1、2020-2021 学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1直线 xy+10 的斜率为（ ） A B C D 2已知向量 （2，3，1）， （1，2，0），则| + |等于（ ） A B3 C D9 3如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，M 为 A1C1的中点，若 ， ， ，则下列向量与相 等的是（ ） A+ B+ C+ D+ + 4周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春 分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列若冬至、大寒、雨
2、水的 日影子长的和是 40.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为（ ） A6.5 尺 B13.5 尺 C14.5 尺 D15.5 尺 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别为棱 A1B1和 BB1的中点，那么异面直线 AM 和 CN 所成角的 余弦值是（ ） A B C D 6历时 23 天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步其中 2020 年 11 月 28 日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点 F1，若其近月点 A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为 r1公里，远月点 B（离月球
3、表面最远的点） 与月球表面距离为 r2公里，并且 F1，A，B 在同一直线上已知月球的半径为 R 公里，则该椭圆形轨道的 离心率为（ ） A B C D 7已知动点 P 在直线 l1：3x4y+10 上运动，动点 Q 在直线 l2：6x+my+40 上运动，且 l1l2，则|PQ| 的最小值为（ ） A B C D 8若等差数列an的前 n 项和为 Sn，首项 a10，a2020+a20210，a2020 a 20210，则满足 Sn0 成立的最大 正整数 n 是（ ） A4039 B4040 C4041 D4042 二、多项选择题（共二、多项选择题（共 4 小题）小题）. 9关于双曲线 C1
4、：1 与双曲线 C2：1，下列说法正确的是（ ） A它们的实轴长相等 B它们的渐近线相同 C它们的离心率相等 D它们的焦距相等 10已知圆 C1：x2+y21 和圆 C2：x2+y24x0 的公共点为 A，B，则（ ） A|C1C2|2 B直线 AB 的方程是 x CAC1AC2 D|AB| 11若数列an满足 a11，a21，anan1+an2（n3，nN+），则称数列an为斐波那契数列，又称黄 金分割数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的 是（ ） Aa713 Ba1+a3+a5+a2019a2020 CS754 Da2+a4+a6+a2020a
5、2021 12 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， 点 E， F 在平面 A1B1C1D1内， 若|AE|， ACDF， 则 （ ） A点 E 的轨迹是一个圆 B点 F 的轨迹是一个圆 C|EF|的最小值为1 DAE 与平面 A1BD 所成角的正弦值的最大值为 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题）小题）. 13若直线 xy+10 与直线 mx+3y10 互相垂直，则实数 m 的值为 14若双曲线的渐近线为 ，则双曲线 C 的离心率为 15已知四面体 ABCD 的顶点分别为 A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，1），D（0，3，3）， 则点 D 到平面 ABC 的
6、距离 16在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点（，0）的直线 l 与圆 C：x2+y24x+80 交于 A，B 两点，则四边形 OACB 面积的最大值为 四、解答题（共四、解答题（共 6 小题）小题）. 17在圆 C 与 y 轴相切，且与 x 轴正半轴相交所得弦长为 2； 圆 C 经过点 A（4，1）和 B（2，3）； 圆 C 与直线 x2y10 相切，且与圆 Q：x2+（y2）21 相外切 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆 C 存在，求出圆 C 的方程；若问题中的圆 C 不存在，说明理由 问题：是否存在圆 C，_，且圆心 C 在直线 yx 上 18已知等比数列an中
7、，a24，a5256 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和 Sn 19在平面直角坐标系中，已知抛物线 y22px 的准线方程为 x （1）求 p 的值； （2）直线 l：yx+t（t0）交抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点，且 OAOB，求线段 AB 的长度 20已知数列an满足 a11，nan+13（n+1）an （1）设 bn，求证：数列bn是等比数列； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 21 如图， 在四棱锥 PABCD 中， ABCD 为矩形， ADPAPB2， PAPB， 平面 PAB平面 ABCD （1）证明：平面 PAD平面
8、PBC； （2）若 M 为 PC 中点，求平面 AMD 与平面 BMD 的夹角的余弦值 22已知椭圆 E：（ab0）的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 ，且过点 D（，） （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）过点 P（4，0）作与 x 轴不重合的直线 l 与椭圆 E 相交于 M，N 两点（N 在 P，M 之间）证明：直 线 MB 与直线 NA 的交点的横坐标是定值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1直线 xy+10 的斜率为（ ） A B C D 解：由 xy+10， 得：yx+， 故直线的斜率 k， 故选：C 2已知向量 （2，3，1）， （1，2，0
9、），则| + |等于（ ） A B3 C D9 解：向量 （2，3，1）， （1，2，0）， （3，5，1）， | + | 故选：C 3如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，M 为 A1C1的中点，若 ， ， ，则下列向量与相 等的是（ ） A+ B+ C+ D+ + 解：在三棱柱 ABCA1B1C1中，M 为 A1C1的中点，若 ， ， ， + + （） +（） 故选：D 4周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春 分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列若冬至、大寒、雨水的 日影子长的和是 40.5 尺，芒种的日影子
10、长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为（ ） A6.5 尺 B13.5 尺 C14.5 尺 D15.5 尺 解：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影子长依次成等差数列 冬至、大寒、雨水的日影子长的和是 40.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺， 设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影子长分别为 an（n1，2，3，12）， 则an是等差数列， ，解得 a115.5 则冬至的日影子长为 15.5（尺） 故选：D 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别为棱 A1B1和 BB1的
11、中点，那么异面直线 AM 和 CN 所成角的 余弦值是（ ） A B C D 解：由题意可得 ， （ ）（）+ + 0+1+0+0 又 cos， cos， cos，cos， 故选：C 6历时 23 天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步其中 2020 年 11 月 28 日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点 F1，若其近月点 A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为 r1公里，远月点 B（离月球表面最远的点） 与月球表面距离为 r2公里，并且 F1，A，B 在同一直线上已知月球的半径为 R 公里，则该椭圆形轨道的 离心
12、率为（ ） A B C D 解：由已知可得卫星的近地点，远地点离地心的距离分别为 R+r1，R+r2， 设轨道的标准方程为， 所以 acR+r1，a+cR+r2，解得 a ，c， 所以椭圆形轨道的离心率为 e， 故选：B 7已知动点 P 在直线 l1：3x4y+10 上运动，动点 Q 在直线 l2：6x+my+40 上运动，且 l1l2，则|PQ| 的最小值为（ ） A B C D 解：动点 P 在直线 l1：3x4y+10，即 6x8y+20 上运动， 动点 Q 在直线 l2：6x+my+40 上运动，且 l1l2，m8， 则|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，为 ， 故选：C 8若等差
13、数列an的前 n 项和为 Sn，首项 a10，a2020+a20210，a2020 a 20210，则满足 Sn0 成立的最大 正整数 n 是（ ） A4039 B4040 C4041 D4042 解：等差数列an满足，首项 a10，a2020+a20210，a2020a20210， 等差数列an单调递减，a20200，a20210， S4040 2020（a2020+a2021）0， S40414041a20210， 则满足 Sn0 成立的最大正整数 n 是 4040 故选：B 二、多项选择题（共二、多项选择题（共 4 小题）小题）. 9关于双曲线 C1：1 与双曲线 C2：1，下列说法正确
14、的是（ ） A它们的实轴长相等 B它们的渐近线相同 C它们的离心率相等 D它们的焦距相等 解：双曲线 C1的 a23，b22，c25， 渐近线的方程为 yx， 实轴长为 2a2，离心率 e； C2中的 a22，b23，c25， 渐近线方程为：y，离心率 e， 所以焦距相同，渐近线的方程相同， 故选：BD 10已知圆 C1：x2+y21 和圆 C2：x2+y24x0 的公共点为 A，B，则（ ） A|C1C2|2 B直线 AB 的方程是 x CAC1AC2 D|AB| 解：圆 C1：x2+y21 的圆心（0，0），半径为 1， 圆 C2：x2+y24x0，圆心（2，0），半径为 2， 圆心距为：
15、2，所以 A 正确； 公共弦所在的准线方程为：4x1，即 x，所以 B 正确； |AC1|1，|AC2|2，|C1C2|2，所以 AC1与 AC2不垂直所以 C 不正确 |AB|2，所以 D 正确； 故选：ABD 11若数列an满足 a11，a21，anan1+an2（n3，nN+），则称数列an为斐波那契数列，又称黄 金分割数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的 是（ ） Aa713 Ba1+a3+a5+a2019a2020 CS754 Da2+a4+a6+a2020a2021 解：因为 a11，a21，anan1+an2（n3，nN+）， 所以
16、a3a2+a12，a4a3+a23，a5a4+a35，a6a5+a48，a7a6+a513，所以 A 正确； S71+1+2+3+5+8+1333，所以 C 不正确； a1+a3+a5+a2019a1+a2+a1+a4+a3+a2018+a2017a1+S20181+S2018， 又 an+2an+1+anan+an1+an1+an2an+an1+an 2+an3+an3+an4Sn+1， 所以 a2020S2018+1a1+a3+a5+a2019，所以 B 正确； a2+a4+a6+a2020a2+a3+a2+a5+a4+a2019+a2018a1+a2+a3+a4+a5+a2019S201
17、9， 但 S2019+1a2021，所以 a2+a4+a6+a2020a2021，所以 D 不正确 故选：AB 12 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， 点 E， F 在平面 A1B1C1D1内， 若|AE|， ACDF， 则 （ ） A点 E 的轨迹是一个圆 B点 F 的轨迹是一个圆 C|EF|的最小值为1 DAE 与平面 A1BD 所成角的正弦值的最大值为 解：对于选项 A，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 A1B1C1D1，A1E平面 A1B1C1D1， 所以 AA1A1E， 故， 则有 A1E1， 所以点 E 的轨迹是以 A1为圆心，1 为半径的圆， 故
18、选项 A 正确； 对于选项 B，在正方体中，AC平面 B1BDD1， 因为 ACDF， 则 DF平面 B1BDD1， 故 F 在 B1D1上， 所以 F 的轨迹是线段 B1D1， 故选项 B 错误； 对于选项 C，|EF|的最小值即为求线段 B1D1上的点到以 A1为圆心，1 为半径的圆的最小距离， 又圆心 A1到线段 B1D1的距离为 ， 所以|EF|的最小值为， 故选项 C 正确； 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为点 E 的轨迹是以 A1为圆心，1 为半径的圆， 故设 E（cos，sin，2）， 则 A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0）， 所以， 设
19、平面 A1BD 的法向量为 ， 则有， 令 x1，则 y1，z1， 故， 设 AE 与平面 A1BD 所成的角为 ， 则， 当时，sin 有最大值， 故 AE 与平面 A1BD 所成角的正弦值的最大值为 ， 故选项 D 正确 故选：ACD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13若直线 xy+10 与直线 mx+3y10 互相垂直，则实数 m 的值为 3 解：直线 xy+10 与直线 mx+3y10 互相垂直， 1m+（1）30， 解得实数 m3 故答案为：3 14若双曲线的渐近线为 ，则双曲线 C 的离心率为 2 解：双曲线
20、的渐近线为， 3 即 e213 e2 故答案为 2 15已知四面体 ABCD 的顶点分别为 A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，1），D（0，3，3）， 则点 D 到平面 ABC 的距离 3 解：因为四面体四个顶点分别为 A（2，3，1）、B（1，0，2），C（4，3，1），D（0，3，3）， 所以（1，3，1），（2，0，2），（2，0，4） 设平面 ABC 的法向量为 （a，b，c） 所以，不妨令 a3，则 c3，解得 b0 平面 ABC 的法向量为 （3，0，3） 所以顶点 D 到平面 ABC 的距离， 就是在平面 ABC 的法向量投影的长度， 即： 3 故答案为：3 16在
21、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点（，0）的直线 l 与圆 C：x2+y24x+80 交于 A，B 两点，则四边形 OACB 面积的最大值为 4 解：点（，0）在圆 x2+y24x+80 内部，直线 l 一定圆圆 C 有两个交点 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x， 圆 C 为，|AB|， 则； 当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 yk（x）（k0）， 点 C（2，0）到 AB 的距离 ， |AB|2 ， O 到 AB 的距离， 令 k2+1t（t1）， 则， 则当，即 t3 时，SOACB取得最大值为 4 综上，四边形 OACB 面积的最大值为 4 故答案为：4 四、解答题：本大题
22、共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在圆 C 与 y 轴相切，且与 x 轴正半轴相交所得弦长为 2； 圆 C 经过点 A（4，1）和 B（2，3）； 圆 C 与直线 x2y10 相切，且与圆 Q：x2+（y2）21 相外切 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆 C 存在，求出圆 C 的方程；若问题中的圆 C 不存在，说明理由 问题：是否存在圆 C，_，且圆心 C 在直线 yx 上 解：若选条件， 由圆 C 的圆心在直线 y上，可设圆心为（2a，a） 圆 C 与 y 轴相切
23、，半径 r2|a| 又该圆截 x 轴正半轴所得弦的长为 2，可得 a0， a2 +（）2（2a） 2，解得 a1 因此，圆心为（2，1），半径 r2 圆 C 的标准方程为（x2）2+（y1）24； 若选择条件， AB 的中点坐标为（3，2）， 则 AB 的垂直平分线方程为 y21（x3），即 yx1， 联立，解得，则圆心坐标为（2，1）， 半径 r422 圆 C 的方程为（x2）2+（y1）24； 若选择条件 3， 设圆心为（2a，a），则， 即，整理得 0，方程无解 故圆 C 不存在 18已知等比数列an中，a24，a5256 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bnlog2an，求数列
24、bn的前 n 项和 Sn 解：（1）由题意，设等比数列an的公比为 q，则 ，解得， an14n14n1，nN*， （2）由（1），可得 bnlog2anlog24n1log222（n1）2（n1）， Snb1+b2+bn 20+21+2（n1） 21+2+（n1） 2 n2n 19在平面直角坐标系中，已知抛物线 y22px 的准线方程为 x （1）求 p 的值； （2）直线 l：yx+t（t0）交抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点，且 OAOB，求线段 AB 的长度 解：（1）由已知得，即 p1 （2）由（1）得，抛物线方程为 y22x， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，
25、得 y22y+2t0 48t0，即 t y1+y22，y1y22t， 由， 可得 y1y24， y1y22t，2t4，可得 t2 则 y1+y22，y1y24 20已知数列an满足 a11，nan+13（n+1）an （1）设 bn，求证：数列bn是等比数列； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【解答】（1）证明：依题意，由 nan+13（n+1）an，可得 3，即 bn+13bn， b11， 数列bn是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， （2）解：由（1），可得 bn13n13n1， 即3n 1， ann3n1，nN*， Sna1+a2+a3+an130+231+332+n3n1，
26、3Sn131+232+（n1）3n1+n3n， 两式相减，可得 2Sn1+31+32+3n1n3n n3n （n）3n， Sn 21 如图， 在四棱锥 PABCD 中， ABCD 为矩形， ADPAPB2， PAPB， 平面 PAB平面 ABCD （1）证明：平面 PAD平面 PBC； （2）若 M 为 PC 中点，求平面 AMD 与平面 BMD 的夹角的余弦值 解：（1）证明：ABCD 为矩形，ADAB， 平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB， AD平面 PAB， 则 ADPB，又 PAPB，PAADA， PB平面 PAD，而 PB平面 PBC， 平面 PAD平面 PB
27、C （2）取 AB 中点 O，分别以 OP，OB 所在直线为 x，y 轴建立空间直角坐标系， 则 P（2，0，0），A（0，2，0），B（0，2，0），D（0，2，2），M（1，1，）， 则（0，0，2），（1，3，），（0，4，2）， 设平面 ADM 的法向量为， 则， 令 y1，则 x3，z0，所以 同理可得，平面 BDM 的法向量 （1，1，） 所以 cos， 故平面 AMD 与平面 BMD 的夹角的余弦值为 22已知椭圆 E：（ab0）的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 ，且过点 D（，） （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）过点 P（4，0）作与 x 轴不重合的直线 l 与椭圆
28、E 相交于 M，N 两点（N 在 P，M 之间）证明：直 线 MB 与直线 NA 的交点的横坐标是定值 解：（1）由题意可得 e，b2a2c2，+1， 解得 a2，b1， 所以椭圆的方程为+y21 （2）证明：设直线 l：xmy+4，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，得（m2+4）y2+8my+120， 所以16m21920，解得 m2 或 m2， 由韦达定理可得 y1+y2，y1y2， 由题意可得直线 MB：y（x2），直线 NA：y（x+2）， 所以 y1（x2+2）（x2）y2（x12）（x+2）， 即 x（my1y2+6y1my1y22y2）2（my1y2+6y1+2y2+my1y2）， 整理得 x（6y12y2）2（2my1y2+2y2+6y1）， 即 x（6y12y2）23（y1+y2）+2y2+6y1， 即 x（6y12y2）（6y12y2）， 若 y23y1，则 m1， 此时16m21920，所以 6y12y20， 所以 x1， 所以直线 MB 与 NA 交点的横坐标为定值 1
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