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    山东省济南市2020-2021学年高二上期末数学试卷(含答案解析)

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    山东省济南市2020-2021学年高二上期末数学试卷(含答案解析)

    1、2020-2021 学年山东省济南市高二(上)期末数学试卷学年山东省济南市高二(上)期末数学试卷 一、选择题(共一、选择题(共 8 小题)小题). 1直线 xy+10 的斜率为( ) A B C D 2已知向量 (2,3,1), (1,2,0),则| + |等于( ) A B3 C D9 3如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,M 为 A1C1的中点,若 , , ,则下列向量与相 等的是( ) A+ B+ C+ D+ + 4周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作,书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春 分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列若冬至、大寒、雨

    2、水的 日影子长的和是 40.5 尺,芒种的日影子长为 4.5 尺,则冬至的日影子长为( ) A6.5 尺 B13.5 尺 C14.5 尺 D15.5 尺 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M、N 分别为棱 A1B1和 BB1的中点,那么异面直线 AM 和 CN 所成角的 余弦值是( ) A B C D 6历时 23 天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球,标志着中国航天向前迈出一大步其中 2020 年 11 月 28 日晚,嫦娥五号成功进行首次近月制动,进入一个大椭圆轨道该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点 F1,若其近月点 A(离月球表面最近的点)与月球表面距离为 r1公里,远月点 B(离月球

    3、表面最远的点) 与月球表面距离为 r2公里,并且 F1,A,B 在同一直线上已知月球的半径为 R 公里,则该椭圆形轨道的 离心率为( ) A B C D 7已知动点 P 在直线 l1:3x4y+10 上运动,动点 Q 在直线 l2:6x+my+40 上运动,且 l1l2,则|PQ| 的最小值为( ) A B C D 8若等差数列an的前 n 项和为 Sn,首项 a10,a2020+a20210,a2020 a 20210,则满足 Sn0 成立的最大 正整数 n 是( ) A4039 B4040 C4041 D4042 二、多项选择题(共二、多项选择题(共 4 小题)小题). 9关于双曲线 C1

    4、:1 与双曲线 C2:1,下列说法正确的是( ) A它们的实轴长相等 B它们的渐近线相同 C它们的离心率相等 D它们的焦距相等 10已知圆 C1:x2+y21 和圆 C2:x2+y24x0 的公共点为 A,B,则( ) A|C1C2|2 B直线 AB 的方程是 x CAC1AC2 D|AB| 11若数列an满足 a11,a21,anan1+an2(n3,nN+),则称数列an为斐波那契数列,又称黄 金分割数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的 是( ) Aa713 Ba1+a3+a5+a2019a2020 CS754 Da2+a4+a6+a2020a

    5、2021 12 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2, 点 E, F 在平面 A1B1C1D1内, 若|AE|, ACDF, 则 ( ) A点 E 的轨迹是一个圆 B点 F 的轨迹是一个圆 C|EF|的最小值为1 DAE 与平面 A1BD 所成角的正弦值的最大值为 三、填空题(共三、填空题(共 4 小题)小题). 13若直线 xy+10 与直线 mx+3y10 互相垂直,则实数 m 的值为 14若双曲线的渐近线为 ,则双曲线 C 的离心率为 15已知四面体 ABCD 的顶点分别为 A(2,3,1),B(1,0,2),C(4,3,1),D(0,3,3), 则点 D 到平面 ABC 的

    6、距离 16在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,过点(,0)的直线 l 与圆 C:x2+y24x+80 交于 A,B 两点,则四边形 OACB 面积的最大值为 四、解答题(共四、解答题(共 6 小题)小题). 17在圆 C 与 y 轴相切,且与 x 轴正半轴相交所得弦长为 2; 圆 C 经过点 A(4,1)和 B(2,3); 圆 C 与直线 x2y10 相切,且与圆 Q:x2+(y2)21 相外切 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的圆 C 存在,求出圆 C 的方程;若问题中的圆 C 不存在,说明理由 问题:是否存在圆 C,_,且圆心 C 在直线 yx 上 18已知等比数列an中

    7、,a24,a5256 (1)求数列an的通项公式; (2)令 bnlog2an,求数列bn的前 n 项和 Sn 19在平面直角坐标系中,已知抛物线 y22px 的准线方程为 x (1)求 p 的值; (2)直线 l:yx+t(t0)交抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点,且 OAOB,求线段 AB 的长度 20已知数列an满足 a11,nan+13(n+1)an (1)设 bn,求证:数列bn是等比数列; (2)求数列an的前 n 项和 Sn 21 如图, 在四棱锥 PABCD 中, ABCD 为矩形, ADPAPB2, PAPB, 平面 PAB平面 ABCD (1)证明:平面 PAD平面

    8、PBC; (2)若 M 为 PC 中点,求平面 AMD 与平面 BMD 的夹角的余弦值 22已知椭圆 E:(ab0)的左、右顶点分别为 A,B,离心率为 ,且过点 D(,) (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)过点 P(4,0)作与 x 轴不重合的直线 l 与椭圆 E 相交于 M,N 两点(N 在 P,M 之间)证明:直 线 MB 与直线 NA 的交点的横坐标是定值 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 8 小题)小题). 1直线 xy+10 的斜率为( ) A B C D 解:由 xy+10, 得:yx+, 故直线的斜率 k, 故选:C 2已知向量 (2,3,1), (1,2,0

    9、),则| + |等于( ) A B3 C D9 解:向量 (2,3,1), (1,2,0), (3,5,1), | + | 故选:C 3如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,M 为 A1C1的中点,若 , , ,则下列向量与相 等的是( ) A+ B+ C+ D+ + 解:在三棱柱 ABCA1B1C1中,M 为 A1C1的中点,若 , , , + + () +() 故选:D 4周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作,书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春 分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列若冬至、大寒、雨水的 日影子长的和是 40.5 尺,芒种的日影子

    10、长为 4.5 尺,则冬至的日影子长为( ) A6.5 尺 B13.5 尺 C14.5 尺 D15.5 尺 解:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影子长依次成等差数列 冬至、大寒、雨水的日影子长的和是 40.5 尺,芒种的日影子长为 4.5 尺, 设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影子长分别为 an(n1,2,3,12), 则an是等差数列, ,解得 a115.5 则冬至的日影子长为 15.5(尺) 故选:D 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M、N 分别为棱 A1B1和 BB1的

    11、中点,那么异面直线 AM 和 CN 所成角的 余弦值是( ) A B C D 解:由题意可得 , ( )()+ + 0+1+0+0 又 cos, cos, cos,cos, 故选:C 6历时 23 天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球,标志着中国航天向前迈出一大步其中 2020 年 11 月 28 日晚,嫦娥五号成功进行首次近月制动,进入一个大椭圆轨道该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点 F1,若其近月点 A(离月球表面最近的点)与月球表面距离为 r1公里,远月点 B(离月球表面最远的点) 与月球表面距离为 r2公里,并且 F1,A,B 在同一直线上已知月球的半径为 R 公里,则该椭圆形轨道的 离心

    12、率为( ) A B C D 解:由已知可得卫星的近地点,远地点离地心的距离分别为 R+r1,R+r2, 设轨道的标准方程为, 所以 acR+r1,a+cR+r2,解得 a ,c, 所以椭圆形轨道的离心率为 e, 故选:B 7已知动点 P 在直线 l1:3x4y+10 上运动,动点 Q 在直线 l2:6x+my+40 上运动,且 l1l2,则|PQ| 的最小值为( ) A B C D 解:动点 P 在直线 l1:3x4y+10,即 6x8y+20 上运动, 动点 Q 在直线 l2:6x+my+40 上运动,且 l1l2,m8, 则|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离,为 , 故选:C 8若等差

    13、数列an的前 n 项和为 Sn,首项 a10,a2020+a20210,a2020 a 20210,则满足 Sn0 成立的最大 正整数 n 是( ) A4039 B4040 C4041 D4042 解:等差数列an满足,首项 a10,a2020+a20210,a2020a20210, 等差数列an单调递减,a20200,a20210, S4040 2020(a2020+a2021)0, S40414041a20210, 则满足 Sn0 成立的最大正整数 n 是 4040 故选:B 二、多项选择题(共二、多项选择题(共 4 小题)小题). 9关于双曲线 C1:1 与双曲线 C2:1,下列说法正确

    14、的是( ) A它们的实轴长相等 B它们的渐近线相同 C它们的离心率相等 D它们的焦距相等 解:双曲线 C1的 a23,b22,c25, 渐近线的方程为 yx, 实轴长为 2a2,离心率 e; C2中的 a22,b23,c25, 渐近线方程为:y,离心率 e, 所以焦距相同,渐近线的方程相同, 故选:BD 10已知圆 C1:x2+y21 和圆 C2:x2+y24x0 的公共点为 A,B,则( ) A|C1C2|2 B直线 AB 的方程是 x CAC1AC2 D|AB| 解:圆 C1:x2+y21 的圆心(0,0),半径为 1, 圆 C2:x2+y24x0,圆心(2,0),半径为 2, 圆心距为:

    15、2,所以 A 正确; 公共弦所在的准线方程为:4x1,即 x,所以 B 正确; |AC1|1,|AC2|2,|C1C2|2,所以 AC1与 AC2不垂直所以 C 不正确 |AB|2,所以 D 正确; 故选:ABD 11若数列an满足 a11,a21,anan1+an2(n3,nN+),则称数列an为斐波那契数列,又称黄 金分割数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的 是( ) Aa713 Ba1+a3+a5+a2019a2020 CS754 Da2+a4+a6+a2020a2021 解:因为 a11,a21,anan1+an2(n3,nN+), 所以

    16、a3a2+a12,a4a3+a23,a5a4+a35,a6a5+a48,a7a6+a513,所以 A 正确; S71+1+2+3+5+8+1333,所以 C 不正确; a1+a3+a5+a2019a1+a2+a1+a4+a3+a2018+a2017a1+S20181+S2018, 又 an+2an+1+anan+an1+an1+an2an+an1+an 2+an3+an3+an4Sn+1, 所以 a2020S2018+1a1+a3+a5+a2019,所以 B 正确; a2+a4+a6+a2020a2+a3+a2+a5+a4+a2019+a2018a1+a2+a3+a4+a5+a2019S201

    17、9, 但 S2019+1a2021,所以 a2+a4+a6+a2020a2021,所以 D 不正确 故选:AB 12 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2, 点 E, F 在平面 A1B1C1D1内, 若|AE|, ACDF, 则 ( ) A点 E 的轨迹是一个圆 B点 F 的轨迹是一个圆 C|EF|的最小值为1 DAE 与平面 A1BD 所成角的正弦值的最大值为 解:对于选项 A,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,AA1平面 A1B1C1D1,A1E平面 A1B1C1D1, 所以 AA1A1E, 故, 则有 A1E1, 所以点 E 的轨迹是以 A1为圆心,1 为半径的圆, 故

    18、选项 A 正确; 对于选项 B,在正方体中,AC平面 B1BDD1, 因为 ACDF, 则 DF平面 B1BDD1, 故 F 在 B1D1上, 所以 F 的轨迹是线段 B1D1, 故选项 B 错误; 对于选项 C,|EF|的最小值即为求线段 B1D1上的点到以 A1为圆心,1 为半径的圆的最小距离, 又圆心 A1到线段 B1D1的距离为 , 所以|EF|的最小值为, 故选项 C 正确; 建立如图所示的空间直角坐标系, 因为点 E 的轨迹是以 A1为圆心,1 为半径的圆, 故设 E(cos,sin,2), 则 A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0), 所以, 设

    19、平面 A1BD 的法向量为 , 则有, 令 x1,则 y1,z1, 故, 设 AE 与平面 A1BD 所成的角为 , 则, 当时,sin 有最大值, 故 AE 与平面 A1BD 所成角的正弦值的最大值为 , 故选项 D 正确 故选:ACD 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13若直线 xy+10 与直线 mx+3y10 互相垂直,则实数 m 的值为 3 解:直线 xy+10 与直线 mx+3y10 互相垂直, 1m+(1)30, 解得实数 m3 故答案为:3 14若双曲线的渐近线为 ,则双曲线 C 的离心率为 2 解:双曲线

    20、的渐近线为, 3 即 e213 e2 故答案为 2 15已知四面体 ABCD 的顶点分别为 A(2,3,1),B(1,0,2),C(4,3,1),D(0,3,3), 则点 D 到平面 ABC 的距离 3 解:因为四面体四个顶点分别为 A(2,3,1)、B(1,0,2),C(4,3,1),D(0,3,3), 所以(1,3,1),(2,0,2),(2,0,4) 设平面 ABC 的法向量为 (a,b,c) 所以,不妨令 a3,则 c3,解得 b0 平面 ABC 的法向量为 (3,0,3) 所以顶点 D 到平面 ABC 的距离, 就是在平面 ABC 的法向量投影的长度, 即: 3 故答案为:3 16在

    21、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,过点(,0)的直线 l 与圆 C:x2+y24x+80 交于 A,B 两点,则四边形 OACB 面积的最大值为 4 解:点(,0)在圆 x2+y24x+80 内部,直线 l 一定圆圆 C 有两个交点 当直线的斜率不存在时,直线方程为 x, 圆 C 为,|AB|, 则; 当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 yk(x)(k0), 点 C(2,0)到 AB 的距离 , |AB|2 , O 到 AB 的距离, 令 k2+1t(t1), 则, 则当,即 t3 时,SOACB取得最大值为 4 综上,四边形 OACB 面积的最大值为 4 故答案为:4 四、解答题:本大题

    22、共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在圆 C 与 y 轴相切,且与 x 轴正半轴相交所得弦长为 2; 圆 C 经过点 A(4,1)和 B(2,3); 圆 C 与直线 x2y10 相切,且与圆 Q:x2+(y2)21 相外切 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的圆 C 存在,求出圆 C 的方程;若问题中的圆 C 不存在,说明理由 问题:是否存在圆 C,_,且圆心 C 在直线 yx 上 解:若选条件, 由圆 C 的圆心在直线 y上,可设圆心为(2a,a) 圆 C 与 y 轴相切

    23、,半径 r2|a| 又该圆截 x 轴正半轴所得弦的长为 2,可得 a0, a2 +()2(2a) 2,解得 a1 因此,圆心为(2,1),半径 r2 圆 C 的标准方程为(x2)2+(y1)24; 若选择条件, AB 的中点坐标为(3,2), 则 AB 的垂直平分线方程为 y21(x3),即 yx1, 联立,解得,则圆心坐标为(2,1), 半径 r422 圆 C 的方程为(x2)2+(y1)24; 若选择条件 3, 设圆心为(2a,a),则, 即,整理得 0,方程无解 故圆 C 不存在 18已知等比数列an中,a24,a5256 (1)求数列an的通项公式; (2)令 bnlog2an,求数列

    24、bn的前 n 项和 Sn 解:(1)由题意,设等比数列an的公比为 q,则 ,解得, an14n14n1,nN*, (2)由(1),可得 bnlog2anlog24n1log222(n1)2(n1), Snb1+b2+bn 20+21+2(n1) 21+2+(n1) 2 n2n 19在平面直角坐标系中,已知抛物线 y22px 的准线方程为 x (1)求 p 的值; (2)直线 l:yx+t(t0)交抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点,且 OAOB,求线段 AB 的长度 解:(1)由已知得,即 p1 (2)由(1)得,抛物线方程为 y22x, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,

    25、得 y22y+2t0 48t0,即 t y1+y22,y1y22t, 由, 可得 y1y24, y1y22t,2t4,可得 t2 则 y1+y22,y1y24 20已知数列an满足 a11,nan+13(n+1)an (1)设 bn,求证:数列bn是等比数列; (2)求数列an的前 n 项和 Sn 【解答】(1)证明:依题意,由 nan+13(n+1)an,可得 3,即 bn+13bn, b11, 数列bn是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, (2)解:由(1),可得 bn13n13n1, 即3n 1, ann3n1,nN*, Sna1+a2+a3+an130+231+332+n3n1,

    26、3Sn131+232+(n1)3n1+n3n, 两式相减,可得 2Sn1+31+32+3n1n3n n3n (n)3n, Sn 21 如图, 在四棱锥 PABCD 中, ABCD 为矩形, ADPAPB2, PAPB, 平面 PAB平面 ABCD (1)证明:平面 PAD平面 PBC; (2)若 M 为 PC 中点,求平面 AMD 与平面 BMD 的夹角的余弦值 解:(1)证明:ABCD 为矩形,ADAB, 平面 PAB平面 ABCD,平面 PAB平面 ABCDAB, AD平面 PAB, 则 ADPB,又 PAPB,PAADA, PB平面 PAD,而 PB平面 PBC, 平面 PAD平面 PB

    27、C (2)取 AB 中点 O,分别以 OP,OB 所在直线为 x,y 轴建立空间直角坐标系, 则 P(2,0,0),A(0,2,0),B(0,2,0),D(0,2,2),M(1,1,), 则(0,0,2),(1,3,),(0,4,2), 设平面 ADM 的法向量为, 则, 令 y1,则 x3,z0,所以 同理可得,平面 BDM 的法向量 (1,1,) 所以 cos, 故平面 AMD 与平面 BMD 的夹角的余弦值为 22已知椭圆 E:(ab0)的左、右顶点分别为 A,B,离心率为 ,且过点 D(,) (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)过点 P(4,0)作与 x 轴不重合的直线 l 与椭圆

    28、E 相交于 M,N 两点(N 在 P,M 之间)证明:直 线 MB 与直线 NA 的交点的横坐标是定值 解:(1)由题意可得 e,b2a2c2,+1, 解得 a2,b1, 所以椭圆的方程为+y21 (2)证明:设直线 l:xmy+4,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立,得(m2+4)y2+8my+120, 所以16m21920,解得 m2 或 m2, 由韦达定理可得 y1+y2,y1y2, 由题意可得直线 MB:y(x2),直线 NA:y(x+2), 所以 y1(x2+2)(x2)y2(x12)(x+2), 即 x(my1y2+6y1my1y22y2)2(my1y2+6y1+2y2+my1y2), 整理得 x(6y12y2)2(2my1y2+2y2+6y1), 即 x(6y12y2)23(y1+y2)+2y2+6y1, 即 x(6y12y2)(6y12y2), 若 y23y1,则 m1, 此时16m21920,所以 6y12y20, 所以 x1, 所以直线 MB 与 NA 交点的横坐标为定值 1


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