1、2020-2021 学年安徽省合肥市巢湖市高一（上）期末数学试卷学年安徽省合肥市巢湖市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1 已知全集 UR， 集合 A0，1，2，3， 4，5，BxR|x3，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A0，1，2 B1，2 C0，1，2，3，4 D0，1，2，3 2全称量词命题“对于任意正奇数 n，所有不大于 n 的正奇数的和都是”的否定为（ ） A对于任意正奇数 n，所有不大于 n 的正奇数的和都不是 B对于任意正奇数 n，所有不大于 n 的正奇数的和都大于 C存在正奇数 n，使得所有不大于 n 的正奇数的和不是 D存在正
2、奇数 n，使得所有不大于 n 的正奇数的和是 3下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） Af（x）x，g（x）lg10 x B ，g（x）x1 C ， Df（x）1，g（x）x0 4已知 ， ，则 cos（ ） A B C D 5已知 a0，b0，a+b0，则下列不等式中正确的是（ ） Aa2b2 Ba2ab Ca+bab D2a2b 6已知 aln2，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 7已知函数 f（x）exex，则不等式 f（2x2）+f（x1）0 成立的一个充分不必要条件为（ ） A（2，1） B（0，1） C D 8已知 f（x）log2（x2ax+3a）在2，+）
3、上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A（，4） B（4，4 C（，4）2，+） D4，4） 9已知 x，y（0，+），且 x+y1，若不等式恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ ） A B C（2，1） D（，）（1，+） 10 已知函数是幂函数， 对任意 x1 ， x 2 （0， +） ， 且 x1x2， 满足 ， 若 a，bR，且 a+b0，则 f（a）+f（b）的值（ ） A恒大于 0 B恒小于 0 C等于 0 D无法判断 11已知函数 f（x）cos（x+）（0，0）的图象关于点对称，且其相邻对称轴 间的距离为，将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数 g（x）的图
4、象，则下列说 法中正确的是（ ） Af（x）的最小正周期 B C Dg（x）在上的单调递减区间为 12已知函数 f（x），若 f（x1）f（x2）f（x3）f（x4）（x1，x2，x3，x4互不相 等），则 x1+x2+x3+x4的取值范围是（ ）（注：函数 h（x）x+ 在（0，1上单调递减，在（1，+ ）上单调递增） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13sin95+cos185+tan240 14已知函数 f（x），若 f（a）4，则 a 15已知在ABC 中，cos（A+B）0，sinC，则 sin2C 16 已知函数 f （x） ln （1+|x|）
5、， 若 f （loga3） f （1） （a0 且 a1） ， 则 a 的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17设集合，Bx|0lnx1，Cx|t+1x2t，tR （）求 AB； （）若 ACC，求 t 的取值范围 18（）化简：（tan20）； （）证明： 19已知函数，x（0，+） （）用函数单调性的定义证明：f（x）是增函数 （）若，则当 x 为何值时，g（x）取得最小值？并求出其最小值 20某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过 100 万元时，按年销售利润的 5%
6、进 行奖励；当年销售利润超过 100 万元时，若超出 A 万元，则奖励 log2（A+1）万元，没超出部分仍按 5% 进行奖励记奖金为 y 万元，年销售利润为 x 万元 （）写出 y 关于 x 的函数解析式； （）如果业务员小张获得了 10 万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？ 21 已知函数 f （x） 2sin （x+）（0， 0） 的最大值和最小正周期相同， f （x） 的图象过点， 且在区间上为增函数 （）求函数 f（x）的解析式； （）若函数 g（x）f（x）+1 在区间（0，b）上只有 4 个零点，求 b 的最大值 22已知函数 f（x）mxln（ex+1） （）若，判断 f
7、（x）的奇偶性； （）若 m1，不等式 f（x）1 的解集； （）若 m1，g（x）e2x2f（x）6ex，且存在 x00，1，使得 ng（x0）成立，求实数 n 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1 已知全集 UR， 集合 A0，1，2，3， 4，5，BxR|x3，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A0，1，2 B1，2 C0，1，2，3，4 D0，1，2，3 解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为 AUB， 全集 UR，集合 A0，1，2，3，4，5，Bx|x3， RBx|x3， ARB0，1，2， 故选：A 2全称量词命题“对于任意正奇
8、数 n，所有不大于 n 的正奇数的和都是”的否定为（ ） A对于任意正奇数 n，所有不大于 n 的正奇数的和都不是 B对于任意正奇数 n，所有不大于 n 的正奇数的和都大于 C存在正奇数 n，使得所有不大于 n 的正奇数的和不是 D存在正奇数 n，使得所有不大于 n 的正奇数的和是 解： 全称命题的否定是特称命题， 则否定为： 存在正奇数n， 使得所有不大于n的正奇数的和不是 ， 故选：C 3下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） Af（x）x，g（x）lg10 x B ，g（x）x1 C ， Df（x）1，g（x）x0 解：Af（x）x 的定义域为 R，g（x）x，定义域为 R， 两个函
9、数的定义域和对应法则相同，是相等函数 Bf（x）x1（x1），g（x）x1 的定义域为 R， 两个函数的定义域不相同，不是相等函数， Cf（x）|x|，定义域为x|x0，g（x）x（x0）， 两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是相等函数， Dg（x）1（x0），f（x）1 的定义域为 R， 两个函数的定义域不相同，不是相等函数， 故选：A 4已知 ， ，则 cos（ ） A B C D 解：， sin，sin（+）， 则 coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin+， 故选：C 5已知 a0，b0，a+b0，则下列不等式中正确的是（ ） Aa2b2 Ba2ab Ca+bab
10、D2a2b 解：由 a0，b0，a+b0，可得|a|b|， 所以 a2b2，故 A 错误； a2+aba（a+b）0，故 a2ab，故 B 正确； a+ba|b|，aba+|b|，所以 a+bab，故 C 错误； 由 a+b0，可得 ba，所以 2b2a，故 D 错误 故选：B 6已知 aln2，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 解：0ln2lne1，0a1， log2e0， bac， 故选：D 7已知函数 f（x）exex，则不等式 f（2x2）+f（x1）0 成立的一个充分不必要条件为（ ） A（2，1） B（0，1） C D 解：因为函数 f（x）exex，则 f（x）f
11、（x）， 所以函数 f（x）为奇函数， 又 f（x）ex+ex0 恒成立，故 f（x）在 R 上单调递增， 故 f（2x2）+f（x1）0，可变形为 f（2x2）f（x+1）， 所以 2x2x+1， 解得， 所以不等式 f（2x2）+f（x1）0 成立的一个充分不必要条件为可以为 x（0，1） 故选：B 8已知 f（x）log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A（，4） B（4，4 C（，4）2，+） D4，4） 解：函数 f（x）log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数， yx2ax+3a 在2，+）上是增函数且大于零， ， 解得4a4， 实数
12、a 的取值范围是（4，4 故选：B 9已知 x，y（0，+），且 x+y1，若不等式恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ ） A B C（2，1） D（，）（1，+） 解：因为 x+y1，所以 x2+y2+xy（x+y）2xy1xy， 而 x，y（0，+），且 x+y1，则 x+y， 所以，则 x2+y2+xy（x+y）2xy1xy， 要使不等式恒成立，只需即可， 即，解得： 故选：A 10 已知函数是幂函数， 对任意 x1 ， x 2 （0， +） ， 且 x1x2， 满足 ， 若 a，bR，且 a+b0，则 f（a）+f（b）的值（ ） A恒大于 0 B恒小于 0 C等于 0 D无法判断
13、解：由题意得：m2m51，解得：m3 或 m2， 若对任意 x1，x2（0，+），且 x1x2，满足 ， 则 f（x）在（0，+）单调递增， m3 时，f（x）x3，符合题意，m2 时，f（x），不合题意， 故 f（x）x3，由于 a，bR，且 a+b0， 所以 ab，由于函数为单调递增函数和奇函数，故 f（a）f（b）， 所以 f（a）f（b）， 所以 f（a）+f（b）0， 即 f（a）+f（b）的值恒大于 0， 故选：A 11已知函数 f（x）cos（x+）（0，0）的图象关于点对称，且其相邻对称轴 间的距离为，将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数 g（x）的图象，则下列
14、说 法中正确的是（ ） Af（x）的最小正周期 B C Dg（x）在上的单调递减区间为 解：函数 f（x）cos（x+）（0，0）的图象关于点对称， 且其相邻对称轴间的距离为， ，且 +k+，kZ， ，函数 f（x）cos（x） 将函数 f（x）cos（x）的图象向左平移个单位长度后， 得到函数 g（x）cos（x+）cos（x）的图象 显然，f（x）的最小正周期为，故 A 正确； 显然，B、C 错误； 令 2kx2k+，求得 kxk+，kZ， 可得 f（x）的减区间为 k，k+，kZ 结合 x0，可得函数的减区间为0，故 D 错误， 故选：A 12已知函数 f（x），若 f（x1）f（x2）
15、f（x3）f（x4）（x1，x2，x3，x4互不相 等），则 x1+x2+x3+x4的取值范围是（ ）（注：函数 h（x）x+ 在（0，1上单调递减，在（1，+ ）上单调递增） A B C D 解：作出函数 f（x）的图象， 如图， x或 2 时，f（x）1， 令 tf（x1）f（x2）f（x3）f（x4）， 设 x1x2x3x4，则有 x1+x22，x3x41，且 x31， 故 x1+x2+x3+x42+x3+x42+x3+ ， 因为函数 h（x）x+在（0，1上单调递减，在（1，+）上单调递增， 故 x3+的最小值趋近于 1+ 2，最大值等于 x1+x2+x3+x4的取值范围是（0， 故选
16、：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13sin95+cos185+tan240 解：sin95+cos185+tan240 sin95+cos（90+95）+tan（180+60） sin95sin95+tan60 故答案为： 14已知函数 f（x），若 f（a）4，则 a 2 或 16 解：当 a0 时，f（a）log2a4，解得 a16； 当 a0 时，解得 a2， 所以 a2 或 a16 故答案为：2 或 16 15已知在ABC 中，cos（A+B）0，sinC，则 sin2C 解：在ABC 中，cos（A+B）cos
17、（C）cosC0， 可得 cosC0，可得 C 为钝角， 又 sinC，可得 cosC， 则 sin2C2sinCcosC2 故答案为： 16已知函数 f（x）ln（1+|x|），若 f（loga3）f（1）（a0 且 a1），则 a 的取值范围为 解：因为函数 f（x）ln（1+|x|）ln（1+|x|）f（x）， 所以 f（x）为偶函数，则只需考虑 x0 时 f（x）的单调性 因为 yln（x+1）和在（0，+）都是递增函数， 所以 f（x）在（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减， 若 f（loga3）f（1），则|loga3|1，所以 ， 解得， 所以 a 的取值范围为 故答案为：
18、 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17设集合，Bx|0lnx1，Cx|t+1x2t，tR （）求 AB； （）若 ACC，求 t 的取值范围 解：（）集合y|1y4， Bx|0lnx1x|1xe， ABx|1xe； （）集合 Ay|1y4，Cx|t+1x2t，tR，ACC， CA， 当 C时，t+12t，解得 t1， 当 C时，解得 1t2 综上，t 的取值范围是（，2 18（）化简：（tan20）； （）证明： 解 ： （ ） 原 式 （） 2 （）左边， 右边， 则左边右边，即等式成立 19已知函数
19、，x（0，+） （）用函数单调性的定义证明：f（x）是增函数 （）若，则当 x 为何值时，g（x）取得最小值？并求出其最小值 【解答】（）证明：在区间（0，+）内任取 x1，x2，且 x1x2， 则 ， 因为 0 x1x2，所以 x1x20，x1x20， 所以 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2）， 所以 f（x）在区间（0，+）上是增函数； （）解：函数， 因为 f（x）的定义域是（0，+）， 则有log2x0，解得 0 x1， ， 令 tlog2x，因为 0 x1，则 t0， 当 t0 时，y， 当且仅当，即 t1 时取等号， 即 log2x1，此时 时，函数取得最小值 4 2
20、0某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过 100 万元时，按年销售利润的 5%进 行奖励；当年销售利润超过 100 万元时，若超出 A 万元，则奖励 log2（A+1）万元，没超出部分仍按 5% 进行奖励记奖金为 y 万元，年销售利润为 x 万元 （）写出 y 关于 x 的函数解析式； （）如果业务员小张获得了 10 万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？ 解：（1）由题意可知，当销售利润 x100 万元时，y5%x0.05x， 当销售利润 x100 万元时，y1000.05+log2（x100）+1， 所以 y 关于 x 的函数关系式为 y， （2）因为小张的奖金为
21、10 万元，设其销售的利润为 x 万元， 当 x100 时，100.05x，解得 x200100，所以不符题意， 当 x100 时，则 105+log2（x99），解得 x131， 故小张的年销售利润为 131 万元 21 已知函数 f （x） 2sin （x+）（0， 0） 的最大值和最小正周期相同， f （x） 的图象过点， 且在区间上为增函数 （）求函数 f（x）的解析式； （）若函数 g（x）f（x）+1 在区间（0，b）上只有 4 个零点，求 b 的最大值 解：（）由函数 f（x）2sin（x+）（0，0）的最大值和最小正周期相同， 可得 T2，解得 f（x）的图象过点， 得2sin
22、，sin， 由 0，可知 或 ， 当 时，f（x）2sin（x+）， 当时， 此时 f（x）单调递减，不符合题意， 于是 f（x）2sin（x+）； （）令 g（x）f（x）+10，即， 函数与在每个周期中都有两个交点， 当，即 x时，刚好有 5 个交点， 所以函数 g（x）在区间（0，b）上只有 4 个零点时，b 的最大值为 22已知函数 f（x）mxln（ex+1） （）若，判断 f（x）的奇偶性； （）若 m1，不等式 f（x）1 的解集； （）若 m1，g（x）e2x2f（x）6ex，且存在 x00，1，使得 ng（x0）成立，求实数 n 的取值范围 解：（1）若，则，其定义域为 R，
23、 ， f（x）为偶函数； （2）若 m1，则不等式 f（x）1 可化为 xln（ex+1）1， 即， e x+1 ex+1，ex（e1）1， ， 不等式 f（x）1 的解集为； （3）若 m1，则 g（x）e2x2f（x）6ex （ex+1）26exe2x4ex+1， 令 tex，x0，1，则 tex1，e， 此时 g（x）e2x4ex+1t24t+1，记 h（t）t24t+1，t1，e， h（t）t24t+1 开口向上，对称轴为 t2， ； 即 g（x）e2x4ex+1 在 x0，1的最小值为 g（x）min3， 存在 x00，1，使得 ng（x0）成立， 只需 ng（x0）min3， 即实数 n 的取值范围为（3，+）
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