、x）f（y）， 故函数 f（x）在区间（0，+）上单调递减， 所以不等式等价于，即，解得1x0， 所以不等式 f（x）+f（3x）2 的解集为1，0） 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.） 13函数 f（x）的定义域是 3，4）（4，+） 解：要使函数有意义，则， 得，即 x3 且 x4， 即函数的定义域为3，4）（4，+）， 故答案为：3，4）（4，+） 14若命题“xR，x22x+a0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 （1，+） 解：命题“xR，x22x+a0”是假命题， 则它的否定命题：“xR，x22x+a0”是真命题， 所以
14、44a0，解得 a1， 所以实数 a 的取值范围是（1，+） 故答案为：（1，+） 15已知 3x6yM，且，则 M 的值是 54 解：3x6yM，且 ， xlog3M，ylog6M， logM6+2logM3logM541， M54 故答案为：54 16已知偶函数 f（x）满足 f（x+1）f（x1），当 x1，0时，f（x）x2，若在区间1，3内，函 数 g（x）f（x）loga（x+2）有三个零点，则实数 a 的取值范围是 3a5 解：根据题意，因为函数 f（x）满足 f（x+1）f（x1）， 所以有 f（x+2）f（x）， 故函数 f（x）是周期为 2 的周期函数， 又因为 f（x）是
15、偶函数，且当 x1，0时，f（x）x2， 则当 x0，1时，f（x）x2， 当 x1，1时，f（x）x2， 所以当 x1，3时，f（x）（x2）2， 因为函数 g（x）f（x）loga（x+2）有三个零点， 所以函数 yf（x）与函数 g（x）loga（x+2）的图象有三个交点， 故必有 a1， 作出函数 yf（x）与函数 g（x）loga（x+2）的图象如图所示， 则有，即， 解得 3a5 故答案为：3a5 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17化简求值 （1）； （2）设 是第二象限角，且 tan（）2，求的值 解：（
16、1）原式lg10005+335+31 （2）因为 tan（）tan2，所以 tan2， 即 18已知函数 f（x）2x，x0，3，其值域为集合 A，集合 Bx|（xa）（x（a+1）0 （1）若全集 UR，a2，求 AUB； （2）若“xB”是“xA”的充分条件，求 a 的取值范围 解：（1）因为 a2，所以 Bx|（x2）（x3）0 x|2x3， 所以UBx|x2 或 x3， 而 f（x）2x，x0，3，所以 Ay|1y8， 所以 AUB1，23，8 （2）因为“xB”是“xA”的充分条件， 所以 BA， 又 Bx|axa+1， 所以， 即 a1，7 19已知函数 f（x）loga（2x）+
17、loga（x+4），其中 a1 （1）求函数 f（x）的定义域； （2）求函数 f（x）图象所经过的定点； （3）若函数 f（x）的最大值为 2，求 a 的值 解：（1）由题意，得， 解得4x2 所以函数 f（x）的定义域x|4x2 （2）f（x）loga（2x）+loga（x+4），f（x）loga（2x）（x+4）， 当（2x）（x+4）1 时，即时，f（x）0， 函数图象所经过的定点， （3）g（x）（2x）（x+4），x（4，2），则 g（x）（2x）（x+4）（0，9， 若函数 f（x）loga（2x）（x+4）的最大值为 2， 因为 a1，则 g（x）9 时最大值为 2， 即 f（
18、x）maxloga92，则 a29， 故 a3 20某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体该博 物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：罩内该种液体的体积比保护罩的容积少 0.5 立方 米，且每立方米液体费用为 2000 元；需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反 比，当容积为 4 立方米时，支付的保险费用为 18000 元（长方体保护罩最大容积为 10 立方米） （1）求该博物馆需支付保护这件文物的总费用 y 与保护罩容积 x 之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积 解：（1）设保
19、险费用为， 代入 x4，y118000，解得 t72000， 则总费用， 即 （2）由均值不等式可得24000100023000， 当且仅当，即 x6 立方米时取等号， 故当长方体保护罩容积为 6 立方米时，总费用最小值为 23000 元 21已知函数 （1）求 f（x）的单调递增区间及对称轴方程； （2）若，且，求的值 解：（1） f （x） 2cosxsinx （2cos2x1） sin2xcos2x， 令，kZ，kZ， 则 f（x）的单调递增区间：，kZ 令，kZ，即对称轴方程：，kZ （2）， 所以， ， 所以， 而， 所以， 故 22已知二次函数 g（x）x24x+a 在1，2上的最
20、小值为 0，设 （1）求 a 的值； （2）当 x3，9时，求函数 f（log3x）的值域； （3）若函数 h（x）（|2x1|）f（|2x1|）3k（|2x1|）+2k 有三个零点，求实数 k 的取值范围 解：（1）g（x）（x2）2+a4， 故当 x2 时，g（x）取最小值 0， 则， 解得 a4 （2）4， 令 tlog3x，x3，9，则 t1，2， 则在 t1，2上单调递减， 则 f（t）minf（2）0，f（t）maxf（1）1， 所以值域为0，1 （3）设|2x1|m，则 h（m）mf（m）3km+2km2（3k+4）m+（4+2k）， 令 m2（3k+4）m+（4+2k）0， 由题意知，关于 m 的一元二次方程有两个根 m1，m2满足如下条件： 当 m10 时，代入方程解得 k2，此时 m22 方程 h（x）0 仅有 1 个解，不符合题意 当 m11 时，代入方程解得 k1，此时方程 m27m+60，解得 m 26， 所以函数 h（x）有两个零点，不符合题意 当 0m11m2时，函数 h（x）有三个零点， 则有或， 即，或， 解，不等式无解，解得 k1， 故实数 k 的取值范围为（1，+）
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